Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica PRECÁLCULO -- IV EXAMEN PARCIAL 014 Nombre: código: Colegio: Fórmula 1 Sábado 15 de noviembre de 014
INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar. 3. Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (3 puntos), la segunda es de complete (7 puntos) y la tercera de desarrollo (11 puntos). 4. La parte de selección debe ser contestada en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto. 5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa. 6. En los ítemes de selección, deberá rellenar con lápiz, en la hoja de respuestas, la celda que contiene la letra que corresponde a la opción que completa en forma correcta y verdadera la expresión dada. Si lo desea, puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas. 7. En los ítemes de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente tinta indeleble. 8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará. 9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas. 10. Trabaje con calma y le deseamos el mayor de los éxitos. Proyecto MATEM 014
PRIMERA PARTE. SELECCIÓN ÚNICA (Valor 3 puntos) Puede usar el espacio al lado de cada ítem para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas. 1. Si ab, es el par ordenado correspondiente a un punto de la circunferencia trigonométrica en el III cuadrante, entonces el valor de 1 b a es a a a a b a b b b a b a b b ab ab y ba, son los puntos de la circunferencia trigonométrica asociados a p y q respectivamente, con certeza sucede que. Si, a b a b 0 cos( p) sen( q) cos( q) sen( p ) Proyecto MATEM 014 3
3. El punto de la circunferencia trigonométrica correspondiente al número real se localiza en el cuadrante 15 6 I II III IV 4. El punto de la circunferencia trigonométrica correspondiente al número real 46 6 es 1 3, 1 3, 3 1, 3 1, 5. Al número real t le corresponde, en la circunferencia trigonométrica, el punto de 5 5 coordenadas, 5 5, entonces sec( t) es igual a 5 5 5 5 Proyecto MATEM 014 4
6. La expresión tan x no está definida para el siguiente número real 15 30 15 9 30 15 15 3 7. La expresión 0 1 1 1 3 5 7 3 sen cos tan 4 3 4 es igual a 8. En la figura, A es el punto de coordenadas ( mn, ) de la circunferencia trigonométrica y n B es el punto (-1,0). Si la longitud del arco menor AB es entonces el valor de 4 m es 0 1 1 Proyecto MATEM 014 5
9. Si 11 se n( ) y 15, entonces cos es aproximadamente 1 15 1 15 6 15 6 15 10. El valor numérico de 3cos 8 sen 4 6 es 0 3 4 5 4 11. Un número real para el cual se cumple que sen cos puede ser 5 9 1 5 4 7 6 Proyecto MATEM 014 6
1. El valor de 6 cos 3 corresponde a 1 1 3 3 13. El valor numérico de la expresión 0 1 1 3 3 sen cos es igual a 14. Sea h : -1,1, h(x) = sen x 0,,,0,. Esta función es positiva en el intervalo Proyecto MATEM 014 7
15. La gráfica de una función g, definida en su dominio máximo, con criterio g x cot x, tiene una asíntota vertical de ecuación 9 x 8 x x x 4 8 10 4 15 3 16. Considere las funciones secante y cosecante definidas en su dominio máximo y analice las siguientes proposiciones: I. Una asíntota vertical de la gráfica de la función secante es x II. La función cosecante no está definida en el intervalo 0, Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas? Ninguna Ambas Sólo II Sólo I 17. Sea : f la función definida por f x x gráfica de f interseca al eje Y es cos. El punto donde la 0, 0,0 0, 1 0,1 Proyecto MATEM 014 8
x π 18. El período de la función sen 4 4 f :, f x = - 5 4 es 8 8 19. El dominio máximo de la función f x arcsen x es el siguiente conjunto 1,1,, 0. La expresión arcos cos 6 es igual a 6 6 5 6 7 6 Proyecto MATEM 014 9
1. El valor de 1 sen cos es 1 1 0 3 3. El valor de 6 3 3 5 6 3 arcsen es 3. La expresión 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 1 sen arctan x es igual a Proyecto MATEM 014 10
4. La expresión 1 1 cos x1 1cos x es igual a 0 cot x cot x csc x tan x sec x 5. La expresión cos x cscx es equivalente a 1-1 cot x cot x 6. Al simplificar al máximo csc xcos x es igual a -1 1 cot x tan x Proyecto MATEM 014 11
7. Considere las siguientes afirmaciones: I. sen cos sen 4 II. y cos 1 cos III. tan x tan x y De las anteriores proposiciones, con certeza son verdaderas La I y la II La I y la III La II y la III Todas 8. La expresión csc x sec cot x tan x x es igual a cot x tan x cot x tan x csc x 1 csc x sec x Proyecto MATEM 014 1
9. Dos soluciones de tan 3 0 en 0, son 5 y 3 6 4 y 3 3 7 y 6 6 11 y 6 6 30. El conjunto solución de la ecuación cos( x) sen( x) en 0, es 5,, 6 6,, 3 3, 3 3 3 5,, 6 6 Proyecto MATEM 014 13
31. En 3,4 el conjunto solución de sen x 3 0 es el siguiente 10 11, 3 3 4 5, 3 3 4, 3 3 7 11, 6 6 3. Una solución de x tan 1 cos x 0 es 3 4 5 4 -fin de la primera parte- Proyecto MATEM 014 14
Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica PRECÁLCULO -- IV EXAMEN PARCIAL 014 Nombre: código: Colegio: PREGUNTA Complete(7) 1(5) (6) TOTAL Puntos obtenidos Fórmula 1 Proyecto MATEM 014 15
SEGUNDA PARTE. COMPLETE. (Valor 7 puntos) 1. A continuación se presenta la gráfica de la función 3 f :,, f ( x) k sen bx Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita: a. El ámbito de f b. El período de f c. El punto de intersección con el eje Y d. El corrimiento de fase corresponde a e. El valor de B f. El valor de k g. El valor de b Proyecto MATEM 014 16
TERCERA PARTE. DESARROLLO. (Valor 11 puntos) Resuelva en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes problemas, deben aparecer todos los procedimientos realizados para llegar a la respuesta. 1. (5 puntos). Verifique la siguiente identidad: tan t + cot t cos t csc³ t = sect csct sen² t Proyecto MATEM 014 17
. (6 puntos). Determine el conjunto de todos los números reales que son solución de la ecuación sec x cos ² x cot x -fin- Proyecto MATEM 014 18
SOLUCIONARIO PRIMERA PARTE. SELECCIÓN ÚNICA (3 PUNTOS) 1 A 8 C 15 D B 9 B C 9 D 16 A 3 C 30 D 3 C 10 C 17 B 4 C 31 A 4 B 11 B 18 B 5 A 3 D 5 B 1 B 19 B 6 A 6 A 13 B 0 A 7 A 7 C 14 A 1 C 8 D Proyecto MATEM 014 19
SEGUNDA PARTE. COMPLETE. (Valor 7 puntos) 1. A continuación se presenta la gráfica de la función 3 f :, f ( x) ksen( bx c) Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita: a. El ámbito de f 3,3 b. El período de f c. La intersección con el eje Y 0,3 d. El corrimiento de fase es 4 e. El valor de B 4 f. El valor de k 3 g. El valor de b Proyecto MATEM 014 0
TERCERA PARTE. DESARROLLO (Valor 11 puntos) SOLUCIONARIO SEGUNDA PARTE DE DESARROLLO 1. (5 puntos). Verifique la siguiente identidad: tan t cot t cos t csc³ t = sect csct sen² t sen t tan t cot t cot t tan t cos sen t 1 1 t sectcsct sen ² t sin ² t sen ² t cost sen ² t cos t sen t 1. (6 puntos). Determine el conjunto de todos los números reales que son solución de la ecuación sec xcos² x cot x Primero note que cos x 0, pues de lo contrario sec x no estaría definida sec x cos ² x cot x 1 cos x cos ² x 0 cos x sen x 1 cos x 1 0 sen x k 1 cos x 0 x sen x 1 x k, k pero, x k cos x 0,entonces, S 1 sec x no está definida, por lo tanto, cos x Proyecto MATEM 014 1