INFORMÁTICA 1 (Algoritmos con Java)

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN PROGRAMA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INFORMÁTICA 1 (Algoritmos con Java) MATERIAL RECOPILADO POR LOS PROFESORES J. ANTONIO LEMOS B. Y EDUARDO VICTORIA Z. SANTIAGO DE CALI, AGOSTO DE 2004 Informática I. Versión 1.0 Agosto de

2 ASIGNATURA: INFORMÁTICA 1 CODIGO: CREDITOS: 3 PRERREQUISITOS: 22 créditos aprobados CARACTERÍSTICAS: HOMOLOGABLE, VALIDABLE FACULTAD: INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERÎAS DEPARTAMENTO QUE FRECE: CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN AREA: INFORMÂTICA PERIODO ACADÉMICO: Agosto Diciembre de 2004 OBJETIVO GENERAL Capacitar al estudiante en el diseño e implementación de algoritmos computacionales, utilizando los conceptos básicos de la algoritmia, e introduciéndolo en el estudio de la programación orientada a objetos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS identificar los sistemas básicos de numeración y sus operaciones fundamentales. Comprender las operaciones básicas de la lógica booleana. Modelar procesos mediante técnicas algorítmicas. Reconocer y aplicar correctamente las diferentes estructuras de decisión y de repetición en programación de computadores. Conocer y apropiar el paradigma Orientado a Objetos y su aplicación en la programación. CONTENIDO PROGRAMÁTICO UNIDAD 1 - Sistemas numéricos Pág Sistema binario 1.2 Sistema octal 1.3 Sistema hexadecimal 1.4 Sistema decimal 1.5 Conversión entre sistemas 1.6 Suma y resta binaria 1.7 Código ASCII y UNICODE 1.8 Clase práctica UNIDAD 2 - Sistemas lógicos Pág Conectivos relacionales y lógicos 2.2 Proposiciones lógicas simples y compuestas 2.3 Tablas de verdad para las operaciones lógicas básicas 2.4 Clase práctica UNIDAD 3 - Herramienta de Programación Pág. 29 Informática I. Versión 1.0 Agosto de

3 3.1 Breve historia de los estilos de Programación 3.2 Origen del paradigma Orientado a Objetos 3.3 Definiciones de clases y objetos 3.4 Características básicas del lenguaje Java 3.5 Construcción básica de una aplicación 3.6 Entrada de datos estándar 3.7 Salida de datos estándar 3.8 Descarga e instalación del lenguaje 3.9 Compilación y ejecución de una aplicación 3.10 Clase práctica UNIDAD 4 - Tipos de datos, variables y Operadores (Java) Pág Variables 4.2 Palabras reservadas 4.3 Tipos de datos 4.4 Promoción de datos (Casting) 4.5 Operadores aritméticos 4.6 Operador módulo ( % ) 4.7 Operadores de asignación 4.8 Operadores de incremento y decremento 4.9 Operadores relacionales 4.10 Operadores lógicos boléanos 4.11 Precedencia y asociatividad de los operadores 4.12 Clase práctica UNIDAD 5 Algoritmos Pág Historia de la programación 5.2 Tipos de Algoritmos 5.3 Representación de los Algoritmos 5.4 Propiedades de los Algoritmos 5.5 Clase práctica UNIDAD 6 - Sentencias de control en Java Pág Sentencias de decisión o selección Selección simple ( if ) Selección doble ( if else ; if else - if ) Selección múltiple ( switch ) 6.2 Sentencias de Repetición ( ciclos o bucles): Ciclo para ( for ) Ciclo mientras ( while ) Ciclo haga mientras ( do while ) 6.3 Clase práctica UNIDAD 7 Arreglos 7.1 Definición de Arreglos 7.2 Arreglos Unidimensionales Informática I. Versión 1.0 Agosto de

4 METODOLOGÍA El profesor dedicará 180 minutos semanales (dos bloques de 90 minutos) a las actividades presenciales, las cuales estarán compuestas por: 1) Clases teórico-prácticas en las cuales el profesor expondrá cada uno de los nuevos temas con ejemplos descriptivos y asignará las lecturas y prácticas necesarias. 2) Talleres (Prácticas Dirigidas) en los cuales, por grupo de estudio, se resolverán ejercicios. El profesor asesorará a los grupos. Al final todos los estudiantes deberán tener resueltos los ejercicios y cada grupo avanzará en el proceso de conocimiento según su particular interés y necesidad de saber. Estos ejercicios realizados en clase deberán ser implementados en computador en las prácticas de laboratorio. 3) Prácticas Independientes: para ser realizadas en las macro-salas de PC s de la UAO en el tiempo libre del estudiante. 4) Se efectuarán 3 evaluaciones parciales de la asignatura con la ponderación que se muestra en el numeral V. De esta forma, para obtener resultados satisfactorios, el estudiante deberá ir construyendo el conocimiento a través de aproximaciones sucesivas y durante: las clases, talleres, trabajo personal y trabajo en grupo de estudio. EVALUACIÓN Primer Parcial 15% Segundo Parcial 25% Tercer Parcial 25% Talleres y Quices Trabajos Adicionales REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Mínimo: 3 talleres, 3 quices y 3 trabajos independientes. Se sugieren grupos de 2 o de 3 estudiantes. 15% (Algunos talleres como trabajo independiente) 20% (Trabajo independiente) 1. Área de Informática UAO, Módulo de Informática 1, Publicaciones UAO. 2. CEBALLOS, Francisco J., JAVA 2 Curso de Programación. Ed. Alfaomega. Ra Ma Joyanes Aguilar Luis & Zahonero Martínez Ignacio, Programación en Java 2 Algoritmos, Estructuras de Datos y Programación orientada a Objetos, Ed. McGrawHill, DEITEL, H.M., DEITEL, P. J. How to program Java. 3ª Edición. Ed. Prentice Hall FROUFE, Augustín. JAVA2 Manual de Usuario y Tutorial. 2ª Edición Ed. Alfa Omega WU, Thomas C. Introducción a la programación orientada a objetos con Java. Ed. Mc Graw Hill. España ARNOW, David. WEISS, Gerald, Introducción a la programación con Java. Un enfoque orientado a objetos. Ed. Addison Wesley. España.2001 ELECTRÓNICAS 1. Descargar el software J2SE 1.4, del sitio web: 2. Descargar el editor JCreator 3.0, del sitio web: 3. Documentación de JAVA (JDK 1.4) 4. Tutorial de Java (JDK1.4) 5. Free Electronic Books in Java and C++: 6. FTP: ftp://turing.cuao.edu.co/ Informática I. Versión 1.0 Agosto de

5 FUENTES DE DONDE SE RECOPILÓ EL MATERIAL PARA LA ELABORACIÓN DE ESTE MÓDULO DE INFORMÁTICA I. - Universidad de Valencia, España, Depto. de Informática - Universidad de Oviedo,España, Depto. de Informática Profesor Daniel Gayo. - Aprenda Java como si estuviera en primero, Escuela Superior de Ingenieros Industriales de San Sebastián. - Matemáticas para Computación, Seymour Lipschutz, McGraw Hill, Informática III, Programación Orientada a Objetos (Java), Recopilación: Lyda Peña Paz Informática I. Versión 1.0 Agosto de

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7 UNIDAD 1. SISTEMAS NUMÉRICOS ARITMÉTICA Y REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN EN EL COMPUTADOR Dos de los aspectos básicos que se presentan en el tratamiento de la información, son cómo representarla (de lo cual dependerá sus posibilidades de manipulación) y cómo almacenarla físicamente. La primera se resuelve recurriendo a un código adecuado a las posibilidades internas del computador, que abordaremos en el presente capítulo. La segunda tiene que ver con los llamados soportes de información y es una cuestión que pertenece al ámbito del soporte físico del computador. En la raíz de los desarrollos informáticos está el hecho de que todo dato puede ser representado por un conjunto de bits (Los dígitos de un número binario se conocen como bits -Binary digit digito binario- por su nombre en inglés), circunstancia que permite a la ALU (Unidad Aritmético-Lógica) realizar un gran número de operaciones básicas utilizando su representación binaria. El paso a códigos binarios es una misión que el computador lleva a cabo automáticamente, por lo que el usuario puede despreocuparse de este proceso. Sin embargo es conveniente tener algunas ideas acerca de la forma como el computador codifica y opera internamente, cuestión indispensable para comprender determinados comportamientos de la máquina. Para ello empezaremos recordando algunos conceptos relativos al sistema de numeración binario y a las transformaciones entre éste y el sistema decimal. 1.1 Sistemas de numeración en informática Llamaremos sistema de numeración en base b, a la representación de números mediante un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras. Así todo número se expresa por un conjunto de cifras, contribuyendo cada una de ellas con un valor que depende: a) de la cifra en sí, b) de la posición que ocupa dentro del número. En el sistema de numeración decimal, se utiliza, b = 10 y el alfabeto está constituido por diez símbolos, denominados también cifras decimales: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (1.1) y, por ejemplo, el número decimal puede obtenerse como suma de: es decir, se verifica que: = Cada posición, por tanto, tiene un peso específico (en el sistema decimal, cada posición además tiene un nombre): Valor en el ejemplo Nombre posición 0 peso b 0 8 unidades posición 1 peso b 1 7 decenas posición 2 peso b 2 2 centenas posición -1 peso b -1 5 décimas Informática I. Versión 1.0 Agosto de

8 Generalizando, se tiene que la representación de un número en una base b: N =... n 4 n 3 n 2 n 1 n 0. n -1 n -2 n (1.2) es una forma abreviada de expresar su valor, que es: N =... n 4 b 4 + n 3 b 3 + n 2 b 2 + n 1 b 1 + n 0 b 0 + n -1 b (1.3) donde el punto separa los exponentes negativos de los positivos. Nótese que el valor que tome b determina la longitud de la representación; así, por un lado, resulta más cómodo que los símbolos (cifras) del alfabeto sean los menos posibles, pero, por otra parte, cuanto menor es la base, mayor es el número de cifras que se necesitan para representar una cantidad dada. Como ejemplo veamos cual es el número decimal correspondiente de , en base 8, (cuyo alfabeto es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y recibe el nombre de sistema octal) ) 8 = = = = 64250) Definición del Sistema Binario En el sistema de numeración binario b es 2, y se necesita tan sólo un alfabeto de dos elementos para representar cualquier número: {0,1}. Los elementos de este alfabeto se denominan cifras binarias o bits. En la Tabla 1.1 se muestran los números enteros binarios que se pueden formar con 3 bits, que corresponden a los decimales de 0 a 7. Tabla Números binarios del 0 al 7 binario decimal Estos números son generados así: el primer dígito de derecha a izquierda se multiplica por 2 0, el segundo por 2 1 y el tercero por 2 2 ; por lo tanto el binario sería 1x x x2 0 = 1x4 + 0x2 + 1x1 = Transformaciones entre bases binaria y decimal Para transformar un número binario a decimal: Basta tener en cuenta las expresiones (1.2) y (1.3), en las que b = 2. Ejemplo 1: Transformar a decimal los siguientes números binarios: ; ; ) 2 = (1 2 5 ) + (1 2 4 ) + (1 2 2 ) = = = 52) ) 2 = = (1/2) + (1/8) = 0.625) ) 2 = = 16+4+(1/8) = 20125) 10 Informática I. Versión 1.0 Agosto de

9 Observando el Ejemplo 1 se deduce que se puede transformar de binario a decimal sencillamente sumando los pesos de las posiciones en las que hay un 1, como se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2: Transformar a decimal los números: ) 2 y ) ) = /8 = 9.125) 10 pesos ½ ¼ 1/ ) = = 77) 10 pesos Para transformar un número decimal a binario: a) La parte entera del nuevo número (binario) se obtiene dividiendo la parte entera del número decimal por la base, 2, (sin obtener decimales en el cociente) de partida, y de los cocientes que sucesivamente se vayan obteniendo. Los residuos de estas divisiones y el último cociente (que serán siempre menores que la base, esto es, 1 o 0), en orden inverso al que han sido obtenidos, son las cifras binarias. Ejemplo 3: Pasar a binario el decimal ) 10 = 11010) b) La parte fraccionaria del número binario se obtiene multiplicando por 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo en los productos sucesivos. El número binario se forma con las partes enteras (que serán ceros o unos) de los productos obtenidos, como se hace en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4: Para pasar a binario el decimal separamos la parte fraccionaria: y la parte entera: 26 (ya transformada en el Ejemplo anterior) x Por tanto, habiéndonos detenido cuando la parte decimal es nula, el número decimal en binario es: ) 10 = ) 2 NOTA: un número real no entero presentará siempre cifras después del punto decimal, pudiendo ser necesario un número finito o infinito de éstas, dependiendo de la base en que se represente; por ejemplo el número 1.6) 10 representado en binario sería ) 2, requiriendo infinitas cifras para ser exacto, como también ocurre con muchos números representados en decimal. Informática I. Versión 1.0 Agosto de

10 1.1.3 Códigos Intemedios Como acabamos de comprobar, el código binario produce números con muchas cifras, y para evitarlo utilizamos códigos intermedios que son bases mayores, que no se alejen de la binaria. Estos se fundamentan en la facilidad de transformar un número en base 2, a otra base que sea una potencia de 2 (2 2 =4; 2 3 =8; 2 4 =16, etc.), y viceversa. Usualmente se utilizan como códigos intermedios los sistemas de numeración en base 8 (u octal) y en base 16 (o hexadecimal) Base Octal Un número octal puede pasarse a binario aplicando los algoritmos ya vistos en secciones anteriores. No obstante, al ser b=8=2 3, el proceso es más simple puesto que, como puede verse n n n n n n n n n = (n n n ) (n n n ) (n n n ) 2-3 = (m 1 ) (m 0 ) (m -1 ) 8-1 Cada 3 símbolos binarios (3 bits) se agrupan para formar una cifra de la representación en octal, por tanto en general puede hacerse la conversión fácilmente, de la forma siguiente: Para transformar un número binario a octal se forman grupos de tres cifras binarias a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha (añadiendo ceros no significativos cuando sea necesario para completar grupos de 3). Posteriormente se efectúa directamente la conversión a octal de cada grupo individual de 3 cifras, y basta con recordar como se generaron los números en la tabla 1.1 para poder realizar rápidamente la conversión. Así por ejemplo ) 2 = = ) 8 De octal a binario se pasa sin más que convertir individualmente a binario (tres bits) cada cifra octal, manteniendo el orden del número original. Por ejemplo: ) 8 = = ) 2 Para transformar un número de octal a decimal se aplica la expresión (1.3) con b=8. Para transformar un número de decimal a octal se procede de forma análoga a como se hizo para pasar de decimal a binario dividiendo o multiplicando por 8 en lugar de por 2. Así se puede comprobar que ) 8 = ) 10 ó que ) 10 = ) Base Hexadecimal Para representar un número en base hexadecimal (esto es, b=16) es necesario disponer de un alfabeto de 16 símbolos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Tabla Números binarios del 0 al 7 Hexadec A B C D E F Décimal Binario Informática I. Versión 1.0 Agosto de

11 Al ser b=16=2 4, de modo similar al caso octal, cada símbolo hexadecimal se corresponde con 4 símbolos binarios (4 bits) y las conversiones a binario se realizan agrupando o expandiendo en grupos de 4 bits. Se pueden comprobar las transformaciones siguientes: ) 2 = D F. B 6 = 5DF.B6) H 1A7.C4 ) H = 1 A 7. C = ) 2 De la misma forma que manualmente es muy fácil convertir números de binario a octal, y viceversa, y de binario a hexadecimal, y viceversa, también resulta sencillo efectuar esta operación electrónicamente o por programa, por lo que a veces el computador utiliza este tipo de notaciones intermedias como código interno o de entrada/salida, y también para visualizar el contenido de la memoria o de los registros. Para transformar un número de hexadecimal a decimal se aplica la expresión (1.3) con b=16. Para pasar un número de decimal a hexadecimal se hace de forma análoga a los casos binario y octal: la parte entera se divide por 16, así como los cocientes enteros sucesivos, y la parte fraccionaria se multiplica por 16, así como las partes fraccionarias de los productos sucesivos. Así se puede comprobar que 12A5.7C) H = ) 10 ó que ) 10 = 3F6D.4) H 1.2 Operaciones Aritméticas y Lógicas El procesamiento de la información incluye realizar una serie de operaciones con los datos; estas operaciones y las particularidades de las mismas en su realización por el computador son el objeto de los próximos apartados. Operaciones Aritméticas con Números Binarios Las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) en sistema binario se realizan en forma análoga a la decimal aunque, por la sencillez de su sistema de representación, las tablas son realmente simples: Tabla Operaciones básicas en binario Suma aritmética Resta aritmética Producto aritmético = = = = = 1 y debo 1 (*) 0. 1 = = = = = 0 y llevo 1(*) 1-1 = = 1 (*) Llamado normalmente acarreo. En binario 1+1=10 (es 0 y me llevo 1), igual que en decimal 6+6=12 (es 2 y me llevo 1) Resta en un SC2 Se toma el sustraendo y se le hace complemento a uno (negación de cada bit). Posteriormente a este número se le suma uno, dando como resultado el complemento a dos. Este último resultado (que equivale al sustraendo negativo) se le suma al minuendo y obtendremos la respuesta. Si el número de términos excede al minuendo, se debe realizar desbordamiento de extremos. (No se toma el bit de extrema izquierda en el resultado ). Informática I. Versión 1.0 Agosto de

12 Ejemplo 5: (minuendo) (7) (sustraendo) (5) Complemento a uno del sustraendo Se suma uno + 1 Complemento a dos (-5) Minuendo (7) Complemento a dos (-5) Respuesta (2) Como se presenta acarreo se omite el bit de extrema izquierda. Ejemplo 6: Minuendo ( 75) Sustraendo (105) Complemento a uno del sustraendo Se suma uno + 1 Complemento a dos (-105) Complemento a dos ( 75) Suma minuendo (-105) Respuesta (- 30) Ejemplo 7: Efectuar las siguientes operaciones aritméticas binarias: _ _ A partir del ejemplo anterior, se observa que multiplicar por 10) 2 (es decir, por 2 en decimal) equivale a añadir un cero a la derecha, o desplazar el punto decimal a la derecha, siendo esto similar a multiplicar por 10) 10 un número decimal. De la misma forma dividir por 10) 2 = 2) 10 equivale a eliminar un cero a la derecha, o desplazar el punto decimal a la izquierda. Por ejemplo: ) 2 2 = ) ) 2 / 2 = ) ) 2 2 = ) ) 2 / 2 = ) ) = ) ) 2 / 2 6 = ) 2 Informática I. Versión 1.0 Agosto de

13 Ejercicios Llene todas las casillas en blanco, sabiendo que las columnas agrupan el sistema numérico y el número a convertir lo da la fila que tenga el dato. DECIMAL BINARIO OCTAL HEXA BC3 A48D Realice las siguientes operaciones : Operando 1 Operando 2 Suma Resta Valores Booleanos y Operaciones Lógicas Un dígito binario, además de representar una cifra en base dos, también puede interpretarse como un valor booleano o dato lógico (en honor a George Boole), entendiendo como tal una cantidad que solamente puede tener dos estados (Verdadero/Falso, SI/NO, 1/0, etc.) y por tanto con capacidad para modelizar el comportamiento de un conmutador. Así, además de las operaciones aritméticas con valores binarios, se pueden llevar a cabo operaciones booleanas o lógicas en las que estos valores se consideran señales generadas por conmutadores. Las operaciones booleanas más importantes son: OR lógico (también denominado unión, suma lógica (+) o función O), AND lógico (también intersección, producto lógico (. ) o función Y) la complementación ( - ) (o inversión, negación, o función NOT o NO). Nótese que las dos primeras son operaciones de dos operandos o binarios mientras que la complementación es unaria. Estas operaciones se rigen según la Tabla 4.4. Informática I. Versión 1.0 Agosto de

14 Tabla Operaciones lógicas OR AND NOT = = 0 0 = = = 0 1 = = = = = 1 Como puede observarse, el AND y OR lógicos se corresponden parcialmente con el producto y suma binarios, y lo más significativo, es la posibilidad de implementar estas operaciones lógicas, y por tanto las aritméticas binarias, en forma de circuitos. En la siguiente unidad se revisa más ampliamente las operaciones lógicas. Informática I. Versión 1.0 Agosto de

15 UNIDAD 2. SISTEMAS LÓGICOS LOGICA, TABLAS DE VERDAD 2.1 Introducción. Un computador puede ser programado para tomar decisiones basadas en si ciertos enunciados por ejemplo, El numero que se ha computado es mayor que 100 -son verdaderos o falsos. A la verdad o falsedad de un enunciado se le llama valor de verdad; un enunciado es verdadero o falso, pero no ambas cosas. Algunos enunciados son enunciados compuestos, es decir, están integrados por subenunciados y varias conectivas. Ejemplo 1: (a) Las rosas son rojas y las violetas azules es un enunciado compuesto por los subenunciados las rosas son rojas y las violetas son azules. (b) El es inteligente o estudia todas las noches es, implícitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados El es inteligente y estudia todas las noches. (c) Para donde va? no es un enunciado ya que no es ni verdadero ni falso. La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad esta completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como estan conectados para formar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunas de estas conectivas. En este capitulo usaremos las letras p, q, r (en minúsculas o mayúsculas, con o sin subíndices) para denotar enunciados. 2.2 Conjunción, p ^ q Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra y para formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ^ q. Denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee p ^ q. La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q esta dada por la siguiente tabla: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F En este caso, la primera línea es una manera abreviada de decir que si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero. Las otras líneas tienen significados análogos. Consideramos que esta tabla define precisamente el valor de verdad del enunciado compuesto p ^ q como una función de los valores de verdad de p y de q. Observe que p ^ q es verdadero solamente en el caso en que ambos subenunciados sean verdaderos. Informática I. Versión 1.0 Agosto de

16 Ejemplo 2: Considere los cuatro enunciados siguientes: (i) Paris esta en Francia y 2+2=4. (iii) Paris esta en Inglaterra y 2+2=4. (ii) Paris esta en Francia y 2+2=5 (iv) Paris esta en Inglaterra y 2+2=5. Solamente el primer enunciado es verdadero. Cada uno de los otros enunciados es falso ya que por lo menos uno de sus subenunciados es falso. 2.3 Disyunción, p ν q Dos enunciados pueden combinarse con la palabra o (en el sentido de y/o ) para formar un nuevo enunciado que se llama la disyunción de los dos enunciados originales. Simbólicamente, p ν q. Denota la disyunción de los enunciados p y q y se lee p o q. El valor de verdad de p ν q esta dado por la siguiente tabla de verdad, que consideramos define a p ν q: p q pνq V V V V F V F V V F F F Observe que p ^ q es falso solamente cuando ambos enunciados son falsos. Ejemplo 3: Considere los cuatro enunciados: (i) Paris esta en Francia o = 4. (ii) Paris esta en Francia o = 5. (iii) Paris esta en Inglaterra o = 4. (iv) Paris esta en Inglaterra o = 5. Solamente (iv) es falso. Cada uno de los otros enunciados es verdadero ya que por lo menos uno de sus subenunciados es verdadero. Observación: La palabra española o se usa comúnmente de dos maneras. Algunas veces se usa en el sentido de p o q o ambos, mejor dicho, por lo menos una de las dos alternativas ocurre, como antes se señaló y algunas veces se usa en el sentido de p o q pero no ambos, mejor dicho, exactamente una de las dos alternativas ocurre. Por ejemplo, la frase El estudiara en la Universidad Nacional o en la Universidad Católica usa el o en el segundo sentido llamado disyunción exclusiva. A no ser que se diga otra cosa, la o se usara en el primer sentido. Esta observación hace sobresalir la precisión que ganamos con nuestro lenguaje simbólico: pν q esta definido por su tabla de verdad y siempre significa p y / o q. 2.4 Negación, ~ p Dado cualquier enunciado p, se puede formar otro enunciado, llamado la negación de p, escribiendo Es falso que... antes de p o, si es posible insertando en p la palabra no. Simbólicamente, ~ p, denota la negación de p (se lee no p ). Informática I. Versión 1.0 Agosto de

17 La tabla de verdad de ~ p esta dada por la siguiente tabla: p V F ~ p F V En otras palabras, si p es verdadero entonces ~ p es falso entonces ~ p es verdadero. Así, el valor de verdad de la negación de cualquier enunciado es siempre el opuesto del valor de verdad del enunciado original. Ejemplo 4: Considere los siguientes enunciados (a) Paris esta en Francia. (d) 2 + 2= 5 (b) Es falso que Paris esta en Francia. (e) Es falso que 2 + 2=5. (c) Paris no esta en Francia. (f ) Entonces (b) y (c) son cada una de la negación de (a); y (e) y (f) son cada uno la negación de (d. Ya que (a) es verdadero, los enunciados (b) y (c) son falsos; y como (d) es falso, los enunciados (e) y (f) son verdaderos. Observación: La notación lógica para las conectivas y, o y no no es estándar. Por ejemplo, algunos textos usan: p & q. p. q o pq para p ^ q p+q para pν q p. p o p para ~ p 2.5 Proposiciones y Tablas de Verdad Con su uso repetido de las conectivas lógicas (^, ν, ~ y otras que se discutirán adelante), podemos construir enunciados compuestos que son mas elaborados. En el caso en que los subenunciados p, q,... de un enunciado compuesto P (p,q,...) sean variables, llamamos al enunciado compuesto una proposición. Ahora el valor de verdad de una proposición depende exclusivamente de los valores de verdad de sus variables, mejor dicho, el valor de verdad de una proposición se conoce una vez que se conozcan los valores de verdad de sus variables. La tabla de verdad de la proposición ~ (p ^ ~ q), por ejemplo, se construye como sigue: p q ~ q p^~q ~(p^~q) V V F F V V F V V F F V F F V Observe que las primeras F F V F V columnas de la tabla son para las variables p,q,...y que hay suficientes líneas en la tabla para permitir todas las posibles combinaciones de V y F para estas variables. (Para 2 variables, como en el caso anterior, se necesitan 4 líneas; para 3 variables se necesitan 8 líneas; y, en general, para n variables se necesitan 2 n líneas.) Hay pues una columna para cada etapa elemental de la construcción del enunciado el valor de verdad de cada paso es determinado por las etapas anteriores con las definiciones de las conectivas ^, ν, ~. Finalmente, obtenemos la tabla de verdad de la proposición, que aparece en la ultima columna. Informática I. Versión 1.0 Agosto de

18 Observación: La tabla de verdad de la proposición, anterior consiste precisamente en las columnas bajo las variables y la columna bajo la proposición: p q ~(p^~q) V V V V F F F V V F F V Las otras columnas se usaron solamente en la construcción de la tabla de verdad. Otra manera de construir la tabla de verdad anterior para ~ (p ^ ~ q) es la siguiente. Primero se construye la siguiente tabla: p q ~ (p ^ ~ q) V V V F F V F F Paso Observe que la proposición se escribe en la línea superior a la derecha de sus variables, y que hay una columna bajo cada variable o conectiva de la proposición. Los valores de verdad se colocan entonces en la tabla de verdad en varios pasos como sigue: P q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) V V V V V V V F V V F V F V F V V F F V F V F V F F V F F F F F F F V F Paso 1 1 Paso (a) (b) P q ~ (p ^ ~ q) V V V F F V V F V V V F F V F F F V F F F F V F p q ~ (p ^ ~ q) V V V V F F V F V F V V V F F F V F F F V F F V F F V F Paso Paso (c ) (d) La tabla de verdad de la proposición está formada, pues, por las columnas originales bajo las variables y la última columna colocada en la tabla, mejor dicho, el último paso. 2.6 Tautologías y Contradicciones Algunas proposiciones P(p, q, ) contienen solamente V en la última columna de sus tablas de verdad, es decir, son verdaderas para cualquier valor de verdad de sus variables. A tales proposiciones se les Informática I. Versión 1.0 Agosto de

19 llama tautologías. Análogamente, una proposición P(p,q, )se llama contradicción si contiene solamente F en la última columna de su tabla de verdad, o sea, es falso para cualquier valor de verdad de sus variables. Por ejemplo, la proposición p o no p, es decir, p ν ~ p, es una tautología y la proposición p y no p, es decir, p ^ ~ p, es una contradicción. Esto se verifica construyendo sus tablas de verdad. p ~ p p ν ~ p V F V F V V p ~ p p ^~ p V F F F V F Observemos que la negación de una tautología es una contradicción ya que siempre es falsa, y la negación de una contradicción es una tautología ya que siempre es verdadera. Ahora, sea P(p, q,...) una tautología, y sean P(p, q,...), P(p,q,...),...proposiciones cualesquiera. Como el valor de verdad de P(p,q,...) no depende de los valores de verdad particulares de sus variables p, q,... podemos reemplazar P, q por P,...en la tautología P(p, q, ) y tenemos aún una tautología. En otras palabras: Principio de substitución: Si P (p, q,...) es una tautología, entonces P(P 1, P 2,...) es una tautología para proposiciones cualesquiera P 1, P 2,... Ejemplo 5: Por la anterior tabla de verdad, pν ~ p es una tautología. Reemplazando p por q ^ r obtenemos la proposición ( q ^ r ) ν ~ ( q ^ r ) que, por el principio de substitución también debiera ser una tautología. Esto se verifica con la siguiente tabla de verdad.. q r q ^ r ~ (q^r) (q^r)ν ~(q^r) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V 2.7 Equivalencia Lógica: Álgebra de Proposiciones Se dice que dos proposiciones P ( p, q,...) y Q (p, q,...) son lógicamente equivalentes, o sencillamente equivalentes o iguales, denotado por P (p, q,...) Q (p, q, ) Si tienen identicas tablas de verdad. Por ejemplo, considere las tablas de verdad de ~ ( p^q) y ~ pν q: p q p^q ~ (p^q) V V V F V F F V F V F V F F F V p Q ~ p ~ q ~ p ν ~ q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Como las tables de verdad son las mismas, mejor dicho, ambas proposiciones son falsas en el primer caso y verdaderas en los otros tres casos, las proposiciones ~ ( p ^ q) y ~ p ν ~ q son lógicamente equivalentes y podemos escribir: ~ ( p^q) ~ p ν ~ q Informática I. Versión 1.0 Agosto de

20 Ejemplo 6: Considere el enunciado Es falso que las rosas son rojas y las violetas son azules. Este enunciado se puede escribir en la forma ~ ( p ^ q) en donde p es las rosas son rojas y q es las violetas son azules. Sin embargo, por las tablas de verdad anteriores, ~ ( pν q) es lógicamente equivalente con ~ p ν ~ q. Asi, el enunciado dado tiene el mismo significado que el ennunciado. Las rosas no son rojas, o las violetas no son azules. Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias logicas, o leyes, fuera de las descritas anteriormente. Algunas de las leyes mas importantes, con sus nombres se dan en la tabla 2.1. en la tabla, t denota una tautología y f denota una contradicción. 2.8 Enunciados Condicional y Bicondicional Muchos enunciados, particularmente en la matemática, son de la forma Si p entonces q. Tales enunciados se llaman enunciados condicionales y se denotan por p q El condicional p q frecuentemente se lee p implica q o p sólo si q. Otro enunciado común es la forma p si y solo si q. Tales enunciados denotados por p q se llaman enunciados bicondicionales. Los valores de verdad de p q y p q se dan en las siguientes tablas: p q p q V V V V F F F V V F F V p q p q V V V V F F F V F F F V Leyes de idempotencia 1a. pν p p 1b. p ^ p p Leyes Asociativas 2a (pν q) ν r pν (qν r) 2b. (p ^ q) ^ r p ^ ( q ^ r) Leyes conmutativas 3a pν q qν p 3b. p ^ q q ^ p Leyes distributivas 4a pν ( q ^ r) (pν q) ^ (pν r) 4b. p ^ (q ν r) (p ^ q) ν (p ^ r) Leyes de identidad 5a p ν f p 5b. p ^ t p 6a p ν t t 6b. p ^ f f Leyes de complementos 7a pν ~ p t 7b. p ^ ~ p f 8a ~ t f 8b. ~ f t Ley de involución 9 ~ ~ p p Leyes de DeMorgan 10a. ~ (p ν q) ~ p ^ ~ q 10b. ~ (p ^ q) ~ p ν ~ q Tabla 2.1. Leyes del Álgebra de Proposiciones Informática I. Versión 1.0 Agosto de

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