Solución: Aplicando los conceptos de fuerza:

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1 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág 1 1. Cuál debería ser la masa de un protón si la atracción gravitatoria entre dos de ellos se compensara exactamente con su repulsión electrostática? Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1, C ; Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, K = (4 0 ) 1 = 9, N m 2 C 2 ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg 2 Solución: Aplicando los conceptos de fuerza:

2 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág 2 2. Qué le ocurrirá a un electrón si es abandonado en reposo en el punto B de la figura? Y si es abandonado en el punto A, que se encuentra en el punto medio entre las cargas? Las dos partículas cargadas de la figura son positivas e iguales. Solución: Considerando el origen en el punto A de la figura las coordenadas de las cargas son: Q 1 = ( 0,50, 0) ; Q 2 = (0,50, 0) y las del punto B : Para saber qué le pasa tenemos que calcular el campo eléctrico en el punto B, para lo que tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta B. Aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: El electrón experimentará una fuerza: Que le llevará en vertical hacia abajo en dirección y sentido hacia el punto A. Si se le abandona en A no se moverá ya que el campo en A es nulo ya que los campos individuales que crean las dos cargas son iguales (al tener la misma carga y la misma distancia al punto A).

3 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág 3 3. Qué velocidad alcanzará una carga de 1, C con una masa de 2, kg al desplazarse, partiendo del reposo, entre dos puntos donde existe una diferencia de potencial de 100 V? Solución: La variación de energía potencial perdida se invierte en energía cinética de la partícula por lo que: 4. Calcule el campo eléctrico en el vacío a los dos lados de un plano infinito con una densidad de carga = 4,0 μc m 2 usando la ley de Gauss. Exponga los razonamientos que haga. Datos: Permitividad eléctrica del vacío, ε 0 = 8, C 2 N 1 m 2 Solución: Según el teorema de Gauss se cumple que el flujo a través de una superficie cerrada que envuelve unas cargas eléctricas vale: El ángulo entre el campo y la superficie, si rodeamos la placa con un paralelepípedo, para las caras superior e inferior, es 0º por lo que el coseno desaparece al ser la unidad. Las caras laterales forman un ángulo con el campo de 90º por lo que el coseno se anula y podemos considerar que todo el flujo pasa por las caras superior e inferior. Por lo tanto el flujo que pasa por una sola de ellas, que se encuentre a una distancia d de la placa cargada será la mitad y por tanto: 6. Calcule la fuerza con la que se atraen un protón y un electrón separados entre sí una distancia de 1, m. Cuál es la energía potencial electrostática de este sistema de cargas? Datos: Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, K = (4 0 ) 1 = 9, N m 2 C 2 ; Valor de la carga del electrón, Q e = 1, C ; Carga del protón, Q p = 1, C 7. Calcule la fuerza y la energía potencial electrostática entre un protón y un electrón separados entre sí una distancia de 1, m. ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1, C Solución: Aplicando la ley de Coulomb (sólo como módulo ya que concretan que es atractiva): La energía potencial, que es una magnitud escalar, vale: El signo negativo supone que las cargas han perdido energía desde la situación inicial (separadas por el infinito) para encontrarse a la distancia que se encuentran. Solución: Aplicando la ley de Coulomb (sólo como módulo ya que no nos hablan de dirección y sentido, aunque, por ser de distinto signo, sabemos que es atractiva) y la expresión de la energía potencial obtenemos que:

4 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág 4 8. Calcule: a) la intensidad del campo eléctrico en el aire a una distancia de 40 cm de una carga puntual Q 1 = 5,0 μc; b) la fuerza sobre una carga Q 2 = 6,0 μc colocada a 40 cm de Q 1. Solución: Aplicando la expresión matemática del campo eléctrico y la ley de Coulomb (sólo como módulo ya que no nos hablan de dirección y sentido):

5 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Considere la distribución de tres cargas que se muestra en la figura, distribuida sobre un cuadrado de lado l = 1,0 m. Calcule: a) el vector intensidad de campo eléctrico en el punto A; b) el potencial eléctrico en el punto A; c) el trabajo realizado por el campo para llevar una carga de +1,0 μc desde el punto A hasta el punto B. Solución: a) Calculamos los vectores desde las tres cargas que nos dan hasta el punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos de cada carga y el punto A. Hallamos los campos eléctricos creados en el punto A por cada una de las cargas: b) El potencial se obtiene sumando escalarmente (principio de superposición) los potenciales creados por cada una de las tres cargas: c) Previamente tenemos que calcular el potencial en el punto B: El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) es igual a: Por tener signo negativo el trabajo no lo hace la fuerza eléctrica; es necesario hacer el trabajo y, por lo tanto, para trasladar la carga se exige un aporte externo de energía.

6 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Considere una carga puntual Q 1 en reposo. Represente las líneas de campo eléctrico así como las superficies equipotenciales. Cómo debe moverse una segunda carga Q 2 para que su energía potencial electrostática permanezca constante? 12. Considérese una carga puntual Q = 5,0 nc situada en el centro de una esfera de radio R = 10 cm. Determine: a) el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de la esfera; b) el trabajo que es necesario realizar para traer una carga de 2,0 nc desde el infinito hasta una distancia de 10 cm del centro de la esfera. Solución: El campo eléctrico alrededor de una carga se puede representar mediante dos tipos de líneas: las líneas de fuerza, que son líneas que representan la dirección y sentido del campo eléctrico y que son líneas abiertas que, en el caso de una sola carga, van de la carga al infinito (en el caso de que sea positiva) o del infinito a la carga (si es negativa), que son las líneas negras representadas en la figura, y las líneas equipotenciales, que unen los puntos con el mismo valor de potencial eléctrico, representadas en el dibujo como líneas discontinuas rojas. Como el potencial está directamente relacionado con la energía potencial, cualquier carga que se mueva manteniendo su energía lo hará siguiendo estas líneas por lo que la carga Q 2 se moverá siguiendo una circunferencia centrada en la carga Q 1. Solución: a) El flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la suma de las cargas que contiene en su interior dividido entre el coeficiente dieléctrico del medio en el que se encuentran. No depende ni de la distancia ni de la forma sino sólo de que la superficie sea cerrada. Como la esfera lo es, el flujo vale: b) Para calcular el trabajo tenemos que calcular el potencial en ambos puntos: 14. Dadas dos cargas puntuales de 1,0 C separadas una distancia de 1,0 m, determine el potencial electrostático en el punto medio de ambas cargas así como la energía potencial electrostática de una carga de 2,0 C situada en dicho punto. El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = Q [V R V ] = 2, C (4, V 0) = 9, J. Como tiene signo positivo hay que aportar energía externa: se realiza en contra del campo. Solución: Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y si situamos el punto entre las cargas: La energía potencial electrostática, una vez conocido el potencial, es: E p = Q V = 2,0 C 3, V = 7, J.

7 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Determine, razonadamente, en qué punto (o puntos) del plano Oxy es nula la intensidad de campo eléctrico creado por dos cargas idénticas Q 1 y Q 2 de 4, C, situadas respectivamente en los puntos ( 2, 0) y (2, 0). Es también nulo el potencial en ese punto (o puntos)? Calcule en cualquier caso su valor. Solución: Como el campo es una magnitud vectorial, nunca podrá ser nulo en los puntos por encima del eje Ox, por tener los dos campos individuales una componente que se dirige en sentido vertical negativo. Lo mismo sucede para todos los puntos por debajo del eje Ox, pero en sentido ascendente. De las tres zonas que existen en el eje Ox, debidas a la presencia de las cargas, sólo podría ser negativa entre ambas ya que por el exterior de las cargas los sentidos de los dos campos coinciden por lo que no podrían anularse nunca. Entre ambas cargas y por ser iguales, sólo se anularán los campos en el punto donde las distancias a ambas son iguales por lo que será el punto medio entre las dos: Por tanto sucede en el origen de coordenadas, O. El potencial (magnitud escalar) en dicho punto vale:

8 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dibuje el vector campo eléctrico en los puntos A y B de la figura y determine el valor de su módulo en función de Q y d, sabiendo que los dos puntos y las cargas están contenidos en el mismo plano. Solución: Para el punto A: Calculamos los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto A, que tomamos como (0, 0). Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con las cargas, situadas en ( d/2, 0) y (d/2, 0), y el punto A. Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: Para el punto B: Calculamos los vectores forman con las cargas y el punto B. desde las dos cargas que nos dan hasta el punto B, (0, d/2). Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas:

9 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Diga si la siguiente frase es cierta o falsa y razone la respuesta: En una trayectoria cerrada el trabajo realizado por una fuerza de tipo eléctrico es siempre cero. Solución: La frase es verdadera. El campo eléctrico es conservativo por lo que, a lo largo de una trayectoria cerrada, el trabajo realizado por una fuerza eléctrica es nulo, ya que se conserva la energía potencial. 18. Diga si la siguiente frase es cierta o falsa y razone la respuesta: En el punto medio de separación de dos cargas eléctricas de igual valor y signo el potencial eléctrico es nulo. Solución: Falsa; al ser el potencial en un punto el cociente entre la carga y la distancia entre ésta y el punto, multiplicada por la constante de Coulomb, y ser una magnitud escalar, por el principio de superposición el potencial creado en el punto medio (igual distancia) entre dos cargas iguales será la suma del potencial creado por cada una de ellas (que es igual y del mismo signo) que es el doble del valor absoluto del potencial creado por una de ellas, con el mismo signo. 19. Diga si la siguiente frase es cierta o falsa y razone la respuesta: En un punto rodeado de cargas eléctricas la intensidad de campo eléctrico puede ser nula y el potencial ser distinto de cero. Solución: Cierta; por ser el campo una magnitud vectorial que depende inversamente de R 2 y el potencial una magnitud escalar que depende inversamente de R es posible que se cumpla el enunciado del problema. Un simple ejemplo sería el punto medio entre dos cargas del mismo signo ya que los campos creados por las cargas se anularían por tener el mismo módulo pero sentidos opuestos y sus potenciales no se anularían al tener el mismo signo. Cualquier distribución regular de cargas iguales cumpliría la premisa, pero hay muchas más posibilidades.

10 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos cargas eléctricas positivas de valor q se sitúan en el eje Ox, a ambos lados del origen de coordenadas y a una misma distancia (a). Una en el punto A (a, 0) y la otra en el B ( a, 0). a) Determine el valor de una carga negativa q situada en el punto C (0, a) del eje Oy, de modo que la intensidad del campo eléctrico ( ) en el punto D (0, a) del eje Oy sea nula. b) Calcule el potencial electrostático V, generado por las 3 cargas, en el punto D y en el origen de coordenadas O (0, 0). c) Cuánto vale el trabajo necesario para trasladar una carga Q positiva desde D hasta O? ; q = 2, C ; a = 1 m ; Q = 1, C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las tres cargas que nos dan hasta el otro vértice. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto D. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = q (V O V D ) = (1, C) [ 1, V ( 1, V)] = 1, J. Como tiene signo negativo el trabajo lo hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico). No se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza a favor del campo.

11 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos cargas eléctricas positivas e iguales de valor 3, C están situadas en los puntos A (0, 2) y B (0, 2) del plano Oxy. Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C (4, 2) y D (4, 2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es = 4, N C 1, siendo el vector unitario en el sentido positivo del eje Ox, y que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine: a) el valor numérico y el signo de las cargas Q; b) el potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración de cargas. Solución: a) Como las cargas situadas en los puntos A y B son iguales y se encuentran a la misma distancia pero sentidos opuestos del origen, sus campos se anulan entre sí, por lo que sólo tenemos que plantear el campo que crean las otras dos cargas. Para ello tenemos que calcular los vectores desde los puntos C y D al origen, lo que hacemos hallando los cosenos directores: Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que:

12 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos cargas fijas Q 1 = +12,5 nc y Q 2 = 2,7 nc se encuentran situadas en los puntos del plano Oxy de coordenadas (2, 0) y ( 2, 0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) el potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A ( 2, 3); b) el campo eléctrico creado por Q 1 y Q 2 en el punto A; c) el trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativa igual a 2 e del punto A al punto B, siendo B (2, 3), indicando si es a favor o en contra del campo; d) la aceleración que experimenta el ion cuando se encuentra en el punto A. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1, C ; Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, K = (4 0 ) 1 = 9, N m 2 C 2 ; masa del ion, M = 3, kg Solución: a) Calculamos el potencial (magnitud escalar) que crean ambas en el punto A: b) Calculamos los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos de cada carga y el punto A. Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: c) Para calcular el trabajo, primero hemos de calcular el potencial en el punto B: El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = Q (V B V A ) = 2 1, C (32,6 V 14,4 V) 5, J. El trabajo, al ser negativo, es a favor del campo, por lo que lo realiza éste y no debemos aportar energía externa. d) Para calcular la aceleración, previamente debemos calcular la fuerza:

13 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos cargas puntuales de +2,0 μc y +20 μc se encuentran separadas una distancia de 2,0 m. a) Calcule el punto, situado entre las dos cargas, en el que el campo eléctrico es nulo. b) Halle el potencial eléctrico en un punto situado entre las dos cargas y a 20 cm de la carga menor. c) Determine la energía potencial eléctrica del sistema formado por las dos cargas. Solución: Si tenemos dos cargas positivas, el campo sólo puede ser nulo en un punto que se encuentre entre ambas, puesto que por fuera de ellas, y por ser el campo eléctrico un vector, nunca se anularían (en la línea en que están se sumarían hacia afuera y fuera de la línea siempre habría una componente que tendría la dirección perpendicular a la línea de ambas cargas). A su vez sólo son iguales donde sus módulos sean iguales por lo que ha de cumplirse que: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) La energía potencial eléctrica entre dos cargas es: 40. Dos cargas puntuales de +2,0 μc, se encuentran situadas sobre el eje Ox, en los puntos x 1 = 1,0 m y x 2 = 1,0 m, respectivamente. a) Calcule el potencial electrostático en el punto (0, 0, 5) m. b) Determine el incremento de energía potencial electrostática al traer una tercera carga de 3,0 μc, desde el infinito hasta el punto (0, 0, 5) m. 41. Dos cargas puntuales de +6,0 μc y 6,0 μc están situadas en el eje Ox, en dos puntos A y B distantes entre sí 12,0 cm. Determine: a) el vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4,0 cm y PB = 8,0 cm; b) el potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y distante 8,0 cm de dicho segmento. Solución: a) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) El incremento de energía potencial electrostática es igual a: E p = Q (V P V ) = 3, C [7, V 0] = 2, J. Solución: a) Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto P por cada una de las cargas que son: (el signo implica que se dirige hacia la carga que lo crea). E P = E 1P + E 2P 3, N C 1 + 8, N C 1 4, N C 1 dirigido hacia B. b) Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto C cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y ser las cargas iguales pero de signo contrario y las distancias al punto C iguales para ambas, los potenciales son opuestos, por lo que el resultado será que el potencial es nulo.

14 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos cargas puntuales de 3,0 μc y +3,0 μc se encuentran situadas en el plano Oxy, en los puntos ( 1, 0) y (1, 0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico: a) en el punto de coordenadas (10, 0); b) en el punto de coordenadas (0, 10). Datos: Todas las coordenadas están expresadas en metros ; Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, K = (4 0 ) 1 = 9, N m 2 C 2 Solución: a) Este primer apartado se puede hacer de forma no vectorial ya que las cargas y el punto están en la misma línea. Los módulos de los campos serían: Como el punto se encuentra a la derecha de ambas cargas, los campos tienen sentidos contrarios (el de la carga negativa hacia ella y el de la positiva hacia el otro lado) por lo que los restamos. El vector campo resultante se aleja de la positiva (por ser mayor su efecto) por lo que se dirige en sentido positivo del eje Ox. b) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto P. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: 43. Dos cargas puntuales de 5,0 μc cada una, pero de signos opuestos, se encuentran separadas una distancia de 2,0 m. Calcule en el punto medio de la línea que une las dos cargas: a) el potencial eléctrico; b) el campo eléctrico (exprese el módulo, la dirección y el sentido). ; 1 μc = 10 6 C Solución: a) Por el principio de superposición, y como el potencial es una magnitud escalar que depende directamente de la carga (que es igual pero de signo contrario) e inversamente de la distancia (que es igual para ambas), los dos potenciales son iguales y de signo contrario por lo que se anulan entre sí. b) Por la misma razón anterior, los campos son iguales pero, al ser vectores, tienen el mismo sentido, ya que el campo creado por la carga positiva se aleja de ella y el creado por la negativa se acerca a ella. Por tanto coinciden sus sentidos y se suman (el doble de una individual): La dirección es la de la recta que las une y sentido hacia la negativa.

15 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Dos partículas a y b, tienen masas iguales de 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signos contrarios. La partícula b está fija en el espacio y la partícula a está colgada del techo por un hilo de masa despreciable (Véase la figura). Cuando ambas partículas están separadas una distancia de 0,25 m, la partícula a se halla en equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcule: a) la tensión del hilo; b) la fuerza de atracción entre las partículas; c) el valor absoluto de la carga de las partículas. ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g 0 = 9,81 m s 2 Solución: a y b) Sobre la esfera actúan tres fuerzas: la tensión que le ejerce el hilo (que impide que la esfera se mueva), su peso y la fuerza eléctrica sobre ella. Vectorialmente valen (α = 30º): La resultante de las fuerzas (nula) nos indica que: c) El valor absoluto de las cargas se obtiene despejando de la expresión de la fuerza eléctrica:

16 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág En el laboratorio de física tenemos dos pequeñas esferas cargadas, cuyos radios respectivos son 2,0 cm y 8,0 cm, que tienen igual carga Q 0 = +2,0 mc. Las esferas están colocadas en posiciones fijas, siendo la distancia de centro a centro entre ellas igual a 5,0 m. La constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, es K = 9, N m 2 C 2. a) Las dos esferas se conectan usando un hilo conductor muy fino. Calcule la carga y el potencial de cada esfera después de conectarlas. b) Calcule el campo eléctrico en el punto medio del segmento que las separa después de conectarlas. c) Calcule la fuerza repulsiva entre ellas después de conectarlas. Solución: b) Cuando dos objetos conductoress se unen, se traslada carga de uno hacia el otro hasta que el potencial en ambos alcanza el mismo valor. Por lo tanto: Y el potencial será: b) Los campos que crean ambas cargas van en sentidos contrarios, ya que son repulsivos. Calculamos su valor (consideramos positivo el sentido hacia afuera desde la primera carga): Como el resultado es negativo, se dirige hacia la primera carga. c) Aplicando la ley de Coulomb: Es una fuerza repulsiva.

17 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág En el punto A (0, 1) se encuentra situada una carga eléctrica q 1 = 10 μc y en el punto B (0, 2) otra carga eléctrica q 2 = 10 μc. Sabiendo que las coordenadas se expresan en metros, calcule: a) el vector intensidad de campo eléctrico en el punto C (1, 0). Además, represente las líneas de campo eléctrico asociado a estas dos cargas; b) el potencial eléctrico en el punto O (0, 0); c) el trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga de 10 μc desde el punto O hasta el punto C. ; 1 μc = 10 6 C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto C. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto C. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) Para hallar el trabajo primero tenemos que calcular el potencial en el punto C: El trabajo que hacen las fuerzas eléctricas (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = q (V C V O ) = ( C) [ 1, V ( 1, V)] = 3, J. Por ser negativo el trabajo no lo hacen las fuerzas eléctricas sino que es un trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. Se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza en contra del campo.

18 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág En los extremos de dos hilos de peso despreciable y longitud l = 0,50 m están sujetas dos pequeñas esferas de masa 5,0 g y carga Q. Los hilos forman un ángulo de 30º con la vertical. a) Dibuje el diagrama de fuerzas que actúa sobre las esferas y determine el valor de la carga Q. b) Calcule el valor de la tensión de las cuerdas. c) Si se duplica el valor de las cargas, qué valor deben tener las masas para que no se modifique el ángulo de equilibrio de 30º? ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g 0 = 9,81 m s 2 Solución: a) Sobre cada esfera actúan tres fuerzas (figura adjunta): La tensión que le ejerce el hilo (que impide que la esfera se mueva), su peso y la fuerza eléctrica sobre ella. Vectorialmente valen: El campo eléctrico va dirigido hacia afuera ya que la fuerza eléctrica es de repulsión por ser cargas iguales. Por trigonometría, el valor de d es: Carga de la derecha: La resultante de las fuerzas (nula) nos indica que: b) Aplicando la expresión que hemos obtenido para la componente vertical: c) Aplicamos la expresión que hemos obtenido para la tangente del ángulo (que no varía):

19 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág En los extremos de un segmento de 3,0 m de longitud se encuentran dos cargas eléctricas de +1,0 C (a la izquierda) y +2,0 C (a la derecha). Calcule: a) el campo eléctrico en un punto P situado verticalmente sobre el centro del segmento (punto M) y a una distancia de 1,0 m del mismo; b) el potencial eléctrico en el punto central M del segmento; c) el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga de +1,0 μc desde el punto P hasta el punto M. ; 1 μc = 10 6 C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto P. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) Para hallar el trabajo primero tenemos que calcular el potencial en el punto P: El trabajo que hacen las fuerzas eléctricas (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = Q (V M V P ) = (1, C) (1, V 1, V) = J. Por ser negativo el trabajo no lo hacen las fuerzas eléctricas sino que es un trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. Se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza en contra del campo.

20 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág En un punto P exterior a una esfera fija y uniformemente cargada, el potencial eléctrico (con referencia en ) es V = 900 V y el campo eléctrico tiene una intensidad E = 90 N C 1. a) Determine la carga Q de la esfera y la distancia d entre su centro y el punto P. b) Se abandona una partícula de carga q = 1,0 μc en el punto P. Calcule su energía cinética cuando choca con la superficie de la esfera, de radio R = 10 cm. Solución: Aplicando la expresión del módulo del campo y la del potencial: b) Primero hay que calcular el potencial en la superficie de la esfera: La variación de energía potencial (con signo negativo) se invierte en incrementar la cinética: 88. En una región del espacio el campo es nulo. Debe ser nulo también el potencial eléctrico en dicha región? Razone la respuesta. Solución: No, no solo no debe ser nulo sino que habitualmente no lo es. Por poner un contraejemplo podemos poner el punto equidistante entre dos cargas iguales en la recta que los une. En ese punto los campos individuales creados por cada carga tienen sentidos contrarios por lo que se anulan, mientras que el potencial tendrá el mismo signo que tengan las cargas, y tendrá el valor doble del potencial creado por cada una de ellas en el punto mencionado, ya que se suman los potenciales creados por las dos. El valor de campo nulo implica que el valor del potencial en el entorno del punto dado es prácticamente constante (infinitesimalmente constante), ya que el campo es el gradiente del potencial. 91. La figura representa un cuadrado con dos cargas en los vértices de la base, con Q + > Q. Dibuje cualitativamente la dirección y la intensidad relativa del campo creado por cada carga en el punto negro y el vector del campo suma. Solución: Tenemos que tener en cuenta que, por ser mayor la carga positiva que la negativa, y encontrarse ambas a la misma distancia, el valor del campo creado por la carga positiva es mayor. Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas que son: Por lo dicho anteriormente, la resultante irá hacia la derecha y un poco hacia arriba.

21 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Para dos masas unidad con carga unidad (en el SI) separadas una unidad de longitud, a) Cuál es mayor, la fuerza de atracción gravitatoria o la de repulsión eléctrica? b) Cuántas veces es mayor? Datos: Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg 2 ; Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb, K = (4 0 ) 1 = 9, N m 2 C Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique el concepto de campo eléctrico creado por una o varias partículas cargadas. b) Dos partículas con carga Q = 0,80 μc, cada una, están fijas en el vacío y separadas una distancia d = 5,0 m. Determine el vector campo eléctrico que producen estas cargas en el punto A, que forma un triángulo equilátero con ambas. c) Calcule el campo y el potencial eléctricos en el punto medio entre las cargas, B. Solución: Aplicando los conceptos de fuerza: Es mayor la eléctrica (más de cien trillones de veces). Hay que aclarar que no es significativo este número ya que masas de 1 kg son normales mientras que cargas de 1 C son enormes. Aun así, es mucho mayor habitualmente el efecto de las fuerzas eléctricas que el de las gravitatorias. Solución: a) Teoría. b) Considerando el origen en el punto B de la figura las coordenadas de las cargas son: Q 1 = ( 2,5, 0) ; Q 2 = (2,5, 0) y las del punto A se hallan triangulando: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto A. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) El campo en B es nulo ya que los campos individuales que crean las dos cargas son iguales (al tener la misma carga y la misma distancia al punto B. Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que:

22 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Enuncie el teorema de Gauss. b) El flujo eléctrico a través de una superficie esférica es 314 N m 2 C 1. Determine la carga que encierra. Datos: Permitividad eléctrica del vacío, ε 0 = 8, C 2 N 1 m 2 Solución: a) Teoría. b) Según el teorema de Gauss se cumple que el flujo a través de una superficie cerrada que envuelve unas cargas eléctricas vale: 99. Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Razone si la energía potencial electrostática de una carga Q aumenta o disminuye al pasar del punto A al B, siendo el potencial en A mayor que en B. b) El punto A está más alejado que el B de la carga Q que crea el campo. Razone si la carga Q es positiva o negativa. Solución: a) Una carga Q positiva, por el propio efecto del campo eléctrico, tenderá a moverse hacia posiciones con valores de potencial más bajos, y al hacerlo aumentará su energía cinética, disminuyendo la energía potencial del sistema. Por lo tanto, al moverse hacia posiciones donde el potencial es menor, la energía potencial disminuye. E p = Q V > 0 (al ser V negativo y Q positiva, el resultado es negativo). b) El punto B, más cercano a la carga que crea el campo tiene un potencial menor. Eso sólo puede ser posible si la carga es negativa ya que:

23 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Se sitúan fijas dos cargas puntuales Q 1 = +36 nc y Q 2 = +10 nc como indica la figura. Determine: a) el campo eléctrico creado en el punto P, situado a 6,0 cm de Q 1 en su vertical; b) el potencial eléctrico en el punto P; c) el trabajo realizado por el campo cuando otra carga Q = +2,0 nc se desplaza desde el punto P hasta un punto Q situado en el punto medio entre las cargas Q 1 y Q 2. ; 1 nc = 10 9 C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto P (0, 0,06). Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto P. Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: c) Para calcular el trabajo, primero hemos de calcular el potencial en Q que es: El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = Q (V Q V P ) C (1, V 6, V) 7, J. Sería con signo positivo si fuera el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga.

24 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Una carga de 10 μc se coloca en el centro de un cuadrado de 2,0 m de lado. Calcule: a) el valor del potencial en cada uno de los cuatro vértices; b) el valor del vector de campo eléctrico en el vértice superior izquierdo; c) el trabajo que hay que hacer para traer una carga de 10 μc desde el infinito hasta uno de los vértices. d) Suponga que trasladamos una carga desde el vértice superior derecho del cuadrado hasta el vértice inferior izquierdo del mismo. Qué trabajo nos costaría hacer esto? Solución: a) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores. Como además las distancias del centro a los cuatro vértices son iguales, el potencial en cualquier vértice tiene el valor: b) Con los datos que nos dan, la carga se encuentra en el centro del cuadrado, que es el punto (1, 1), y el vértice está en el punto (0, 2).Calculamos el vector desde la carga que nos dan hasta el vértice pedido. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma. Hallamos el campo eléctrico creado en el vértice por la carga: 125. Una carga positiva de 2,0 μc se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo Ox se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x = 10 m, lleva una velocidad de m s 1. Calcule: a) el campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A; b) el potencial y la energía potencial del protón en el punto A; c) la energía cinética del protón en el punto A; d) el cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A. ; Masa del protón, m p = 1, kg ; Carga del protón, Q p = 1, C c) El potencial en el infinito es cero por lo que el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = Q (V V V ) = C [6, V 0] = 0,64 J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico). Se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza en contra del campo. d) Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial entre cualquiera dos vértices del cuadrado es cero, ya que el potencial en los cuatro vértices es el mismo, el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = Q (V V V V ) = Q 0 = 0. El trabajo es nulo. Solución: a) El campo eléctrico creado en el punto (dirigido en el sentido positivo del eje Ox) es: b) Para hallar el potencial, que es una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: La energía potencial, que también es escalar, vale: c) La energía cinética se calcula con su equivalencia habitual: d) Como la energía potencial en el punto A es la misma en ambos momentos, la energía cinética también lo será y por tanto la velocidad. El cambio en el momento lineal (teniendo en cuenta que es un vector) será:

25 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Una carga positiva de 3,7 nc está fija en un punto. A 1,7 mm de este punto, se sitúa una partícula de 2, kg y 4,2 nc que se puede mover libremente. Qué velocidad tendrá la partícula cuando se encuentre a 3,4 mm de la carga positiva fija? Solución: Por el planteamiento del problema, la variación de energía potencial eléctrica del sistema se invierte en incrementar la energía cinética de la partícula, por lo que calculamos el potencial en los dos puntos y aplicamos el principio de conservación de la energía: 134. Una carga puntual de 9,0 nc se sitúa fija en el punto (0, 4) de un sistema de referencia (todas las distancias se dan en metros). Otra carga de 16,0 nc se sitúa fija en el punto (3, 0). a) Dibuje y calcule el vector campo eléctrico creado por este sistema de cargas en el punto (3, 4). b) Halle el potencial eléctrico en el punto (3, 4). c) Halle la fuerza que sufriría una partícula de carga Q = 10 nc situada en el punto (3, 4). ; 1 nc = 10 9 C ; Considere el origen de potenciales en el infinito. Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto (3, 4). Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con los puntos en los que está cada carga y el punto. Sumando vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) El potencial (magnitud escalar) en dicho punto vale: c) Como sabemos el campo, podemos aplicar la expresión:

26 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Una carga puntual positiva de 9,0 nc está situada en el origen de coordenadas. Otra carga puntual de 50 nc está situada sobre el punto P de coordenadas (0, 4). Determine: a) el valor del campo eléctrico en el punto A de coordenadas (3, 0). Represente gráficamente el campo eléctrico debido a cada carga y el campo total en dicho punto; b) el trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3,0 μc desde el punto A hasta el punto B de coordenadas (0, 1). Interprete el signo del resultado. Nota: todas las distancias vienen dadas en metros. Solución: a) Calculamos los vectores desde las dos cargas que nos dan hasta el punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores a los vectores que se forman con las cargas y el punto A. Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: b) Para calcular el trabajo, primero hemos de calcular el potencial en los puntos A y B: 137. Una distribución de cargas puntuales consiste en tres cargas iguales Q situadas en tres vértices de un cuadrado (véase figura). Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Qué carga habría que colocar en el cuarto vértice para que el campo eléctrico en el centro del cuadrado sea cero? b) Qué carga habría que colocar en el cuarto vértice para que el potencial eléctrico en el centro del cuadrado sea cero? El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = q (V B V A ) = 3, C [ 9,0 V ( 63 V)] 1, J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) sobre la carga. El trabajo es en contra del campo, por lo que debemos aportar energía externa. Solución: a) Aplicando el principio de superposición y para que el campo en el centro del cuadrado sea nulo, la carga que debemos situar en el cuarto vétice ha de ser igual a las cargas de los otros vértices ya que, al ser todas las cargas iguales y estar a la misma distancia y en sentidos opuestos dos a dos, se compensan sus efectos anulándose los vectores campo individuales. Por lo tanto la carga es Q. b) Como el potencial es una magnitud escalar, aplicamos el principio de superposición: La carga ha de ser igual a la suma de las otras tres, pero con el signo contrario, por lo que ha de valer 3 Q.

27 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág Una pequeña esfera de masa m = 2,0 g pende de un hilo entre dos láminas verticales cargadas paralelas separadas 5,0 cm. La esfera tiene una carga de +6,0 μc. Si el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical como se indica en la figura, a) cuál es el valor de la tensión en el hilo?; b) cuál es el valor del campo eléctrico entre las placas?; c) cuál es la diferencia de potencial entre las placas? Cuál es la placa positiva y cuál la negativa? Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g 0 = 9,81 m s 2 ; 1 μc = 10 6 C Solución: a y b) Sobre la esfera actúan tres fuerzas: la tensión que le ejerce el hilo (que impide que la esfera se mueva), su peso y la fuerza eléctrica sobre ella. Vectorialmente valen (α = 30º): La resultante de las fuerzas (nula) nos indica que: c) La diferencia de potencial se puede calcular relacionándola con el valor del campo: 140. Una pequeña pelota de plástico de 2,00 g se encuentra suspendida de un hilo en el seno de un campo eléctrico uniforme = 1, N C 1 tal como indica la figura. a) Si la pelota se encuentra en equilibrio cuando el hilo forma un ángulo de 15º con la vertical, determine el valor la carga de la pelota y la tensión en la cuerda. b) Si el campo eléctrico ha sido generado por dos placas plano paralelas, separadas por una distancia d = 4,52 cm, como las de la figura, con cargas iguales y opuestas, qué diferencia de potencial existe entre las placas? Indique cuál es la placa positiva y cuál la negativa. Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g 0 = 9,81 m s 2 El campo eléctrico debe ir dirigido hacia la derecha por que la fuerza eléctrica ha de ir hacia la derecha, ya que se anula con la componente horizontal de la tensión, que va dirigida hacia la izquierda. Hay que tener en cuenta que la carga es positiva. Por tanto la lámina izquierda tiene carga positiva y la derecha negativa. Solución: a) Sobre la esfera actúan tres fuerzas: la tensión que le ejerce el hilo (que impide que la esfera se mueva), su peso y la fuerza eléctrica sobre ella. Vectorialmente valen (con α = 15º): Hay que aclarar que la carga es positiva, ya que el campo y la fuerza tienen el mismo sentido. La resultante de las fuerzas (nula) nos indica que: b) La diferencia de potencial se puede calcular relacionándola con el valor del campo: El campo eléctrico va dirigido hacia la derecha por que la fuerza eléctrica ha de ir hacia la derecha, ya que se anula con la componente horizontal de la tensión, que va dirigida hacia la izquierda. Por tanto la lámina izquierda tiene carga positiva y la derecha negativa.

28 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Campo eléctrico 23/01/2019 Pág 28