Matriz característica de cinemática directa para el mecanismo definido. RESUMEN. Cuaternión de marco de referencia.

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1 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO Brazo RRR didáctico con adquisición de datos por FPGA. José Colín Venegas 1, Erick Alejandro Mosqueda Moreno 1, José Ángel Colín Robles 1, Eugenio Ramírez Durán 1 1 Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Carretera Salamanca Valle de Santiago km km, Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto., MEXICO Teléfono: ext colin@ugto.mx, joseangelcr@hotmail.com, ea.mosquedamoreno@ugto.mx, yuscabostalia@hotmail.com RESUMEN. El siguiente artículo presenta una plataforma para la enseñanza práctica de la robótica en sistemas articulados, en este caso particular un brazo de tres grados de libertad dados por tres revolutas (tipo RRR), utilizando un sistema de adquisición de datos emitidos por codificadores rotatorios generadores de pulsos, controlado por un Arreglo de Compuertas Lógicas Programables (FPGA por sus siglas en inglés) y en comunicación con un ordenador para generar la gráfica de la trayectoria del efector final. ABSTRACT. Following article present a robotics teaching platform in articulated systems, in this particular case a 3 degrees of freedom given by three joints arm (RRR type), using rotatory pulse generator encoders for data acquisition to a Field Programmable Gate Array (FPGA) control system embedded connected to a computer to generate final effector s path plot. NOMENCLATURA D encoderi θ i A i Cantidad de cuentas adquiridas por el encoder del i-ésimo nodo. Ángulo en el plano de rotación del iésimo nodo, entre los eslabones i e i + 1. Matriz característica del i+1-ésimo nodo respecto a su marco i. A v p a i α i d i INTRODUCCIÓN Matriz característica de cinemática directa para el mecanismo definido. Cuaternión de marco de referencia. Cuaternión de posición del efector final. Longitud del i-ésimo eslabón Desfase angular del i-ésimo eslabón Desplazamiento del origen del iésimo eslabón en el sentido del eje de rotación. El sistema surge de la necesidad de facilitar la comprensión de la cinemática directa para alumnos de ingeniería Mecánica, Mecatrónica y Electrónica en asignaturas relacionadas con la robótica y la comprensión de su dinámica y los parámetros a medir en el caso de su instrumentación. Su función principal es interpretar el desplazamiento angular de las rótulas de un mecanismo robótico RRR y obtener una gráfica que represente el desplazamiento del efector final en el espacio tridimensional. La construcción del sistema comprende cinco entidades fundamentales: 1) El mecanismo (ver Figura 1), compuesto de cuatro eslabones unidos por tres rótulas, acondicionadas para conservar su ángulo una vez que el operador deje de moverlo manualmente. 2) El arreglo de encoders, empleados para emitir pulsos eléctricos en función de la variación angular de su respectiva rótula. 3) La tarjeta de adquisición de datos, responsable de recibir las señales de los ISBN Página 16 Derechos Reservados 13, SOMIM

2 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO encoders y amplificarlas de manera que sean adecuadas para ser enviadas al FPGA. 4) La plataforma de percepción de giro, programado en un FPGA, distingue los pulsos recibidos por la tarjeta de adquisición y el instante de tiempo a partir del inicio de la adquisición, genera una tabla con estos datos y la almacena en una memoria RAM. Este proceso ocurre simultáneamente para cada vector de señales de encoder. brazo, y a su vez, representarlos gráficamente. DESARROLLO Se diseñó y construyó un brazo robótico de 3 grados de libertad y se le implementaron 3 encoders para poder conocer la posición y la orientación de los eslabones. Para poder adquirir los datos de estos encoders, se utilizó la tarjeta Spartan-3, un FPGA de Xilinx, en la cual se programó el sistema embebido de la Figura 2. En resumen, las funciones del FPGA fueron: Obtener los datos de los encoders, Almacenar los datos adquiridos en la memoria RAM de la FPGA, Transmitir ordenadamente las tablas de datos por medio del protocolo RS232 a la computadora Figura 2: Diagrama de bloques para la configuración del FPGA. Figura 1: Diseño 3D del Mecanismo didáctico. ) La interfaz de usuario en un ordenador, el cual se comunica con el FPGA de forma serial empleando protocolo de comunicación RS232. Éste software procesa la información almacenada en las memorias RAM utilizando arreglos matriciales de la cinemática directa a través de cálculos de matrices homogéneas de transformación para representar matemáticamente la motricidad de rotación y traslación empleando los parámetros de Denavit- Hartenberg para obtener los vectoresposición X, Y y Z del efector final del Figura 3: Representación de las señales de entrada y salida para la Máquina de Estados Finitos del intérprete de encoders. Para probar el funcionamiento del sistema, se creó una aplicación con la cual fueron calculadas las coordenadas del efector final respecto al marco inicial implementando 3 funciones anidadas que siguen el flujo del diagrama de la Figura 4. La función de conversión de datos del encoder ISBN Página 17 Derechos Reservados 13, SOMIM

3 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO asume la relación establecida por el fabricante, θ = 2π 4 D encoder (1) Dado que una revolución (2π radianes) equivale a 4 cuentas del encoder, debido a que su resolución es de 1 pulsos por vuelta completa. Para determinar las triadas ordenadas de la posición del efector final, los parámetros de Denavit-Hartenberg constantes de cada eslabón fueron determinados por medición física. Tabla 1: Parámetros Denavit-Hartenberg i a α d θ 1 a 1 = α 1 = π 2 d 1 = 18 θ 1 2 a 2 = 18 α 2 = π d 2 = 3.19 θ 2 3 a 3 = 21. α 3 = d 3 = 3.28 θ 3 * Variable Vector de transformación homogénea para traslaciones: q n,x T i,qn = [ q n,y ] q n,z (2) Donde q n = q n,x î + q n,y j + q n,z k Matrices de transformación homogénea para rotaciones: 1 R x,θn = [ cos θ n sin θ n ] sin θ n cos θ n cos θ n sin θ n R y,θn = [ 1 ] sin θ n cos θ n (3) (4) cos θ n sin θ n R z,θn = [ sin θ n cos θ n ] () 1 La matriz de rotación total de la i-ésima rótula respecto al i 1-ésimo marco de referencia R i, debe determinarse por medio de productos de las matrices correspondientes a cada giro en lo particular. Sin embargo, es posible determinar la rotación característica de los marcos coordenados para todos los ángulos simultáneamente en una sola matriz de rotación a través del análisis de espacio cartesiano. La matriz de transformación homogénea para la cinemática requerida se determina como sigue: T i,qn A i = [ R i T 1 ] (6) Figura 4: Diagrama de flujo de la interfaz de software matemático. Para el cálculo del vector de posición, el software requiere realizar procedimientos de álgebra lineal a entidades conocidas como Matrices de Transformación Homogénea. Como se mencionó anteriormente, éstas representarán matemáticamente los movimientos de rotación y traslación ejecutados por el sistema mecánico. Las expresiones genéricas requeridas para los cálculos se expresan como sigue: Las matrices de transformación homogénea que representan los cambios de marco provocados por los eslabones, son: sin θ 1 cos θ 1 cos θ A 1 = [ 1 sin θ 1 ] (7) ISBN Página 18 Derechos Reservados 13, SOMIM

4 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO A 2 cos θ 2 sin θ 2 18 cos θ 2 sin θ = [ 2 cos θ 2 18 sin θ 2 ] A 3 cos θ 3 sin θ sin θ 3 sin θ = [ 3 cos θ cos θ 3 ] (8) (9) capaz de adquirir la información procedente del FPGA. Para tal efecto, fue desarrollada una aplicación GUI con funciones anidadas en MATLAB. Adicional a la función de conversión de datos del encoder a coordenadas cartesianas, debe considerarse en la programación la función de adquisición de cuentas del encoder desde el FPGA y la función generadora de la gráfica. RESULTADOS Figura : Comprobación gráfica de la conversión de cuentas del encoder a posición del efector final para la rotación teórica independiente de las rótulas 1 (azul), 2 (rojo) y 3(negro). Para obtener la matriz de transformación homogénea del efector final con respecto a la base, es necesario multiplicar estas 3 matrices. El brazo construido (Figura 6) es de aluminio 661-T6, con rótulas reconstruidas en acero A- 36, fundamentalmente manufacturado con material residual reciclable obtenido del taller mecánico para la minimización de costos. Tiene 2 eslabones, cada uno con un grado de libertad, y una base que gira horizontalmente 36 grados, el cual es otro grado de libertad. En el alcance del proyecto no se contempló mover de forma automática los eslabones con la intención de generar en próximos proyectos un sistema Maestro-Esclavo, por lo cual se diseñó un sistema mecánico por fricción en los rotores para preservar el ángulo los eslabones cuya posición puede verse afectada por efectos de la gravedad (Ver Figura 7). Por supuesto los ejes de cada rótula están anclados al eje del correspondiente encoder, el cual no soporta ninguna carga en el mecanismo. A = A 1 A 2 A 3 (1) Por último, para determinar las coordenadas del vector-posición del efector final respecto a la base, es necesario multiplicar La matriz de transformación homogénea A por un vector que defina el último marco de referencia, ya que al considerarse que la punta libre del mecanismo articulado será tal efector, su vector respecto a su último marco de referencia será v = [ 1] T. Entonces, p = [x y z o] = (Av) T (11) De tal modo que las salidas de la función de conversión de datos del encoder a coordenadas espaciales serán los vectores que almacenen los valores de [x, y, z] para graficar. Con esta información, es posible crear la aplicación de trazado de trayectorias utilizando una herramienta de procesamiento de matrices Figura 6: Mecanismo RRR con encoders instalados en configuración inicial (HOME). ISBN Página 19 Derechos Reservados 13, SOMIM

5 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO Figura 7: Vista del rotor frenado por fricción Figura 9: Prototipo de Tarjeta de Adquisición de Datos.. Se realizaron pruebas iniciales sin efectuar desplazamiento alguno. Los datos obtenidos generaron la gráfica mostrada en la Figura 1, comprobando que el sistema no genera o falsos cambios de estado en ninguna etapa Figura 8: Dispositivo FPGA Xilinx Spartan-3 en prueba 17.2 de adquisición de datos de los encoders La tarjeta de adquisición de datos tiene dos etapas de regulación de señal (buffering), la primera, que se encuentra en la plantilla de experimentos (Figura 9) recibe las señales de los encoders en un rango de amplitudes de -mv, para amplificarlas entre V, óptimo para electrónica de Lógica Transistor a Transistor (TTL por sus siglas en inglés). La segunda etapa, construida en la PCB, lleva las señales a un rango de -3.3V especial para electrónica de componentes de simetría complementaria metalóxido-semiconductor (CMOS por sus siglas en inglés) Figura 1: Representación de datos obtenidos sin variación angular. La Figura 11 presenta la gráfica de medias obtenidas en la repetición de una rpueba dedesplazamiento de 1 grado de libertad. Se pudo apreciar que la representación del desplazamiento del efector final en la gráfica es aceptablemente precisa. Al realizar seguimiento sobre objetos de dimensiones conocidas, obtuvimos un error relativo de.9%, posiblemente generado por el error acumulado de las señales en los encoders, sumado a errores de medición y al factor de error humano, ya que la operación del mecanismo es completamente manual ISBN Página Derechos Reservados 13, SOMIM

6 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO Plano Y X Plano Z Plano Y Z Plano Z X Figura 11: Media del Experimento 1, actuando un grado de libertad (rotor 1) partiendo de la configuración inicial. Repetido veces. La Figura 12 demuestra que, si bien el mecanismo debe encontrarse en su configuración de cinemática inicial en el momento que kla tarjeta de adquisición se enciende, la adquisición converge al desplazamiento físico aún cuando inicie con el mecanismo fuenra de HOME. En este caso, los eslabones fueron cambiado de posición antes de iniciar la adquisición, de manera que el efector final no inicia en las coordenadas (-.9, 18.,.) Figura 12: Representación de desplazamiento del efector final en tres dimensiones con variación angular en dos grados de libertad (rotores 2 y 3). En la Figura 13 se logran apreciar las variaciones generadas por intervención humana en un experimento con desplazamiento espacial no guiado. Éste factor es decisivo para la determinación del error ISBN Página 21 Derechos Reservados 13, SOMIM

7 2 al 27 DE SEPTIEMBRE, 13 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO CONCLUSIONES Figura 13: Adquisición de desplazamiento no guiado del efector final con rotación en las tres juntas Se desarrolló un sistema con el potencial de simplificar el aprendizaje de los modelos 48 matemáticos utilizados para el cálculo de 46 parámetros en cinemática directa, con versatilidad 44 para la programación de aplicaciones debido a su 42 comunicación RS232 abierta, permitiendo al 4 estudiante desarrollar sus propias aplicaciones para la - elaboración -1 de ejercicios o 1 proyectos de robótica. El 48 sistema tiene áreas de desarrollo versátiles. Se están 46 realizando trabajos en la ampliación del alcance 44 de ésta plataforma a otras configuraciones robóticas, como el SCARA o el cartesiano, 42 también en el desarrollo del sistema de 44 procesamiento digital de señales en hardware implementando plataformas tecnológicas 3 diferentes al FPGA para simplificar su desarrollo, como el 1 DSPIC o el ARDUINO, los cuales 1 también permitirán el desarrollo de sistemas en -1 - tiempo real que permitan programar aplicaciones de software para simulación en 3D que permitan almacenar las secuencias de estados del robot para emularlas 4 a través de cinemática inversa en otros mecanismos, incluso con configuraciones 4 robóticas distintas. 3 1 REFERENCIAS - (1) J. Angeles, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Theory, Methods and Algorithms, Tercera edición, Editorial Springer, 7. (2) M. W. Spong, M. Vidyasagar, Robot Modeling and Control, Segunda edición, Editorial Wiley, 6. (3) R. J. Romero-Troncoso, Sistemas Digitales con VHDL, Primera edición, Legaria Ediciones. (4) S. A. Khan, Digital Design of Signal Processing Systems. A Practical Approach, Primera edición, Editorial Wiley & Sons, 11. () J. J. Craig, Robótica, Tercera edición, Pearson, ISBN Página 22 Derechos Reservados 13, SOMIM