UNIDAD VI PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

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1 UNIDAD VI PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN RESUMEN PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Definición: Se llama producto notable a aquel que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. CUADRADO DE UN BINOMIO (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 REGLA: el cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 REGLA: el cuadrado del primer término menos el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Definición: Dos binomios son conjugados si sólo difieren en el signo de uno de sus términos. Como ejemplo, podemos decir que, (a + b) y (a b) son binomios conjugados. (a + b) (a b) = a 2 b 2 REGLA: el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de sus términos al cuadrado. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN El producto del binomio (x + a) por el binomio (x + b) es: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab REGLA: el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común más el producto de los términos comunes. 53 de 59

2 CUBO DE UN BINOMIO (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 REGLA: El cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 REGLA: El cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero término por el segundo término, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. FACTORIZACIÓN Definición. A cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llaman factores. Factorizar es el proceso que permite descomponer a una expresión algebraica en el producto de sus factores. En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. FACTORIZACIÓN POR TÉRMINO COMÚN De los términos de la expresión se seleccionan los que son comunes a todos los términos y se escriben como un solo factor que multiplica a los términos restantes encerrados entre paréntesis: ax + bx + cx = x(a + b + c); FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de dos binomios conjugados: a 2 b 2 = (a + b)(a b) FACTORIZACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) se Factoriza como el cuadrado un binomio: TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 El trinomio de la forma x 2 + bx + c se Factoriza como el producto de dos binomios con un término en común, es decir: x 2 + bx + c = (x + m) (x + n) 54 de 59

3 TRINOMIO DEL TIPO ax 2 + bx + c Donde, a = mn, c = rs y b = nr + ms ax 2 + bx + c = (mx + r)(nx + s) Esto es, si ax 2 + bx + c se expresa como el producto de dos binomios, los primeros términos de los binomios deben ser factores de ax 2, los dos segundos términos deben ser factores de c y la suma de los productos cruzados debe ser b. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Agrupamos los términos que tengan factores comunes en un paréntesis, y los demás que tengan factores comunes en otro paréntesis, y separamos estos dos paréntesis por el signo que tenga el segundo término. Luego aplicamos la factorización por factor común en cada uno de los paréntesis. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS Y UNA DIFERENCIA DE CUBOS Suma de cubos a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) REGLA: la suma de cubos se descompone en el producto de dos factores, el primer factor se forma por la suma de sus raíces y el segundo factor se forma con el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Diferencia de cubos a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) REGLA: la diferencia de cubos se descompone en el producto de dos factores, el primer factor se forma por la diferencia de sus raíces y el segundo factor se forma con el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. 55 de 59

4 EJERCICIOS SOBRE PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN I. PRODUCTOS NOTABLES Aplicando la regla correspondiente, encontrar los productos indicados. A. Cuadrado de un Binomio 1. (a + 3b) 2 2. (4a b) 2 3. (6z 5w 2 ) 2 4. (2 3m 2 n 3 ) 2 5. (1 1 3 s2 ) 2 6. ( 2 3 ab2 3c 3 ) 2 7. ( 3 5 x2 y 3 z uv2 ) 2 8. (5 a b 4 c d )2 9. ( 2x2 3z 3 3y 4w 2)2 10. ( 3x2 z 3 + 2m3 n )2 B. Producto de binomios conjugados 11. (x + 9)(x 9) 12. (xy + 3)(xy 3) 13. (a + 5b)(a 5b) 14. (4xy + 5w)(4xy 5w) 15. (2x 2 + yz 2 )(2x 2 yz 2 ) 16. ( 3x + y ) 4 5 (3x y ) ( 3ab2 c2 + x3 y 5 7 ) c 3 (3ab ( 2m n4 3 ) (2m2 4 2n4 3 ) 19. ( m m ) (m m ) 20. ( 6abc2 xy + jk ) 2b (6abc2 jk ) xy 2b x3 y 5 3 ) C. Producto de binomios con un término en común 21. (2x 3)(2x + 1) 26. (y 2 z)(y 2 7z) 22. (2 + 13a)(2 + a) 27. (7ab 2 1)(7ab 2 9) 23. (7x 1)(7x + 2) 28. (abc d)(abc 2 2d) 24. (a )(a 2 11) 29. (m 2 n 3 1)(m 2 n 3 2) 25. (b 2 + 5)(b 2 9) 30. (2xy 3 10)(2xy 3 2) 56 de 59

5 D. Producto de binomios 31. (3x 1)(x + 2) 32. (x 3)(2x + 1) 33. (4b + a)(b + 2a) 34. (3c 2)(2c + 3) 35. (8m 5)(2m + 4) 36. (5h + 3)(4h 5) 37. (4a 7)(5a + 2) 38. (2m 3n)(4m 2n) 39. (12x 3y)(6x 5y) 40. (6c 3d)(2c 7d) E. Cubo de un binomio 41. (2y + 3) (2 + z) (3k 1) (2a 2 y 4 ) (2x 3y) (4m 4 + 4n 2 ) (p 2 q + ab 3 c) (2r 4 t 5xy) ( a b)3 50. ( y ab z2 2 )3 II. FACTORIZACIÓN A. Factor Común 51. 3m 2 n 6mn 2 + 9m 3 n (x 1)(x + 1) + (x 1)(x + 2) 52. 2a 3 b 2 + 8a 2 b 3 12a 3 b (z 2)(2z + 1) (z 2)(2z 3) 53. 6(2m + 1) 2 2(2m + 1) 57. (5 + 2w)(w 3) (7 w)(3 w) 54. (a + b)(a b) + (a + b)b 58. 2u(2u 3) 2 + u 2 (3 2u) x x x (6a 3b)(a + b) + (6a 3b)(a + 2b) (6a 3b)(2a + b) B. Diferencia de cuadrados 61. m 2 16n x 2 4y m 2 9n a 2 64b c 2 49d x 4 4y r 4 h 2 25k a 2 b 2 49x 4 y h 8 16k r s4 57 de 59

6 C. Trinomio cuadrado perfecto 71. a 2 + 4a h 2 + 6h k 2 + 4k x xy + 4y a ab + 9b r rs + 16s c c m m n n a 8 30a 4 b 5 + 9b x x 3 y y 4 D. Trinomio de la forma x 2 + bx + c 81. x 2 5x x 2 9x x 2 13x x 2 2xy 63y x 2 y 2 14xy x 2 y xy x 4 + 7x x 4 10x (x + y) 2 + (x + y) (u v) 2 3(u v) 10 E. Trinomio general 91. 3a ab + 16b u 2 16uv + 5v h 2 + 4h y 2 + 3y m m h hk 5k x 2 + 4xy 15y c 2 + cd 4d x xy 12y a a 3 35a 2 F. Suma y diferencia de cubos 101. c 3 27d j 3 8k p 3 125q x y m 3 + 8n t 5 + 5t m n p 4 2p x 3 y x 6 y 6 58 de 59

7 G. Factorización por agrupación 111. x 2 + x xy y 112. rs + 6s r c 2 3cd + c 3d x 2 + 6xy 5x 15y 115. mc + cn + dm + dn xy 15y 2 + 2xz 5yz h 2 15hk 4hj + 6jk a 2 3ab 36ac + 18cb 119. m 2 6mn + 9n 2 4p 2 8pz 4z a 2 6ab + b 2 c 2 + 4cd 4d 2 H. Factorizaciones combinadas ax 2 2a m mn + 64n x 2 36y x 3 98xy p 4 81q x 4 + 4x 3 8x x x 6 7x a 6 b m n8 59 de 59