0. Dos masas puntuales de 5 kg y 0 kg, se encuentan en los puntos de coodenadas (0, ) y (0, 7). Calcula: a) la intensidad del campo gaitatoio en el punto (4, 4) b) el tabajo necesaio paa taslada una masa de kg desde el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4), indicando la intepetación física que tiene el signo del tabajo calculado. g 0 m 5 g G,7 0, 0 Nkg 5 5 5 4 m 0 g G,7 0, 0 Nkg 0 0 0 4 as dos foman un ángulo de,87º (tg=0,75) con la hoizontal, luego g 5 g g cos,87º g cos,87º, 0 Nkg x 0 5 y 0 5 g g sen,87º g sen,87º 7,8 0 Nkg g, 0 i 7,8 0 j ambién podíamos habe dicho que g O (,) (0,78) 0,8 0 Nkg y que foma un ángulo de 7,8 0 actg 4,04º con la pate negatia del eje de las X., 0 l tabajo es la difeencia de enegía potencial ente los dos puntos: 0 5 0 5 5 5 W (4,4) (0,4) G G G G G 5G G, 0 J 0. Hasta qué altua sobe a supeficie teeste hay que subi paa que la intensidad del campo gaitatoio se eduzca en un 5%?. Hasta qué pofundidad hay que descende paa que ocua lo mismo? A esa altua,7 0 5,8 0 4 g 0,75g 7,5 G h 7,7 0 m h 0 m ( 7,5 h) Dento de la esfea teeste la gaedad aía linealmente con la altua, luego habá que descende hasta que el adio de la esfea sea 0,75 es deci 5,5 km 0. Sabiendo que el diámeto de la tiea es cuato eces el de la una y que la aceleación de la gaedad en la supeficie teeste es seis eces la de la supeficie luna, cuántas eces es mayo la masa de la iea que la de la una? elacionando los aloes de la gaedad, g G g G 04. Júpite tiene un diámeto eces mayo que el teeste y su masa es 0 eces mayo. Calcula: a) a elación ente las densidades J JV J J J J J 0 0,85 V V b) a elación ente las elocidades de escape G G 0 J J J 5, 5, J Fco Jaie Coal 05-0
05. Si la densidad de la iea es de 5500 kg/m, calcula el alo de su adio sabiendo que la gaedad media al niel del ma ale,8 m/s. Calcula el alo de la gaedad a una altua sobe la iea equialente a la longitud del adio encontado. 4 4 g g G G G 77,5km 4 G la masa es 4 4 5,7 0 kg a esa altua la gaedad ale g G G G,45ms 4 h 0. Desde el suelo se dispaa eticalmente un poyectil de 0 kg de masa con una elocidad de 5,0 km s -. a) epesenta gáficamente en función de la distancia al cento de la iea las enegías cinética y potencial gaitatoia del poyectil si no hay pedidas de enegía po ozamiento, paa mayo que el adio teeste. scala el eje de enegías en J y el eje de distancias en km. b) Si el ozamiento del aie consume el % de la enegía cinética inicial del poyectil, qué altua máxima alcanzaá? Datos: G =,7 0 - N m kg - a) e poblema 0 asa de la iea = 5,8 0 4 kg adio iea = 7 km. b) l tabajo necesaio paa subilo hasta el punto más alto es la difeencia de enegía potencial, que es igual a la enegía cinética inicial m m W FIN INI G G G m m h h h G 8, 0 h,5 0 m Si piede un % en ozamiento, se le comunica al cuepo un 78% de la enegía W FIN INI G m 0,78 m h h G 8 0,78,44 0 h,7 0 m 07. a masa de la una es de.5. 0 kg, y su adio. 0 5 m. Qué distancia ecoeá un cuepo en un segundo en caída libe hacia la una, si se le abandona en un punto póximo a su supeficie? a gaedad luna es g G,ms y el espacio ecoido es e g t 0,85m 08. Consideamos la iea como una esfea homogénea (densidad constante) en cuya supeficie g 0 =,8 m/s. Debido a una explosión nuclea, desapaece un tecio de la masa del planeta situada en la pate más extena, manteniendo la homogeneidad. Calcula el alo de g en la nuea supeficie. 4 4 a masa del nueo planeta es de donde 0,87 N N N y la gaedad en la nuea supeficie es 0,7 0,7 gn G G g 8,7 ms 0,87 0,87 N N Fco Jaie Coal 05-0
0. Dos planetas esféicos tienen la misma masa, =, peo la aceleación de la gaedad en la supeficie del pimeo es cuato eces mayo que en la del segundo. Calcula la elación ente los adios de los dos planetas, /, y ente sus densidades medias. elacionamos los aloes de g 4 g g a elación ente las densidades seá: 4 V 4 V 8 0. epesenta gáficamente en función de la distancia al cento de la iea las enegías cinética y potencial gaitatoia de un poyectil si no hay pédidas de enegía po ozamiento, paa mayo que el adio teeste. C a enegía potencial es m G la enegía cinética C G m m G m y la total C. a iea descibe una óbita elíptica alededo del Sol. n el afelio su distancia al Sol es de,5 0 m y su elocidad obital es, 0 4 m/s. Calcula: a) l momento angula de la iea especto al Sol. b) a elocidad obital en el peihelio. (distancia al Sol,47 0 m). l momento angula es 4 4 40 m,5 0 5,8 0, 0,5 0 kgm s l momento angula es constante en todos los puntos. n el peihelio: m,47 0 5,8 0,5 0 kgm s 4 40,0 0 ms 4. lutón descibe una óbita elíptica alededo del Sol. Indique paa cada una de las siguientes magnitudes si su alo es mayo, meno o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) compaado con el peihelio (punto más póximo al Sol): a) momento angula especto a la posición del Sol b) momento lineal c) enegía potencial d) enegía mecánica. A > A l momento angula es constante, no hay fuezas exteioes. m m A A A luego a enegía potencial A m m A A p p m G A m A G a enegía mecánica es la misma en todos los puntos de la tayectoia, se tata de un campo conseatio. A A Fco Jaie Coal 05-0
. Consideemos los puntos extemos de una óbita elíptica alededo del Sol. Una de las distancias es el doble de la ota. Calcula la excenticidad de la elipse y la elación ente sus elocidades. a d c d eihelio d a SO c d Afelio A a excenticidad de la elipse es c e 0, a el momento angula se mantiene constante: m A A A A A m 4. Detemina la aiación de la enegía potencial de la una, coespondiente a su inteacción gaitatoia con el Sol y la iea, ente las posiciones del eclipse de Sol y eclipse de una. Supone ciculaes tanto la óbita de la iea alededo del Sol como la de la una alededo de la iea. Datos: -S=,5 0 m ; =,8 0 8 m ; = 7,5 0 kg ; S =, 0 0 kg; G=,7 0 - N m kg -. clipse de una SO SO clipse de Sol C UNA S G G S S C SO S G G C UNA S S y sustituyendo, tenemos los aloes,45 0 J,57 0 J C SO 5. Un astonauta de 00 kg de masa está en la supeficie de un asteoide de foma esféica, de,4 km de diámeto y de densidad media, g cm -. Detemina con qué elocidad debe impulsase el astonauta paa abandona el asteoide. l astonauta caga ahoa con una mochila de 40 kg le seá más fácil sali ahoa del asteoide? o qué? Se tata de la elocidad de escape 4 G G 4 y no depende de la masa del indiiduo G,88ms. l cometa Halley se muee en una óbita elíptica alededo del Sol con un peiodo de 7 años. n el peihelio el cometa está a 8,75 0 7 km del Sol y en el afelio está a 5, 0 km del Sol. n cuál de los dos puntos tiene el cometa mayo elocidad?. Y mayo aceleación?. n qué punto tiene mayo enegía potencial? Y mayo enegía mecánica?. m 5, 0 0,08 m 8,75 0 7 a elación ente aceleaciones centípetas es m a 8,75 0 7 4 0,08 4,75 0 5, 0 a m a enegía potencial es m G es mayo en el peihelio 8,75 0 7 5, 0 0,08 a enegía mecánica es la misma en todos los puntos. Fco Jaie Coal 05-0
7. a nae espacial Discoey descibía en tono a la iea una óbita con una elocidad de 7, km s - a) A qué altitud se encontaba? b) Cuál ea su peíodo? Cuántos amanecees contemplaban cada 4 hoas los astonautas que iajaban en el inteio de la nae? a elocidad de un satélite en su óbita es 4 G G,7 0 5,8 0,87 0 m s (7, 0 ) y la altua es 5 h,87 0,7 0,7 0 m el peiodo es como el día tiene 8400 s eían 5, amanecees (unos días 5 y otos ),87 0 5,s, 7, 0 8. Dos satélites, A y B, gian alededo de un planeta siguiendo óbitas ciculaes de adios 0 8 m y 8 0 8 m espectiamente. Calcula la elación ente sus elocidades (tangenciales) espectias. a elocidad de cada satélite en su óbita es G A B cuanto mayo sea el adio de la óbita meno seá la elocidad.. Fobos (, 0 kg) es un satélite de ate que gia en una óbita cicula de 80 km de adio, especto al cento del planeta, con un peiodo de eolución de 7,5 hoas. l oto satélite de ate, Deimos (,4 0 5 kg), gia en una óbita de 40 km de adio. Calcula: a) a masa de ate. b) l peíodo de eolución de Deimos. c) l módulo del momento angula de Fobos especto al cento de ate. asa Fobos =, 0 kg; asa Deimos =,4 0 5 kg B A a) 4 4 m FA FC G m G,4 0 kg G b) aplicamos la tecea ley de Keple 40 7,5 0,h 80 F D D D F F D F c) el momento angula es F F F F, 0 kg m s F F F 0. a masa de un planeta se puede calcula si, mediante obseaciones astonómicas, se conoce el adio de la óbita y peíodo de otación de alguno de sus satélites. azona físicamente po qué (supone óbitas ciculaes y utiliza las leyes de la mecánica). F Igualando las fuezas y elacionando con la elocidad angula y con el peiodo: F A F C m FA FC G ANA m ANA m 4 4 ANA G m m G Fco Jaie Coal 05-0
. Una de las lunas de Júpite descibe una óbita pácticamente cicula con un adio de 4, 0 8 m y un peíodo de,5 0 5 s. Deduci los aloes de: a) el adio de la óbita de ota de la lunas de Júpite cuyo peíodo es de,44 0 s. b) la masa de Júpite. a) Aplicamos la teceea ley de Keple, b) 8 4, 0,88 0 m 5,44 0,5 0 JUI m 4 4 JUI G m m G 4 (4, 0 ) 8 7 JUI,88 0 kg 5,7 0 (,5 0 ) *. n una galaxia lejana, se detecta un planeta que ecoe una óbita de adio semejante al de lutón en un tiempo equialente a un año teeste, po lo que los astónomos deducen que gia alededo de una estella más masia que el Sol. s coecta esta deducción? azona po qué. aa cualquie planeta, m 4 4 G m m G aa lutón, 4 y paa el planeta X, SO Gp 4 SA G Diidiendo: SA SO y como SA SO. Dos planetas de masas iguales obitan alededo de una estella de masa mucho mayo. l descibe una óbita cicula de adio 0 m con un peíodo de años, mientas que el descibe una óbita elíptica cuya distancia más póxima es 0 m y la más alejada es,8 0 8 Km. a) Obtene el peíodo de otación del planeta y la masa de la estella b) Calcula el cociente ente la elocidad lineal del planeta en los puntos Afelio y eihelio. aa el paneta utilizamos la media de las distancias y aplicamos Keple (,4 0 ),años ( 0 ) 8 8 aa el planeta G m 4 m 5,50 0 kg G G G n los dos puntos el momento angula es el mismo m,8 m 4. Dos satélites idénticos están en óbita alededo de la iea, siendo sus óbitas de distinto adio. Cuál de los dos se moeá con mayo elocidad? o qué? a elocidad con la que se muee un satélite en su óbita es: m G F A F C G m si, entonces lo que quiee deci que el de óbita de más adio se muee más despacio. Fco Jaie Coal 05-0
5*. Dos satélites se encuentan en óbita geoestacionaia peo en posiciones diametalmente opuestas. A qué altua debeía descende uno de los satélites paa, moiéndose en óbita cicula, llega a alinease con el oto después de 0 ueltas completas? Ignoe los tiempos de actiación de los cohetes y el tiempo inetido en pasa de una óbita cicula a ota. a elocidad del satélite que queda en la óbita geoestacionaia es G G X X X X G G y la elocidad del oto es IN IN IN IN Si se alinean después de que el inteio dé 0 ueltas completas, el exteio habá ecoido media uelta, la elocidad angula del inteio es 0 eces la elocidad del exteio: IN X 0 0 400IN X IN 0,X X IN como el satélite geoestacionaio gia en una óbita de 4000 km de adio, debeía gia en una óbita de 57 km de adio (imposible).. Dos asteoides idénticos, cada uno de los cuales tiene una masa y un adio, se libean desde el eposo a una gan distancia. Se en ataídos mutuamente po la fueza de la gaedad y teminan chocando. a) Calcula la elocidad de cada asteoide antes de la colisión. b) Ahoa numéicamente suponiendo que tienen una masa de,0 0 kg y un adio de,0 km. Supongamos que uno está quieto y que el oto está a una distancia infinita. Cuando están en el infinito la enegía es ceo, suponemos que está quieto con lo que: 0 n cualquie oto punto la enegía ale lo mismo y cuando están juntos la distancia ente centos es : G G O 0 C O G 0 Si lo hacemos con númeos solo hay que sustitui G,7 0 0,55m s 000 7. Sabiendo que la aceleación de la gaedad en un moimiento de caída libe en la supeficie de la una es un sexto de la aceleación de la gaedad en la supeficie de la iea y que el adio de la una es 0,7, calcula: a) a elación ente las densidades medias b) a elación ente las elocidades de escape de un objeto desde sus espectias supeficies a gaedad es g g G 0,0 g 0,7 0,7 G g Fco Jaie Coal 05-0
a elación de densidades 4 V (0,7 ) 0,7,4 4,4 V 0,0 0,0 G G0,0 0,0 G a elocidad de escape es 0, 0,7 0,7 8. Una masa de 000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es (-5 J/kg) a oto en el que es (-7 J/kg). Calcula el tabajo de las fuezas gaitatoias e indica si se tata de una tansfomación espontánea. epeti los cálculos si el cuepo se aleja desde el punto en que el potencial ale -5 J/kg hasta oto en el que el potencial es nulo. a masa se desplaza desde un punto en el que 5000Jhasta oto en el que 7000 J. Supongamos que se tata de la iea. Nos moemos acecándonos hacia la iea. l tabajo es ealizado po las fuezas del campo gaitatoio, luego es espontáneo (es una atacción). n el oto caso hay que desplazase en conta del campo gaitatoio (hay que ence una fueza) y la tansfomación no es espontánea.. Dos satélites atificiales de masa m y m desciben óbitas ciculaes del mismo adio =, siendo el adio de la iea. Calcula la difeencia y el cociente ente las enegías mecánicas de ambos satélites. Gm a enegía mecánica de un satélite es O G m O G m O O O G m O O 0. a iea tada 5 días en da una uelta completa alededo del Sol. a masa del Sol es,8 0 0 kg y su adio es 08 eces el teeste. Calcula: a) a distancia ente la iea y el Sol suponiendo la óbita cicula. G S 4 S FA FCF G,4 0 m 4 b) a elocidad con la que llegaía al Sol un objeto que cayese desde la iea.. Un satélite atificial de 00 kg de masa se encuenta giando alededo de la iea en una óbita cicula de 700 km de adio. Calcula: a) l peiodo de eolución del satélite. Velocidad del satélite en su óbita: 4 G,7 0 5,8 0 745,m s 7, 0 7, 0 el tiempo que tada en da una uelta es 548,87 s 745, b) l momento lineal y el momento angula especto al cento de la iea. el momento lineal es p m 00 745, 7450kg m s y el angula m 5, 0 kg m s c) a aiación de enegía potencial paa subilo a esa altua desde la supeficie teeste. Fco Jaie Coal 05-0
la enegía en la supeficie es 4 m 5,8 0 00 0 G,7 0 5, 0 J,7 0 y en la óbita 4 m 5,8 0 00 F G,7 0 5, 0 J 7, 0 luego la aiación de enegía es F 0, 0 J d) as enegías cinética y total del satélite. a enegía cinética es m 00 745,,8 0 J C y la total C,8 0 5, 0,8 0 J. Cuánto tendía que dua un día teeste paa que los objetos situados en el cuado de la iea pesasen apaentemente la mitad? Y paa que no pesasen nada apaentemente? Si no hay peso m 4 4 4,7 0 FA FCF G m 5055s h4 m5s 4 G,7 0 5,8 0 Si el peso se educe a la mitad 4 FA FCF h5m8 s G. Dos masas puntuales de 0 kg se encuentan en los puntos de coodenadas (0,0) (4,0). n el punto (,) abandonamos una masa puntual de 0 kg. Calcula la elocidad de esa masa cuando pasa po el punto (,0). Calcula la aceleación media del ecoido. a enegía total es la misma en los dos puntos: 0 F Si la aceleación fuea constante, m m m m m m m m d d d d G G 0 G G m 0 0 F F m m m m G d0 d0 df df 0 0 0 0,7 0,5 0 ms (,5 0 ) a e a,7 0 m s F 0 4. hea y itán son dos satélites de Satuno que tadan, espectiamente, 4,5 y 5, días teestes en ecoe sus óbitas en tono a dicho planeta. Sabiendo que el adio medio de la óbita de hea es 5,7 0 8 m, calcula el adio medio de la óbita de itán y la masa de Satuno. Aplicando la tecea ley de Keple: F A F C 4,5 5, ; 8, 0 m (5,7 0 ) as dos fuezas son la misma: F A F C m 4 4 G m m ; 5,74 0 kg G S S Fco Jaie Coal 05-0
5. Un satélite de comunicaciones está situado en óbita geoestacionaia cicula en tono al ecuado teeste. Calcula: a) adio de la tayectoia, aceleación tangencial del satélite y tabajo ealizado po la fueza gaitatoia duante un semipeiodo. b) Campo gaitatoio y aceleación de la gaedad en cualquie punto de la óbita. a) a fueza de atacción es la fueza centípeta: O m 4 G F F G m G 45km O A C O O O O 4 F A a elocidad del satélite es constante, luego a =0 m s - a aceleación nomal es distinta de ceo. l tabajo es ceo poque los dos puntos están en la misma supeficie equipotencial. b) la gaedad en la óbita es: 5,8 0 g G,7 0 0,m s (4,5 0 ) 4 O. a óbita de lutón en tono al Sol es notablemente excéntica. a elación de distancias máxima y mínima ente su cento y el del Sol es 5/. azonando tus espuestas, calcula la elación ente los aloes en el afelio y en el peihelio de las siguientes magnitudes de lutón: momento angula especto al Sol, enegía cinética y enegía potencial gaitatoia. l momento angula ale lo mismo en todos los puntos de la tayectoia a elación ente las elocidades es m 5 m 5 as enegías cinéticas seán m C C m 5 G m G m 5 7. Un planeta esféico sin atmósfea tiene masa, 0 kg y adio, 0 m. Desde su supeficie se lanza eticalmente un poyectil que llega a alcanza una altua máxima igual a la mitad de su adio antes de ole a cae hacia la supeficie. Con qué elocidad inicial se ha lanzado el poyectil? A qué altua está cuando la elocidad se educe a la mitad? a enegía en la supeficie del planeta y en el punto más alto es la misma: m m A B G m G 0 G G G G 05ms Cuando la elocidad se educe a la mitad, también lo hacemos po enegías: m m 0ms G m G m F A D 0 F h 8,0 0 5 8,0 0 5, 0,05 0 5, 0 4, 0 h 4, 0 m, 0 h, 0 h Fco Jaie Coal 05-0
8. Un sistema estela binaio está constituido po dos estellas de igual masa que se mueen descibiendo una óbita cicula alededo de un punto que se encuenta a medio camino ente ellas (se mueen con la misma elocidad y en todo instante se encuentan en posiciones diametalmente opuestas). Si la distancia ente las estellas es de 0 millones de kilómetos y tadan el equialente a 5 años teestes en descibi una óbita completa, calcula la masa de las estellas. as estellas gian alededo de su cento de masas con un adio de 80 0 m G m 4 4 (80 0 ) G G G (5 5 8400) G CD m CD,40 0 kg uego la masa de cada estella es la mitad, 8 SA 7,0 0 kg *. l Impeio del al petende utiliza como almacén de munición un objeto estela esféico de 0 km de adio y una masa de 0 kg. Calcula: a) el alo de g en su supeficie. b) la elocidad de escape en dicho objeto estela. Se puede utiliza el alo de g=,8 ms -. c) Intepeta los esultados anteioes, en elación con los objetios del Impeio del al. a) g G,7 0 0,4 0 m s X X 4 (0 ) X b) G,7 0 0 5,7 0 m s X SC 4 X 0 8 c) os del Impeio del al tendían algún poblema a la hoa de saca la munición puesto que la elocidad de escape es supeio a la elocidad de la luz. 40. Calcula el tabajo necesaio paa taslada un satélite de 500 kg desde una óbita de adio hasta ota de adio. Si lo que queemos es pasalo desde la óbita infeio a la supeio y que el satélite desciba la óbita supeio, el tabajo es la difeencia ente las enegías totales: 4 G m G m G m,7 0 5,8 0 500 W F 0, 0 J,7 0 Fco Jaie Coal 05-0