MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [1/8] Miguel Ángel Rodríguez-Roselló

Transcripción

1 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [/8] LA PROPORCIÓN ÁUREA, FRACTAL ARQUETÍPICO La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia (Priya Hemenway) Como Dios, la Divina Proporción es siempre similar a sí misma (Fra Luca Pacioli) Las escalas son profanas, las proporciones son sagradas (Dan Winter) Orígenes La proporción áurea tambien llamada razón áurea o número de oro fue descubierta formalmente por los antiguos griegos, que la incorporaron a su arte y arquitectura porque proporcionaba equilibrio y armonía. Se simboliza mediante la letra (phi). En 509, el matemático y fraile franciscano italiano Luca Pacioli, amigo de Leonardo, publicó Divina Proportione (Divina Proporción), un tratado sobre la proporción áurea, que desde entonces se le llama también proporción divina. Luca Pacioli (445-57) (J. de Barbari, 495) La proporción áurea aparece en la espiral logarítmica, la espiral que más se prodiga en la naturaleza. Aparece en girasoles, piñas, rosas, nautilus, caracoles, brazos de las galaxias espirales, borrascas, etc. La proporción áurea es la manifestación más primaria y arquetípica de estructura fractal porque preserva su relación Espiral logarítmica Concha de nautilus consigo misma. La característica principal de un fractal es su autosemejanza a todas las escalas. Definición de proporción áurea Dado un segmento de longitud, se divide en dos partes, una mayor ( ) y otra menor ( ), de tal manera que la relación entre el segmento y la parte mayor sea igual a la relación entre la parte mayor y la parte menor: / = /( ) Por lo tanto, 2 = y + 2 =

2 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [2/8] O, lo que es lo mismo, la proporción de segundo orden 2 ( 2 ) es igual a su parte menor ( ). Este proceso es recursivo, cumpliéndose que la proporción de orden n es n = n 2 n Se deduce que = ( 5 )/2 = Normalmente lo que se conoce como proporción áurea es la inversa de : = = + = ( 5 + )/2 = = Propiedades. + = = = + 4. n + n+ = n+2 5. ( )( +) = 6. y su siguiente ( +) son números que cumplen la propiedad de que su producto es igual a su suma: + ( +) = ( +) = 2 +. La secuencia de Fibonacci y la proporción áurea La secuencia de Fibonacci también llamada serie F es,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,..., en donde cada número es la suma de los dos anteriores. La razón entre un número y el anterior tiende a la proporción áurea:, 2,.5,.66,.6,.625,.65,... El arquetipo de la serie F es, la ley oculta, no explícita. Es un arquetipo porque conecta lo profundo con lo superficial. Esta tendencia a la proporción áurea también ocurre en toda serie que comience con dos números cualesquiera y en la que el patrón de formación sea el mismo que en la serie de Fibonacci, es decir, que cada número sea la suma de los dos anteriores. Por ejemplo: 2, 7, 5, 2, 3,, 4, 5, 9, 4, 23,...

3 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [3/8] 0.583, 0.74, 0.4,.5, 0.333, 4,.25,.8,.555,.642,... La serie La proporción áurea ( ) funciona como razón de una progresión geométrica conocida como serie :,, 2, 3, 4,..., en donde, como en la serie F, un término cualquiera es la suma de los dos precedentes: 2 = +, 3 = + 2, 4 = 2 + 3, etc. Y también la serie inversa:,, 2, 3, 4,..., en donde un término es también la suma de los dos siguientes: = + 2, = 2 + 3, etc. En general, n = n + n 2 La serie es la serie pura o arquetípica, pues no requiere acudir al límite para llegar a la proporción áurea, pues la propiedad ya está presente desde el principio. La proporción áurea, el pentágono y la estrella pentagonal La proporción áurea está relacionada con el número 5, el pentágono regular y la estrella pentagonal ( o pentáculo). = 2 cos( /5) = 0.5 (5 0.5 ) La proporción áurea en el pentágono La proporción áurea en la estrella pentagonal Pentágo fractal y estrella pentagonal fractal El número áureo también se halla relacionado con una figura fractal: la estrella de cinco puntas y el pentágono regular se pueden inscribir uno dentro de otro sin que cambien sus formas. La proporción áurea también se encuentra en tres de los sólidos platónicos: octaedro, dodecaedro e icosaedro. La estrella pentagonal es un símbolo de la conciencia, pues la conciencia hace referencia a sí misma, como la proporción áurea.

4 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [4/8] La proporción áurea, la secuencia de Fibonacci y el teorema de Pitágoras La proporción áurea cumple + = 2, que corresponde a las áreas de un triángulo rectángulo (llamado triángulo de Kepler) de lados, y. Si consideramos la secuencia formada por 4 términos de la secuencia de Fibonacci f = (f, f2, f3, f4) = (a b, b, a, a+b), hay una terna pitagórica implícita (x, y, z): x = ff4 = a 2 b 2 y = 2f2f3 = 2ab z = ff3 + f2f4 = (a b)a + b(a+b) = a 2 +b 2 Triángulo de Kepler Toda terna pitagórica tiene la forma (a 2 b 2, 2ab, a 2 +b 2 ) pues (a 2 b 2 ) 2 + (2ab) 2 = (a 2 +b 2 ) 2. Ejemplo: f = (5, 8, 3, 2) (x, y, z) = (5 2, 2 8 3, ) = (05, 208, 233) Se verifica: = La proporción áurea como expresión fractal La proporción áurea es la manifestación más primaria y arquetípica de estructura fractal porque preserva su relación consigo misma. La característica principal de un fractal es su autosimilitud a todas las escalas. La proporción áurea se comprende mejor considerando la siguiente figura, en donde existe autosimilitud o proporcionalidad entre el triángulo mayor y el siguiente en la escala: 2 2 El se convierte en y éste a su vez en 2. Se cumple que = 2. La estructura fractal de la proporción áurea se manifiesta en sus expresiones algebraicas: De 2 = +, se deduce que = De = +/, se deduce que =

5 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [5/8] Rectángulo áureo y espiral áurea Un rectángulo áureo es un rectángulo tal que sus lados guardan entre sí la proporción áurea. Un rectángulo áureo puede dividirse en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo, y aplicar la misma operación al nuevo rectángulo obtenido, y así sucesivamente, hasta llegar a un punto donde convergen todos los rectángulos (el llamado ojo de Dios ). Este punto es la intersección de dos diagonales: la diagonal del rectángulo original y la del segundo rectángulo, como se ve en la figura. Además, las dos diagonales guarda entre sí la proporción áurea. Encajando sucesivos rectángulos áureos se puede trazar otra figura fractal: la espiral áurea o espiral de Durero. Consta de cuartos de circunferencia dentro de cuadrados. Rectángulo áureo El ojo de Dios Espiral de Durero Triángulo áureo Es un triángulo isósceles en el que la razón entre el lado y la base es. Los dos ángulos de la base son 72º y el del vértice 36º. Este triángulo se puede descomponer en triángulos más pequeños que también son áureos. Triángulo áureo Ángulo áureo ( ) Ángulo áureo El ángulo áureo es el ángulo más pequeño de los dos ángulos creados seccionando una circunferencia según la proporción áurea. Si los dos segmentos circulares son a y b, se cumple que a/b = (a+b)/a y el ángulo áureo ( ) corresponde al segmento circular b. El valor de es Curiosamente, este valor es muy próximo al inverso de la constante de estructura

6 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [6/8] fina, que es aproximadamente /37. Esta constante física fundamental caracteriza la fuerza de la interacción electromagnética y es adimensional, como la proporción áurea y el ángulo áureo. Proporción áurea, la unión de opuestos y la conciencia La proporción áurea corresponde al fractal más simple y, por lo tanto, es el fractal más utilizado en la naturaleza. Es una forma robusta, económica y estética. Los sistemas naturales tienden hacia un estado de máxima economía, máxima simplicidad, máxima compresión y mínima energía, siguiendo en su dinámica el principio de mínima acción (energía tiempo). La proporción áurea une los opuestos: Lo interno y lo externo, es decir, entre mente y naturaleza. A nivel interno porque proporciona armonía y equilibrio. A nivel externo porque es una forma utilizada por la naturaleza. Lo aritmético y lo geométrico o lo discreto y lo continuo. La proporción áurea es simultáneamente una expansión (o una compresión) aritmética y geométrica de sí misma de la unidad, de la forma más sencilla posible. Lo lineal y lo no-lineal. Su definición es lineal, pero se utiliza principalmente en espirales, que son no-lineales. Lo cuantitativo y lo cualitativo. Lo simple y lo complejo. Su definición es simple pero produce formas complejas. Lo estático y lo dinámico, lo temporal y lo atemporal. Enlaza espacio y tiempo. Lo profundo y lo superficial, como se manifiesta en la serie F. Lo activo y lo pasivo. Lo finito y lo infinito, pues aparece en las espirales. Lo vivo y lo inerte. Lo comprimido y lo expandido. Guarda una relación con el número 3, el número de la conciencia: la unión de dos partes que producen y armonizan una tercera. Adenda Obtención de la proporción áurea geométricamente La proporción áurea se construye fácilmente a partir de un cuadrado de lado, tal y como se muestra en el diagrama, para construir un rectángulo áureo de lados y. AB = AM = /2 MB = 5/2 DE = = (+ 5)/2

7 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [7/8] Construcción de la proporción áurea La proporción áurea y el triángulo divino La proporción áurea está relacionada con el triángulo divino (el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5): Tenemos el triángulo ABC, con BC = 3, AC = 4 y AB = 5. Se traza la bisectriz en B y se halla la intersección O con la vertical AC. Se dibuja un círculo de centro O y radio OC. Se prolonga BO hasta el círculo en Q. Si P es el otro punto de intersección de BO con el círculo, se tiene que PQ / BP =. A Q O P B C La relación entre y el triángulo divino Las losetas de Penrose Las famosas losetas, baldosas o teselas de Penrose constituyen la única forma de cubrir el plano de forma aperiódica, con simetría pentagonal. Fueron descubiertas por Roger Penrose en loa años 960 s. Estas losetas tienen la proporción áurea, pues se basan en el triángulo áureo. Hay dos tipos de losetas: el dardo y la cometa.

8 MENTAL Apéndice La Proporción Aúrea, Fractal Arquetípico [8/8] Teselación de Penrose Las losetas: el dardo y la cometa Bibliografía Bonell Costa, Carmen. La divina proporción. Las formas geométricas. Ediciones UPC, Ghyka, Matila C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Poseidon, 983. Ghyka, Matila C. El número de oro. Vol. I: Los Ritmos. Vol II: Los Ritos. Poseidon, 978. Hemenway, Priya. El código secreto. La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia. Evergreen, Köln, Huntley, H.E. The Divine Proportion. Dover Publications, 970. Livio, Mario. La proporción áurea. La historia de phi, el número más enigmático del mundo. Ariel, Mandelbrot, Benoit. Los objetos fractales. Tusquets, Colección Metatemas, 987. Mandelbrot, Benoit. La geometría fractal de la naturaleza. Tusquets, Colección Metatemas, 997. Pacioli, Luca. La divina proporción. Ediciones Akal, 99. Thomson, DÁrcy. Sobre el crecimiento y la Forma. Cambridge University Press, Todo sobre el número de oro: