Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA-PRIMER AÑO REVISIÓN INTEGRADORA Construcciones con regla no graduada y compás A) Reproduce la siguiente figura, luego trace las bisectrices de los ángulos ACD y BCD. Qué ángulo forman las bisectrices? B) Construir un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida 8 unidades. Ubicar luego el baricentro del triángulo construido. C) Construir dos triángulo ABC rectángulo en B, de área 6 y AC = 6 unidades. D) Construir la circunferencia inscripta en un triángulo de lados 4, 10 y 8 unidades respectivamente. E) Construir la circunferencia circunscripta en un triángulo ABC (AB = BC = 10 unidades, A B C = 30º ) F) A continuación se muestra un arco de la circunferencia C y un punto A exterior a la misma, se pide: f 1 ) Ubicar un punto B en la circunferencia C de manera tal que el triángulo ABO sea isósceles (AB = OB, siendo O el centro de la circunferencia C). f ) Ubicar un punto D en la circunferencia C de manera tal que el triángulo ADO sea rectángulo en D. 1
1) Resolver las siguientes ecuaciones en Q: 3 1 + x + 1 x x + 3 = x + a) x + = x ( x 3) b) ( ) ( ) ( ) x c) 5 ( x + 1) = ( x + ) ( 1 x) d) 1 3 x x = 0 e) 36 + x = 1,3. 3 5 3 f) 0,3 = 6 x + 5 5 3 g) ( x 4) ( x + 1) = 0 h) ( x 1) x = ( 1 x ) i) (,34x 1) ( ) = 16 j) ( 3x ) = 16 4 1 3 k) x = + 0,9 5 x 3 x x 3 = ll) 1, 3x + 0, 3x = 0 1 o) 0, 9x + 0, 16x = x 5 l) ( ) ( ) 0 p) ( x )( 4)( x + ) = x 4( x + 3) q) ( )( )( ) ( ) x 5 x + 3 = 7x x + 1 ) P es un punto interior del AO B tal que : AP = PB, PA OA, PB OB. Justificar que OP es la mediatriz de AB, y que OP es bisectriz del AO B. 3
3) Sea AB C un triángulo tal que AB = AC. Por A se trazan las perpendiculares a AB y AC que cortan a BC en los puntos M y N respectivamente. a) Realizar el dibujo que muestre la situación b) Justificar que el triángulo M A N es isósceles. Sobre los lados AB y AC de un triángulo ABC, se construyen triángulos equiláteros ABC y ACB. Demostrar que los segmentos BB y CC tienen la misma longitud. 4) Aldo y Bruno están viendo una carrera de bicicletas que se desarrolla en una pista circular. Aldo le dice a Bruno: Hay sólo una bicicleta blanca. Bruno le pregunta: Cuántas bicicletas corren? Aldo le responde: Si sumás la tercera parte de las bicicletas que están delante de la bicicleta blanca, con las tres cuartas partes de las que están detrás, hallarás el total. Cuántas bicicletas participan en la carrera? 5) A la escuela, la mitad de los chicos va en micro. De los restantes, las tres cuartas partes van en auto; los demás, caminan. La mitad de los que caminan viven a 5 cuadras de la escuela; los restantes están a cuadras. Hoy no faltó nadie y si sumamos las cuadras recorridas por todos los que caminaron, la suma es 11. Cuántos chicos hay en la escuela? 6) La mdida del lado de un cuadrado es x. La altura de un rectángulo supera en una unidad a x y su base es dos unidades menor que la altura. Calcular los perímetros del cuadrado y del rectángulo sabiendo que la suma de las áreas es 49. 8) a) Siendo AD // CE, α = 3, β = 78. Calcular γ. 4
b) Siendo a // b, c // d, α = x + 35, β = x 15. Calcular γ. 9) Calcular la medida del BC A, sabiendo que SM // BC y AC = CS 10) Sea AB C un triángulo tal que AB = AC. Por A se trazan las perpendiculares a AB y AC que cortan a BC en los puntos M y N respectivamente. a) Realizar el dibujo que muestre la situación. b) Justificar que el triángulo M A N es isósceles. 11) En al figura c d, a // b. Justificar que α y β son complementarios. 5
1) En una semicircunferencia de centro O y diámetro AB, se marca el punto C de modo que C A B = 30. Si el arco AC tiene 50,4 cm de longitud, se pide: a) Dado el segmento AB construir la figura utilizando regla no graduada y compás b) Calcular el área de la región limitada por el arco AC y el segmento AC. 13) ABCD es un paralelogramo. La bisectriz de B corta al lado AD, en el punto E y la bisectriz de D corta al lado BC en M. Demostrar que BMDE es paralelogramo. 14) En al figura ABCD es un cuadrado. MP está incluido en la mediatriz de BC y BM = 3cm. El perímetro del triángulo C P es 16 cm. B a) Calcular el área de la superficie sombreada. b) El triángulo BC P es rectángulo? 6
15) Los segmentos AB y DE, son perpendiculares al segmento AE. Sabiendo que AB = 6cm DE = 4cm, AE = 10cm.Si uno de los segmentos BC o CD, mide 5 cm. Cuál es la longitud del otro segmento? 16) Sabiendo que c // d, e d, y b a. Calcular α, β, γ y δ. 17) Calcular el perímetro de un trapecio isósceles sabiendo que la base mayor mide 6 cm más que el triple de la base menor, que la altura es 3 cm, y los lados iguales miden 4 cm más que la base menor. 18) En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo, y AB = BC = CD = DA. Calcular la medida de α y β.justificar la respuesta. 7.
19) Calcular el área del rectángulo ABCD: 0) Calcular la amplitud de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD, sabiendo que α = 70 y β = 50. 1) El trapecio ABCD, es isósceles, sabiendo que α = x + 60 y β = x + 0. Calcular la amplitud de los ángulos interiores del trapecio. ) En la figura EB ND y NM es bisectriz de menor que el ángulo M F D 8 M. Si M N D 51º, calcular la amplitud de M E P. = y M E P es 54 º
M E P B N F D 3) Observando la figura y teniendo en cuenta los datos que se dan a continuación: C 1 : circunferencia de centro O y radio: 5 cm C : circunferencia que pasa por los puntos A, B, C y O. FD : diámetro de la circunferencia C 1 O BC = 70º, se pide: a) Determinar la amplitud del ángulo θ. b) Determinar FE y el área del triángulo F D E, siendo: ED 3 =. FE. 4 9
4) Ximena y Yanina son promotoras de una marca de bombones y convidan a los clientes de un supermercado. El último domingo, Ximena repartió 440 bombones, de los cuales 153 eran dietéticos. De los bombones que ese día repartió Yanina, las /5 partes eran dietéticos. Del total de bombones que repartieron Ximena y Yanina ese domingo, el 37,5% eran dietéticos. Determinar cuántos bombones repartió Yanina. 5) Juan compra un BlackBerry. Si lo paga al contado le hacen el 15% de descuento. Si lo paga en 1 cuotas se incrementa un 10% el precio, pagando por cada cuota $ 110. Cuánto paga por el BlackBerry si lo compra al contado? 6) Sabiendo que el triángulo D E C es equilátero; AB = AC y C A B =.A C B + 40º. a) Hallar la amplitud del ángulo E C B. b) Si el perímetro del triángulo D E C es 1. Determinar de manera aproximada el área del mismo 7) El 5% de la soja que produce Brasil se utiliza para preparar alimentos balanceados. El 80% de la producción de alimentos balanceado se destina para engorde de ganado porcino. Si en 011 se utilizaron para engorde de ganado porcino 41000 toneladas de alimento balanceado. Cuántas toneladas de soja se cosecharon en Brasil ese año? 10
RESPUESTAS 1 1) a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x = 0 ó x = 3; e) x = 8 ó x = 8 8 55 1 f) x = ; g) x = ó x = ó x = 1 ; h) x = ; i) No tiene solución 98 3 10 1 j) x = ó x =, k) x = 1 ó x = 0 ; l) x = 3 ó x = 5 ; ll) x = 0 x = 3 4 6 o) x = 0 o x = 1/30 p) x = q) x = 3 11 4) 13 bicicletas 5) 56 chicos. 6) Perímetro del cuadrado y del rectángulo: 0. 8) a) γ = 110 b) γ = 65 9) B C A = 0 1) 353,47 cm 14) a) 4 ; b) No pues 5 + 5 6 15) 9, cm 16) α = 60, β = 60, γ = 30 y δ = 10 17) 0 cm 18) α = 50 ; β = 90 19) 48 0) = A C = 90 B = 10 D = 60 1) x = 66 40 B C = 153 0 A D = 6 40 ) 4 º = = 3) a) θ = 40º b) FE = 8 cm área ( F D E ) = 4 4) 480 bombones 5) $ 100 6) a) E C B = 85º b) 6,93 7) 05000 toneladas de soja 11