7. SISEMAS DE ORDEN MAYOR Lo itema de orden mayor on aquello cuya dinámica e exprea mediante una ecuación diferencial de orden mayor que do, como por ejemplo un proceo de flujo a travé de un itema contituido de tre o má tanque conectado entre í. Si en cada uno de ello la dinámica on de primer orden, entonce la dinámica global del conjunto e de un orden igual o mayor que tre, egún el número total de tanque. Si la variable de alida de uno de lo tanque afecta, en un olo entido, a la variable de alida del iguiente entonce el itema e no interactuante, pero i el efecto e también en el entido contrario entonce el itema e interactuante. 7. SISEMAS NO INERACUANES Proceo de calentamiento de un fluido en cacada Conidéree el itema de tre tanque conectado en erie que e oberva en la Figura 7. donde e realiza un proceo de calentamiento de un fluido, en cacada, que e alimenta por el primero de ello y cuya decarga e alimenta al egundo y aí uceivamente, hata un tercer tanque. Figura 7.. Sitema de tre tanque no interactuante Se deduce del fenómeno que el itema e no interactuante porque la temperatura en el primer tanque afecta a la temperatura en el egundo tanque, pero la temperatura en el egundo tanque no afecta a u vez a la temperatura en el primer tanque porque
8 dede el egundo tanque no hay retroalimentación que afecte a la temperatura en el primer tanque. La relación caua-efecto e un olo entido. Igual comportamiento e oberva entre el egundo y el tercer tanque. Decripción del Proceo de Calentamiento El flujo máico de líquido a travé del itema motrado en la Figura 7. e contante e igual a 5 lb/min. La denidad del líquido e aume contante de 5 lb/pie y el calor epecífico e aume contante de. Btu/lb- F. El volumen de cada tanque e de pie. La temperatura de la corriente de alimentación en etado etacionario e de 6 F. Se pueden depreciar la pérdida de calor al exterior de lo tanque. Se propone el dearrollo de un modelo matemático y la imulación dinámica del itema de lo tre tanque donde e oberve el efecto de perturbar la temperatura de alimentación, i t. Modelo matemático Dominio iempo Un balance de energía en etado no etacionario del fluido a travé del primer tanque e d ρ VC w C - w C t v p i p 7. d ó i 7. Siendo t, variable de alida y i t, variable de entrada. Con planteamiento imilare e obtienen la ecuacione diferenciale que modelan la dinámica del tranporte de calor en el egundo y tercer tanque aí: Segundo tanque: d 7. ercer tanque: d 7.4
9 Siendo lo tanque de un volumen contante e igual a pie y la denidad y el calor epecífico contante e igual en cada uno de lo tanque, la contante de tiempo y la ganancia en cada uno de ello e calculan con la iguiente expreione: ρvcv min 7.5 w C p wc p 7.6 w C p De acuerdo a la ecuacione diferenciale 7., 7. y 7.4, la dinámica de cada uno de lo tanque e lineal de primer orden y el itema e no interactuante. La temperatura en cada uno de ello on la variable de etado del itema. A partir de la ecuación 7. e entiende, por ejemplo, que la temperatura en el egundo tanque e afectada por un cambio en la temperatura en el tanque uno pero la temperatura del primer tanque no e afectada por un cambio en la temperatura del egundo tanque. Igual obervación e deduce de la ecuación 7.4 entre la temperatura del egundo y tercer tanque. Al combinar la ecuacione diferenciale 7., 7. y 7.4 e demuetra que la dinámica del egundo y tercer tanque expreada con repecto a la temperatura de alimentación al primer tanque on de egundo y tercer orden obreamortiguada, repectivamente, aí: Segundo tanque: d d i 7.7 ercer tanque: d d i 7.8
Repueta Dinámica del Proceo de Calentamiento La Figura 7. muetra la repueta del itema de lo tre tanque conectado en cacada donde e realiza el proceo de calentamiento modelado de acuerdo a la ecuacione 7., 7. y 7.4 para un cambio pao en la temperatura de entrada al primer tanque. Figura 7. Repueta Pao del Proceo de Calentamiento No Interactuante Para lo tre tanque e oberva una repueta monotónica etable con un valor último para la temperatura igual en cada uno de ello. El primer tanque muetra una dinámica ma rápida caracterítica de un itema de primer orden, pero el egundo y tercer tanque on de una dinámica má atraada debido a lo do y tre atrao dinámico, repectivamente, en cada uno de ello. El perfil de la repueta para el egundo y tercer tanque muetra la caracterítica forma de S itálica que e hace má notoria con el aumento en el atrao de la repueta La repueta rampa y inuoidal de un itema de orden mayor e dejan como ejercicio para que el etudiante la dearrolle como un ejercicio y concluya obre u caracterítica
Modelo matemático Dominio de Laplace La funcione de tranferencia correpondiente a la ecuacione 7., 7. y 7.4 on repectivamente Primer tanque: i 7.9 Segundo tanque: 7. ercer tanque: 7. Un diagrama de bloque que repreente al itema de lo tanque en el dominio de Laplace e un conjunto de bloque conectado en erie proceando cada una de la funcione de tranferencia y cuya variable de entrada correponden a la variable de alida del anterior Ver figura 7.. Figura 7. Funcione de ranferencia en Serie La figura 7. permite obervar fácilmente la dinámica de egundo y tercer orden obreamortiguada para el egundo y tercer tanque, repectivamente. La función de tranferencia reultante de do o má en erie e la multiplicación de cada una de ella, de tal manera que para ete cao la funcione de tranferencia correpondiente on: Segundo tanque: i ercer tanque: i 7. 7.
Función de ranferencia Matricial Para un itema lineal multivariable -múltiple variable de entrada y alida- el conjunto de la funcione de tranferencia e puede ecribir en una forma ma compacta mediante una ecuación matricial que relaciona al vector de la variable de etado con el vector de la variable de entrada: El arreglo matricial de la funcione de tranferencia 7.9, 7. y 7. e contruye reordenándola como un itema de tre ecuacione lineale con tre incógnita que on la variable de entrada y una variable de entrada de la iguiente manera: i 7.4 La ecuación 7.4 e puede implificar a la forma compacta: H G i 7.5 Siendo y i, lo vectore cuyo elemento on la variable de alida y entrada, repectivamente, G - la invera de una matriz, G, cuyo elemento on la funcione de tranferencia con repecto a cada una de la variable de alida y H una matriz cuyo elemento on la funcione de tranferencia con repecto a cada una de la variable de entrada. El orden de la matriz cuadrada G e igual al número de variable de alida y H e una matriz de n x m, iendo n el número de variable de alida y m el número de variable de entrada. Para el proceo de calentamiento modelado en eta ección la matriz G e de x y H e una de x, porque e tienen tre variable de alida y una variable de entrada.
Modelo matemático Epacio de lo etado Un itema multivariable cuyo modelo en el dominio del tiempo e un conjunto de ecuacione diferenciale lineale e puede ecribir en una forma ma compacta mediante una ecuación matricial que expree la igualdad que relaciona a la rapidece de cambio de la variable de etado con la variable de etado y la variable de entrada. Eta repreentación contituye la ecritura del modelo en la forma del Epacio de lo Etado que ademá, incluye una ecuación matricial algebraica que compacta la repreentación de la variable de alida en función de la variable de etado y de entrada. La repreentación del modelo del proceo de calentamiento en la forma del epacio de lo etado e contruye ecribiendo la ecuacione 7., 7. y 7.4 en forma explícita con repecto a la derivada con repecto al tiempo de cada una de la variable de etado y compactándola en forma matricial de la iguiente manera: t t t t t d t d t d i 7.6 La ecuación 7.6 e puede implificar a la forma compacta: Bu AX X & 7.7 Siendo X & y X, lo vectore cuyo elemento on la derivada de la variable de etado y la variable de etado, repectivamente; A e la matriz cuadrada cuyo elemento on lo coeficiente de lo término lineale de la variable de etado, B e la matriz cuyo elemento on lo coeficiente de lo término lineale de la variable de entrada y u e el vector cuyo elemento on la variable de entrada. El orden de la matriz A e igual al número de variable de etado y B e una matriz de n x m, iendo n el número de variable de etado y m el número de variable de entrada.
4 En la ecritura de un modelo en la forma del Epacio de lo Etado, la ecuación 7.7 e combina con una ecuación algebraica matricial que exprea una relación entre la variable de alida que e quieren reolver con la variable de etado y de entrada de la iguiente forma Y CX Du 7.8 Siendo Y el vector cuyo elemento on la variable de alida y C e una matriz idéntica de orden n x n. Generalmente, la matriz D e introduce cuando e quiere repreentar el cambio en la variable de entrada. En cao contrario u valor e igual a cero. 7. SISEMAS INERACUANES Proceo de calentamiento de un fluido en cacada y con retroalimentación Conidéree el itema de do tanque conectado en erie que e oberva en la Figura 7.4 donde e realiza un proceo de calentamiento de un fluido, en cacada, que e alimenta por el primero de ello y cuya decarga e alimenta al egundo. Ete, a u vez e cargado con una corriente adicional y u decarga e parcialmente retroalimentada al primer tanque Figura 7.4. Sitema de do tanque interactuante
5 Se deduce del fenómeno que el itema e interactuante porque la temperatura en el primer tanque afecta a la temperatura en el egundo tanque y vicevera afecta la del primer tanque porque hay una retroalimentación que afecta a la temperatura en el primer tanque. La relación caua-efecto e en ambo entido. Decripción del Proceo de Calentamiento con Retroalimentación En el proceo de calentamiento de un líquido motrado en la Figura 7.4, la corriente de alimentación al primer tanque e mezcla con un recirculado que e un % de la corriente de alida del egundo tanque y éte e alimenta de una corriente adicional. La temperatura de la corriente de alimentación en etado etacionario on de ºF. Lo volúmene de líquido en lo tanque on contante e iguale a m y m, repectivamente. Se aume que lo flujo volumétrico de la corriente de alimentación al primer y egundo tanque on contante e iguale a m /min y m /min, repectivamente; la denidade y lo calore epecífico on iguale y contante con valore de 5 lb/pie y. Btu/lb- F, repectivamente, y que el calor epecífico a volumen contante e igual al calor epecífico a preión contante. Lo tanque etán bien ailado de tal manera que e conidere que no hay pérdida de calor hacia lo exteriore. Se propone el dearrollo de un modelo matemático y la imulación dinámica del proceo de calentamiento en ambo tanque donde e oberve el efecto de perturbar la temperatura de la corriente de alimentación en el cambio en la temperatura en lo tanque. Modelo matemático Dominio iempo Un balance de energía en etado no etacionario travé del primer tanque e d ρ VC v fρc p. f f ρc p -[ f. f f ] ρc p 7.9 ó d t 7. Se deduce de la ecuación 7. que la temperatura del egundo tanque influye en la temperatura del primer tanque. La expreione para la contante de tiempo y la ganancia on:
6 ρvc v.5min 7. ρc p [ f. f f ] f.75 7. f. f f. f f.5 7. f. f f Un balance de energía en etado no etacionario a travé del egundo tanque e: d ρ VCv [ f. f f ] ρc p f ρc p. f f ρc p 7.4 d ó 7.5 Se deduce de la ecuación 7.5 que la temperatura del primer tanque influye en la temperatura del egundo tanque y vicevera. La expreione para la contante de tiempo y la ganancia on: ρvcv min 7.6.ρC f f p f. 7.7. f f f. f f.666 7.8. f f De acuerdo a la ecuacione diferenciale 7. y 7.5, la dinámica de cada uno de lo tanque e lineal de primer orden y el itema e interactuante, porque la temperatura en el egundo tanque e afectada por un cambio en la temperatura en el primer tanque y vicevera
7 Repueta Dinámica del Proceo de Calentamiento La Figura 7.5 muetra la repueta del itema de lo do tanque conectado en cacada con retroalimentación dede el egundo hata el primer tanque donde e realiza el proceo de calentamiento modelado de acuerdo a la ecuacione 7. y 7.5 para un cambio pao en la temperatura de entrada a ambo tanque de ºF. Figura 7.5 Repueta Pao del Proceo de Calentamiento Interactuante Para lo do tanque e oberva una repueta monotónica etable con un valor último para la temperatura igual en cada uno de ello. El primer tanque muetra una dinámica má rápida que la del egundo tanque. La repueta rampa y inuoidal de un itema de orden mayor e dejan como ejercicio para que el etudiante la dearrolle como un ejercicio y concluya obre u caracterítica La Figura 7.6 muetra la repueta del itema para cuando e perturba con un cambio pao en la temperatura de entrada al primer tanque de ºF manteniendo contante la temperatura de entrada al egundo tanque. La repueta dinámica del primer tanque e má rápida que la del egundo tanque. La Figura 7.7 muetra la repueta del itema para una perturbación pao de ºF en la temperatura de
8 entrada al egundo tanque manteniendo contante la temperatura de entrada al primer tanque. Figura 7.6 Cambio Pao en la emperatura del Primer anque Figura 7.7 Cambio Pao en la emperatura del Segundo anque
9 Modelo matemático Dominio de Laplace La funcione de tranferencia correpondiente a la ecuacione 7. y 7.5 on repectivamente Primer tanque: Segundo tanque: 7.9 7. Un diagrama de bloque que repreente al itema de lo tanque en el dominio de Laplace e un conjunto de bloque conectado en paralelo donde e oberva que la temperatura del egundo bloque e retroalimenta al primero. Ver figura 7.8. Figura 7.8 Diagrama de bloque de un itema interactuante La combinación de la ecuacione 7.9 y 7. permite la obtención de la funcione de tranferencia para la temperatura en cada uno de lo tanque en función de la temperatura de entrada aí:
Primer tanque: 7. Segundo tanque: 7. A partir de la ecuacione 7. y 7. e deduce que la dinámica de la repueta tanto en el primer como en el egundo tanque on de egundo orden con repecto a la variable de entrada. Ademá, muetran que con repecto a una variación en, manteniendo a contante, la dinámica de la repueta en el primer tanque e má rápida que en el egundo porque en la función de tranferencia de con repecto a, e incluye un término en el numerador, e decir, un zero. En forma imilar, e muetra que con repecto a una variación en, manteniendo a contante, la dinámica de la repueta en el egundo tanque e má rápida que en el primero porque en la función de tranferencia de con repecto a, e incluye un término en el numerador, e decir, un zero. Función de ranferencia Matricial El arreglo matricial de la funcione de tranferencia 7.9 y 7. e contruye reordenándola como un itema de do ecuacione lineale con do incógnita que on la variable de entrada y do variable de entrada de la iguiente manera: 7. La ecuación 7. e puede implificar a la forma compacta:
G H U 7.4 Siendo y U, lo vectore cuyo elemento on la variable de alida y entrada, repectivamente, G - la invera de una matriz, G, cuyo elemento on la funcione de tranferencia con repecto a cada una de la variable de alida y H una matriz cuyo elemento on la funcione de tranferencia con repecto a cada una de la variable de entrada. El orden de la matriz cuadrada G e igual al número de variable de alida y H e una matriz de n x m, iendo n el número de variable de alida y m el número de variable de entrada. Para el proceo de calentamiento modelado en eta ección la matriz G e de x y H e una de x, porque e tienen do variable de alida y do variable de entrada. Modelo matemático Epacio de lo etado La repreentación del modelo del proceo de calentamiento en la forma del epacio de lo etado e contruye ecribiendo la ecuacione 7. y 7.5 en forma explícita con repecto a la derivada con repecto al tiempo de cada una de la variable de etado y compactándola en forma matricial de la iguiente manera: d t d t 7.5 La ecuación 7.5 e puede implificar a la forma compacta de un modelo en el epacio de lo etado: X & AX Bu 7.6 Y CX Du 7.7 Lo ímbolo utilizado en la ecuacione 7.6 y 7.7 on lo empleado en la ecuacione 7.7 y 7.8 con el mimo ignificado. Para el proceo de
calentamiento con retroalimentación, X & y X, on vectore x porque la variable de etado on tre, A y B on matrice cuadrada de x porque on do la variable de entrada y u e un vector de x, Y e un vector de x cuyo elemento on la variable de alida y C e una matriz idéntica de x. La matriz D e introduce cuando e quiere repreentar el cambio en la variable de entrada. En cao contrario u valor e igual a cero. 7. MALAB: FUNCIONES DE RANSFERENCIA EN SERIE Matlab dipone del comando erie para hallar la función de tranferencia generalizada de do funcione de tranferencia en erie. Ete comando realiza la multiplicación de do funcione de tranferencia, expreada en modelo LI. La intaxi del comando erie e H erie h, h Lo argumento del comando on funcione de tranferencia que pueden expreare en cualquiera de la forma poible en Matlab. 7.4 MALAB: SOLUCION DE LOS MODELOS La repueta pao del itema de calentamiento con tre tanque no interactuante e dearrolla en el dominio del tiempo con lo archivo nointertime.m y olnointertime.m. Lo archivo nointerlap.m y nointermatriz.m olucionan el modelo en el dominio de Laplace utilizando, en el primero, la funcione de tranferencia en cada uno de lo tanque en erie y, en el egundo, la forma matricial de la función de tranferencia. El archivo nointer.m e la olución expreando el modelo en la forma del epacio de lo etado Para la repueta pao del itema de calentamiento con do tanque interactuante e procede de manera imilar con archivo para olucionar el modelo en el dominio del tiempo, Laplace y epacio de lo etado con lo nombre intertime.m, olintertime.m, intermatriz.m y inter.m En la ección.8 e incluyen lo código de lo archivo mencionado en la ección anterior y e deja como ejercicio para el etudiante la reviión de ello y la contrucción de lo correpondiente para la obtención de la repueta rampa y inuoidal para tanto el itema no interactuante como el interactuante
.8 MALAB - PROGRAMAS CODIFICADOS Archivo nointertime.m function dy nointertimet,y global i rho V Cv Cp w tau tau tau dy [*i - y/tau; *y - y/tau; *y - y/tau]; Archivo olnointertime.m function f olnointertimet,y global i rho V Cv Cp w tau tau tau Rango Inicio rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen de lo tanque, pie '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; w input'flujo maico, lb/min '; i input'valor de i, F '; Rango input'intervalo de tiempo '; Inicio input'condicione iniciale '; Cp Cv; tau rho*v*cv/w*cp tau tau tau tau w*cp/w*cv [t,y] ode45'nointertime', Rango, Inicio; plott,y Archivo nointerlap.m function f nointerlapt, global rho V h Cv Cp w tau tau tau rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen de lo tanque, pie '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; w input'flujo maico, lb/min '; t input'iempo de Simulacion, min '; Cp Cv; tau rho*v*cv/w*cp tau tau tau tau w*cp/w*cv h [ ]
4 h input'cao a imular '; witch h cae x tf[], [tau ]; tepx,t xlabel'iempo', 'FontSize', 4 ylabel'emperatura', 'FontSize', 4 title'repueta', 'FontSize', 4 cae x tf[], [tau ]; x tf[], [tau ]; x eriex,x; tepx,t; hold on tepx,t; xlabel'iempo', 'FontSize', 4 ylabel'emperatura', 'FontSize', 4 title'repueta Pao', 'FontSize', 4 cae x tf[], [tau ]; x tf[], [tau ]; x tf[], [tau ]; x eriex,x; x eriex,x; tepx,t; hold on tepx,t; tepx,t; xlabel'iempo', 'FontSize', 4 ylabel'emperatura', 'FontSize', 4 title'repueta Pao', 'FontSize', 4 end Archivo nointermatriz.m function f nointermatrizt, global n m rho V Cv Cp w tau tau tau g g g g g g g g g G h h h H GH n input'numero de variable de etado '; m input'numero de variable de entrada '; rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen de lo tanque, pie '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; w input'flujo maico, lb/min '; t input'iempo de Simulacion, min '; Cp Cv;
5 tau rho*v*cv/w*cp tau tau tau tau w*cp/w*cv g ; g ; g ; g tf[-],[tau ]; g ; g ; g ; g tf[-], [tau ]; g ; G [g g g; g g g; g g g] h tf[],[ ]; h ; h ; H [h; h; h]; GH 7*invG*H tepgh,t figure [y,t] tepgh,t; plott,y Archivo nointer.m function f nointert, global n m rho V Cv Cp w tau tau tau a a a a a a a a a A b b b B C D n input'numero de variable de etado '; m input'numero de variable de entrada '; rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen de lo tanque, pie '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; w input'flujo maico, lb/min '; t input'iempo de Simulacion, min '; Cp Cv; tau rho*v*cv/w*cp; tau tau; tau tau; w*cp/w*cv; ; ; a -/tau;
6 a ; a ; a /tau; a -/tau; a ; a ; a /tau; a -/tau; A [a a a; a a a; a a a] b /tau; b ; b ; B [b; b; b] C [ ; ; ] D gh 7*A,B,C,D; tepgh,t figure [y,t] tepgh,t; plott,y Archivo intertime.m function dy intertimet,y global f f rho V V Cv Cp tau tau dy [* *y- y/tau; * *y - y/tau]; Archivo olintertime.m function f olintertimet,y global f f rho V V Cv Cp tau tau Rango Inicio rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen del primer tanque, pie '; V input'volumen del egundo tanque, pie '; f input'flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie/min '; f input'flujo volumetrico de entrada al egundo tanque, pie/min '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; input'emperatura de la corriente de entrada al primer tanque, F '; input'emperatura de la corriente de entrada al egundo tanque, F '; Rango input'intervalo de tiempo '; Inicio input'condicione iniciale '; Cp Cv; tau rho*v*cv/rho*cp*f.*f f tau rho*v*cv/.*rho*cp*f f f/f.*f f f/.*f f
7.*f f/f.*f f f.*f f/.*f f [t,y] ode45'intertime', Rango, Inicio; plott,y Archivo intermatriz.m function f intermatrizt,y global n m f f rho V V Cv Cp tau tau g g g g G h h h h H GH n input'numero de variable de etado '; m input'numero de variable de entrada '; rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen del primer tanque, pie '; V input'volumen del egundo tanque, pie '; f input'flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie/min '; f input'flujo volumetrico de entrada al egundo tanque, pie/min '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; input'emperatura de la corriente de entrada al primer tanque, F '; input'emperatura de la corriente de entrada al egundo tanque, F '; t input'iempo de Simulacion, min '; Cp Cv; tau rho*v*cv/rho*cp*f.*f f tau rho*v*cv/.*rho*cp*f f f/f.*f f f/.*f f.*f f/f.*f f f.*f f/.*f f g ; g tf[-],[tau ]; g tf[-], [tau ]; g ; G [g g; g g] h tf[],[tau ]; h ; h ; h tf[],[tau ]; H [h h; h h]; GH invg*h*[; ] tepgh,t Archivo inter.m function f intert, global n m f f rho V V Cv Cp tau tau a a a a A h h h h H GH
8 n input'numero de variable de etado '; m input'numero de variable de entrada '; rho input'valor de la denidad, lb/pie '; V input'volumen del primer tanque, pie '; V input'volumen del egundo tanque, pie '; f input'flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie/min '; f input'flujo volumetrico de entrada al egundo tanque, pie/min '; Cv input'calor epecifico a volumen contante, Btu/lb- F '; input'emperatura de la corriente de entrada al primer tanque, F '; input'emperatura de la corriente de entrada al egundo tanque, F '; t input'iempo de Simulacion, min '; Cp Cv; tau rho*v*cv/rho*cp*f.*f f tau rho*v*cv/.*rho*cp*f f f/f.*f f f/.*f f.*f f/f.*f f f.*f f/.*f f a -/tau; a /tau; a /tau; a -/tau; A [a a; a a] b /tau; b ; b ; b /tau; B [b b; b b] C [ ; ] D gh A,B,C,D; gh gh*[; ]; tepgh,t