MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Índice 1. LA MATERIA. EL LIBRO DE TEXTO 3. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 4. EVALUACIÓN 5. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES UNIDADES DIDÁCTICAS 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices 3. Determinantes 4. Programación lineal 5. Límite, continuidad, asíntotas y derivada de una función 6. Aplicaciónes de la derivada 7. La integral 8. Probabilidad 9. Inferencia estadística. Distribuciones muestrales 10. Inferencia estadística. Intervalo de confianza y contraste de hipótesis

3 MATEMÁTICAS ALPLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 1. LA MATERIA Las Matemáticas de este curso tienen una orientación fundamentalmente práctica. En ellas, no es tan importante la formalización de los conceptos o el rigor de las demostraciones como su comprensión, de forma que pedan servir en situaciones reales y se puedan utilizar para el planteamiento y resolución de problemas. Se deben ver como lenguaje y herramienta de cálculo al servicio de otros campos del conocimiento. Como lenguaje, las Matemáticas te permitirán expresar relaciones entre variables de una forma rigurosa (ecuaciones), ordenar datos en informaciones de forma compacta y manejable (matrices), resumirlos en unos pocos valores significativos (estadística), representar fenómenos, comprender y predecir su evolución (funciones), y esto en las áreas más diversas: Economía, Sociología, Sicología, Medicina, etc. Como herramienta de cálculo proporcionan conocimientos e instrumentos técnicos que permiten interpretar y abordar problemas complejos; Entre ellos, especialmente, los relacionados con el mundo de la Economía. Los tres bloques de contenidos que vas a estudiar están orientados a proporcionar el carácter instrumental que tienen estas Matemáticas. Álgebra Su finalidad es que seas capaz de expresar un problema en lenguaje algebraico y resolverlo utilizando técnicas algebraicas determinadas: Matrices, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal. Análisis Este año vamos a estudiar dos conceptos importantes del cálculo diferencial: la derivación y la integración. En los dos casos se trata de aplicarlos a funciones provenientes de contextos reales. Estadística y Probabilidad Tanto en Humanidades como en Ciencias Sociales se utilizan el Cálculo de probabilidades y la Estadística. Se profundiza en el estudio de probabilidades que se inició en el primer curso. A continuación se introduce el concepto de inferencia estadística, muestreo y contraste de hipótesis. Al finalizar el curso debes ser capaz de: - Aplicar tus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en particular, en la interpretación de fenómenos de las ciencias sociales y humanas y en las actividades cotidianas. - Utilizar y contrastar estrategias diversas en la resolución de problemas. - Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. 3

4 - Mostrar actitudes propias de la actividad matemática como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de la apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas. - Adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas. - Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de la materia.. EL LIBRO DE TEXTO El libro que deberás utilizar en el estudio de esta asignatura es: Matemáticas aplicadas a la Ciencias Sociales II Autores: Calviño Castelo, Santiago; Sánchez Hernández, Augusto y Vigara Hernández, Lucio. Editorial: CIDEAD - MEC, Madrid, 007. ISBN NIPO.1. Distribución trimestral de los contenidos Los contenidos se ha agrupado en tres bloques temáticos con un total de diez unidades didácticas. La distribución temporal de estas unidades didácticas a lo largo del curso será: Primer trimestre: Bloque temático I: Álgebra (Unidades 1 a 4) Segundo trimestre: Bloque temático II: Análisis y Probabilidad (Unidades 5 a 8) Tercer trimestre: Estadística (Unidades 9 y 10) 3. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En cada unidad didáctica encontrarás siempre los siguientes apartados: 1. Página de inicio de la unidad.. Desarrollo teórico de cada apartado del índice de la Unidad. 3. Ejemplos resueltos 4. Actividades Al final del libro encontrarás la solución detallada de todas las actividades propuestas. 4

5 Para su estudio te recomendamos que sigas los siguientes pasos: 1.º Empieza leyendo la página de inicio de la unidad que te invita a reflexionar sobre los contenidos que vas a estudiar en la unidad. Haz un esquema general de la Unidad. En un primer momento te pueden bastar los títulos de los diferentes apartados. º. Haz los Ejemplos resueltos que se proponen al finalizar la explicación de los conceptos y procedimientos. Cada uno de ellos va seguido de Actividades de autoevaluación que al intentar resolverlas comprobarás si has entendido lo inmediatamente anterior. Muchos de los conceptos matemáticos admiten una expresión gráfica. Te resultará mucho más fácil su estudio si vas buscando ejemplos gráficos de cada uno de ellos. Al final del libro encontrarás la solución detallada de todas las Actividades de autoevaluación propuestas. 4. EVALUACIÓN Cada prueba de evaluación constará de cuatro ejercicios o cuestiones correspondientes a cada una de las cuatro quincenas que comprenden la evaluación y un problema de recapitulación del trimestre. Se podrá pedir al alumno que realice ejercicios de tipo práctico o que realice algún razonamiento sencillo para justificar resultados matemáticos. Ten en cuenta que en esta materia no hay pruebas de recuperación: cada evaluación recupera por sí misma la anterior. Pero no olvides que los contenidos de esta materia pueden ser objeto de evaluación a lo largo de todo el curso. El examen de septiembre tendrá la misma estructura que los anteriores y se hará sobre la totalidad de la materia estudiada en el curso. 5

6 5. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES BLOQUE TEMÁTICO 1: ÁLGEBRA El Álgebra es el lenguaje básico matemático. Mediante el estudio de las siguientes unidades se pretende que adquieras soltura en su comprensión y empleo, que seas capaz de transcribir problemas reales al lenguaje algebraico y que sepas utilizar las técnicas básicas para su resolución. UNIDAD 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En el primer curso de Bachillerato resolviste analítica y gráficamente sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este curso aprenderás a clasificar, discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con un número cualquiera de ecuaciones y de incógnitas. Para ello cuentas con una herramienta sencilla y eficaz: el método de Gauss. Has de ser capaz de transcribir un problema expresado en lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, resolverlo y, por último, interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas. - Identificar sistemas lineales. - Tener el concepto de solución de un sistema. - Resolver e identificar gráficamente sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. - Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss. 3x + y 4z = 5 1. Dado el sistema x + 3y + 5z = ; se pide: 3x + y + 4z = a) Justificar que tiene solución. b) Calcular la solución.. Encuentra tres números tales que su suma sea 10, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y de forma que la media aritmética de los dos últimos sea 80. 6

7 UNIDAD. MATRICES Las matrices son conjuntos de datos ordenados en filas y columnas, son tablas de doble entrada de las que se pueden encontrar muchos ejemplos en la vida cotidiana: paneles de información de Renfe, calificaciones de un grupo de alumnos en varias materias, etc. Una vez ordenados los datos se definen operaciones con el conjunto de ellos. Mediante el estudio de esta unidad debes aprender a organizar informaciones en forma de tablas (matrices) y analizar el significado de los resultados obtenidos con las operaciones entre matrices. - Escribir y leer matrices de datos. - Saber el significado de dimensión de una matriz y el criterio de igualdad de matrices. - Conocer los distintos tipos de matrices. - Sumar y restar matrices; multiplicar una matriz por un número y multiplicar matrices en casos fáciles. - Saber cuándo dos matrices son inversas. 1.- Sea la matriz A = (a) Calcúlese la matriz A + A. x 0 (b) Resuélvase el sistema A 5 y = 5 z 1.- Obtener razonadamente la matriz X que verifique AX = B C, siendo: A = ; B = ; C =

8 UNIDAD 3. DETERMINANTES A cada matriz cuadrada de orden n se le asocia un número real, al que llamamos determinante. En esta unidad aprenderemos cómo se calculan determinantes. Su cálculo nos servirá para: - Facilitar el cálculo de la matriz inversa. - Facilitar el cálculo del rango de una matriz. - Resolver determinados sistemas de ecuaciones empleando la regla de Cramer. - Calcular determinantes de orden y 3. - Saber que un determinante con dos líneas iguales o proporcionales vale cero. - Manejar el método del pivote para la simplificación de determinantes. - Expresar un sistema lineal como una ecuación matricial y resolverlo por medio de la matriz inversa o empleando la regla de Cramer. 1.- Resuelve la ecuación A = 0, donde a b c A = a x c. a b x.- Indica para qué valores del parámetro a la matriz a + 1 a + 1 A = no tiene inversa. 1 a + 1 Calcúlala, si es posible, para el caso a = Encontrar tres números x, y, z tales que su suma sea 10, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80. 8

9 UNIDAD 4. PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal tiene una finalidad fundamentalmente práctica: encontrar la solución óptima (máximo beneficio, mínimo coste, etc.) en problemas en los que, como ocurre en la realidad, nuestros recursos están limitados (estas limitaciones se representan matemáticamente mediante las inecuaciones). Primeramente es necesario pasar el enunciado literal del problema a su formulación matemática: Qué es lo que queremos maximizar o minimizar? La respuesta a esta pregunta nos conducirá a la función objetivo. Qué limitaciones o restricciones tenemos? Cada limitación hemos de intentar formularla como una inecuación. (Será más fácil si ordenamos los datos en forma de tabla, como te explica el libro en el apartado 4.4). Una vez planteado el problema, el segundo paso es aplicar el método de resolución: A partir de las inecuaciones determinar y dibujar la región factible. Calcular las coordenadas de sus vértices. Determinar la solución o soluciones óptimas, si existen, sustituyendo las coordenadas de los vértices en la función objetivo y hallando el valor máximo o mínimo, o representando gráficamente las rectas de nivel. - Describir la idea de la programación lineal. - Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: función objetivo, restricciones, región factible, rectas del nivel, etc. - Saber representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices para un problema dado en forma estándar. - Saber hallar la solución óptima. - Plantear y resolver problemas sencillos de programación lineal partiendo de su enunciado en términos generales. x y Dadas las restricciones 6x y 5 0 hallar los puntos de la región que limitan, en 5y 4x los cuales la función F(x, y) = x + y es máxima y aquellos en que es mínima.. Un fabricante de ladrillos para patios produce dos tipos distintos: gruesos y finos. Los ladrillos gruesos necesitan dos horas de trituración, 5 horas de amalgamación y 8 horas de secado. Los ladillos finos necesitan 6 horas de trituración, 3 horas de amalgamación y dos horas de secado. El margen de beneficios para los ladrillos gruesos es de 40; para los finos, de 50. El fabricante dispone de 36 horas de trituración, 30 horas de amalgamación y 40 horas de secado. Plantéese el problema que permite maximizar los beneficios. 9

10 BLOQUE TEMÁTICO II: ANÁLISIS UNIDAD 5. LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Los conceptos de límite y de continuidad son los más básicos de este bloque y los emplearás repetidamente a lo largo de su desarrollo. Para entenderlos más fácilmente es recomendable que te apoyes en representaciones gráficas, como las del apartado 5.1 del libro. En cuanto a los procedimientos característicos de esta Unidad, es importante que practiques con las reglas del cálculo de límites en funciones usuales y las apliques al cálculo de asíntotas horizontales y verticales de una curva. También deberás hacer algún problema usando los límites laterales para determinar la continuidad de una función en un punto. - Resolver indeterminaciones de la forma 0/0 e / asociadas a funciones racionales. - Aplicar los límites para el cálculo de las asíntotas de una función. - Comprender la noción de continuidad. - Conocer los puntos de discontinuidad de las funciones usuales. - Saber las condiciones necesarias y suficientes para que una función definida a trozos sea continua. - Conocer el concepto de derivada de una función en un punto. - Saber la interpretación geométrica de la derivada para calcular la tangente a Una curva. - Saber calcular las derivadas laterales de una función en un punto. - Calcular límites aplicando la regla de L Hopital. - Obtener las derivadas sucesivas. 1.- Calcula los límites siguientes: 3x 4 3 6x 5 x 3x x + 1x 8 a) lím x 6x x 1 ; b) lím. + x 4 3 x 3x + 4x x +, si x x 1.- Se considera la función f ( x) =. 3x x, si x > x + a) Estúdiese si f(x) es continua en el punto x =. b) Calcúlense sus asíntotas oblicuas. 3.- Halla la función derivada de las siguientes funciones: x a) y e 1 4x + 5 = ( 3x + 5) ; b) y =. 4 x 5 10

11 UNIDAD 6. APLICACIÓNES DE LA DERIVADA Explicaciones complementarias En esta Unidad estudiarás aplicaciones usuales de la derivada: - Obtención de los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables. - Optimización: a partir de problemas extraídos de situaciones reales debes saber expresar algebraicamente la función objetivo (la magnitud que debe ser máxima o mínima), determinar en qué valor se produce e interpretar el resultado en el contexto inicial. - Entender en qué consiste un problema de optimización. - Saber plantear y resolver problemas de optimización sencillos. - Obtener los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables. - Saber la interpretación geométrica de la derivada para calcular la tangente a una curva. 1. Estudia y representa la función. Estudia y representa la función ( x )( x 3) f ( x) =. x x y =. x Sea f ( x ) = x + ax + bx + c que pasa por el punto (-1,0) y tiene un máximo en (0,4). Halla: a) la función; b) el mínimo; c) el punto de inflexión. Esboza la gráfica de dicha función. 11

12 UNIDAD 7. LA INTEGRAL Explicaciones complementarias El cálculo de integrales se suele iniciar asociándolo al cálculo de áreas de figuras planas limitadas por curvas. Dada la orientación de esta asignatura deberás aprender también a aplicar las integrales al estudio de procesos relacionados con las Ciencias Sociales. La integración y la derivación son procesos inversos. Este dato lo podrás usar para comprobar si el resultado obtenido en la integración de una función es correcto. Al derivarlo deberá coincidir con la función inicial. Para calcular integrales con soltura es necesario que aprendas de memoria las integrales inmediatas más usuales. - Calcular la función primitiva de una función. - Calcular integrales inmediatas. - Calcular integrales casi-inmediatas. - Calcular integrales definidas. - Regla de Barrow. Aplicación de la integral definida en el cálculo de áreas planas Sea la función f ( x) = x 9x. a) Calcular sus extremos relativos y los puntos de inflexión. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas verticales x = -1, x = Sean las funciones y = x x 4x, y = 3x + 6x. Represéntalas y determina el área encerrada por ambas. 1

13 BLOQUE TEMÁTICO III: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 8. PROBABILIDAD Explicaciones complementarias En la Unidad se comienza estudiando las operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia. Los entenderás con más facilidad representando gráficamente las operaciones. Esto te ayudará también en la resolución de problemas. Para la determinación de los casos favorables y posibles, así como en la resolución de muchos problemas será de gran utilidad apoyarte en diagramas en árbol. Para dominar este tema es necesario que te ejercites con suficiente número de ejercicios - Hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio en casos sencillos. - Distinguir los distintos tipos de sucesos: simples, compuestos, compatibles, incompatibles, dependientes e independientes, seguro y complementario. - Asignar probabilidades a sucesos compuestos. - Calcular probabilidades condicionadas en casos sencillos. - Hallar la probabilidad de la intersección de sucesos cuando éstos sean independientes. - Identificar sucesos independientes y calcular probabilidades condicionadas. - Calcular probabilidades totales. 1.- En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habitantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidad que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de que vote al partido C es 0,5. Por otro lado, las probabilidades de que un votante de cada partido lea diariamente algún periódico son respectivamente: 0,4; 0,4 y 0,6. Se elige una persona de la ciudad al azar: a) Calcúlese la probabilidad de que lea algún periódico. b) La persona elegida lee algún periódico, cuál es la probabilidad de que sea votante del partido B?.- Se dispone de tres urnas, la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blancas y tres rojas, y la C con una blanca y cinco rojas. a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella, cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? b) Si la bola extraída resulta ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? 13

14 UNIDAD 9. INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Explicaciones complementarias Una vez estudiados los conceptos básicos sobre sucesos aleatorios y su probabilidad vamos a cuantificar los resultados del espacio muestral mediante el empleo medidas numéricas para estudiar su comportamiento aleatorio. El concepto de variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier suceso aleatorio con una medida cuantitativa. Al finalizar el estudio de la unidad deberás ser capaz de: - Asignar una probabilidad a cada valor de una variable discreta definida. - Hallar la media y al varianza de una variable aleatoria discreta. - Hallar la media y la varianza de una distribución binomial. - Calcular probabilidades en una distribución binomial. - Calcular probabilidades en una distribución normal. - Conocer los métodos del muestreo estadístico y extraer muestras de una población. - Saber determinar las distribuciones muestrales de proporciones, medias, sumas muestrales y diferencias de medias. - Calcular probabilidades asociadas a distintos estadísticos. 1.- Se conoce que el número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una distribución normal de media 8,1 y desviación típica 9 días. Se elige al azar una muestra de 100 enfermos: a) Razone cuál es la distribución de las medias muestrales. b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 8 y 10 días?.- Tras realizar un test de cultura general entre los habitantes de cierta población, se observa que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 68 y desviación típica 18. Se desea clasificar a los habitantes en tres grupos (de cultura general baja, de cultura general aceptable y de cultura general excelente), de manera que el primer grupo abarque un 0% de la población, el segundo un 65% y el tercero el 15% restante. Cuáles son las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro? 14

15 UNIDAD 10. INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Explicaciones complementarias La Unidad anterior se centraba en el estudio de la muestra. En ésta, a partir de los datos obtenidos en una muestra, tratamos de estimar valores aplicables a toda la población con un riesgo de error determinado Al finalizar el estudio de la unidad deberás ser capaz de: - Estimar parámetros poblacionales a partir de los correspondientes parámetros muestrales. - Conocer el significado y saber calcular intervalos de confianza para proporciones, medias y diferencias de medias poblacionales, a partir de una muestra. - Determinar el tamaño mínimo de una muestra dependiendo del error máximo admitido y de la confianza deseada. - Saber formular las hipótesis nula y alternativa de un problema de contraste. - Discernir las distintas situaciones que pueden darse en un contraste de hipótesis y relacionarlas con los tipos de errores. 1.- Se ha tomado una muestra de 100 individuos a los que se les ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral X = 110 mg/cm 3. Se sabe que la desviación típica, σ, del nivel de glucosa en sangre de la población es de 0 mg/cm 3. a) Determina un intervalo de confianza al 90% para la media del nivel de glucosa en sangre de la población b) Qué error se comete en la estimación anterior?.- Un laboratorio farmacéutico asegura que un medicamento contra la alergia es efectivo en el 90% de los pacientes que lo utilicen. En una muestra de 00 personas que toman el medicamento se ha observado mejoría de los síntomas de la alergia en 165. Determina con un nivel de significación de 0,01 si debemos aceptar la afirmación del laboratorio o rechazarla por exagerada. 3.- En una muestra de 500 personas tomada al azar en una ciudad, se encontró que 0 leían algún periódico habitualmente. Determine con un nivel de confianza del 95% el intervalo en el que se encuentre la proporción poblacional de lectores de periódico de esa ciudad. 15