Tema 10: Pandeo. Tema 10 : PANDEO. N cr. (1) (2) y 2 = z 2. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.)

Transcripción

1 Tema 0: Pandeo Tema 0 : PADEO () () π. E. Pro.: Jaime Santo Dogo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SA.) - 008

2 Tema 0: Pandeo 0..- TRODUCCÓ os dierentes elementos que conorman una estructura pueden allar por dierentes motivos, dependiendo de los materiales utiliados, tipos de cargas, ligaduras apoos. Muchos de estos tipos de allos se podrán evitar, dimensionando dichos elementos de tal orma, que las tensiones deormaciones máimas que se producan permanecan dentro de los límites admisibles así se eectuarán los dimensionamientos a Resistencia a Rigide, estudiados en los temas precedentes. Pero eisten otros tipos de allos, como es el allo por inestabilidad o pandeo, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresión. En estos casos, en el elemento puede aparecer una leión lateral que puede llegar a ser grande hacer allar al elemento Fleión lateral (PADEO) a aparición de dicha leión lateral, su rápido ecimiento la pérdida total de estabilidad del elemento el consiguiente colapso de la estructura, constituen el estudio del Pandeo. Ejemplos de elementos estructurales donde puede aparecer el Pandeo: Pandeo en los pilares de los ediicios Pandeo en las barras de las Estructuras Articuladas

3 Sección 0.: Estudio teórico del Pandeo de pieas sometidas a compresión 0..- ESTUDO TEÓRCO DE PADEO DE PEZAS SOMETDAS A COMPRESÓ as pieas sometidas a compresión pueden agruparse en dos grupos: PEZAS SMPES PEZAS COMPUESTAS.-as PEZAS SMPES pueden estar constituidas por: a) Un solo peril b) Varios periles o chapas unidas mediante tornillos o soldadura Si el enlace se hace por medio de tornillos, se deberá cumplir: s 8. a s 5. e s: distancia entre ejes de uniones a: diámetro de los agujeros e: mínimo espesor de las pieas a unir Si el enlace se hace con soldadura discontinua, se deberá cumplir: s 5. e s 300 mm s s: distancia entre ejes de soldaduras e: mínimo espesor de las pieas a unir 3

4 Tema 0: Pandeo c) Periles unidos con orros discontinuos de chapa o presillas s En este caso se deberá cumplir: s 5.i i: radio de giro mínimo de los periles a unir.-as PEZAS COMPUESTAS, lo serán, cuando no se cumplan alguno de los supuestos anteriores. Observación: En este Tema se hará el estudio del Pandeo para los casos de PEZAS SMPES. (El Pandeo en Pieas Compuestas se estudia en otras asignaturas, tales como: Estructuras Metálicas ) CARGA CRÍTCA DE EUER El estudio teórico del Pandeo, que es debido a Euler, se planteó como un estudio de equilibrio. Así, si se tiene una piea sometida a una uera de compresión se encuentra en equilibrio, posición (), su equilibrio podrá ser: ESTABE, ESTABE o DFERETE () () () () () () Equilibrio ESTABE Equilibrio ESTABE Fig. 0. Equilibrio DFERETE Equilibrio Estable: si al separarla un poco, a la pos. () soltar, vuelve a la pos.() Equilibrio nestable: si al separarla un poco, a la pos. () soltar, se aleja de la pos.() Equilibrio ndierente: al separarla un poco, a la pos. () soltar, se queda en la pos.() 4

5 Sección 0..: Carga ítica de Euler El que una piea dada adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la carga de compresión a la que se le someta. Se denoa: CARGA CRÍTCA ( ): al valor de la carga de compresión que hace que se alcance el EQUBRO DFERETE Así pues se tendrá: si Equilibrio ndierente si < Equilibrio Estable si > Equilibrio nestable aturalmente se deberá hacer trabajar a las pieas con <, para que se encuentren siempre en equilibrios estables. Cálculo del valor de la Carga Crítica de Euler: Fue Euler el que calculó dicho valor. Considérese una piea (columna), recta, con sus etremos articulados sometida a una carga de compresión centrada, de valor la carga ítica. () () Por lo visto anteriormente, la columna se encontrará en la posición () en equilibrio DFERETE por tanto, si la separamos un poco a la posición (), permanecerá en dicha posición. Si Equilibrio ndierente. a ecuación dierencial de la Elástica en la posición () será, (ver 6.): Fig. 0. d M siendo : M. d E. d d E.. M ecuación dierencial línea elástica d d E. d haciendo : k (0.) + k. 0 E. d la solución general de esta ecuación dierencial es de la orma : C. senk. + C.cos k. Cálculo delas cons tan tes C C : 0 0 C 0 0 C. senk. 0 C 0 0 elástica rectilínea ( pos.) senk. 0 k. n. π ( n,,3,...) n. π n. π k k (0.) igualando las ep resiones (0.) (0.) : 5

6 Tema 0: Pandeo n. π π. E.. n E. El menor de estos valores se obtendrá para n será: Observaciones: π. E. (0.3).-Si el pequeño desplaamiento que se da a la columna para llevarla a la posición () se hiciera en el plano XZ, la epresión de la carga ítica F C sería: π. E. () () π. E. () () π. E. Fig. 0.3 En cual de los dos planos pandeará inalmente la columna? Conclusión: Una columna pandeará en el plano que presente menor rigide a la leión, es decir, en el plano respecto del cual el módulo de rigide a la leión sea mínimo: E. Así pues la epresión de la carga ítica de Euler será: Ejemplo: π. E. os ejes Y, Z son ejes principales de inercia (ejes de simetría). Respecto de ellos se obtendrán: ma, 3. b. h si b < h E. E.. h. b < 3 la columna pandeará (leará) en el plano XY, osea alrededor del eje Z (0.4) 6 Fig. 0.4

7 Sección 0..: Carga ítica de Euler.-De la órmula 0.4, que da la carga ítica, se obtienen las siguientes conclusiones: π. E. a) El valor de la carga ítica depende del material del que esté abricada la columna: E acero, E hormigón, E aluio,. b) Para un material dado, el valor de no depende de la calidad del mismo, esto es de su resistencia ( en la órmula de no interviene la ni la u ) Ejemplo: material : acero tipo : E,.0 5 /mm ; 75 /mm material : acero tipo : E,.0 5 /mm ; 350 /mm Conclusión: os dos aceros tendrán la misma carga ítica, es decir, se comportarán igual rente al Pandeo c) a carga ítica es directamente proporcional al módulo de rigide a la leión: E.. Así pues, mejoraremos la resistencia al Pandeo, utiliando columnas que opongan gran resistencia a la leión, es decir, que tengan módulos de rigide a la leión grandes d) a carga ítica es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de la columna:. Así pues cuanto maor sea la longitud de la columna, más posibilidades de que se alcance la carga ítica se produca el allo por Pandeo. Ecuación de la línea elástica: Anteriormente se vió que la solución de la integración de la ecuación dierencial de la elástica era de la orma: C.sen k. + C.cos k. en donde : C 0 n. π sustituendo : C. sen. C. senk. siendo : k ecuación línea elástica n. π (0.) Observaciones: El valor de C resulta indeterado, ello es debido a haber tomado como valor del radio de curvatura: d r d enlugar de su valor eacto: d d r d + d Si se dan valores a n,, 3,.., se obtienen las elásticas correspondientes a los dierentes estados de equilibrios indierentes: 3 7

8 Tema 0: Pandeo π π. E. Si n C. sen. siendo : () () ma d la lecha máima será : 0 d π π ma ( ) C. sen. C. sen C Esta será la orma que tome la elástica cuando se consiga el equilibrio indierente bajo la carga / π. E. Fig π π. E. Si n C. sen. siendo :. ma () () 3/4 d 3. la lecha máima será : 0, d 4 4. π π ma ( ) C. sen. C. sen C π 3 3π ma ( ) C. sen. C. sen C 4 4 / ma Fig. 0.6 /4 Esta será la orma que tome la elástica cuando se consiga el equilibrio indierente bajo la carga π. E.. Se tomará para el cálculo el menor de los valores de, es decir, la carga que consiga el primer equilibrio indierente, o sea para el valor n 8

9 Sección 0..: nluencia de los enlaces. ongitud de pandeo FUECA DE OS EACES. OGTUD DE PADEO El valor obtenido para la carga ítica F C, corresponde al caso de una columna articulada en sus etremos. π. E. β k Fig. 0.7 Con otros tipos de apoos siguiendo un proceso similar al seguido en 0.., se obtendrán los valores de F C correspondientes: π. E. 4.. π. E. 4. π. E. β. k β 0, 7 k 0, 7 β 0,5 k 0,5 Fig. 0.8 Fig. 0.9 Fig. 0.0 Con el objeto de poder utiliar una sola órmula que englobe a los cuatro casos, se utiliará la siguiente: π. E. k (0.5) siendo: β. " longitud de pandeo" (0.6) k os valores de β por consiguiente de k para cada uno de los cuatro tipos de apoos vistos, se obtendrán comparando la órmula general 0.5 para la carga ítica, con las obtenidas en cada uno de ellos. os valores están indicados en las iguras correspondientes 9

10 Tema 0: Pandeo ongitud de pandeo de barras canónicas: k Condiciones empotrada empotrada biempotrada biarticulada biempotrada de etremo articulada libre desplaable k,0. 0,5. 0,7.,0.,0. Concepto ísico de la longitud de pandeo: a longitud de pandeo de una barra es: la longitud que debería tener una barra, articulada en ambos etremos, equivalente a la dada (mismo material sección ), para que tuviese la misma carga ítica, que la barra dada ma k ma k 0,5 k ma Fig. 0. Fig. 0.3 Fig.0. ma k 0,7. Fig.0.4 0

11 Sección 0..3: Tensión ítica de Euler. Concepto de esbelte TESÓ CRÍTCA DE EUER. COCEPTO DE ESBETEZ Se denoa TESÓ CRÍTCA de Euler: a la tensión de compresión de una columna cuando sobre ella actúa la carga ítica A (0.7) Sustituendo F C por su valor dado en 0.5, quedará:.. π. E. π E A π. E. i π. E π. E A k. A k k λ k i (0.8) siendo: k λ " esbelte de una columna" (0.9) i Representando gráicamente, en unos ejes coordenados, la ecuación 0.8 que da la tensión ítica de Euler en unción de la esbelte, se obtiene el siguiente diagrama: π. E λ " curva de Euler " λ λ λ Fig.0.5 Del análisis del diagrama se deduce que a medida que disuimos la esbelte λ de la columna (λ < λ ) la tensión ítica C aumenta ( > ), es decir aumenta la capacidad de la columna para resistir mas cargas sin que se produca el Pandeo. Conclusión: Para mejorar el comportamiento de una columna, de longitud dada, rente al Pandeo, será preciso disuir su esbelte λ. Cómo?. Si la longitud nos viene impuesta, en unción de la ecuación 0.9 que da la esbelte, habrá que aumentar el radio de inercia mínimo i. k λ si i λ i

12 Tema 0: Pandeo El aumento de i sin modiicar el área A, se consigue aumentando el momento de inercia, osea alejando el material todo lo posible del centro de gravedad de la sección i si i A Esta es la raón, por ejemplo, por la que las columnas de sección hueca son mejores, a eectos de pandeo, que las macias del mismo área sección sección G G A, A A, Fig.0.6 > i > i λ < λ > la sec ción se comportará mejor al pandeo que la sec ción c c F c > F c

13 Sección 0..4: ímites de aplicación de la órmula de Euler ÍMTES DE APCACÓ DE A FÓRMUA DE EUER El diagrama de la ig.0.5, que representa la curva de la tensión ítica de Euler, sólo va a ser válida hasta un cierto punto P, que corresponde a una esbelte λ lim, que es la esbelte para la cual: (tensión ítica) (tensión del límite elástico). P π. E λ " curva de Euler " λ lim λ Fig.0.7 Ello es debido a que en la deducción de la órmula para la obtención de la carga ítica, se utilia la ecuación dierencial de la elástica ésta sólo es aplicable para los casos en que E cte o lo que es lo mismo cuando ( sección 3.5. diagrama tensionesdeormaciones). Además, al alcanarse la tensión del límite elástico, el allo se produciría por haberse alcanado la resistencia a la compresión de la sección. En la Fig. 0.8 se representa la curva de pandeo de Euler los modos de allo Fallo por haber rebasado el límite elástico P Fallo por pandeo Curva de pandeo de Euler λ lim λ Figura 0.8 3

14 Tema 0: Pandeo Así pues tendremos que para poder utiliar la curva de Euler se habrá de veriicar: π. E π. E λ λ π. E λ lim (0.0) para esbelteces: λ λ lim S se podrá aplicar la curva de Euler para esbelteces: λ λ lim O se podrá aplicar la curva de Euler os valores de λ lim para los aceros más utiliados en la construcción son: Acero (/mm ) λ lim S ,9 S ,8 S ,4 a curva de pandeo epresada en la ig.0.8 puede ser redibujada de orma adimensional, dividiendo la tensión ítica de Euler entre el límite elástico: ( / ) la esbelte entre la esbelte límite: (λ / λ lim ), dando lugar a la siguiente curva de Pandeo adimensional / / P P λ/λ/λ/λ lim Figura 0.9 a ventaja de este gráico es que puede aplicarse a barras de dierentes esbelteces resistencias 4

15 Sección 0.3: Pandeo real: Estudio práctico del pandeo de pieas de acero sometidas a compresión PADEO REA: ESTUDO PRÁCTCO DE PADEO E PEZAS DE ACERO SOMETDAS A COMPRESÓ TRODUCCÓ El comportamiento real de los pilares diiere del estudio teórico e ideal que acabamos de hacer. Ello es debido a las diversas imperecciones del pandeo real que no se han tenido en cuenta en el estudio teórico, tales como: Falta de rectitud inicial del eje del pilar Cargas aiales no aplicadas eactamente en el centro de gravedad de la sección transversal del pilar Tensiones residuales producidas en la abricación del pilar, bien por el proceso de laación o por las soldaduras Otras Así estudios eperimentales de pilares reales proporcionan los resultados que se muestran en la siguiente igura: Esbelte media Esbelte elevada P Punto de inleión λ lim Figura 0.0 λ Comparado con las curvas teóricas, el comportamiento real muestra maores dispersiones en el intervalo de esbelteces medias que en el intervalo de esbelteces elevadas. En la ona de esbelteces medias (que representa a la maoría de los pilares), el eecto de las imperecciones es signiicativo debe de ser tenido en cuenta. a maor reducción en el valor teórico se produce en la región de la esbelte límite λ lim. a curva límite inerior se ha obtenido de un análisis estadístico de los resultados de los ensaos representa el límite seguro para la carga. 5

16 Tema 0: Pandeo Un pilar puede ser considerado de esbelte elevada si su esbelte es maor que la correspondiente al punto de inleión de la curva límite inerior, mostrada en la ig.0.0. Para la carga última en dichos pilares, de esbelte elevada, se puede tomar pues la carga ítica de Euler: Son los pilares de esbelteces medias aquellos cuo comportamiento, tal como se observa en la ig.0.0, se desvía más de la teoría de Euler. Es pues en ellos donde se observa que más inlue la presencia de las imperecciones, las cuales dan lugar a tensiones adicionales que se añadirán a las obtenidas en el comportamiento teórico, lo que eplica que las cargas últimas que serán capaces de resistir los pilares en el pandeo real sean ineriores a las obtenidas en el pandeo teórico. Son la alta de rectitud del eje del pilar la presencia de tensiones residuales, las imperecciones que presentan un eecto más signiicativo en el comportamiento de este tipo de pilares. Ejemplo de tensiones adicionales debidas al eecto de las tensiones residuales debidas a la laación en caliente en la abricación del pilar: 0,3. compresión 0,. tracción 0,. compresión Ejemplo de tensiones residuales debidas a laación en caliente + o /A Residual ma < ma 6 Figura 0.

17 Sección 0.3: Pandeo real: Estudio práctico del pandeo de pieas de acero sometidas a compresión Ejemplo de tensiones adicionales debidas a la alta de rectitud del eje del pilar: Esta imperección es debida a los deectos inherentes al propio material, tales como la alta de homogeneidad del material, las imperecciones geométricas de las pieas, etc. a orma de introducir estas imperecciones es a través de dar una curvatura inicial a la barra (Fig.0..b). Al aplicar ahora sobre ella la carga de compresión, hará trabajar a la barra a FEXÖ-COMPRESÖ, con lo cual se curvará más (Fig.0..c) 0 Fig. 0..a Fig. 0..b Fig. 0..c /A (.)./ ma < ma + o Fig.0.3 aturalmente si se dan varias imperecciones a la ve, los eectos inales serán la suma de los obtenidos en cada una de ellas. 7

18 Tema 0: Pandeo Así pues en el pandeo real tendremos que, en general, a las tensiones producidas por la carga de compresión, les tendremos que sumar las debidas a las tensiones residuales las debidas a la leión, dada la alta de rectitud del eje del pilar, con lo cual la tensión total inal máima será: a tensión máima se dará en la sección / valdrá: M. ma + + residuales + + residuales A W A W (. A). + + residuales k. W / ma k. (0.) Fig. 0.4 siendo : k "coeiciente de ampliicación de la tensión de compresión " A Conclusión : PADEO TEÓRCO: Euler PADEO REA sólo COMPRESÓ COMPRESÓ +FEXÓ+T.residuales ma ( ) A cte A ( ) + ( M ) + ma M + + residuales k. A W residuales Fig

19 Sección 0.3.: ntroducción al método de cálculo a pandeo con la normativa española DB-SE-A TRODUCCÓ A MÉTODO DE CÁCUO A PADEO CO A ORMATVA ESPAÑOA: DB-SE-A (007) Comprobación a Pandeo de pieas sometidas a compresión centrada por el Método de la nueva ormativa española: DB-SE-A: Caso de barras rectas de sección constante ail constante a ecuación 0. nos da la tensión máima en el pandeo real, en el que se tiene en cuenta, tal como indicamos anteriormente, las tensiones debidas a la compresión junto con las tensiones que producen las imperecciones del pilar (alta de rectitud del eje las tensiones residuales). a órmula propuesta por la ormativa para la comprobación a pandeo es: χ * * * * * ma k. k. d. A. d. A. d A k denoando : "resistencia última de la barra a pandeo" χ. A. b, Rd χ "coeiciente de reducción por pandeo" k Así pues la órmula inal para la comprobación a pandeo de una barra de sección constante sometida a una compresión centrada constante será: d (0.) * b, Rd χ. A. d (0.3) os valores del coeiciente de reducción por pandeo χ, que como se ve, es el inverso del coeiciente de ampliicación de tensiones k, se pueden obtener a partir de las curvas de pandeo, como veremos a continuación Observaciones:.-Al coeiciente χ<, se le denoa coeiciente de reducción por pandeo por lo siguiente: Vimos que la resistencia última, plástica, ecuación 4.33): pl,d A. d de una sección a compresión era (ver la comprobación a resistencia de una sección trabajando a compresión se aplicaba la órmula dada en la ecuación (4.34) * A. pl, d Como en el caso del pandeo tal como hemos visto, además de las tensiones debidas a la compresión, había que añadir las debidas a la leión las tensiones residuales, la resistencia última de la sección, será inerior a la de solamente debida a la compresión. d 9

20 Tema 0: Pandeo.- Para los casos de barras de sección variable, de esueros de compresión variables, de barras de sección compuesta o de elementos triangulados o de pilares de ediicios, ver la ormativa indicada. Su estudio es objeto de otras asignaturas especíicas CURVAS EUROPEAS DE PADEO as curvas de pandeo ECCS están basadas en los resultados de más de 000 ensaos sobre varios tipos de pieas:, H, T, [,,, [ ], Ο, con dierentes valores de esbelte (entre 55 60). Se han tenido en cuenta una imperección geométrica de alta de rectitud del eje del pilar, tomando un eje semisinusoidal de magnitud /000, así como los eectos de tensiones residuales relativas a cada tipo de sección transversal. as curvas de pandeo ECCS: a o, a, b, c d, se muestran en la siguiente tabla 0. el utiliar unas u otras va a depender de la orma de la sección transversal del pilar considerado, de la dirección en la que pueda ocurrir el pandeo (eje o eje ) del proceso de abricación utiliado en el pilar (laación en caliente, soldado o conormado en río). Ver la tabla siguiente 0. Tabla 0. Curvas de pandeo Éstas curvas nos proporcionan el valor para el coeiciente de reducción por pandeo χ, en unción de la curva de pandeo apropiada al caso de la esbelte reducida λ : λ siendo: A. "esbelte reducida" (0.4) π. E. k (carga ítica de Euler) 0

21 Sección 0.3.3: Curvas europeas de pandeo Tabla 0. Curva de pandeo en unción de la sección transversal

22 Tema 0: Pandeo os datos de la tabla 0.3 que se indica a continuación, que dan también los valores del coeiciente χ de reducción del pandeo, se obtienen de la tabla 0. (curvas de pandeo), pero son más operativas a la hora de tomar datos de las mismas. Tabla 0.3 Valores del coeiciente de pandeo χ PADEO E PEZAS SOMETDAS A FEXÓ-COMPRESÓ a Comprobación a Pandeo debido a la Fleión Compresión se estudiará en asignaturas especíicas. (Ver normativa DB-SE-A)