Se agrupan los términos semejantes y se realiza la operación entre coeficientes, TENIENDO EN CUENTA QUE LA PARTE LITEAL NO CAMBIA:

Transcripción

1 EJÉRCITO NACIONAL LICEOS DEL EJÉRCITO LICEO DEL EJÉRCITO PATRIA SECTOR SUR C- SANTA BÁRBARA GUÌA DE RECUPERACIÒN SEMESTRAL DE MATEMÁTICAS GRADO 8 ASIGNATURA: MATEMÁTICAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE FECHA DE ENTREGA: 8 A 9 de Julio 8 B- 11 de Julio DOCENTE: JUAN FRANCISCO HURTADO HERNÁNDEZ FORMA DE SUSTENTACIÓN: Escrita GRADO: 8 A- 8 B FECHA DESUSTENTACIÓN: 8 A- 3 de Julio 8 B- 4 de Julio OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS La guía se debe entregar a mano en hojas de examen, muy bien organizada la cual será recibida el día 9 de julio (8 A) y 11 de Julio (8 B), para su posterior sustentación el día 3 de Julio (8 A) y 4 de Julio (8 B) y se evaluaran las habilidades: COGNITIVA: 50 puntos por medio evaluación escrita. PROCEDIMENTAL: 30 puntos Desarrollo de la guía Los materiales y recursos necesarios para el desarrollo de la guía son: Los apuntes de tu cuaderno, la información expuesta en el libro de SANTILLANA y otros textos que contemplen el desarrollo de la temática tratada. Presentar la guía en carpeta blanca, el desarrollo de los ejercicios deben ser realizados en hojas block oficio cuadriculadas. La los ejercicios de aplicación aquí presentados deben imprimirse para ser presentados. DESCRIPCIÓN DE LA GUÍA Esta guía tiene como finalidad aclarar y reforzar aquellos conceptos en donde presentaste dificultades por medio de ejercicios prácticos y consultas extras que te permitirán ampliar tus conocimientos y mejorar tu aprendizaje, anímate a desarrollarla con entusiasmo. DESARROLLO TEÓRICO PRIMER BIMESTRE. EXPRESIONES ALGEBRAICAS: La expresiones algebraicas son relaciones entre variables constantes por medio de operaciones. EJ: xy ; x - y ; ( x y ) TÉRMINOS: Son expresiones algebraicas que constan de uno o varios símbolos que no están separados entre sí por los signos + o -. EJ: xy ; -84 /1x y MONOMIOS: Los monomios son expresiones algebraicas que están formadas por un solo término. EJ : xy ; ½ x y 3 ; -9x 8 t 1/ POLINOMIO: Un polinomio es una expresión algebraica que tiene dos o más términos. EJ: 4x 5 +x 3 y

2 -6/5 x 8 +3x 7 -y 4-9x 8 y 8 z 3 +3 TÉRMINOS SEMEJANTES: Los términos semejantes son aquellos términos que tienen la misma parte literal.ej: Los términos 33xy y 6xy, son semejantes por que tienen la misma parte literal, aunque tienen diferente coeficiente. Los términos 3xy y 48x y no son semejantes, ya que aunque tienen las mismas variables no tienen la misma parte literal. SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay, teniendo en cuenta que al reducir términos se suman las partes numéricas y la parte literal NO CAMBIA. EJ: Sumar 5xy 3-8+3xy y 4xy +3y+9 Se agrupan los términos semejantes y se realiza la operación entre coeficientes, TENIENDO EN CUENTA QUE LA PARTE LITEAL NO CAMBIA: 5xy 3 + 3y + (3xy + 4xy ) + ( 9 8 ) = 5xy 3 + 7xy + 1 RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay, es decir es la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo. EJ: Restar 5xy 3-8+3xy de 4xy +3y+9. En este ejercicio el minuendo es 4xy +3y+9 y el sustraendo es 5xy 3-8+3xy Luego se suma 4xy +3y+9 con el opuesto de 5xy 3-8+3xy (4xy + 3y + 9) + ( -5xy xy ) Se agrupan los términos semejantes y se realiza la operación -5xy 3 + 3y + ( - 3xy + 4xy ) + ( 9 + 8) = - 5xy 3 + 3y + xy + 17 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, colocándole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo vendrá dado por la ley de signos. EJ: multiplicar (-8xz) y (3xy) Primero se multiplican los coeficientes: (-8*3)=-4 Luego se agrupan las letra sumando sus exponentes (-8xz) (3xy) = -4x yz MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva), teniendo en cuenta para cada caso la regla de los signos, separando los productos parciales con sus propios signos. EJ: Multiplicar (3xy+5z) y (-8xz) Primero se hace la propiedad distributiva: (3xy) (-8xz)+(5z) (-8xz)

3 luego se multiplican los términos uno a uno: -4x yz 40xz MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes si los hay. EJ: Multiplicar (3xy+5z) y (-8xz+10y) Primero se hace la propiedad distributiva: (3xy) (-8xz) + (5z) (-8xz) + (3xy) (10y) + (5z) (10y) luego se multiplican los términos uno a uno: -4x yz 40xz + 30xy +50zy DIVISIÓN DE MONOMIOS: Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, colocándole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo viene dado por la ley de signos. EJ: Dividir 4x 5 y entre 3x y Primero se dividen los coeficientes, teniendo en cuenta la ley de los signos: (4)/ (-3)=-8 Luego se escriben las letras con los exponentes igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y divisor 4x 5 y / 3x y = -8x 5- y -1 = -8 x 3 y DIVISIÓN DE POLINOMIO SOBRE MONOMIO: Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos. EJ: Dividir (4x 5 y 30x 4 y) entre 3x y Primero se divide cada término del polinomio entre el monomio 4x 5 y / 3x y - 30x 4 y / 3x y Se realiza la divisiones correspondientes para cada término = -8 x 3 y + 10x DIVISIÓN DE POLINOMIOS: 1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y tendremos el primer término del cociente. 3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer término del resultado que me dio de la resta anterior entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.

4 5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos; así sucesivamente hasta que el residuo sea cero, o hasta que el grado del polinomio que queda en el dividendo sea menor que el del divisor. EJ: 1-Se ordenan los polinomios según las potencias de x, de mayor a menor grado, dejando espacio cuando falte algún término: -Se divide el primer término del dividendo entre el primer : 3x / x = 3x 3-El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el resultado se resta del dividendo 4-Se baja el siguiente término del dividendo y se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término divisor. Se continúa el proceso hasta llegar a un residuo cuyo grado sea menor que el divisor. del DESARROLLO TEORICO SEGUNDO BIMESTRE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos: Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice: Pues bien, si nos piden factorizar la expresión decir que a. x a. y, basta aplicar la propiedad distributiva y a. x a. y a.( x y) Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden 3 factorizar la expresión 36x 1x 18x, será 36x 1x donde 6 es el máximo común divisor de 36, 1 y 18 18x 6x(6x x 3) Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. 3

5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos: Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice: a.( x y) a. x a. y Pues bien, si nos piden factorizar la expresión decir que a. x a. y, basta aplicar la propiedad distributiva y a. x a. y a.( x y) Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden 3 factorizar la expresión 36x 1x 18x, será 36x 1x donde 6 es el máximo común divisor de 36, 1 y 18 18x 6x(6x x Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. FACTOR COMÚN MONOMIO ab + ac + ad = a ( b + c + d ) 3) Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. 1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. 3

6 ) Se divide cada parte el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y ) Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio. Procedimiento para factorizar 1) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio. ) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. Ejemplos: 1): Factorizar ax + bx + aw + bw

7 Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide = x + w (a + b) Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) ): Factorizar x - 4xy + 4x - 8y Agrupamos ( x - 4xy ) + ( 4x - 8y ) Factor común en cada binomio: x(x - y) + 4(x - y) Factor común polinomio: (x - y) x(x - y) + 4(x - y) Luego se divide = x + 4 (x - y) Entonces: x - 4xy + 4x - 8y = (x - y)(x + 4) DIFERENCIA DE CUADRADOS ( a - b) = (a + b)(a - b) En una diferencia de dos cuadrados perfectos. Procedimiento para factorizar 1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. ) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. Ejemplos: 1) Factorizar 5x - 1 La raíz cuadrada de : 5x es 5x La raíz cuadrada de : 1 es 1 Luego 5x - 1 = (5x + 1)(5x - 1) ) Factorizar 16x - 36y 4

8 La raíz cuadrada de : 16x es 4x La raíz cuadrada de : 36y 4 es 6y Luego 6x -36y 4 =(4x+6y )(4x- 6y ) 3) Factorizar 11a b 4 c 8-144d 10 e 14 La raíz cuadrada de : 11a b 4 c 8 es 11ab c 4 La raíz cuadrada de : 144d 10 e 14 es 1d 5 e 7 Luego 11a b 4 c 8-144d 10 e 14 = (11ab c 4 + 1d 5 e 7 )(11ab c 4-1d 5 e 7 ) 4) Factorizar x 9y n = La raíz cuadrada de: x es x La raíz cuadrada de : 9y n es 3y n x - 9y n = ( x - 3y n ) (x - 3y n ) SUMA DE CUBOS PERFECTOS a 3 + b 3 = (a + b)(a - ab + b ) Procedimiento para factorizar 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. ) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo 1: Factorizar x La raíz cúbica de : x 3 es x La raíz cúbica de : 1 es 1 Según procedimiento x = (x + 1)[(x) - (x)(1) + (1) ]

9 Luego x = (x + 1)(x - x + 1) Ejemplo : Factorizar 8x La raíz cúbica de : 8x 3 es x La raíz cúbica de : 64 es 4 Según procedimiento 8x = (x + 4)[(x) - (x)(4) + (4) ] Luego 8x = (x + 4)(4x - 8x + 16) Ejemplo 3: Factorizar 1000x 6 y z 1 w 15 La raíz cúbica de : 1000x 6 y 3 es 10x y La raíz cúbica de : 15z 1 w 15 es 5z 4 w 5 Según procedimiento 1000x 6 y z 1 w 15 =(10x y + 5z 4 w 5 ) [(10x y) - (10x y) (5z 4 w 5 ) + (5z 4 w 5 ) ] Luego 1000x 6 y z 1 w 15 = (10x y + 5z 4 w 5 )(100x 4 y - 50x yz 4 w 5 + 5z 8 w 10 ) Procedimiento para factorizar DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS a 3 - b 3 = (a - b)(a + ab + b ) 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. ) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo 1: Factorizar y 3-7 La raíz cúbica de : y 3 es y La raíz cúbica de : 7 es 3 Según procedimiento y 3-7 = (y - 3)[(y) + (y)(3) + (3) ] Luego y 3-7 = (y - 3)(y + 3y + 9)

10 Ejemplo : Factorizar 15x La raíz cúbica de : 15x 3 es 5x La raíz cúbica de : 1000 es 10 Según procedimiento 15x = (5x - 10)[(5x) + (5x)(10) + (10) ] Luego 15x = (5x - 10)(5x + 50x + 100) Ejemplo 3: Factorizar 16x 9 y 1 z m 30 w 18a La raíz cúbica de : 16x 9 y 1 z 15 es 6x 3 y 4 z 5 La raíz cúbica de : 343m 30 w 18a es 7m 10 w 6a Según procedimiento: 16x 9 y 1 z m 30 w 18a = (6x 3 y 4 z 5-7m 10 w 6a )[(6x 3 y 4 z 5 ) + (6x 3 y 4 z 5 )(7m 10 w 6a ) + (7m 10 w 6a ) ] Luego 16x 9 y 1 z m 30 w 18a = (6x 3 y 4 z 5-7m 10 w 6a )(36x 6 y 8 z x 3 y 4 z 5 m 10 w 6a + 49m 0 w 1a ) TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS a + ab + b = (a + b) Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. 1) Un trinomio ordenado con relación a una letra ) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos 3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Procedimiento para factorizar 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. ) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b). 3) Este producto es la expresión factorizada (a + b). Si el ejercicio fuera así: a - ab + b = (a - b)

11 a b Procedimiento para factorizar 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. ) Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces (a - b)(a - b). 3) Este producto es la expresión factorizada (a - b). Ejemplo 1: Factorizar x + 10x + 5 La raíz cuadrada de : x es x La raíz cuadrada de : 5 es 5 El doble producto de las raíces: (x)(5) es 10x Luego x + 10x + 5 = (x + 5) Ejemplo : Factorizar 49y + 14y + 1 La raíz cuadrada de : 49y es 7y La raíz cuadrada de : 1 es 1 El doble producto de las raíces: (7y)(1) es 14y Luego 49y + 14y + 1 = (7y + 1) Ejemplo 3: Factorizar 81z - 180z La raíz cuadrada de : 81z es 9z La raíz cúbica de : 100 es 10 El doble producto de las raíces: (9z)(10) es 180z Luego 81z - 180z = (9z - 10) TRINOMIOS DE LA FORMA x bx n c Procedimiento para factorizar X + b x + c = (x + d)(x + e)

12 1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er. término; aquí, x. ) Dos números d, e, tales que multiplicados den "c". 3) Sumados resulten "b" (d + e = b). Ejemplo 1: Factorizar x + 6x + 8 Luego x + 6x + 8 = (x + 4)(x + ) porque 4 x = 8 y 4 + = 6 Ejemplo : Factorizar y - 13y + 40 Luego y - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5) porque 8 x 5 = 40 y = - 13 Ejemplo 3: Factorizar x - x - 15 Luego x - x - 15 = (x - 5)(x + 3) porque 5 x 3 = 15 y = - Ejemplo 4 Factorizar x + 9x 5 Luego x + 9x - 5 = (x + 13)(x - 4) porque 13 x 4 = 5 y = 9 Ejemplo 5:Factorizar z - z - 7 = (z - 17)(z + 16) Nota: para encontrar mas fácilmente los números descomponemos 7 en sus factores primos Luego z - z - 7 = (z - 17)(z + 16) Buscar dos enteros m y n que cumplan m x n =a x c ; m+n = b Reemplazar en el trinomio b por m + n

13 Factorizar por agrupación de términos Ejemplo: Factorizar el trinomio 3x 19x 0 Dos enteros tales que m + n = -19 y m. n = 0.3 =60 Tales enteros son m = -15, n = - 4 3x Se reemplaza 19 por (- 15 4) en el trinomio ( 15 4) x 0 3x 15x 4x 0 agrupando(3x 15x) (4x 0) Factorizando3x( x 5) 4( x 5) Finalmente ( x 5)(3x 4) EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Al hallar el valor de cada operación y cambiar el resultado por la letra correspondiente se encontrara el nombre de un matemático: A = 9 E = 1 S = 1 N = 1 O = 0 R = 1 T = Operación Letra ( ) + 1 ( ) ( ) [(4 3)( 3)] ( 3) ( 7)

14 . El perímetro de una figura geométrica plana se halla realizando la suma de las medidas de todos sus lados. Encontrar el perímetro de cada una de las siguientes figuras geométricas planas. 3. En la figura se ha representado una escalera, con escalones del mismo largo y del mismo alto. 3 4 x x 1 x 1 x 1 x l ? l a. Expresar mediante un monomio la altura total De la escalera b. Utilizar un polinomio que indique la suma del largo total de los escalones de la escalera. c. Si x equivale a 0 centímetros, Cuál es el largo de la escalera en centímetros? d. Si x equivale a 0 centímetros, Cuál es el largo de la escalera en centímetros? e. Cuál es el área total de la escalera?

15 4. Escribir en cada cuadro, un término que complete el polinomio dado. Luego, ordenarlo en forma decreciente. a. 3m 4 + 5m 6 + 3m 3 + m b. 6m 3 + n 5 + c. 1 3 x x 4 5x d. 4 7 z + 3z6 + z 5 z 3 + 3z 4 + z 5. Ordenar cada polinomio en forma creciente a. 5x 3 y + 5xy 3 + 5x y 8 + 4x + 3 b. 9x 6 7x + 5x 4 3x + 4x 3 x c. 16m 6 n mn 5 + 4mn 6 3m 3 n mn d. 4a ab + 3abc 4a b + 5a 3 c e. 1 pq3 + p 3 3q 4 + 5p 4 q 6. Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes: a. 4(m + n + p) 8(m + n + p) b. (wz 3 + w z 3w 3 z 3 ) + 6(w z 4w 3 z 3 ) c. 10(3k + 5k ) 0( 8k 3k 3 ) d. 13(a b + c) 1( a b c) e. 5(t 3 t 4 + 5t 3) 6(t 3 9t 4 ) f. (a + b)(a + b) + (a c)(a c) g. (3m + n)(m + 5n) (m n)(m + n) h. 6 [ 3n + 4(n + ) 8(n + 5)] i. 3 5 a + [ 5 4 b (3 7 a 8 5 b)] j. -( 7 4 w3 + 7 p 6) + 7 (3 5 w3 p 3 ) 7. Aplique el triángulo de Pascal para resolver los siguientes productos notables: a. (m n) b. (4n 3 q) c. (8p + 3t) 3 d. (pq 3 + 5p 4 q ) 3 ( 3 4 r s) 4 (am + 3an ) 7 a. 8. A continuación se muestran las expresiones algebraicas que representan el volumen V de un termo y de una taza de café. 8 7

16 Cuál es la expresión que representa la cantidad de tazas que se pueden servir cuando el termo está completamente lleno? 9. Observa el volumen V y la altura h del siguiente prisma. Cuál es la expresión que representa la medida del área de la base? 10. Un dispositivo para almacenar CD tiene una altura que se representa mediante la expresión algebraica que se muestra a continuación.

17 Si la expresión que representa el grosor de cada CD es (x 6), cuál es la expresión que representa la cantidad de CD que se pueden ubicar en el dispositivo? 11. Factorice los siguientes polinomios: A. 9p 40q = B. 49x 64t = C. x 3 15x + 140x = D. 8y 3 + z 3 E. 8y 18 = F. x x = G. (m-3) 3 + (j K) 3 H. a 5 16 a 3 = I. 5m 4 70 m n + 49n = J. 49x 4 18 x + 1 = K. 1n + 11n = L. 3x 7 7x = M. x 11x + 30 = N. 3x + 10x +3 =