Caso 2 Referencia disina de cero r() ¹ 0 2.b: Diseño de servosisemas de Tipo para planas ipo uno (la plana iene un inegrador). Fernando di Sciascio (206)
Diseño de Servosisema de Tipo Cuando la Plana es Tipo (iene un Inegrador) Para planas con un polo en el origen (ipo uno o con inegración) se mejora el rechazo a perurbaciones adicionando realimenación de la salida con conrol proporcional (no hace fala agregar acción inegral porque ya la plana la iene). El comporamieno es similar al anerior (conrol inegral en planas ipo cero. G n n- Ys () bs n + bn- s + + bs + b0 cl() s = = Us () n n- s + an- s + + as a 0 = 0
Diseño de servosisema de Tipo para planas Tipo Se iene una plana Tipo (con un polo en el origen) G n n- bs n + bn- s + + bs + b0 cl() s = n n- s + an- s + + as a 0 = 0 Se pasa al modelo en EE en la forma Canónica Conrolable (FCCb) para que la salida coincida con uno de los esados. Observar que y()=x ()
Diagrama de Esado del modelo en la FCCb
Las dos Formas Canónicas Conrolables ienen la misma mariz A y difieren en B y C Ejemplo para comparar las dos formas canónicas conrolables Gs () 2s3 + s2 + s+ 2 3 2 = s + 4s + 5s + 2 é 0 0ù é0ù Acc = 0 0, B 0 cc, C é 2 9 7 ù cc, D é 2ù = = - - - cc = ëê ûú ë û 2 5 4 ê- - - ë úû êë úû é 0 0ù é 7 ù - Acc2 = 0 0, B cc2 9, C é cc2 0 0 ù, D é cc2 2ù = = ê ú = ë û ë û -2-5 -4-43 êë úû êë úû
En ese sisema se uiliza el siguiene esquema de conrol mediane realimenación del esado (indirecamene ambién de la salida que es el esado x ).
Para una plana Tipo uno el efeco de ese esquema es muliplicar el vecor B por k
El esquema de conrol de la figura anerior es el siguiene: éx() ù x2() u () =- [0 k2 kn ] + k(() r - x()) =- Kx () + kr () xn() êë úû Donde K = k k 2 k n [ ] x () = Ax() + Bu() = ( A- BK) x() + Bk r() x () = ( A- BKx ) () + Bkr () Para una plana Tipo uno el efeco de ese esquema es muliplicar el vecor B por k Eso es de la misma forma que lo anerior. Se calcula K con alguno de los méodos visos aneriormene.
Análisis del esado esacionario x ( ) = ( A- BK) x( ) + Bk r( ) x ( ) = 0 = ( A- BK) x( ) + Bk r x () - x ( ) = ( A-BK) éx ()- x( ) ù ë û x ()- x( ) = e () Dinámica del error: e () = ( A-BKe )() La solución de esa ecuación diferencial es una exponencial decreciene ya que la pare real de los auovalores de A-BK es negaiva. Eso significa que: e ( ) = 0 e( ) = 0
Ejemplo: Gs () = = ss ( + )( s+ 2) 3 2 s + 3s + 2s Se calcula (A,B,C,D). é ù é ù 0 0 0 A = = 0 0, B 0, C = [ 0 0] ê0-2 -3 ë úû ê ë úû Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son: El polinomio caracerísico deseado es: 2 3 2 P ( s) = ( s + 4s + 6)( s + 0) = s + 4s + 56s + 60 cd l =-2 j2 3, l =-0,2 3
El polinomio caracerísico de la plana a lazo cerrado es: é ù é ù é ù s 0 0 0 0 0 ú si - A + BK = - + úé ù 0 s 0 0 0 0úëê k k2 k3ú û ê0 0 s ë úû ê0-2 - 3 ë úû ê ë úû 3 2 = s + ( k + 3) s + ( k + 2) s + k 3 2 Igualando ambos polinomios 3 2 3 2 s + ( k3 + 3) s + ( k2 + 2) s + k = s + 4s + 56s + 60 Polinomio caracerísico de la plana a lazo cerrado Polinomio caracerísico deseado ìï k3 + 3 = 4 k = 60 ï ík2 + 2 = 56 k2 = 54 ïk = = ïî 60 k3 K = é ù ê 60 54 ë ú û
u =- é + ù + é - ù êk ë 2x2() k3x3() ûú k ë r() x() û =- Kx() + k r() u =- é ù ê60 54 ú x( ) + 60 r( ) ë û A é ù é ù é ù 0 0 0 0 0 - BK = - = 0 0 0 [60 54 ] 0 0 ê0-2 -3 ë úû ê ë úû ê-60-56 -4 ë úû
x () = ( A- BKx ) () + Bkr () é ù é ùé ù é ù x ( ) 0 0 úê x( ) 0 = úê + x 2( ) 0 0 úêx2( ) 0 r( ) úê êx ë 3( ) úû ê-60-56 -4 ë úêx ûë 3( ) úû ê-60 ë úû é ù x() y () = [ 0 0] x2() êx ë 3() úû
% Realimenación de los esados y de la salida (sin inegración) de planas ipo clear, clc, close all G=f([],[ 3 2 0]); sys=ss(g); [A,B,C,D]=ssdaa(sys); [A,B,C,D]=ss2ccb(A,B,C,D); %Conviere a la FCCb Pcd=[ 4 56 60]; %Polinomio caracerísico deseado % a lazo cerrado Gd=f(Pcd(end),[ 4 56 60]); K=[60 54 ]; disp(['k =' ma2sr(k)]) Acl=[A B*K]; Bcl=B*K(); Ccl=C; ss_cl=ss(acl,bcl,ccl,0); sep(gd,ss_cl) Simulación de la scrip
Análisis del comporamieno ane perurbaciones
% Realimenación de esados y salida de planas ipo % Simulación de la respuesa al escalón y a perurbaciones en los esados y % en la salida clear, clc, close all G=f([],[ 3 2 0]); sys=ss(g); [A,B,C,D]=ssdaa(sys); % Hay que pasar a la FCCb para que C=[ 0 0...] [A,B,C,D]=ss2ccb(A,B,C,D); Bp=[ 0 0]'; Pcd=[ 4 56 60]; %Polinomio caracerísico deseado a lazo cerrado Gd=f(Pcd(end),[ 4 56 60]); K=[60 54 ]; disp(['k =' ma2sr(k)]) sys=ss(a B*[0 K(2:end)],B,C,0); sys_cl=feedback(k()*sys,); % Para la perurbación en la enrada sysp=ss(a B*K,B,C,0); sysp_cl=feedback(sysp,k()); %Para la perurbacion en la salida syspo=sys;syspo_cl=feedback(,sys*k()); % Se simulan las salidas a las res señales (r(), ps() y po()) se suman % (por superposición) y se grafican =linspace(0,7,400);r=ones(,400); ps=[zeros(,400) ones(,000)];po=.*[zeros(,800) ones(,600)]; yr = lsim(sys_cl,r,);yps = lsim(sysp_cl,ps,);ypo = lsim(syspo_cl,po,); plo(,ones(,400),,yr+yps+ypo); axis([0 7 0.4])
Caso 2 Referencia disina de cero r() ¹ 0 2.c: Diseño de servosisemas de Tipo para planas ipo cero. Fernando di Sciascio (206)
Diseño de Servosisema de Tipo Cuando la Plana NO Tiene un Inegrador Para planas ipo cero como la que esamos analizando se elimina el error en esado esacionario y se mejora el rechazo de las perurbaciones adicionando acción inegral. Plana a lazo abiero a conrolar ì ï x () = Ax () + Bu () í ï y () = Cx () ïî e () = r ()- y () = r ()-Cx ()
El inegrador adiciona un nuevo esado x n+ () (polo) al sisema. x () e() r() Cx() n+ = = - Con el objeivo que x x () d ed () 0 = ò = ò n+ n+ Se define el vecor de esado ampliado x () x () é x() ù x2() é x () ù = ê ú = êx () ú n+ xn() êë ú ê ú û êx ë n+ () ú û
Obenemos la ecuación de esados ampliada agrupando los esados del sisema x () = Ax () + Bu () x () =- Cx() + r() n+ é x () ù é A A2 A 0 ùé n x() ù éb ù é 0ù úê x 2() A2 A22 A2 n 0 úê x2() B úê 2 0 úê = úê + u ( ) + r ( ) xn() An An2 Ann 0 úê xn() B úê n 0 úê êx () ú ê-c -C -C 0 úêx () ú ê 0 ú ê ë úû ë n+ û ë 2 n ûë n+ û ë û Ecuación de esados ampliada é x () ù é A 0 ùé n x () ù ébù é0 ù úê u n () r () xn+ () = + + -C 0 úêxn+ () 0 ê ë úû êë úê ûë úû êë úû êë úû
Obenemos la ecuación de salida en función del vecor de esados ampliado é x () ù y () = Cx () = Cx () + 0 xn+ () = éc 0ùê ê ë ú û xn+ () ê ë ú û é x () ù y () = éc 0ùê ë ê û ú xn+ () ê ë ú û agrupando la ecuación de esados ampliada con la ecuación de salida se obiene las ecuaciones del sisema en forma vecorial-maricial. ìé ï x () ù é A 0 ùé n x () ù ébù é0 ù ïê u n úê () ï ê r () xn+ () = C 0 úê xn+ () + 0 + ïê - ï ë ú ê úê ú ê ú ê ú í û ë ûë û ë û ë û é x () ù y () = éc 0ùê ê ï ë úê û xn+ () ïî êë úû
El conrolador es: éx() ù x2() u() =- Kx() + kn+ xn+ () =- ék k2 k ùê ê n + kn xn () ë úê û + + xn() êë úû é x () ù =-kx () -kx 2 2() - - knxn() + kn+ xn+ () =-ék k ùê ê - ë n+ úê û xn+ () ê ë ú û é x () ù u () =-ék -k ùê ëê n+ ûúê xn+ () ê ë ú û reemplazando la acción de conrol en la ecuación de esados ampliada é x () ù é A 0 ùé n x () ù ébù é0 ù úê u n () r () xn+ () = + + -C 0 úêxn+ () 0 ê ë úû êë úê ûë úû êë úû êë úû
obenemos é x () ù é( A- BK) k Bùé x () ù é0 ù n+ úê n xn+ () = + -C 0 úêxn+ () ê ú ê úê ú ê ú ë û ë ûë û ë û r () agrupando con la ecuación de salida se obiene las ecuaciones del sisema a lazo cerrado en forma vecorial-maricial. ïìé x () ù é( A- BK) k Bùé x () ù é0 ù ïê n+ n úê ï ê xn+ () = + -C 0 úê xn+ () ïê ú ê úê ú ê ú ï í ë û ë ûë û ë û é x () ù y () = éc 0ùê ê ï ë úê û xn+ () ïî ëê ûú r ()
ìé ï x () ù é( A- BK) k Bùé x () ù é0 ù ïê n+ n úê ï ê xn+ () = + -C 0 úê xn+ () ïê ú ê úê ú ê ú ï ë û ë ûë û ë û í é x () ù y () éc 0ùê = ï ê ë ú û xn+ () ïî ëê úû r () En forma compaca: ì x = A x () + B r() ï cl cl í ï y () = C x () ïî cl Con: é x () ù é( A- BK) kn Bù é0 ù + n x =, A cl, B cl, Ccl xn+ () = = C 0 ê - ë úû êë úû êë úû = é ê C ë 0ù ú û
Para deerminar K y k n+ se iguala el polinomio caracerísico del sisema con el deseado. si - A = P () s cl æ é ùö ( A- BK) k n+ B ú de ç si - = P ( ) çè ê - 0 ú ú c s C ë û ø Se igualan los coeficienes de igual poencia de la ecuación anerior, se obienen (n+) ecuaciones con las (n+) incógnias k, k 2,, k n, k n+. Se puede demosrar que el sisema de ecuaciones anerior siempre iene solución, eso es, el conjuno de parámeros del conrolador k, k 2,,k n, k n+ permien asignar los auovalores (polos) del sisema a lazo cerrado arbirariamene. La única resricción para no perder la conrolabilidad del sisema ampliado es que la plana original no debe ener un cero en el origen que cancele el inegrador que colocamos. c
Ejemplo: Gs () = s 2 3 2 + 2s + s + 2s + 2s + ì é 0 0ù é0ù ï ïx () = - - - x () + u () í ê 0 0 - ë ú û ê ë ú û = é ù ï y () î ë 0 û x () 2 4 3 2 P ( s) = ( s + ) ( s + 4)( s + 0) = s +6 s +69 s +94s+40 cd Se ha incremenado el orden del polinomio caracerísico deseado por que se ha incremenado el número de esados. é s - 0 0 ù + + + k k2 s k3+ -k4 4 3 2 de = s +6 s +69 s +94s+40 k k2 k3 + s + -k4 ê 0 s ë úû
é s - 0 0 ù + + + k k2 s k3+ -k4 de = k k2 k3 + s + -k4 ê 0 s ë úû 4 3 2 2 3 3 4 3 4 4 s + ( k + k + 2) s + ( k + k + k + 2) s + ( k + 2k + ) s + k 4 3 2 2 3 3 4 3 4 4 s + ( k + k + 2) s + ( k + k + k + 2) s + ( k + 2k + ) s + k = 4 3 2 s +6 s +69 s +94s+40
4 3 2 2 3 3 4 3 4 4 s + ( k + k + 2) s + ( k + k + k + 2) s + ( k + 2k + ) s + k = 4 3 2 s +6 s +69 s +94s+40 Se igualan los coeficienes de igual poencia de la ecuación anerior, se obienen 4 ecuaciones con las 4 incógnias k, k 2, k 3, k 4. ì k2 + k3 = 4 k + k3 + k4 = ï í k + = 3 2k4 93 ï k = ïî 4 40 67 ìï k k ï í k ïk ïî 2 3 4 = = = = 4 3 40
La respuesa dinámica es la deseada y el error de esado esacionario es cero como en el caso de la precompensación. La diferencia esa en el comporamieno ane perurbaciones.
%Scrip de la simulación anerior clear, clc, close all A=[0 0; ; 0 0 ]; B=[0 ]'; C=[ 0 ]; D=0; x0=[0 0 0 0]'; K=[4 3]; k4=40; Bp=[ 0 0]'; % k4 es kn+ Acl=[A B*K B*k4; C 0]; Bcl=[zeros(lengh(B),) Bp; 0]; Ccl=[C 0]; Dcl=0; ss_cl=ss(acl,bcl,ccl,dcl); ss_ol=ss(a,b,c,d); =linspace(0,0,000); r=ones(,000); p=zeros(,000); u=[r; p]'; [ycl,] = lsim(ss_cl,u,); yol = lsim(ss_ol,r,); plo(,ones(,000),,ycl,,yol)
Análisis ane perurbaciones de planas ipo cero con realimenación de esados y acción inegral Las perurbaciones pueden enrar al sisema por diversos punos, por ejemplo, como indica la figura, por la enrada p i (), por los esados p s () o por la salida p o (). Las perurbaciones son enradas exernas escalares y Bp es un vecor columna de dimensión n (la misma dimensión que B). En odos los casos el efeco de adicionar el inegrador es el mismo.
El análisis para una perurbación en la enrada es más sencillo. El sisema se puede represenar de la siguiene manera. Gs () = Cadj( si - A + BK) B si - A + KB Suponemos que G(s) es de ipo cero y sin ceros en el origen (G(0) 0).
Aplicando el principio de superposición se calcula la salida del sisema k () skn G() s n+ G s + Ys () = Yr() s + Yp() s = Rs () + Ps () s + k G() s s + k G() s Para referencia y perurbación escalón uniarios. y r n+ n+ k G() s sk G() s ( ) = lim =, ( ) = lim = 0 s k G() s s k G() s n + n+ yp s 0 + s 0 n+ + n+ y ( ) = y ( ) + y ( ) = + 0 = r p En esado esacionario para referencia y perurbación escalón, la salida sigue a la referencia y la perurbación se aenua oalmene. Observar que ese análisis es más engorroso si lo realizamos con modelos de esados ya que hay que uilizar las fórmulas para inerconexión de bloques serie y feedback que son mucho más complicadas.
El resulado anerior se verifica ambién para perurbaciones en los esados o en la salida. La perurbación p s () es una enrada exerna escalar, Bp es un vecor columna de dimensión n (la misma dimensión que B) Tenemos dos enradas independienes, r() y p() é x () ù é( A- BK) k Bùé x () ù é0 ù éb ù () ps () ë û ë ûë û ë û ë û n+ úê n p r xn+ () = + + -C 0 úêxn+ () 0 ê ú ê úê ú ê ú ê ú
Las enradas se agrupan de la siguiene manera: é 0 ù é n B ù é p 0 n B ùé p r () () ( ) ù r ps úê + 0 = 0 úêps ( ) êë úû êë úû êë úê ûë úû ìé ï x () ù é( A- BK) k Bùé x () ù é0 B ùér () ù ïê n+ n p úê úê ï ê xn () = + + -C 0 úê xn+ () 0 úê ps() ïê ú ê úê ú ê úê ú ï ë û ë ûë û ë ûë û í é x () ù y () éc 0ùê = ï ê ë ú û xn+ () ïî êë úû
En forma compaca: con: ì x = A x () + B u() ï cl cl í ï y () = C x () ïî cl é x () ù ér () ù x () =, u() xn+ () = p() êë úû êë úû éa- BK kn Bù é0n B ù + p Acl =, B cl, C é cl C 0ù = = -C 0 0 ê ë ú û êë úû êë úû
Las funciones de ransferencia son: G () s r é 0 Ccl adj( si - Acl ) Y () r s ê = = ë Rs () si- A cl n ù úû G p () s éb Ccl adj( si - Acl ) Yp() s ê 0 = = ë Ps () si- A cl p ù úû No es fácil de ver, pero esas funciones de ransferencia verifican que: G r () () (0) = Yr s Yp s, Gp(0) 0 Rs () = = Rs () =
Ejemplo (coninuación): Gs () = s 2 3 2 + 2s + s + 2s + 2s + ì é 0 0ù é0ù ï ïx () = - - - x () + u () í ê 0 0 - ë ú û ê ë ú û = é ù ï y () î ë 0 û x () 2 4 3 2 P ( s) = ( s + ) ( s + 4)( s + 0) = s +6 s +69 s +94s+40 cd é ù Bp = 0 0 êë úû El cálculo de las ganancias da: K = [4 3], k = 40 4 % k4 es kn+
El cálculo de las ganancias se realiza con la siguiene scrip: clear, clc, close all clear, clc, close all A=[0 0; ; 0 0 ]; B=[0 ]'; C=[ 0 ]; D=0; x0=[0 0 0 0]'; K=[4 3]; k4=40; Bp=[ 0 0]'; % k4 es kn+ Acl=[A B*K B*k4; C 0]; Bcl=[zeros(lengh(B),) Bp; 0]; Ccl=[C 0]; Dcl=0; ss_cl=ss(acl,bcl,ccl,dcl); G=minreal(zpk(ss_cl));G(),G(2) r() 40 Gr() s = Y s = yr( ) = Gr(0) = Rs () s 0 s 4 ( + ) ( + ) Yp() s s Gp() s = = yp( ) = Gp(0) = 0 Ps () s 0 s 4 ( + ) ( + )
%Scrip de la simulación siguiene clear, clc, close all A=[0 0; ; 0 0 ]; B=[0 ]'; C=[ 0 ]; D=0; x0=[0 0 0 0]'; K=[4 3]; k4=40; Bp=[ 0 0]'; % k4 es kn+ Acl=[A B*K B*k4; C 0]; Bcl=[zeros(lengh(B),) Bp; 0]; Ccl=[C 0]; Dcl=0; ss_cl=ss(acl,bcl,ccl,dcl); =linspace(0,5,000); r=ones(,000); ps=[zeros(,400) ones(,600)]; u=[r; ps]'; [y,,x] = lsim(ss_cl,u,,x0); plo(,ones(,000),,y)
PROPIEDAD DE SEGUIMIENTO ROBUSTO: La respuesa dinámica es la deseada y el error de esado esacionario es cero. También se observa muy buena respuesa ane perurbaciones.
FIN DE CONTROL MEDIANTE REALIMENTACIÓN DE ESTADOS Fernando di Sciascio (206)