UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA CARTA AL ESTUDIANTE

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA MA-0270 Geometría I I Ciclo del 2014 Curso del I año de carrera, I ciclo 5 horas lectivas semanales, 4 créditos No tiene requisitos ni correquisitos CARTA AL ESTUDIANTE Estimado(a) estudiante: Reciba la más cordial bienvenida al curso MA-0270 Geometría I, dirigido a estudiantes de primer ingreso de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática. En este documento encontrará información sobre algunos aspectos del curso que usted debe conocer: descripción, objetivos, contenidos, metodología, evaluación, referencias bibliográficas propuestas y horario de consulta de los docentes encargados. Tenga presente que para tener éxito en este curso, fuera de las horas de clase, usted debe invertir al menos seis horas de estudio. I. DESCRIPCIÓN Geometría I tiene como propósito estudiar una serie de conceptos abordados durante la enseñanza secundaria, pero desde un punto de vista más formal y riguroso. Se estudiará fundamentalmente la Geometría euclidiana, utilizando el sistema de postulados del Grupo de Estudio de la Matemática Escolar (SMSG por sus siglas en inglés). El curso busca desarrollar en los estudiantes habilidades de argumentación y justificación mediante los métodos propios de demostración de la Geometría. A su vez, comprender la importancia del método axiomático en la Geometría y su trascendencia en todo el desarrollo de la Matemática, lo que les permitirá desenvolverse mejor en el tipo de razonamiento requerido en los cursos siguientes. Finalmente, se espera brindar herramientas con las que el estudiante, futuro docente de Matemática, pueda enfrentarse a problemas relacionados con conocimiento matemático de los objetos que enseña, relaciones entre los objetos matemáticos, aplicaciones concretas y, en menor medida, aspectos a valorar en un material didáctico. 1

2 II. OBJETIVOS Durante el curso, se espera que el estudiante sea capaz de: 1. Citar la diferencia e importancia de los postulados, axiomas y teoremas. 2. Conjeturar y deducir algunas propiedades sobre puntos, rectas, rayos, segmentos y planos. 3. Resolver ejercicios que requieran la identificación y aplicación de las propiedades abordadas en el segundo objetivo. 4. Justificar y demostrar teoremas sobre puntos, rectas, rayos, segmentos y planos. 5. Conjeturar y deducir algunas propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos. 6. Demostrar teoremas sobre ángulos, triángulos, congruencias, desigualdades triangulares, rectas paralelas y perpendiculares. 7. Resolver ejercicios que requieran la identificación y aplicación de las propiedades abordadas en el quinto objetivo o en los teoremas abordados en el sexto objetivo. 8. Resolver problemas relativos a polígonos regulares y sus áreas. 9. Conjeturar y deducir algunas propiedades relativas a la circunferencia y a sus ángulos inscritos. 10. Demostrar teoremas sobre circunferencias, rectas secantes y tangentes y cuerdas que se cortan en su interior. 11. Resolver ejercicios que requieran la identificación y aplicación de las propiedades abordadas en el objetivo 9 o en los teoremas abordados en el objetivo Explicar el razonamiento que llevó a cabo para resolver un ejercicio. III. CONTENIDOS Se desarrolla principalmente la geometría euclidiana abarcando los siguientes contenidos: 1. Conjuntos y números reales. a. Orden en la recta numérica y valor absoluto. b. Postulado de la distancia y de la regla. c. Interposición, segmentos y rayos. d. Postulado de colocación de la regla y de la recta. 2. Rectas, planos y separación. a. Rectas, planos y representaciones. b. Postulado del plano. c. Conjuntos convexos. d. Postulado de la separación del plano e. Postulado de la separación del espacio. 3. Ángulos y triángulos. a. Definiciones fundamentales. b. Medida angular. c. Postulados. d. Ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes. 2

3 4. Congruencias. a. Concepto de congruencia. b. Congruencia de triángulos. c. Postulados de congruencia: LAL, ALA, LLL. d. Bisectriz de un ángulo. e. Triángulos isósceles y equiláteros. f. Cuadriláteros, cuadrados y rectángulos. 5. Desigualdades geométricas. a. Desigualdades para números, segmentos y ángulos. b. Teorema del ángulo externo. c. Teoremas de congruencia. d. Desigualdades en un mismo triángulo. e. Distancia entre una recta y un punto. f. Desigualdad del triángulo. g. Teorema de la charnela y su recíproco. h. Alturas de triángulos. 6. Rectas y planos perpendiculares en el espacio. a. Perpendicularidad para rectas y planos. b. Teorema fundamental sobre perpendiculares. c. Existencia y unicidad. 7. Rectas paralelas en el plano y en el espacio. a. Condiciones que garantizan el paralelismo. b. Ángulos correspondientes. c. Postulado de las paralelas. d. Triángulos. e. Cuadriláteros en un plano. f. Rombo, rectángulo y cuadrado. g. Algunos teoremas relacionados con triángulos rectángulos. h. Secantes a varias rectas paralelas. 8. Áreas de regiones poligonales. Teorema de Pitágoras. a. Regiones poligonales. Postulados. b. Áreas de triángulos y cuadriláteros. c. Teorema de Pitágoras. d. Triángulos especiales. 3

4 9. Semejanza. a. Concepto de semejanza. Proporcionalidad. b. Semejanza de triángulos. c. Teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco. d. Teoremas fundamentales de semejanza. e. Semejanzas en los triángulos rectángulos. f. Áreas de triángulos semejantes. 10. Circunferencias y superficies esféricas. a. Definiciones básicas. b. Rectas tangentes a la circunferencia. c. Planos tangentes a las superficies esféricas. d. Arcos de circunferencia. e. Ángulos inscritos y arcos interceptados. f. Arcos congruentes. g. Segmentos secantes y tangentes. 11. Área de círculo y sectores. a. Polígonos. b. Polígonos regulares. c. Longitud de una circunferencia. El número. d. El área de un círculo. e. Longitudes de arcos y áreas de sectores. IV. METODOLOGÍA El curso tiene un componente teórico principal y algunos laboratorios prácticos de computación. Durante las clases teóricas, cuando haya exposición magistral de contenidos por parte del docente, se espera que los estudiantes intervengan expresando sus aportes y explicando en la pizarra la manera en que llega a una conjetura, resuelve problemas o demuestra un teorema. Estos momentos serán aprovechados para reflexionar sobre su forma de aprender en Geometría. Durante las horas de clase en el laboratorio de computación, se espera que los estudiantes exploren y conjeturen sobre propiedades que se formalizarán durante la parte teórica, que construyan de manera adecuada las figuras geométricas que apoyan ciertos enunciados o que participen en la solución y propuesta de ejercicios. En ocasiones se favorecerá el trabajo en grupo para la realización de ejercicios y el estudio de algunos aspectos de la teoría. Es esencial que el estudiante tenga claro que trabajar en grupo es un espacio de discusión entre pares, que puede aprovecharse para favorecer diferentes tipos de conversaciones: exposición de ideas, validación de afirmaciones, formulación de conjeturas, comparación de procedimientos, justificación de resultados, entre otros, y no implica únicamente un apoyo para comparar resultados. 4

5 Se sugiere al alumno las siguientes actividades para un buen desempeño en el curso: Retomar, el día antes de cada clase, lo estudiado la sesión pasada (retomar: leer lo estudiado del libro y sus notas del cuaderno, volver a efectuar los ejercicios y saber que es capaz de enunciar las definiciones y estudiados vistos hasta ese momento). Levantar un listado de preguntas, errores frecuentes, resultados que tienden a olvidarse según cada estudiante. Realizar fichas resumen que incluyan definiciones, teoremas, propiedades a recordar, ejemplos; mantenerlas actualizadas y retomarlas durante la realización de los ejercicios. Efectuar en su totalidad las listas de ejercicios asignadas, antes de la próxima asignación; es decir, realizar los ejercicios al día! Realizar las tareas que se asignen observe que esto contribuye a su formación como estudiante, no al comportamiento necesario para obtener los puntos asignados a un rubro, ya que las tareas NO se contemplan para la nota de aprovechamiento. Consultar, aún si no se asigna en clase, otras referencias bibliográficas: comparar definiciones, resultados, el nivel de los ejercicios, efectuar otros ejercicios. Recuerde que internet es una fuente a considerar. Hacer uso de las horas de consulta y estudiaderos (informarse en el CASE). Recuerde que durante estos espacios usted puede evacuar dudas sobre la teoría o ejercicios. Para estos últimos, se espera que el estudiante muestre al profesor/asistentes los intentos realizados con anterioridad. Para algunos temas (principalmente en las sesiones de laboratorio que correspondan a la formulación de conjeturas o construcción de figuras) se empleará el software libre GeoGebra, el cual se recomienda descargar ( y explorar sus funciones. V. EVALUACIÓN Los estudiantes serán evaluados a partir de su desempeño en TRES EXÁMENES PARCIALES, y LABORATORIOS. Los porcentajes asignados a cada rubro de la nota de aprovechamiento (NA) se detallan en la siguiente tabla: Rubro Porcentaje I Examen Parcial 25% II Examen Parcial 35% III Examen Parcial 30% Laboratorios 10% PRUEBAS DE REPOSICIÓN: Para realizar examen de reposición el estudiante debe entregar la solicitud por escrito acompañada del documento oficial que justifique debidamente la razón de su ausencia al examen respectivo, según las causas y períodos que el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil considera válidas. Una vez aprobada la reposición, se le indicará la fecha en que se realizará el examen. 5

6 ARTÍCULO 25. La calificación final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Información, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad. La escala numérica tiene el siguiente significado: 9,5 y 10,0 Excelente 7,0 Suficiente 8,5 y 9,0 Muy bueno 6,0 y 6,5 7,5 y 8,0 Bueno Menores de 6,0 Insuficiente, con derecho a prueba de ampliación Insuficiente La calificación final debe redondearse a la unidad o media unidad más próxima. En casos intermedios, es decir, cuando los decimales sean exactamente coma veinticinco (,25) o coma setenta y cinco (,75), deberá redondearse hacia la media unidad o unidad superior más próxima. La calificación final de siete (7,0) es la mínima para aprobar un curso. Si NA 6,75 el estudiante gana el curso con NA redondeada de acuerdo al artículo 25. Si 5,75 NA 6, 75 el estudiante tiene derecho a hacer el examen de ampliación (EA). Si EA 6,75, el estudiante gana el curso con nota 7. 0 y si EA 6, 75 el estudiante se queda con la nota NA. Si NA<5,75 el estudiante pierde el curso con NA redondeada de acuerdo al artículo 25: Los exámenes parciales son evaluaciones escritas que tienen una duración de 3 horas cada uno. Estas se realizan fuera del horario de clase y tienen un porcentaje asignado, con valores distintos en cada parcial según la tabla de rubros presentada anteriormente. VI. CRONOGRAMA A continuación se detalla el cronograma de las actividades del curso: Semana Fecha Actividades en clase Actividades lectiva 1 Del 10 al 14 de marzo Introducción Cap 2 ( ): Conjuntos, números reales y recta 2 Del 17 al 21 de marzo Cap 2 (2.6): Conjuntos, números reales y recta Cap 3 ( ): Rectas, Laboratorio 1: Conociendo GeoGebra 3 Del 24 al 28 de marzo 4 Del 31 de marzo al 4 de abril planos y separación Cap 4 ( ): Ángulos y triángulos Cap 4 ( ): Ángulos y triángulos Cap 5 ( ): Congruencias Cap 5 ( ): Congruencias Laboratorio 2: Ángulos, triángulos y congruencias 6

7 5 Del 7 de abril al 11 de abril 6 Del 14 de abril al 18 de abril 7 Del 21 de abril al 25 de abril 8 Del 28 de abril al 2 de mayo 9 Del 5 de mayo al 9 de mayo Cap 6 (6.4): Precisión de perpendiculares Repaso (capítulos 1 5) Cap 7 ( ): Desigualdades geométricas Cap 7 ( ): Desigualdades geométricas Cap 8 ( ): Rectas y planos perpendiculares en el espacio Cap 8 ( ): Rectas y planos perpendiculares en el espacio Cap 9 ( ): Rectas paralelas en el plano y el espacio Semana Santa I Examen Parcial: Capítulos 2 5 (sábado 03 de mayo, 8 a.m.) Laboratorio 3: Perpendiculares, desigualdades geométricas y paralelismo. 10 Del 12 de mayo al 16 de mayo 11 Del 19 de mayo al 23 de mayo 12 Del 26 de mayo al 30 de mayo 13 Del 2 de junio al 6 de junio 14 Del 9 de junio al 13 de junio 15 Del 16 de junio al 20 de junio Cap 9 ( ): Rectas paralelas en el plano y el espacio Cap 11 (11.1): Áreas Cap 11 ( ): Áreas Cap 12 ( ): Semejanza Cap 12 ( ): Semejanza Repaso capítulos 6 9 y 11 Cap 12: Semejanza Cap 14 ( ): Circunferencia y superficies esféricas Cap 14 ( ): Circunferencia y superficies esféricas Cap 14 (repaso): Circunferencia y superficies esféricas Cap 16 ( ): Área de círculo y sectores II Examen Parcial: Capítulos 6 9, 11 (sábado 31 de mayo, 8 a.m.) Laboratorio 4: Regiones poligonales, áreas y semejanza 7

8 16 Del 23 de junio al 27 de junio 17 Del 30 de junio al 4 de julio 18 Del 7 de julio al 11 de julio Cap 16 ( ): Área de círculo y sectores Cap 16 (16.5): Área de círculo y sectores Cap 16: Área de círculo y sectores Repaso capítulos Laboratorio 5: Circunferencias. III Examen Parcial: Cap. 12, 14, 16 (martes 8 de julio, 8 a.m.) Ampliación (viernes 18 de julio, 8 a.m.) Como se indica en la tabla anterior, algunos capítulos no se estudian en su totalidad. Conforme se avanza en el ciclo, se indicarán los ejercicios asignados por sección. La distribución en la tabla anterior podría variar según el progreso de los estudiantes. VII. BIBLIOGRAFÍA El desarrollo de la temática del curso se realiza con base en el texto Moise, E. y Downs, F. (1986) Geometría Moderna. USA: Adison-Wesley Iberoamericana. Este libro se puede encontrar en la Biblioteca Luis Demetrio Tinoco bajo la siguiente signatura: 513 M714g c.1. También, puede consultar los libros que se detallan a continuación: Libro Signatura Moise, E. (1962). Elementary Geometry from an advanced standpoint. 513 M714e c.2 Adison-Wesley. Allen y colegas (1963). Matemática para la escuela secundaria. 513 S394g E Geometría (parte 1). c.1v;1 Allen y colegas (1963). Matemática para la escuela secundaria. Geometría (parte 2). Varilly J. (1988) Elementos de Geometría Plana V311e c.2 Wylie, C. (1968). Fundamentos de geometría 513 W983f E c.1 Profesores del curso: Jennifer Fonseca, grupo 01. José Manuel Acosta, grupo 02. 8