MATEMÀTIQUES RECURSOS PER AL CÀLCUL Coordinació de l àrea: Montserrat Torra Autoria de la presentació: Francesc Xavier Alegria i Lucia Cabello
El tractament del càlcul CÀLCUL APROXIMAT I ESTIMACIÓ Potencia la raonabilitat dels resultats CÀLCUL MECANITZAT Utilització algorismes Coneixement i aprofundiment del sistema de numeració Aplicació a la vida quotidiana CÀLCUL PENSAT O REFLEXIU Construcció coneixements matemàtics Comprensió del significat de les operacions i de les seves relacions Reflexió i investigació Potenciar càlcul pensat ÚS INTEL LIGENT DE LA CALCULADORA I LES TIC
Sumes utilitzant la descomposició Esquemes de càlcul Sumes amb esquemes de càlcul i/o suport material. 5 7 + 3 5 = 3 4 + 5 8 = 5 7 + 30 = 3 4 + 60 = + = =
Sumes utilitzant la descomposició Esquemes de càlcul Sumes amb esquemes de càlcul i/o suport material. 5 2 + 3 5 + 3 0 + 5 5 2 8 2 8 7 2 4 + 4 8 + 4 0 + 8 2 4 6 4 7 2
Ús dels algorismes Realització de sumes amb algorisme expandit. Primer sumo 200 + 400 després 40 + 30 i per acabar 3 + 8. Primer sumo 3 + 8 després 40 + 30 i per acabar 200 + 400. 2 4 3 + 4 3 8 6 0 0 7 0 + 1 1 6 8 1 2 4 3 + 4 3 8 1 1 7 0 + 6 0 0 6 8 1
Restes utilitzant la descomposició Esquemes de càlcul La resta descomptant amb esquemes de càlcul. 5 6 2 8 = 6 2 5 8 = 5 6 2 0 = 6 2 = 8 = 7 =
Restes buscant el complement Recta numèrica La resta buscant el complement amb esquemes de càlcul i/o recta numèrica. 8 0 5 8 5 6 + = 8 0 20 56 76 80 4 1 3 4 8 8 8 8 + = 1 3 4 88
Restes equivalents Esquemes de càlcul Restes equivalents convertint el minuend en una desena exacta i amb esquema d ajut. 7 3 2 8 = 4 5 7 3 + 2 7 5 2 8 + 2 3 0 } 7 3 2 8 = 4 5 8 2 3 6 = 8 2 3 6 + 42 + 42 } =
Multiplicacions utilitzant la descomposició Esquemes de càlcul Multiplicar utilitzant esquemes d ajut. 7 5 0 0 = 3.5 0 0 7 5 6 4 7 6 0 = 4 2 0 7 4 = + 2 8 5 0 0 6 0 4 7 3.9 4 8 4 6 0 5 0 0 7 7 4 = 2 8 7 5 6 4 7 6 0 = 4 2 0 7 5 0 0 = + 3.5 0 0 3.9 4 8
Multiplicacions utilitzant la descomposició Esquemes de càlcul Multiplicar utilitzant esquemes d ajut. 4 6 7 8 4 0 6 7 0 8 3 2 0 4 6 8 = 3 2 0 + = 4 6 7 0 = + = 7 8 6 = + = 7 8 4 0 = + =
Ús dels algorismes Realització de multiplicacions amb algorismes expandits. 4 7 3 8 8 7 = 56 6 4 7 5 5 6 3 2 0 2 1 0 8 40 = 320 30 7 = 210 30 40 = 1200 5 60 = 70 60 = + 1 2 0 0 + 1 7 8 6
Aproximació de productes Aproximació d un producte a partir de l arrodoniment. Per a cada producte hi ha quatre resultats a sota. Fes una estimació del producte arrodonint els factors i encercla el nombre que creguis que més s aproxima al resultat exacte. 30 x 70 70 x... 30 x... 30 x... 28 72 67 47 29 58 31 77 100 300 170 210 200 350 1.700 240 1.000 3.000 8.000 2.100 2.000 5.500 18.000 2.400
Càlcul multiplicatiu: enters per decimals Esquemes de càlcul Conversió del decimal en enter. 5 2,15 100 5 215 1.000 + 75 = 1.075 5 200 5 15 : 100 10,75
Càlcul multiplicatiu: enters per decimals Esquemes de càlcul Conversió del decimal en enter. 23 3,53 100 23 350 2 300 50 20 6.000 1.000 3 900 150 8.050 : 100 80,50
Càlcul multiplicatiu: multiplicació de decimals Esquemes de càlcul Conversió dels decimals en enters. 5,4 0,15 10 100 54 15 540 + 270 = 810 54 10 54 5 La meitat de 54 10 : 1.000 0,81
Divisions mitjançant descomposició del dividend Esquemes de càlcul Dividir utilitzant esquemes de càlcul. Divisions exactes 96 : 6 = 16 60 : 6 = 10 36 : 6 = + 6 96 : 6 = 16 75 : 5 = 50 : 5 =... : 5 =... 75 : 5 =
Divisions mitjançant descomposició del dividend Esquemes de càlcul Dividir utilitzant esquemes de càlcul. Divisions exactes 198 : 6 = 180 : 6 = 30 : 6 = +... 198 : 6 = 371 : 7 = 350 : 7 =... : 7 =... 371 : 7 =
Divisions mitjançant descomposició del dividend Esquemes de càlcul Dividir utilitzant esquemes de càlcul. Divisions enteres 83 : 5 = 50 : 5 = : 5 = R 83 : 5 = R 83 : 5 = 50 : 5 = : 5 = R 83 : 5 = R
Divisions mitjançant descomposició del dividend Esquemes de càlcul Dividir utilitzant esquemes de càlcul. Divisions enteres 116 : 5 = 100 : 5 = : 5 = R 116 : 5 = R 224 : 3 = 210 : 3 = : 3 = R 224 : 3 = R
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Si repartim 384 globus entre els 15 nens i nenes que van a una festa, quants globus tocaran a cada nen? 4 2 6 Com que sobren 234 globus en podrem tornar a repartir més. En sobren 84. Encara en podrem repartir més. En sobren 9. Ja no en podrem repartir més. 384 5 150 10 234 10 150 5 84 75 9 Podrem repartir 10 globus? Sí perquè 10 15 = 150 En repartim 10 més. 10 15 =150 Com que 84 és una mica més de la meitat de 150, en podrem repartir 5 més. 5 15 = 75 1 3 5 Tocaran 25 globus a cada nen i en sobraran 9.
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Tria el quocient més adequat per a cada divisió per resoldre-les. 366 7 350 50 16 2 14 52 Q 2 r 30 40 50 60 30 7 = 210 40 7 = 280 50 7 = 350 60 7 = 420 em passo!
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Tria el quocient més adequat per a cada divisió per resoldre-les. 287 6 20 30 40 50 468 8 40 50 60 70 742 8 70 80 90 100 3629 7 200 300 400 500
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Fixa t el que ha fet en Marc en aquesta divisió per dues xifres i com ho ha pensat. 3475 64 3200 50 275 4 256 54 Q 19 r 64 10 = 640 64 100 = 6.400 Això li permet saber que el resultat del quocient estarà entre 10 i 100. Com que 3.475 és una mica més de la meitat de 6.400, pensa en 64 50 =3.200 és una primera bona aproximació! Per a la segona aproximació parteix que 64 5 dóna més de 300. Es passa! 64 4 = 240 + 16 = 256
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Fixa t en aquesta altra divisió per dues xifres. 1735 38 1520 40 215 4 190 45 Q 25 r Arrodonim el divisor per poder trobar més fàcilment la primera aproximació del quocient. 40 40 = 1.600 40 50 = 2.000. Em passo! Per tant faré: 30 40 = 1.200 38 40 1.520 8 40 = 320 38 5 = 150 + 40 = 190
Enquadrament del dividend Realització de divisions fent repartiments. Enquadrar el dividend va bé per saber quina serà la primera aproximació que podem fer en la divisió. Divisió 221 : 7 654 : 8 889 : 45 674 : 26 Enquadrament del dividend 7 20 = 140 7 30 = 210 7 40 = 280 8 60 = 480 8 70 = 560 8 80 = 640 45 10 = 450 45 20 = 900 26 20 = 520 26 30 = 600 + 180 = 780 Primera aproximació del quocient 30 80 10 20
Ús dels algorismes Càlcul del quocient i el residu a partir de divisions conegudes. Si... 63 : 9 = 7 72 : 9 = 8 73 : 9 = 9 Q... R... 70 : 9 Q... R... 65 : 9 Q... R... Si... 48 : 8 = 6 56 : 8 = 7 64 : 8 = 8 Q... Q... 50 : 8 54 : 8 63 : 8 R... R... Q... 70 : 8 R... Q... R...
Exploració del significat del residu Una empresa es dedica a fer visites turístiques amb barca per la costa. En un dia ha venut un total de 225 tiquets. Si la capacitat de la barca és per a 65 persones assegudes, quants viatges haurà de fer la barca? Quants seients buits quedaran a l últim viatge? Observa com han resolt el següent problema uns alumnes de 5è i quines respostes diferents han donat. Subratlla la resposta que creus que és correcta i explica perquè. 225 195 30 65 3 3 60 = 180 3 5 = 15 195 Quantes persones aniran a l últim viatge? Joan: Haurà de fer 3 viatges i quedaran 30 seients buits a l últim viatge. Júlia: Haurà de fer 4 viatges i quedaran 30 seients buits a l últim viatge. Arnau: Haurà de fer 4 viatges i quedaran 35 seients buits a l últim viatge. Steven: Haurà de fer 3 viatges i no quedarà cap seient buit a l últim viatge. Ho podries explicar d una altra manera?
Ús dels algorismes Realització de divisions fent repartiments. Divisions equivalents exactes Divisions equivalents enteres :10 720 90 72 : 9 = 8 El valor del quocient no varia :10 683 500 183 150 33 30 3 :10 6830 50 5000 1830 1500 330 300 30 5 100 306 100 30 6 683 5 18 33 3 :10 Ull amb el valor del residu que també queda dividit pel mateix nombre!
Suma i resta de fraccions d ús quotidià Suma de fraccions amb suport gràfic. 4 2 6 + = 4 4 4 3 2 5 + = 3 3 3
Suma i resta de fraccions Diagrames de fraccions Resta de fraccions amb suport gràfic. 4 4 _ 3 1 = 4 4 1 3 4 4
Suma i resta de fraccions Diagrames de fraccions Suma i resta de fraccions amb diferent denominador amb suport gràfic. 1 1 + = 2 4 3 4
Suma i resta de fraccions Diagrames de fraccions Suma i resta de fraccions amb diferent denominador amb suport gràfic. 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 6 1 6 2 1 5 + = 3 6 6
Suma i resta de fraccions Diagrames de fraccions Suma i resta de fraccions amb diferent denominador amb suport gràfic. 2 1 + = 3 6 2 1 5 + = 3 6 6
Suma i resta de fraccions Ús del mínim comú múltiple per sumar fraccions (múltiples entre ells). 1r- Cercar el múltiple comú dels denominadors més petit. Múltiples de 3: 3 6 9 12 15... Múltiples de 6: 6 12 18... 2n- Col locar en el denominador el múltiple comú més petit. 2 1 + = + 3 6 6 6 2 3r- Cercar el numerador perquè la fracció sigui equivalent a la primitiva. 2 1 4 1 5 + = + = 3 6 6 6 6 2
Suma i resta de fraccions Diagrames de fraccions Suma i resta de fraccions amb diferent denominador (primers entre ells) amb suport gràfic. 1 2 + = 2 5 5 4 9 10 + = 10 10
Suma i resta de fraccions Ús del mínim comú múltiple per sumar fraccions (primers entre ells). 1r- Cercar el múltiple comú dels denominadors més petit. Múltiples de 2: 2 4 6 8 10 12... Múltiples de 5: 5 10 15... 2n- Col locar en el denominador el múltiple comú més petit. 1 2 + = + 2 5 10 10 3r- Cercar el numerador perquè la fracció sigui equivalent a la primitiva. 1 2 5 2 5 4 9 + = + = 2 5 10 10 10 5 2
Multiplicacions amb fraccions Diagrames de fraccions Multiplicació d una fracció per un nombre natural (fracció d un nombre) amb suport gràfic. 2 6 3 = 5 5
Multiplicacions amb fraccions Diagrames de fraccions Multiplicació d una fracció per una altra fracció amb suport gràfic. 1 1 1 = 3 2 6
Divisions amb fraccions Diagrames de fraccions Divisió d un nombre natural per una fracció amb suport gràfic. 2 1 : = 4 8 QUOCIENT DIVISOR = DIVIDEND 8 1 1 = 2 8 vegades és 2 4 4
Divisions amb fraccions Diagrames de fraccions Divisió d una fracció per un nombre natural amb suport gràfic. 1 5 : 2 = 1 10 QUOCIENT DIVISOR = DIVIDEND 1 1 2 = 10 5 1 2 vegades és 10 1 5
Divisions amb fraccions Divisió d una fracció per una altra fracció. 1 1 4 : = = 2 4 2 2 QUOCIENT DIVISOR = DIVIDEND 2 1 1 = 4 2 1 2 vegades és 10 1 5
Suma en el sistema sexagesimal + Suma amb conversió d unitats. 8 hores 35 minuts 15 segons 5 hores 45 minuts 50 segons 13 hores 80 minuts 65 segons + 1 hora 1 minut 8 hores 35 minuts 15 segons 5 hores 45 minuts 50 segons 14 hores 81 minuts 60 + 5 segons 60 + 21 minuts
Resta en el sistema sexagesimal Resta amb conversió d unitats. 7 hores 23 minuts 32 segons 3 hores 53 minuts 40 segons 82 min i 60 s 6 h i 60 min 83 minuts 92 segons 7 hores 23 minuts 32 segons 3 hores 53 minuts 40 segons 3 hores 29 minuts 52 segons
manipulatiu Sistema sexagesimal: exploració amb la calculadora Calculadora Relació entre el sistema sexagesimal i el sistema decimal. Quantes hores són 315 minuts? 1- Dividirem 315 minuts entre 60 minuts que té una hora. 2- La calculadora que treballa amb el sistema decimal ens respondrà: 5,25 3- Llavors hem de relacionar: - si 25 és 1/4 de 100-1/4 de 60 minuts són 15 minuts 4- Per tant 315 minuts, són 5 hores i quart
Percentatges Diagrames de percentatges Càlculs de percentatges amb suport i relació amb la fracció equivalent. Quant és el 50% de 220? Troba la meitat de 220. I el 25% de 220? Troba la quarta part de 220. I el 75% de 220? Troba les 3/4 parts de 220 (3/4 parts seran la suma de la meitat més la quarta part). 1/4 1/2 3/4 0% 25% 50% 75% 100% 1/4 1/4 1/4 1/4 0 220
Percentatges Diagrames de percentatges Càlculs de percentatges amb suport i relació amb la fracció equivalent Quant és 1/5 de 220? Quant és el 20% de 220? I el 60% de 220? Si et descompten el 40% de 220, quina fracció et descompten? 1/5 2/5 3/5 4/5 0% 20% 40% 60% 80% 100% 0 220
Percentatges Diagrames de percentatges Descomptes. DESCOMPTE 40% Quina fracció decimal representa el descompte del producte? Quina fracció decimal representa el que has de pagar? Si el producte val 1.000 euros, quant hauràs de pagar? Si el producte val 10 euros, quant hauràs de pagar?
Percentatges Diagrames de percentatges Descomptes. DESCOMPTE 10% Quina fracció decimal representa el descompte del producte? Quina fracció decimal representa el que has de pagar? Si el producte val 1.000 euros, quant hauràs de pagar? Si el producte val 10 euros, quant hauràs de pagar? Si et fessin un 15% de descompte, quant hauries de pagar?
Percentatges Descomptes. Si has comprat un producte que valia 1.000 euros i t han descomptat 200 euros, quin percentatge de descompte t han aplicat? :10 200 = 20 1.000 100 = 20% :10
del Cercle d Educadors Càlcul mental 74 5 (74 10) : 2 740 : 2 700 : 2 + 40 : 2 85 5 120 350 + 20 :5 370 10 :2 :10 2
del Cercle d Educadors Càlcul mental
del Cercle d Educadors Càlcul mental 90 0,5 26 0,5 26 : 2 (20 + 6) : 2 20 : 2 6 : 2 10 3 13 64 :0,5 26 : 0,5 26 2 (20 + 6) 2 20 2 6 2 40 12 52 :2 2
del Cercle d Educadors Càlcul mental
complementari www.barcanovadigital.cat Activitats de càlcul per a PDI BARCANOVA DIGITAL PER A 5è: Unitat 1: Operacions combinades: s han d omplir espais buits amb signes o nombres perquè es compleixin les igualtats proposades. Unitat 2: Fracció d un nombre: fraccions que representen la mateixa quantitat en calcular la fracció d un nombre. Unitat 8: Fem descomptes: calcular el preu final d un producte si s aplica el descompte indicat. Unitat 9: Calculadora espatllada: hi ha unes tecles activades i has d aconseguir que el resultat a la calculadora sigui el nombre indicat.