Aprendizaje de la estadística y la probabilidad en Secundaria

Transcripción

1 Aprendizaje de la estadística y la probabilidad en Secundaria TRABAJO FIN DE MÁSTER MÁSTER DE FORMACIÓN DEL PROFESORADO DE SECUNDARIA ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS CURSO Autor: Ricardo García García Directora: María José González López

2 El mejor modo de resolver una dificultad es no tratar de soslayarla Noel Clarasó ( )

3 AGRADECIMIENTOS Este trabajo no habría sido posible sin la ayuda de las siguientes personas, por lo que me gustaría expresarles mi más sincero agradecimiento: - A mi familia por su comprensión por todo el tiempo que he dedicado a la realización de este trabajo y que no he podido dedicarles a ellos. - A la profesora María José González López, por todo lo que me ha enseñado sobre didáctica en general, y de la estadística y la probabilidad en particular, y por lo mucho que me ha facilitado el trabajo. - A la profesora Paz Valle López-Dóriga, por permitirme llevar a cabo la investigación con sus alumnos de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, poniéndome todas las facilidades para ello. - A la profesora Amelia Samperio López, por lo que me ha enseñado tutorizando mis prácticas en el instituto de secundaria, y por su permisividad a la hora de llevar al aula mis métodos didácticos. - A la profesora Cristina Santibáñez Canales, por proponerme impartir con ella la enseñanza de la probabilidad a sus alumnos de 2º de Bachillerato, y de esa forma enriquecer el contenido de este trabajo. - A los alumnos con los que llevé a cabo la investigación aquí expuesta, por su interés y dedicación a la hora de responder al cuestionario. - A los profesores del Máster de formación del profesorado de secundaria, por todos los caminos nuevos que me han abierto. Agradecimientos Ricardo García García

4 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN 2. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 2.1. ESTRUCTURA CONCEPTUAL 2.2. GENESIS HISTÓRICA 2.3. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN 2.4. MATERIALES Y RECURSOS 2.5. RAZONAMIENTO ESTOCÁSTICO. ERRORES Y DIFICULTADES 2.6. SITUACIONES Y CONTEXTOS 3. EXPERIMENTACIÓN EN EL AULA 3.1. OBJETIVOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 3.2. HIPÓTESIS Y VARIABLES DE LA EXPERIMENTACIÓN 3.3. POBLACIÓN Y MUESTRA 3.4. ENFOQUE METODOLÓGICO 3.5. CUESTIONARIO Y FUNDAMENTACIÓN 3.6. RESULTADOS Respecto del criterio: respuesta correcta-respuesta con error Respecto del criterio realización de cálculos Estrategias de comparación 3.7. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 4. CONCLUSIONES Y LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN FUTURAS 5. BIBLIOGRAFÍA ANEXO 1. CONTENIDOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CURRICULUM DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO ANEXO 2. TRANSCRIPCIÓN DE LAS RESPUESTAS DEL CUESTIONARIO Agradecimientos Ricardo García García

5 1.- INTRODUCCIÓN Cuando se define la competencia matemática, ésta engloba tres dimensiones: contenidos, procesos y contextos. Dentro de los contenidos, PISA establece cuatro sub-escalas: espacio y forma, cantidad, cambio y relaciones, e incertidumbre. En un curriculum en el que el mayor peso lo lleva el pensamiento determinista, introducir el estudio de la incertidumbre permite al alumno comprender mejor los fenómenos que le rodean, desarrollando un sentido crítico mucho más agudo. Dentro del actual curriculum de matemáticas de Secundaria, la incertidumbre se trabaja en el bloque denominado Estadística y Probabilidad. Aunque el orden en el que aparece dentro del currículo, el último, no debería ser el que corresponde con la importancia que se da dentro de él, muchas veces no ocurre de esta manera, dejándose sus contenidos para el final de curso, si da tiempo, y en el caso de que se trabajen se hace de forma muy breve. Una de las motivaciones de la realización de este Trabajo Fin de Máster, es la de dar a la Estadística y Probabilidad la importancia que se merece dentro de la formación matemática de los alumnos de secundaria. La educación tiene como uno de sus objetivos principales el de formar ciudadanos críticos y no manipulables, y la competencia matemática es muy útil para ello. En la sociedad de la información en la que vivimos, el alumno debe ser capaz de interpretar si los datos que recibe están bien analizados, si las conclusiones que se sacan a partir de ellos son veraces, si las previsiones e inferencias que se realizan son factibles. La rama de las matemáticas sobre la que versa este trabajo dota al ciudadano de las herramientas necesarias para ello, de ahí la magnitud de debería adquirir dentro del curriculum implementado por el profesor. Sin embargo, el introducir un tipo de razonamiento basado en la incertidumbre conlleva unas dificultades específicas a la hora de enseñar y de aprender los contenidos. En este trabajo se pretende comprobar lo que otras investigaciones han concluido respecto a los obstáculos que el estudiante encuentra, y buscar nuevas hipótesis que puedan ser corroboradas en futuros 1. Introducción Ricardo García García 1

6 estudios. Para poder fijar las bases en las que se apoya este trabajo, se analiza en el primer bloque (apartado 2) el lugar que ocupa la Estadística y la Probabilidad en el curriculum de secundaria de España, en general, y de Cantabria, en particular; cómo se ha llegado hasta hoy en el desarrollo de la materia; cómo se enseña en las aulas; a qué problemas da solución; y qué dificultades encuentran los alumnos. En este último aspecto se quiere profundizar, y para ello, se realiza una investigación en el aula (apartados 3 y 4), mediante un cuestionario que nos permite sacar unas conclusiones sobre el proceso de aprendizaje que sigue el alumno y las dificultades que se encuentra para conseguir que éste sea significativo. De esta investigación se concluye que los problemas planteados en contextos más cercanos al alumno no tienen por qué inducir a que éste incurra en menos errores, y que la forma como se den los datos en el enunciado de los problemas puede provocar que se incurra en más o menos errores. Por eso es muy importante trabajar en el aula los contenidos en diferentes contextos y presentar los datos de distintas formas, para provocar el error en el alumno y proporcionarle la ayuda que le haga superarlo. 1. Introducción Ricardo García García 2

7 2.- ANÁLISIS DIDÁCTICO DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ESTRUCTURA CONCEPTUAL Tanto en el art. 4 del Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria, como en el Decreto 57/2007 del 10 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Cantabria, se recogen, entre los objetivos de la asignatura de matemáticas, los siguientes: - Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados a cada situación. - Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. A su vez, tanto en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas, como en el Decreto 74/2008, de 31 de julio por el que se establece el Currículo del Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Cantabria, se incluyen entre los objetivos: - Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber. - Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado 2. Análisis didáctico de estadística y probabilidad. Ricardo García García 3

8 con el de otras áreas del saber. - Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual. - Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento. - Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento. - Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura. Para lograr estos objetivos el curriculum de matemáticas, tanto de la ESO como de Bachillerato, recoge una serie de contenidos en los que se trabaja la recogida e interpretación de datos en diferentes sistemas de representación, así como el estudio de fenómenos aleatorios que complementan la visión, generalmente, determinista del curriculum. A continuación se incluye un mapa conceptual con los contenidos incluidos en los diferentes cursos de ESO y Bachillerato, relacionando los contenidos de unos cursos con los de otros. En color negro aparecen los contenidos recogidos en el RD 1631/2006 (Curriculum ESO) y en la ORDEN ESD/1729/2008 (Curriculum Bachillerato), y en azul aquellos contenidos que no están recogidos en las dos leyes anteriores, pero sí en el Decreto 57/2007 (Curriculum ESO) o en el Decreto 74/2008 (Curriculum Bachillerato) de la Comunidad de Cantabria. En el Anexo 1, están recogidos los contenidos más desarrollados, tal y como aparecen en las diferentes normas. 2. Análisis didáctico de estadística y probabilidad. Ricardo García García 4

9 ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA PRIMER CURSO SEGUNDO CURSO TERCER CURSO CUARTO CURSO Opción A MATEMÁTICAS I MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS CCSS I MATEMÁTICAS CCSS II RECOGIDA DE INFORMACIÓN RECOGIDA DE INFORMACIÓN ESTUDIO ESTADÍSTICO DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES NUBE DE PUNTOS CORRELACIÓN Y REGRESIÓN RECTA DE REGRESIÓN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL (ESO) TABLAS TABLAS RECOGIDA DE INFORMACIÓN (VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS) REPRESENTATIVIDAD DE LAS MUESTRAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL/ DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES INTERPRETACIÓN DE FENÓMENOS CORRELACIÓN FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS DIAGRAMAS (BARRAS, LÍNEAS Y SECTORES). ANÁLISIS. FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS ORDINARIAS Y ACUMULADAS DIAGRAMAS ANÁLISIS DIAGRAMAS (HISTOGRAMAS, POLÍGONOS DE FRECUENCIAS). ANÁLISIS. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS (MÚLTIPLES, DE CAJA) CRITICA / FALACIAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y DISPERSIÓN REPRESENTATIVIDAD COMPARACIÓN Y VALORACIÓN ESTIMACIONES HOJAS DE CÁLCULO Y CALCULADORA TOMA DE DECISIONES RECTA REGRESIÓN MÍNIMOS CUADRADOS PREVISIONES LAS DOS RECTAS TABLAS DOBLE ENTRADA EXTRAPOLACIÓN MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN (MEDIA, MEDIANA Y MODA) PROPIEDADES Y USO PARA COMPARAR HOJAS DE CÁLCULO MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN (MEDIA, MEDIANA, CUARTILES Y MODA) PROPIEDADES Y USO PARA COMPARAR Opción B ESTUDIO ESTADÍSTICO DISTRIBUCIÓN NORMAL DISPERSIÓN (RANGO Y DESVIACIÓN TÍPICA) ANÁLISIS MEDIA/DESVIACIÓN TÍPICA REPRESENTATIVIDAD DE LAS MUESTRAS COMPARACIONES Y VALORACIONES GRÁFICAS ESTADÍSTICAS (MÚLTIPLES, DE CAJA) CRITICA HOJAS DE CÁLCULO Y CALCULADORA PROBABILIDAD MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y DISPERSIÓN COMPARACIÓN Y VALORACIÓN PROBABILIDAD PRIMER CURSO SEGUNDO CURSO TERCER CURSO CUARTO CURSO Opción A MATEMÁTICAS I MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS CCSS I MATEMÁTICAS CCSS II SITUACIONES INCIERTAS CONJETURAS SOBRE FENÓMENOS ALEATORIOS REPRESENTATIVIDAD DE UNA MUESTRA SELECCIÓN ALEATORIA EXPERIENCIAS COMPUESTAS (VOCABULARIO) CONTEO (TABLAS DE CONTINGENCIA DIAGRAMAS DE ÁRBOL) PROBABILIDAD COMPUESTA, CONDICIONADA, TOTAL Y A POSTERIORI DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA (DISCRETAS/CONTINUAS) SUCESOS ALEATORIOS (SIMPLES Y COMPUESTOS/COMPLEMENTARIOS) ESPACIO MUESTRAL OPERACIONES SUCESO PROBABILIDAD (LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS REGLA DE LAPLACE) PROBABILIDADES A PRIORI/A POSTERIORI COMPUESTA/CONDICIONADA/TOTAL TEOREMA DE BAYES TEOREMAS CENTRAL DE LÍMITE BINOMIAL NORMAL LEY DE GRANDES NÚMEROS CONJETURAS SOBRE FENÓMENOS ALEATORIOS EXPERIENCIAS ALEATORIAS SUCESOS Y ESPACIO MUESTRAL (VOCABULARIO) REGLA DE LAPLACE TOMA DE DECISIONES SIMULACIÓN O EXPERIMENTACIÓN INTERPRETAR, DESCRIBIR, PREDECIR SITUACIONES INCIERTAS Opción B EXPERIENCIAS COMPUESTAS (VOCABULARIO) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (BINOMIAL/NORMAL) PROBABILIDADES A SUCESOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA (DISCRETAS/CONTINUAS) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (BINOMIAL/NORMAL) (CALCULO DE PROBABILIDADES) SITUACIONES Y CONDICIONES DISTRIBUCIONES PROBABILIDAD DE LAS MEDIAS Y PROPORCIONES MUESTRALES INTERVALO DE CONFIANZA (BINOMIAL Y NORMAL) CONTRASTE DE HIPÓTESIS CONTEO (TABLAS DE CONTINGENCIA DIAGRAMAS DE ÁRBOL) + COMBINATORIA PROBABILIDAD CONDICIONADA 2. Análisis didáctico de estadística y probabilidad. Ricardo García García 5

10 2.2.- GÉNESIS HISTÓRICA En este apartado se pretende contextualizar históricamente la estadística y la probabilidad. Para su elaboración se han tomado principalmente como referencia los textos Boyer, C. (2007), Corbalán, F. et al. (2010), Gonick. L et al. (2010) y Grima, P. (2010), así como algún artículo que se cita más adelante. El surgimiento de un concepto o procedimiento en un momento determinado de la historia es importante para que el alumno conozca la necesidad que lo propició. La explicación de este proceso es una herramienta metodológica muy potente para la transmisión de conocimiento. Asimismo la evolución histórica también puede favorecer el aprendizaje, del mismo modo que refleja el aspecto humano de las matemáticas, pues para llegar a la situación actual, se ha recorrido un camino, la gran mayoría de veces lleno de errores y dificultades. En el caso de la estadística y la probabilidad, los orígenes conocidos se sitúan en las culturas sumeria y asiria. En yacimientos arqueológicos de estas culturas se han encontrado vestigios de juegos de azar: los astrágalos o talus. Al tirarlos sobre una superficie nivelada, podían caer en cuatro posiciones distintas. Aunque no se conoce el uso que se daba a estos instrumentos (juego, religión, ), se sabe que en la cultura egipcia se realizaba un registro tabulado de los resultados. Estas sencillas piezas, fueron las precursoras de los dados (azar, proviene del árabe al-azar, que significa dado ), que fueron muy utilizados por egipcios, griegos y romanos, aunque el juego se realizaba sin tener en cuenta la equiprobabilidad de los resultados, por lo que no propició el avance en el cálculo probabilístico. De los primeros registros estadísticos se tiene constancia en el caso de observaciones astronómicas, y de los censos, ya en tiempos de Babilonia. Lo mismo que ocurría con los juegos de dados, en culturas antiguas como la judía, se utilizaban diferentes sistemas aleatorios en oráculos y ceremonias. En esos casos se prescindía de la connotación de aleatoriedad, pues era sustituida por la voluntad de Dios. Pero la llegada del cristianismo no va a crear un camino diferente, sino que se va a reafirmar en la creencia de que Dios es quien está detrás de estos fenómenos. Pero la nueva visión del mundo que surge en el Renacimiento, propicia el 3. Investigación. Ricardo García García 6

11 abandono de las explicaciones teológicas y da un gran impulso al estudio de la ciencia. Si además de esta fuerza por querer saber qué está detrás de los fenómenos observados y vividos, se une la invención de la imprenta y la difusión del conocimiento, el estudio del cálculo de probabilidades se ve definitivamente impulsado. Y no fue en otro contexto que en el de los juegos de azar, donde el estudio de los cálculos probabilísticos encontró su origen. Los jugadores necesitaban descubrir las leyes que regían ese fenómeno y poder predecir con más certeza lo que ocurriría. Como recoge J. A. García Cruz, en Historia de un problema: el reparto de una apuesta (García, J. A. 2000), una pregunta de un jugador llevó a las disquisiciones de diferentes matemáticos y científicos durante siglos. El Problema de los puntos o del reparto de apuestas fue estudiado por diversos autores desde el Renacimiento, entre ellos: - Luca Pacioli ( ) en 1487 propuso dos problemas: un juego, en el que el premio es de 22 ducados cuando se alcanzan los 60 puntos, se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero 2. Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes en cada uno de los problemas anteriores? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente, pero no tenía en cuenta lo que podría pasar si siguieran jugando. - Niccolo Tartaglia ( ) en 1556 aborda el mismo problema. Frente al argumento de Pacioli, puntos ganados por cada jugador, el argumento de Tartaglia se basa en la ventaja de un jugador A respecto del otro (B) en el momento de la interrupción del juego. Pero si se siguiera jugando se podría invertir la ventaja y ganar el B, lo que hace que su argumento tampoco fuera válido. - Girolamo Cardano ( ) en 1539 llegó a la conclusión de que la solución de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos juegos debían 3. Investigación. Ricardo García García 7

12 ganar para hacerse con el premio. Cardano propuso como solución del problema que si n es el número de juegos totales y a y b los juegos ganados por cada equipo, el premio debía repartirse de la siguiente manera: [1+2+ +(n-b)]: [1+2+ (n-a)]. Aunque Cardano confunde probabilidad y esperanza matemática, señala el espacio de sucesos elementales y tiene claro lo que significa un juego justo, que es una noción previa y necesaria al concepto de esperanza matemática. Fue en la correspondencia epistolar de Pascal ( ) a Fermat ( ), donde se dio solución al problema, al contestar al planteamiento que le había hecho El Caballero de Méré ( ) a Pascal en un problema similar: Cada jugador apuesta 32 pistols. Hay dos jugadores A y B y cada etapa del juego da un punto al ganador y 0 al perdedor. Gana el juego el primero en tener 3 puntos. Se supone además que ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar cada etapa. El juego se interrumpe cuando A cuenta con un punto y B con ninguno. La pregunta es la misma: Cómo repartir la bolsa total de 64 monedas? El problema no es planteado como un problema de proporciones, sino que se contempla la cantidad de juegos que le falta a cada uno para llevarse la apuesta completa. De los posibles resultados que se podrían dar, se toman los favorables para cada jugador y se distribuye justamente la apuesta con ese criterio. Pero el Caballero de Méré no sólo planteó a Pascal ese problema relacionado con el juego, sino otros relacionados con el juego de dados en los que se utilizaban más de uno. Dicho jugador había apreciado que había una relación de proporcionalidad entre el número de veces que había que lanzar un dado y el número de veces que ocurría un suceso (sacar seis doble, sacar un 11 al tirar tres dados, ). El error en el que incurría era el no tener en cuenta que estaba analizando una probabilidad compuesta en donde las distintas probabilidades se deben calcular multiplicativamente. Sin embargo, no fue este jugador el único importante en la historia de la probabilidad, sino que Galileo ( ) también se encontró con otro, que le expresó su sorpresa al observar que al jugar con tres dados a la suma 10, tenía 3. Investigación. Ricardo García García 8

13 más oportunidades de ganar que cuando jugaba a la suma 9. Dicho jugador no tenía en cuenta que el número de sucesos favorables era distinto para cada resultado, porque no contemplaba el orden de los dados. Aunque en el juego fue muy útil, el cálculo probabilístico también fue utilizado por Pascal para demostrar que era más conveniente creer en Dios, y sugirió el concepto de máxima esperanza de utilidad para seleccionar la mejor decisión. Según él, si se cree en Dios y éste existe, perfecto, porque se irá al cielo, pero si no existe, no pasa nada, no hay ninguna contraprestación. Pero en el caso de no creer en Dios, no se puede obtener nada beneficioso, ya que si Éste no existe, no pasa nada, pero si existe, se va al infierno. Durante varios siglos se siguieron asentando las bases empíricas de la estadística y la probabilidad a través de la observación y la experimentación en diferentes campos; conjuntamente, se inició el desarrollo teórico, que tuvo su apogeo en los siglos XIX y XX: - John Graunt ( ) es el padre de la demografía moderna, al crear censos que explicaban el comportamiento de varios problemas de salud pública. - Christiaan Huygens ( ) introduce el concepto de esperanza matemática a partir de la noción de juego equitativo, siendo la base del estudio de las pensiones y los seguros de vida. - Jakob Bernoulli ( ) sentó las bases de la probabilidad estadística, descomponiendo un suceso en sucesos elementales. Extendió el estudio de la probabilidad a distintos aspectos sociales, morales y económicos. - El reverendo Thomas Bayes ( ), al querer demostrar la existencia de Dios, pretendió establecer unas leyes fijas a las que obedecieran los sucesos que ocurren. Introdujo el concepto de probabilidad inversa, al obtener las probabilidades de las causas por las que puede haber sido producido un suceso que se ha observado. - Gauss ( ) aplicó sus conocimientos para conocer la órbita del asteroide recién descubierto, Ceres, como mero entretenimiento. Utilizando el método de los mínimos cuadrados consiguió dar una aproximación cercana a la exacta de la órbita. Otra gran aportación de este matemático fue la distribución de errores mediante la ley normal. 3. Investigación. Ricardo García García 9

14 - Francis Galton ( ) desarrolló el concepto de correlación a partir de la observación de diversos aspectos hereditarios como la altura de los padres y los hijos. - Durante los siglos XIX y XX diferentes matemáticos aportaron trabajos que fijaron las bases modernas de la probabilidad y de la estadística. Cabe destacar a Poisson ( ), Tchebycheff ( ) y Kolmogorov ( ), quien definió axiomáticamente la probabilidad, tal y como se enseña y aprende actualmente en todo el mundo. Este último fue consciente de que cerraba una gran guerra contra la incertidumbre, cuando gracias a su teoría axiomática dotaba de regularidad a los fenómenos aleatorios. Mención aparte merece Laplace ( ) por ser el formulador de la teoría clásica de la probabilidad. En sus diversas obras recoge la resolución de diferentes problemas, como el de puntos, desarrolla el método de mínimos cuadrados, la probabilidad bayesiana, etc SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN Desde el punto de vista de la enseñanza es muy importante representar los conceptos y procedimientos matemáticos mediante diferentes formas. Los distintos sistemas de representación de un concepto matemático permiten al alumno abarcar la diversidad de significados del concepto. Cada sistema de representación destaca más un aspecto u otro, por eso tener una diversidad de representaciones permite que el concepto sea visto en su complejidad, representándolo con distintos símbolos, signos, gráficos, etc, lo que favorece su comprensión (Duval, R. 1999). Para ilustrar los diferentes sistemas de representación a utilizar en estadística y probabilidad, se han tomado los conceptos de sucesos compatibles e incompatibles. - Sistema de representación verbal Dos sucesos son compatibles cuando pueden ocurrir al mismo tiempo y son incompatibles, cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, o también, dos sucesos son compatibles cuando es probable que ocurran al mismo 3. Investigación. Ricardo García García 10

15 tiempo, e incompatibles cuando es imposible que ocurran a la vez. - Sistema de representación simbólico Dos sucesos A y B son compatibles si P(A B) 0 y son incompatibles si P(A B)=0 - Sistema de representación gráfico Los participantes en un congreso hablan inglés, español o francés. Los que provienen de España hablan español e inglés, los que vienen de Francia hablan francés e inglés. Se podrán comunicar entre ellos? Los franceses han nacido en Estrasburgo, Bayona o Burdeos y los españoles en Santander, Cádiz o Barcelona. Alguno ha nacido en la misma ciudad? Suceso A: hablar español e inglés Suceso B: hablar francés e inglés. Suceso C: haber nacido en Santander, Cádiz o Barcelona. Suceso D: haber nacido en Bayona, Burdeos o Estrasburgo. - Sistema de representación manipulativo Sacar una carta de una baraja. Suceso A: Sacar figura / Suceso B: Sacar mayor de 5 / Suceso C: Sacar un as Los sucesos A y B son compatibles. Los sucesos A y C son incompatibles. 3. Investigación. Ricardo García García 11

16 2.4.- MATERIALES Y RECURSOS Los materiales y recursos que se pueden utilizar para enseñar y aprender probabilidad y estadística no tienen por qué ser sofisticados, caros, ni espectaculares. Se pueden utilizar materiales que están al alcance de la mano, bien para realizar una recogida de datos de un suceso que ocurre y estudiar cuál es su comportamiento, bien para estudiar diferentes estadísticos de una variable en un determinado grupo de individuos. Para ello podemos manejar recursos manipulativos muy simples como: - Monedas: para realizar experimentos con su lanzamiento. - Dados: para estudiar la probabilidad de que ocurran diferentes sucesos. Se pueden utilizar dados de diferentes formas (cúbicos, tetraédricos, icosaédricos, etc.), y así buscar analogías en el comportamiento. - Barajas de cartas: son un recurso muy adecuado para el estudio de probabilidad condicionada. - Ruletas, urnas, aparato de Galton, etc. - Cinta métrica para realizar registros sobre alguna variable como puede ser altura de los individuos de un grupo. - Balanzas para realizar pesadas de diferentes objetos y calcular estadísticos. - Otros instrumentos de medida. Pero las nuevas tecnologías han facilitado enormemente la realización de diversos experimentos en los que es necesario llevar a cabo muchas repeticiones para sacar conclusiones. Y no sólo para eso, sino también para explicar diferentes conceptos. A continuación se citan algunos ejemplos de applets interesantes que facilitan la comprensión de conceptos y la realización de experimentos: - La página del INTEF sucesos/sucesos.htm en la que se pueden encontrar diferentes aplicaciones para estudiar los conceptos probabilísticos tratados en el curriculum de secundaria: 3. Investigación. Ricardo García García 12

17 Operaciones con sucesos Probabilidad condicionada Pro. total y de Bayes - En la página hay gran cantidad de applets para trabajar en el aula, de los cuales los más adecuados para trabajar en secundaria, por los conceptos que tratan son: o Probability Spaces: Experimentos aleatorios, medida de la probabilidad, sucesos independientes, probabilidad condicionada, etc. o Distributions: Simuladores de las distribuciones probabilísticas, la convergencia en la distribución, etc. o Expected Value: Trabajan con el concepto de valor esperado. o Games of Chance: Simulación de juegos: cartas, dados, ruleta, el juego de Monty Hall, etc 3. Investigación. Ricardo García García 13

18 - Simulaciones de juegos con ruletas (gráficos, frecuencias relativas, probabilidad) - Generación de gráficos estadísticos. o a/graficos_estadisticos/act_estadistica.exe o - Otros como o Páginas Excel de simulación (dados, monedas, aparato de Galton, frecuencias, etc) adecalculo.htm#azar Y ESTADÍSTICA o Estimación estadística: s/estadistica_estimacion.htm o Razonamiento bayesiano: o Construcción de árboles de probabilidad o Cálculo de distribuciones a posteriori A su vez, existen diferentes softwares que facilitan extraordinariamente el análisis de datos, y aunque algunos son utilizados a nivel profesional, también son herramientas muy útiles para la compilación de datos en cursos como Bachillerato: - Paquetes estadísticos profesionales. como por ejemplo: SPSS, 3. Investigación. Ricardo García García 14

19 STATGRAPHICS, etc. - Softwares didácticos, como o GeoGebra: contiene una hoja de cálculo, generadores de números aleatorios, dibuja diagramas de barras, etc. o Fathom, (Ben-Zvi, 2000): para análisis exploratorio de datos y álgebra o Sampling Distributions (DelMas, Garfield y Chance, 1998; Chance, Garfield y DelMas, 1999). - Software de uso general, como las hojas de cálculo, como por ejemplo, EXCEL y OpenOffice Calc - Tutoriales como activstats y ConStats (Cohen y Chechile, 1997) que desarrollan habilidades estadísticas específicas o evalúan su conocimiento RAZONAMIENTO ESTOCÁSTICO. ERRORES Y DIFICULTADES El estudio de los errores y dificultades en el aprendizaje de cualquier materia es muy interesante didácticamente, porque pueden ser utilizados por el profesor para crear conflictos cognitivos en el alumno y así ayudarle a superarlos. El origen de los errores es muy variado. Por ejemplo, algunos son consecuencia de un aprendizaje anterior que provoca que, al ser utilizados esos conocimientos en contextos diferentes, el error aparezca. Pero también hay otros errores o dificultades que son consecuencia del proceso de aprendizaje que han seguido los alumnos y que causan una inercia que, aunque les ha servido para la comprensión de ciertos contenidos, en algún momento de su aprendizaje desencadena el error. Pero también hay otros errores o dificultades que son consecuencia del proceso de aprendizaje seguido por los alumnos y que, aunque les haya servido para la comprensión de ciertos contenidos, causan una inercia que desencadena el error. El análisis de los errores en los que incurren los alumnos puede ser uno de los pilares en los que basar el diseño de una unidad didáctica que pretende conseguir unos determinados objetivos. Todos los materiales, recursos, metodología y actividades utilizados deberán tener presentes los obstáculos que se va a encontrar el alumno para lograr los objetivos. 3. Investigación. Ricardo García García 15

20 En este apartado se hace una recopilación de los errores detectados en diferentes investigaciones en cuanto al aprendizaje y enseñanza de la estadística y probabilidad. En el trabajo de Silvia del Puerto, Silvia Seminara y Claudia Minnaard, Identificación y análisis de los errores cometidos por los alumnos en Estadística Descriptiva (Puerto, S. et al, 2007), las autoras recogen una clasificación de los obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas, realizada por Brousseau, en la que los ordena según su origen: - Ontogénicos o psicogenéticos. Debidos a las características del desarrollo del niño. Por ejemplo, para comprender la idea de probabilidad se requiere el razonamiento proporcional. - Didácticos. Debidos a las elecciones didácticas hechas para establecer la situación de enseñanza. Por ejemplo, la introducción de un nuevo simbolismo tal como: (Σxi)/n cuando los estudiantes necesitan trabajar con ejemplos concretos. - Epistemológicos: Relacionados con la dificultad intrínseca del concepto que se aprende y que pueden ser rastreados a lo largo de la historia de la matemática, en la génesis misma de los conceptos. Por ejemplo, la necesidad que llevó a la definición axiomática de probabilidad, para poder comprenderla. En la investigación de Luis Serrano Romero, Carmen Batanero Bernabeu y Juan J. Ortiz de Haro, Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato (Serrano, L. et al, 1996), concluyen que dichos estudiantes interpretan la probabilidad de un suceso, como la predicción de si el suceso ocurrirá o no en el siguiente experimento. Por ejemplo, si hay una probabilidad del 70% de que llueva al día siguiente, muchos indican que lloverá al día siguiente porque comparan con 0%, 50% y 100%. Es más, consideran que es aleatorio si se aproxima al 50%, confundiendo aleatoriedad con equiprobabilidad, que es otro error que se trata a continuación. Carmen Batanero, Emilse Gómez, Luis Serrano, & José Miguel Contreras, estudiaron en Comprensión de la aleatoriedad por futuros profesores de 3. Investigación. Ricardo García García 16

21 Educación Primaria (Batanero, C. et al., 2012), qué entendían por aleatoriedad los futuros maestros. Para ello se fundamentaron en las diferentes concepciones de la aleatoriedad a lo largo de la historia: por un lado, lo que no tiene causas conocidas, y por otro, lo que es equiprobable. En la actualidad la comprensión subjetiva de la aleatoriedad tiene sesgos diferentes: consideran que la probabilidad de un suceso decrece cuando ha ocurrido recientemente (creer que sacar dos seis seguidos al lanzar un dado es menos probable que sacar primero un seis y después un dos), o, aunque sepan que la probabilidad de sacar cara o cruz al lanzar una moneda es la misma, consideran que los sucesos no son independientes y piensan que al realizar los lanzamientos se repiten una serie de patrones. Juan Jesús Ortiz de Haro, Nordin Mohamed Maanan, Luis Serrano Romero y Jesús Rodríguez García, comprobaron en su investigación Competencias de futuros profesores de educación primaria en la asignación de probabilidades (Ortiz, J.J. et al., 2007), que en los problemas de comparación de probabilidades en los que se necesita un razonamiento proporcional, no siempre es puesto en práctica. Por ejemplo, entre dos cajas con fichas de dos colores (negro y blanco) en las que la proporción de las de cada color es la misma, se pedía que dijeran en cuál era más probable sacar una ficha negra. Muchos de los que respondieron elegían la que tenía mayor número de fichas negras, sin tener en cuenta la proporción. Juan Jesús Ortiz, Carmen Batanero y José Miguel Contreras, en Conocimiento de futuros profesores sobre la idea de juego equitativo (Ortiz, J.J. et al., 2012), querían conocer cuál era la percepción de la esperanza matemática por los profesores. Para ello fundamentaron su investigación en otras anteriores, e utilizaron la clasificación realizada por Piaget e Inhelder de las estrategias de comparación de probabilidades: - Principio de la etapa preoperatoria. Primero comparan los casos posibles y posteriormente, los casos favorables. - Final de la etapa preoperatoria. Comparan el número de casos desfavorables. - Etapa de operaciones concretas. Utilizan la estrategia de correspondencia, que consiste en establecer un criterio de proporcionalidad en una fracción y 3. Investigación. Ricardo García García 17

22 aplicarlo a la otra. - Etapa de operaciones formales. Utilizan la estrategia multiplicativa, en la que comparan los cocientes entre casos favorables y casos posibles en las dos probabilidades. Aunque la mayoría de los preguntados utilizaban estrategias propias de adultos, había un porcentaje que no lo hacía y basaban sus respuestas en estrategias utilizadas en etapas anteriores a las de las operaciones formales. En el artículo de Wim Van Dooren, Dirk De Bock y Lieven Verschaffel, La búsqueda de las raíces de la ilusión de linealidad (Van Dooren, W. et al., 2006), se explica magistralmente cómo los alumnos, acostumbrados a un aprendizaje en el que la proporcionalidad tiene un gran peso, de repente se encuentran con que no funciona en el caso de la probabilidad. Así, la probabilidad de obtener un seis con un dado es 1/6, pero con dos dados no es 2/6. Este obstáculo debe ser salvado por el alumno, cuya inercia a aplicar la linealidad provocará errores. Por ejemplo, en la conocida paradoja del cumpleaños, los alumnos estiman que la probabilidad de que entre un grupo de 30 personas haya dos que cumplan años el mismo día es de 30/365, mientras que la realidad les sorprende cuando demuestran que es aproximadamente del 70%. En cuanto a la probabilidad condicionada, se han realizado diferentes investigaciones para buscar errores y ver cuál es la forma más adecuada de tratarlos para que el alumno consiga superarlos. Assumpta Estrada Roca y Carmen Díaz Batanero, han realizado el estudio Errores en el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada en profesores en formación (Estrada, A. et al., 2007), y han encontrado que la mayor parte de éstos ocurren porque se analizan frecuencias absolutas, mientras deberían analizarse frecuencias relativas; o también, porque no se diferencia entre P(A/B) de P(B/A), lo que se denomina falacia de la condicional traspuesta ; e incluso porque confunden un suceso con su complementario. Carmen Batanero, J. Miguel Contreras y Carmen Díaz, analizaron en Sesgos en el razonamiento sobre probabilidad condicional e implicaciones para la enseñanza (Batanero, C. et al., 2012), los diferentes errores y 3. Investigación. Ricardo García García 18

23 dificultades que se encuentran los alumnos al enfrentarse con la probabilidad condicional. Encontraron diferentes sesgos como son: - La falacia del jugador por la que se cree que la probabilidad de que ocurra un suceso es función de lo que ha pasado anteriormente. - Pensar que para que dos sucesos sean independientes deben pertenecer a experimentos diferentes. - Problemas con la condicionalidad cuando se invierte el eje del tiempo lógico, falacia del eje temporal. Es decir, si se sacan dos cartas de una baraja, responden mejor cuando la pregunta es sobre la probabilidad de sacar una determinada carta en la segunda extracción sabiendo lo que se ha obtenido en la primera, que viceversa. Esto es, qué probabilidad hay de haber sacado una determinada carta en la primera extracción sabiendo lo que se ha sacado en la segunda. - Falacia de la condicional transpuesta, ya explicada anteriormente. - Falacia de la conjunción, cuando se cree que es más probable que ocurran dos sucesos a la vez, que cada uno de ellos por separado. Suele ocurrir cuando uno de los sucesos tiene una probabilidad mucho mayor que la del otro, por ejemplo, creer que es más probable ser joven e ir a la discoteca, que simplemente ser joven. - No percibir el experimento compuesto como una serie de experimentos simples sucesivos, y al sacar una carta de una baraja, no consideran dos experimentos diferentes el palo y la figura. En el caso de la resolución de problemas bayesianos, Carmen Díaz e Inmaculada de la Fuente comprobaron en Dificultades en la resolución de problemas que involucran el Teorema de Bayes. Un estudio exploratorio en estudiantes de psicología (Díaz, C. et al., 2007), que se incurría en errores en diferentes partes del proceso de resolución, entre otros en los siguientes: - Falacia de las tasas base. Ignoran la probabilidad a priori del suceso en la población en la toma de decisiones en problemas que involucran la probabilidad inversa. Es decir, si se plantea que la probabilidad de que un ladrón sea rubio es el 25% y un testigo que le ha visto es fiable al 90%, se toma como probabilidad de que el testigo sea rubio el 90%, sin tener en cuenta la tasa base (25% de probabilidad de que el ladrón sea rubio). 3. Investigación. Ricardo García García 19

24 - Al utilizar tablas de doble entrada, se producían errores al confundir probabilidad condicional y total. Lo cual no ocurría cuando se utilizaban árboles. Aunque en ambos casos se daba la falacia de la condicional traspuesta. - El manejo de datos en formato de frecuencias absolutas provocaban menos errores que en formato de frecuencias relativas. En el caso de la estadística, Robert Delmas, Joan Garfield, Ann Ooms, Beth Chance en Assessing students conceptual understanding after a first course in statistics (Delmas, R. et al. 2006) detectaron diferentes errores: - En el diseño de la recogida de datos. Creer que realizar una recogida de datos aleatoria reduce el error de muestreo. - En la estadística descriptiva. Creer que cuantos más datos tiene un gráfico estadístico, mayor es la desviación de los datos. - En los gráficos estadísticos. Incurrían en errores al analizar estadísticos, como por ejemplo que una distribución con una mediana mayor que una media estaba sesgada hacia la izquierda. - Interpretación de diagramas de cajas. - En distribuciones normales. Se tiende a apoyar las respuestas a diferentes preguntas en distribuciones simétricas, sin tener en cuenta que pueden estar sesgadas, y dentro de éstas, la más utilizada es la distribución normal. - Estadística bidimensional. No se realiza bien la extrapolación con diagramas de dispersión. - Variabilidad del muestreo. No distinguir bien qué tipo de variable se ajusta mejor a un muestreo, y cómo inferir resultados de la muestra a la población. - Intervalos de confianza. Creer que el nivel de confianza corresponde con el porcentaje esperado de valores del muestreo válidos en el intervalo de confianza. Silvia del Puerto, Silvia Seminara y Claudia Minnaard, en Identificación y análisis de los errores cometidos por los alumnos en Estadística Descriptiva, (Del Puerto, S. et al., 2007) detectaron entre los errores más frecuentes: 3. Investigación. Ricardo García García 20

25 - Confundir frecuencia absoluta y acumulada - Confundir variabilidad absoluta y relativa - Confundir desvío estándar con varianza, comparando dos distribuciones utilizando el desvío estándar, sin tener en cuenta que las medias son distintas. - Confundir estadísticos de tendencia central, y aplicar algunas propiedades de la suma y de la multiplicación que no se cumplen, por ejemplo, en el caso de la media. Al igual que había comprobado Curcio en 1989, ellas también corroboraron que los alumnos incurren en errores de comprensión de los gráficos, sobre todo cuando tienen que realizar inferencias y predicciones con los datos representados FENOMENOLOGÍA Según Freudenthal ( ), impulsor de la fenomenología didáctica, los diferentes conceptos o estructuras matemáticas, sirven para organizar los fenómenos o contextos en los que aparecen. Dichos fenómenos y contextos, pertenecen a la vida real y, por ello, su aprendizaje es más fácil si se apoya en las situaciones en las que ocurren o a las que dan respuesta. Como explica Luis Puig, en su Análisis fenomenológico (Puig, L., 1997), la estadística recoge información cuantitativa y la organiza para que pueda ser comparada. Los alumnos tienen al alcance contextos en los que se utiliza ésta, como son los medios de comunicación. Estos elementos forman parte de las experiencias del alumno y le permiten comprender mejor los conceptos y estructuras estadísticas. En este trabajo se va a realizar un análisis más exhaustivo de los contextos en los que aparece la probabilidad, ya que la experimentación que en él se analiza versa sobre contenidos probabilísticos. En la clasificación que se recoge a continuación, se enumeran los diferentes contextos a los que la probabilidad puede dar respuesta, y se explica alguno de los problemas tipo que se pueden encontrar en dichas situaciones: - Situaciones de reparto justo, en las que se quiere saber cuál es la forma 3. Investigación. Ricardo García García 21

26 más justa de realizar un reparto. Por ejemplo, como se apuntó en el apartado 2.2, hay diferentes problemas a lo largo de la historia en los que se quiere saber cómo repartir las apuestas realizadas en un juego cuando éste se interrumpe antes de llegar al final. Un problema tipo sería: Dos jugadores apuestan 10 euros a un juego que consiste en lanzar una moneda y anotar quién saca cara y quién saca cruz. El ganador será quién consiga antes 5 caras. Pero ocurre un problema, y deben parar antes de que ninguno de los jugadores haya conseguido cinco caras, ya que el jugador A había obtenido 2 caras y el B, 3. Cómo se repartiría el dinero apostado para que dicho reparto sea justo? - Situaciones de toma de decisiones, en las que hay que realizar un cálculo de riesgos y evaluar la esperanza, para conocer si se trata de un juego justo. En estas situaciones se quiere conocer qué decisión es la más conveniente, sabiendo el riesgo que uno asume al tomarla. Un problema tipo sería: Con las nuevas sanciones a las compañías aéreas por overbooking, la compañía AirChance deberá indemnizar con 500 a un viajero cuando no pueda volar. En un vuelo Santander- Londres, en el que hay disponibles 150 asientos por un precio de 100, se sabe que el 95% de los viajeros que compran el billete llegan al aeropuerto con intención de volar, antes de la hora límite para embarcar. Si fueras responsable de la compañía, venderías más de los 150 asientos, sabiendo que el coste del vuelo le supone a la compañía ? - Situaciones médicas en las que se produce la propagación de una enfermedad, y se pretende conocer cuál será el riesgo de que una población contraiga dicha enfermedad. Un problema tipo sería: Sabiendo que la probabilidad de contagio de la gripe aviar sigue una distribución normal de desviación típica 10, qué 3. Investigación. Ricardo García García 22

27 población de aves debería haber para garantizar un error de estimación de la media no superior 0,25 con un nivel de confianza del 95%? - Situaciones en las se formulan y/o verifican conjeturas, utilizando la probabilidad condicionada. Es decir, sabiendo que ha ocurrido un suceso, se busca saber cuál es la probabilidad de que haya sucedido otro. Un problema tipo sería: En una empresa se ha hecho un estudio y se sabe que tiene una probabilidad del 3% de sufrir un incendio. Se coloca un sistema de seguridad que tiene los siguientes condicionantes: la alarma suena el 95% de las veces que hay un incendio, pero se sabe, que el 2% de las veces que suena no hay incendio. Qué probabilidad hay de que acudan los bomberos porque ha sonado la alarma y que no haya fuego? - Situaciones en las que se pretende predecir lo que ocurrirá, basándose en distribuciones de probabilidad. Un problema tipo sería: Un alumno tiene un examen mañana y sabe que si el primer metro que coge para ir al instituto tiene un retraso de más de 45 segundos, no podrá realizar el trasbordo que le llevará a tiempo para hacer el examen. Si el retraso medio del metro es de 43 sg, con una desviación típica de 3sg. Qué probabilidad hay de que pueda hacer el examen? 3. Investigación. Ricardo García García 23

28 3.- INVESTIGACIÓN OBJETIVOS DE LA EXPERIMENTACIÓN A la hora de plantear este trabajo fin de máster, no se fijaron de manera concreta las líneas de investigación que se realizarían. Para llegar al punto en el que nos encontramos ahora, antes se ha desarrollado un estudio didáctico de la disciplina, lo que ha implicado la aparición de muchos interrogantes, gran parte de los cuales corresponden al apartado 2.5 sobre errores y dificultades en el razonamiento estocástico. Ellos serán el foco de atención en la experimentación que planteamos. El aprendizaje de la estadística y la probabilidad en la educación secundaria plantea varios retos, no todos diferentes de los de otros contenidos de la materia de matemáticas, pero sí tiene una serie de connotaciones que lo hacen distinto. En un curriculum mayoritariamente determinista, el estudio de los fenómenos aleatorios genera conflictos con el modo de proceder dominante e implica una serie de dificultades específicas. Se ha comentado en apartados anteriores el gran interés que tiene didácticamente conocer cuáles son los errores y dificultades que encuentra el estudiante al aprender una materia. En el caso del razonamiento estocástico, éstos cobran especial relevancia, ya que los contenidos de estadística y probabilidad están vinculados a creencias personales sobre el azar y la incertidumbre; dichas creencias frecuentemente están alejadas del tratamiento científico propio del tema en el contexto educativo. Por tanto, nuestro reto no es únicamente encontrar cuáles son los obstáculos a los que se enfrentan los alumnos, que ya han sido ampliamente estudiados y experimentados por otros autores; sino conocer los matices que explican esos impedimentos. Al ser muy amplio el análisis de errores tanto en probabilidad como en estadística, el presente trabajo se ha centrado en la primera, y aun así, para que la investigación fuese viable, por condicionantes de espacio y tiempo, se ha detallado sólo el estudio de algún error en particular, como veremos más adelante. Por todo lo anterior, se han establecido como objetivos de la 3. Investigación. Ricardo García García 24

29 experimentación los siguientes: - Comprobar que los alumnos incurren en unos determinados errores al aprender probabilidad. El error que se pretende detectar es la no aplicación de la regla de Laplace a la hora de comparar la probabilidad de un mismo suceso en experimentos o situaciones distintos. - Verificar que el alumno utiliza diferentes estrategias para comparar probabilidades entre experimentos, algunas de ellas erróneas porque no tienen en cuenta la relación entre casos favorables y casos posibles. Comprobar si estas estrategias dependen del tipo de datos y del contexto del problema. - Examinar si la aparición de dichos errores depende en mayor o menor medida del tipo de datos que se aportan en el enunciado del problema. - Relacionar la aparición de los errores con el contexto en el que se plantea el problema HIPÓTESIS Y VARIABLES DE LA EXPERIMENTACIÓN La hipótesis que se pretende validar es: En un aula de educación secundaria, en la que los alumnos tienen conocimientos previos de probabilidad, los errores en los que incurren dichos alumnos al resolver varios problemas de razonamiento estocástico no son independientes de cómo se aportan los datos ni del contexto en el que se plantean. Las variables que se han tenido en cuenta son: - En cuanto a los errores. o Los alumnos incurren en errores al comparar la probabilidad de que ocurra un suceso determinado en experimentos diferentes, porque no tienen en cuenta el número de casos favorables entre casos posibles, sino que aplican estrategias que no evalúan dicha proporción. - En cuanto al tipo de datos que aparecen en los problemas. o Datos absolutos. Cuando se dan valores que corresponden a totales. 3. Investigación. Ricardo García García 25

30 Por ejemplo, el número total de bolas rojas que hay en una urna. o Datos relativos. Cuando se dan los datos indicando la relación porcentual entre una parte y el total. Por ejemplo, el porcentaje de móviles defectuosos. - En cuanto al contexto en el que se plantean los problemas. Se han propuesto tres contextos para ver qué diferencias encuentran los alumnos a la hora de resolver problemas vinculados a cada uno de ellos. o Cotidiano del alumno. Relacionado con las actividades diarias de los alumnos (aficiones, actividades propias de la edad). o Científico. Relacionado con actividades que tengan que ver con el conocimiento científico (astronomía, sociología, medicina). o Matemático. Relacionado con situaciones más abstractas y académicas, en las que los problemas no están contextualizados. Los dos primeros -cotidiano y científico- se han elegido porque se contemplan en PISA como situaciones en las que el alumno manifiesta su competencia matemática. En el primero son situaciones muy cercanas al alumno y, por el contrario, en el segundo se alejan mucho de su cotidianidad. El tercero -matemáticose propone como contraste con los otros dos, al ser un contexto más abstracto pero dominante dentro del aula, y por tanto, con el que están más familiarizados los alumnos POBLACIÓN Y MUESTRA La población sobre la que se ha realizado la investigación es la de los alumnos del 2º curso de Bachillerato de un Instituto de Educación Secundaria de Cantabria que cursan Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. El centro es en el que he realizado las prácticas del máster, y el curso elegido es el más adecuado a los propósitos de este trabajo al tener los alumnos conocimientos previos suficientes de probabilidad para poder elaborar el cuestionario, sin necesitar unas clases previas. Los cuestionarios han sido realizados por la totalidad de ellos, por lo que la muestra coincide con el número de alumnos, que es de Investigación. Ricardo García García 26

31 3.4.- ENFOQUE METODOLÓGICO Lo que se pretende con la investigación es conocer las dificultades que tienen los alumnos al enfrentarse a un tipo de razonamiento en el que tienen que poner en funcionamiento métodos heurísticos específicos para esta rama de las matemáticas. Para ello se ha preparado un cuestionario con 6 items de probabilidad en los que los alumnos muestran el tipo de razonamiento que realizan. Aunque los estudiantes no han comenzado este curso a trabajar contenidos de probabilidad en el momento en el que se realiza el cuestionario, sí que los han trabajado en cursos anteriores. Por lo tanto, los conceptos sobre los que versan los ítems se han tratado anteriormente, siendo éstos muy básicos. Esta distancia en el tiempo entre la última vez que han estudiado los contenidos y la realización del cuestionario, favorece la veracidad de los resultados, ya que las respuestas son concebidas desde el razonamiento matemático del alumno, sin buscar analogías con problemas similares que hayan podido resolver. De esta manera los sesgos aparecerán más fluidamente y no serán tapados por la realización rutinaria de ejercicios semejantes. Las preguntas del cuestionario son de respuesta corta, pero se incita al alumno a que las justifique razonadamente. Se le pide que haga todos los cálculos en las hojas que se le entregan y que expliquen todas las suposiciones que crean necesarias. No se responde a preguntas durante la realización del cuestionario, y las respuestas se recogen de forma anónima CUESTIONARIO Y FUNDAMENTACIÓN El instrumento utilizado para la investigación, como se ha expuesto anteriormente, es un cuestionario de 6 items, que se muestra y fundamenta a continuación: ITEM 1. URNAS. Contexto: Matemático / Tipo de datos: Absolutos. Tenemos dos urnas. En la urna nº1 hay 4 bolas rojas, 2 azules y 1 verde. En la urna nº2 hay 6 bolas rojas, 4 azules y 2 verdes. Se saca una bola de 3. Investigación. Ricardo García García 27

32 cada urna sin mirar. De qué urna es más probable sacar una bola roja? Los problemas en los que aparecen urnas son muy comunes para trabajar la probabilidad y los alumnos están muy familiarizados con ellos. Es una situación sencilla y no necesitan hacer suposiciones. Al darse los datos en valores absolutos se quiere ver si el alumno realiza diferentes estrategias de comparación para decir cuál tiene más probabilidad, si aplica la regla de Laplace o simplemente compara valores absolutos, incurriendo en errores. ITEM 2. DADOS. Contexto: Cotidiano / Tipo de datos: Absolutos. El juego lanza par consiste en lanzar un dado, y gana el que saque par. Se puede elegir para jugar un dado cúbico (que tiene seis caras numeradas del 1 al 6) o un dado icosaédrico (que tiene veinte caras numeradas del 1 al 20). Qué dado elegirías para jugar? Este problema está planteado en un contexto más cercano para el alumnado, que está muy habituado a jugar utilizando dados y tiene muy interiorizado cómo se gana, lo que es un aliciente. Por otro lado, los datos no están dados de forma explícita, sino que el alumno tiene que componer los elementos del espacio muestral. Se pretende comprobar si, al ser un contexto más cercano, varía la cantidad de errores que se realizan y de qué tipo son éstos. ITEM 3. AFLATOXINA. Contexto: Científico (médico) / Tipo de datos: Absolutos. El Ministerio de Sanidad está haciendo una investigación sobre la incidencia en la población de ciertas grasas en la aparición de cánceres pancreáticos. Una de estas grasas es la aflatoxina. Cuando en la sangre hay un contenido elevado de esta grasa, puede provocar cáncer de 3. Investigación. Ricardo García García 28

33 páncreas. Para llevar a cabo la investigación se hacen unos análisis a toda la población de dos pueblos pequeños de diferentes provincias, Villanueva de Urraca y Sant Feliu d Anoia. Los resultados de los análisis son los siguientes: Habitantes con la Habitantes con la aflatoxina alta aflatoxina baja Villanueva de Urraca Sant Feliu d Anoia Si fuéramos a esos pueblos, en cuál de los dos sería más probable que la primera persona que encontráramos tuviera la aflatoxina alta? Aunque los datos que se aportan para que el alumno diga en qué pueblo es más probable encontrar una persona con la aflatoxina alta son sencillos, el enunciado contiene una serie de información que está muy alejada del día a día del alumno. De esta forma, se pretende estudiar si esta información provoca que el alumno yerre más al dar una respuesta, o si es indiferente. ITEM 4. CIRCUITOS. Contexto: Matemático / Tipo de datos: Porcentuales. Tenemos dos circuitos por los que lanzaremos una bola para observar en qué cuenco cae. A B Si lanzamos una bola por A y otra por B, en cuál de los dos circuitos es más probable que la bola caiga en un cuenco con número impar? En 3. Investigación. Ricardo García García 29

34 ambos circuitos, la probabilidad de que en cada bifurcación la bola tome uno de los caminos u otro es 0,5. Al igual que el problema de las urnas, éste está contextualizado en situaciones que son familiares para el alumno (circuitos con bifurcaciones). Pero, al no tener datos absolutos, sino relativos, se quiere conocer si se producen errores por no aplicar estrategias multiplicativas. También se quiere estudiar qué estrategias de comparación se generan al presentar datos relativos (probabilidad del 0,5). ITEM 5. MÓVILES. Contexto: Cotidiano / Tipo de datos: Absolutos y relativos. Un alumno del IES El Astillero quiere comprarse un móvil. En la tienda le ofrecen tres marcas que tienen el mismo precio, la misma forma y las mismas prestaciones. Pero el alumno sabe que de la primera marca se vendieron el mes pasado 500 móviles y salieron 5 defectuosos, de la segunda marca se vendieron 900 y dos de cada 100 dio problemas, y de la tercera marca se vendieron 750 y 7 de ellos salieron defectuosos. De qué marca debería el alumno comprar el móvil para que la probabilidad de que tenga algún defecto sea menor? El contexto en el que se sitúa este problema es muy cercano para el alumno, al igual que el de los dados, pero la aportación de datos es diferente, ya que aquí se dan datos relativos, con lo que la comparación es más directa. Al ser una situación muy familiar se quiere ver si la forma en que se dan los datos influye en que se incurra en más errores, o es indiferente porque están muy habituados a situaciones similares. ITEM 6. MÉDICOS. Contexto: Científico (demográfico) / Tipo de datos: Relativos. En Cantabria, que tiene unos habitantes, el porcentaje de médicos es de 1 por cada 200 habitantes, mientras que en Andalucía, que tiene unos habitantes, el porcentaje de médicos es de 1 por cada 500 habitantes. Si cogemos el censo de ambas Comunidades 3. Investigación. Ricardo García García 30

35 Autónomas y miramos la profesión de uno de sus habitantes elegido al azar, en qué comunidad es más probable que ese habitante sea médico? Quizá en este problema es en el que sea más rápida la comparación por el tipo de datos que contiene, pero se quiere ver qué errores provoca que el contexto sea científico y si les despista este contexto porque lo vinculan más a su vida académica que a las situaciones cotidianas que viven fuera del aula. Se entregaron dos cuestionarios diferentes, uno por alumno. Dichos cuestionarios tenían los mismos ítems, pero el orden en el que aparecía cada uno era diferente: - Cuestionario 1: ITEM1/ITEM5/ITEM4/ITEM2/ITEM3/ITEM6 - Cuestionario 2: ITEM6/ITEM2/ITEM1/ITEM4/ITEM3/ITEM RESULTADOS En el Anexo 2 se recoge la transcripción de las respuestas dadas por los 21 alumnos. En este apartado se presenta el análisis realizado sobre dichos resultados, para lo cual se han establecido tres criterios: - Respecto respuesta correcta- respuesta con error. Se recogen los resultados atendiendo únicamente a la respuesta dada por los alumnos, dividiéndose éstas en correctas o con error. - Respecto a la realización de cálculos para justificar la respuesta. Algunas respuestas van acompañadas de cálculos que la refuerzan. En estos cálculos se pueden detectar los errores en los que el alumno incurre y comparar si estos se producen en mayor o menor medida dependiendo del tipo de datos del problema o del contexto al que está vinculado. - Respecto a la estrategia utilizada por el alumno. Se han revisado los procedimientos que han utilizado los alumnos para llegar a la respuesta final. Para ello se han tenido en cuenta los cálculos efectuados (si se han realizado) y los comentarios realizados. De aquí se obtiene información útil para conocer cómo el alumno resuelve el problema, y si ésta depende de 3. Investigación. Ricardo García García 31

36 su contextualización y del tipo de datos que el problema aporta. Además, se obtiene información sobre el modo en que el alumno justifica una respuesta incorrecta Respecto del criterio respuesta correcta-respuesta con error. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes: Co DATOS ABSOLUTOS DATOS RELATIVOS Urna Dados Aflatoxina Circuito Móviles Médicos Err NS NC Co Err NS NC Co Err NS NC Co Err NS NC Co Err NS NC Co ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x ALUMNO x x x x x x Co: Correcta /Err: Con error / NS/NC: No sabe, no contesta Err NS NC A continuación se exponen unos gráficos en los que se representan los resultados por ITEM. Los datos que aparecen corresponden con las frecuencias absolutas y relativas de las respuestas. ITEM 1.- URNAS (Contexto: Matemático / Tipo de datos: Absolutos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC 3. Investigación. Ricardo García García 32

37 ITEM 2.- DADOS (Contexto: Cotidiano / Tipo de datos: Absolutos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC ITEM 3.- AFLATOXINA (Contexto: Científico / Tipo de datos: Absolutos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC ITEM 4.- CIRCUITO (Contexto: Matemático / Tipo de datos: Relativos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC ITEM 5.- MÓVILES (Contexto: Cotidiano / Tipo de datos: Relativos y absolutos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC ITEM 6.- MÉDICOS (Contexto: Científico / Tipo de datos: Relativos) Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC 3. Investigación. Ricardo García García 33

38 En resumen, los resultados para los 6 ítems respecto del primer criterio son los siguientes: Respuesta correcta Respuesta con error NS/NC Respecto del criterio realización de cálculos En la siguiente tabla y gráfico, se recoge por ITEM la realización o no de cálculos que justifiquen la respuesta, independientemente de que ésta sea correcta o no lo sea. ITEM Cálculos 16 76,2% 9 42,9% 10 47,6% 15 71,4% 9 42,9% 6 28,6% No cálculos 5 23,8% 12 57,1% 11 52,4% 6 28,6% 12 57,1% 15 71,4% Realización de cálculos No realización de cálculos Estrategias de comparación Uno de los objetivos de la investigación es detectar los errores en los que los alumnos incurren al resolver los problemas. Pero esto no es lo único que se pretende ver, sino también, cómo se ha llevado a cabo la comparación de probabilidades. Para estudiar las estrategias de comparación que se han 3. Investigación. Ricardo García García 34

39 efectuado, se ha tomado la clasificación que recogen Juan Jesús Ortiz, Carmen Batanero y José Miguel Contreras en su trabajo Conocimiento de futuros profesores sobre la idea de juego equitativo (Ortiz, J. J. et al., 2012), basada en el estudio que Piaget ( ) e Inhelder ( ) publicaron en 1951 y que son las siguientes: - Respuestas erróneas: o Comparación de casos posibles. Según los autores suizos, corresponde con el comienzo de la etapa preoperatoria. Se encuentran respuestas como la del alumno 11 en el ITEM 6: Es más probable que sea de Andalucía porque son más habitantes y, por tanto, más médicos. o Comparación del número de casos favorables. Corresponde con la etapa preoperatoria. Se encuentran respuestas como las del alumno 3 en el ITEM 1: De la 2ª urna es más probable sacar una bola roja, ya que hay más bolas rojas que en la 1ª. o Comparación del número de casos desfavorables. Etapa preoperativa. Respuestas como la del alumno 8 en el ITEM 3: En Villanueva de Urraca. A simple vista diría Sant Feliu d Anoia, ya que 75 personas tienen aflatoxina alta, pero si se compara con las personas que la tienen baja, en ese pueblo hay menor posibilidad de que la primera persona tuviera aflatoxina alta. - Respuestas correctas: o Estrategia de correspondencia. Establecen un criterio de proporcionalidad en una fracción. Etapa de las operaciones formales. Respuestas como la del alumno 2 en el ITEM 1: Daría igual qué dado elegir. Hay la misma proporción de caras pares en las dos. o Estrategia multiplicativa. Compara dos fracciones, por lo que es más elaborada. Etapa de las operaciones formales. Respuestas como la del alumno 21 en el ITEM 5: De la tercera marca puesto que el tanto por ciento de que salga defectuoso es menor. Según estas estrategias de comparación las respuestas de los diferentes ITEMs se clasifican en: 3. Investigación. Ricardo García García 35

40 ITEM 1 ITEM 2 ITEM 3 ITEM 4 ITEM 5 ITEM 6 Respuesta Estrategia Abs. % Abs. % Abs. % Abs. % Abs. % Abs. % Correcta Incorrecta Correspondencia 6 28,57 2 9,52 1 4,76 1 4,76 2 9, ,62 Multiplicativa 12 57, , , , , ,33 No especifica u otras 0 0,00 1 4,76 0 0,00 2 9,52 1 4,76 0 0,00 Compara casos posibles 2* 9, ,29 1 4, ,29 0 0,00 1 4,76 Compara casos favorables 2* 9,52 2 9,52 0 0,00 2 9,52 1 4,76 0 0,00 Compara casos desfavorables 0 0,00 1 4,76 1 4,76 0 0,00 1 4,76 0 0,00 No especifica u otras 0 0,00 0 0, , ,81 0 0,00 2 9,52 Errores de cálculo 1 4,76 1 4, ,57 0 0,00 0 0,00 0 0,00 NS/NC 0 0,00 0 0,00 0 0,00 0 0, ,05 2 9,52 * Compara casos posibles y casos favorables. Respuestas correctas Correspondencia Multiplicativa No esp./otras Respuestas incorrectas Compara casos posibles Compara casos favorables Compara casos desfavorables Errores de cálculo No esp./otras INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS A la vista de los resultados del cuestionario observamos que: I. Si se analizan los resultados por contextos podemos comprobar que a. En contexto matemático (ITEMs 1 y 4), incurren en menos errores cuando los datos están dados en frecuencias absolutas (ITEM 1). b. En contexto cotidiano (ITEMs 2 y 5), el número de respuestas sin error 3. Investigación. Ricardo García García 36