INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA

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1 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA LABORATORIO PRACTICA 3: OSCILACIONES AMORTIGUADAS 1. OBJETIVO Estudio de un sistema masa-resorte con viscoso. a) Resolución de la ecuación diferencial del sistema para distintos valores del coeficiente de viscoso, y visualización gráfica de las distintas leyes horarias que se obtienen, utilizando un programa en Matlab (amortig.m) b) Medida del coeficiente de viscoso (b) y de la constante del resorte (k). c) Introducción a la instrumentación basada en una computadora: concepto de transductor, interfase, puerto de entrada-salida. FUNDAMENTO TEORICO Análisis del sistema masa resorte. Consideremos el sistema de la figura: k, lo b m y 1

2 Aplicando la segunda Ley de Newton a la masa que pende del resorte, se obtiene la ecuación de movimiento: ( y l )... 0 by+ mg my k = (ec 4.1) donde k es la constante del resorte g la aceleración terrestre, m la masa y ( y l ) representa la elongación (que llamaremos Z). Si hallamos la posición de equilibrio: { y = 0 &&& & y0 = l0 + mg k (ec 4.) Realizando el siguiente cambio de variable: x = y y 0 y resolviendo la ecuación (4.1) se obtiene la ley horaria x(t), que representa la posición de la masa respecto de la posición de equilibrio (elongación) en función del tiempo, involucrando los parámetros propios del sistema (masa, constante del resorte, constante de ). Ejercicio 1: Realizar el cambio de variable planteado en la parte anterior y obtener la ley horaria del movimiento. Según la relación que vincule los parámetros del sistema existen tres tipos de soluciones para la ec. (4.1): a) Si b > 4mk En este caso el movimiento de la masa es sobreamortiguado. 0 b) Si b < 4mk En este caso se dice que el movimiento es subamortiguado.

3 c) Si b = 4mk En este caso existe crítico. En el caso subamortiguado es fácil obtener una expresión que vincule el coeficiente de ( b ) con dos amplitudes de oscilación que disten un número entero de períodos, el período de oscilación y la masa. De esta forma es posible determinar b si conocemos (medimos) las magnitudes antedichas. También es posible relacionar la constante del resorte con el período y la masa del sistema. (hacer el siguiente ejercicio). Ejercicio : Para el caso subamortiguado: a) Verificar que la siguiente expresión es solución de la ecuación de movimiento para el caso subamortiguado. t τ y ( t) = A t t ϕ y ( t) = A0 e sen ( ω t+ ϕ ) () sen ( ω + ) 1 ω = ω0 τ m τ = b ω 0 = k m b) Demostrar que la expresión que vincula la amplitud de dos oscilaciones que m distan n períodos entre sí, con la constante de decaimiento τ = y el b tiempo transcurrido entre ellas (nt) es: y y( t) ( t+ nt ) = nt e τ (ec 4.3) 3

4 c) Utilizando la ecuación 4.3 encontrar una expresión para b y su incertidumbre. d) Demostrar que si despreciamos el coeficiente de viscoso (b) la constante del resorte esta dada por la expresión: k = 4 π m T (ec 4.4) e) A partir de la ecuación 4.4 hallar una expresión para la incertidumbre en k. 3. MANIPULACION a) Utilizar el programa en lenguaje MATLAB (amortig.m) para observar en gráficos los distintos casos que se presentan al variar la constante de (b) del medio de oscilación (en las ecuaciones del modelo teórico utilizado). Suponga el resorte de constante elástica (k) igual a 0 N/m b) Obtener un valor aproximado de la constante elástica del resorte por medio de la medida de su elongación natural y su longitud elongación en equilibrio. c) Utilizar el programa LoggerPro para obtener los datos proporcionados por la tarjeta adquisidora Vernier, y visualizar las funciones x=f(t), v=f(t) y a=f(t) en la pantalla del PC. Utilizar dos medios de : a) Aire b) Agua Decidir cuál de los movimientos observados mediante los gráficos en MATLAB (en el ítem. 1) corresponde a la experiencia que montamos. Identificar el período y la envolvente en la imagen obtenida. d) Para realizar la transferencia de datos desde el programa LoggerPro a Matlab se deben seguir los siguientes pasos: 1. Exportar los datos desde LoggerPro a un archivo de texto. Para ello se selecciona toda la tabla (hacer clic en Todo), se hace clic en Archivo, dentro de este menú se selecciona Exportar Datos y se guarda el archivo en la carpeta Laboratorio 1 con el nombre que ustedes prefieran.. Para cargar los datos a matlab ejecutar el programa cargo.m. Este programa devuelve dos vectores, el vector t (tiempos) y el vector x (posición), y recibe como parámetro un string con el nombre del archivo de texto que exportaron. Ejemplo: [ t, x ] = cargo ( archivo.txt ) 4

5 e) Para determinar el coeficiente de (b) del aire y del agua es necesario medir dos amplitudes que disten un número entero de períodos, y el tiempo que transcurrió entre ambas. (Ver y hacer el ejercicio del comienzo de la práctica). Graficar en Matlab la posición en función del tiempo, de ella se obtendrá los datos necesarios, para calcular b. Para obtener información cuantitativa a partir de la gráfica de desplazamiento en función del tiempo es útil la función ginput de MATLAB. Para obtener información sobre la sintaxis de la misma, ingresar la línea de comando help ginput. Con estos datos calcular b y su incertidumbre. Discutir las incertidumbres provenientes de los instrumentos. También puede ser útil la función Axis de Matlab. f) Con los datos obtenidos en el punto 3) calcular k y su incertidumbre g) Con el valor de b y de k obtenidos en los puntos 3) y 4) respectivamente graficar con Matlab la función elongación en función del tiempo que se desprende del modelo teórico ( utilizar el programa amortig.m ) y compararla con la gráfica obtenida experimentalmente. h) Graficar la energía mecánica total del sistema, e interpretar los resultados que se observan. i) (OPCIONAL) Graficar el diagrama de fases del sistema, e interpretar los resultados que se observan. El diagrama de fases es otra perspectiva del comportamiento de un sistema oscilatorio, en el cual se elimina la variable tiempo y se grafican la posición y la velocidad del sistema. 4. INFORME - Objetivo - Gráficas experimentales y su comparación con los resultados teóricos. - Cálculo de k y su incertidumbre. - Cálculo de b y su incertidumbre para el con aire y con agua. - Conclusiones. 5

6 PREINFORME OSCILACIONES AMORTIGUADAS GRUPO: Primera parte: K=0 N/m Masa: [t inicial t final ] [x inicial v inicial ] Periodo (T) critico Masa: [t inicial t final ] [x inicial v inicial ] Periodo (T) critico Masa: [t inicial t final ] [x inicial v inicial ] Periodo (T) critico 6

7 Segunda parte: AIRE: MASA M Período (T) T N Z Z y(t) y(t+nt) y K K b b AGUA: Período (T) T N Z Z y(t) y(t+nt) y K K b b Llene la siguiente tabla con los datos obtenidos en la segunda parte de la práctica y compare los gráficos con los obtenidos en la primera parte. Masa: [t inicial t final ] [x inicial v inicial ] Periodo (T) critico 7

8 APENDICE A HARDWARE PARA ADQUISICION DE DATOS POR COMPUTADORA 1. Sistema instrumental El arreglo instrumental disponible, que se puede considerar como un esquema general para una gran variedad de instrumentos modernos basados en microprocesador, estaría compuesto por los siguientes bloques: TRANSDUCTOR ACONDICIONAMIENTO DE LA SEÑAL CONVERSOR ANÁLOGO-DIGITAL PUERTO DE ENTRADA Y SALIDA DE LA COMPUTADORA Para el funcionamiento de este sistema con carácter de instrumento, es necesario implementar el software correspondiente, que realice el procesamiento de la señal digital disponible en el puerto de la computadora. Usualmente, esto consistirá en la realización de cálculos, o en la representación gráfica -en pantalla o impresa- de los datos ostensibles en el puerto. Para la observación cualitativa del fenómeno en estudio, solo es necesario un conocimiento adecuado del sistema instrumental. En cambio, si lo que se pretende es la realización de medidas de parámetros o magnitudes correspondientes al sistema, debe disponerse de un modelo físico-matemático del mismo. Transductor La función del transductor es la conversión de la señal de entrada en una señal de salida de distinto tipo físico. Acondicionamiento de la señal La señal de salida del transductor tiene que ser usualmente filtrada y amplificada para su procesamiento en las etapas posteriores. Este bloque esta implementado dentro del mismo detector de movimiento. Conversor analógico digital Su función es convertir el voltaje de un sensor (señal analógica), en una señal digital, entendible por la computadora. El efecto del conversor puede asimilarlo a la creación, dentro del rango de la señal analógica de entrada, de una escala cuya apreciación está dada por el número de bits del conversor. A cada punto de esa escala le correspondería un código binario. Por ejemplo, voltajes analógicos entre 0 y 3 voltios, podrían ser medidos con un conversor de bits en base a una escala de cuatro divisiones con apreciación de 1 volt. 8

9 VOLTAJE CODIGO BINARIO En nuestro caso, trabajamos con un conversor A/D de 1 bits y si suponemos que la señal de entrada varía en el rango [0, 5] volts. Esto significa que dicho intervalo se podrá dividir en 1 1= 4095 partes, lo que da una apreciación = 5/4095 a nuestro sistema de medida. Puerto de entrada - salida. Es el lugar físico de estacionamiento de los datos provenientes del conversor para su posterior almacenamiento o procesamiento por parte de la computadora. Tiene asignada una dirección para su ubicación por parte del computador. En nuestro caso cumple la función de transmitir los datos desde la tarjeta adquisidora y retenerlos hasta su lectura por parte de la unidad procesadora central (PCU).. Características del Detector de Movimiento Principio de Funcionamiento: El detector de movimiento radica su detección en la emisión de pequeños paquetes de ondas de ultrasonido desde un transductor ubicado en su interior. Las ondas son emitidas en un cono con un ángulo de aproximadamente 15 a 0 grados, medidos desde el centro del eje de la fuente. El detector escucha el eco de las ondas que fueron reflejadas por cierto objeto que se interpuso en su camino. El instrumento mide el tiempo que tardan las ondas en llegar al objeto y volver al detector, usando este tiempo y la velocidad del sonido en el aire, determina la distancia al objeto. La sensibilidad del circuito detector del eco se incrementa de a pasos por cada ms que transcurre, con el fin de tener en cuenta la atenuación de las ondas si el objeto se encuentra lejos del detector. Eje Ultrasonido 15 a 0º Detector de movimiento Especificaciones del Detector de Movimiento: Frecuencia del ultrasonido 40KHz Resolución mm Exactitud típica ±mm Rango mínimo 0,4m Rango máximo 6m Velocidad del ultrasonido 343m/s Alimentación 5VDC 9

10 3. Características de la tarjeta adquisidora Entradas Analógicas: Conversor Analógico/Digital 1 bits (Aproximaciones sucesivas) Numero de Entradas 4 Rango a la entrada (CH1-CH3) 0-5V o ±10V Rango a la entrada (CH4) 0-5V o ±5V Resolución (0-5V) 1,mV Resolución (±10V ) 4,9mV Máxima frecuencia de muestreo muestras por segundo Máxima frecuencia de procesamiento muestras por segundo Impedancia de entrada (0-5V) 10MΩ Impedancia de entrada ±10V () 1MΩ Protección contra Sobretensión 110V Error no-lineal integral ±0,5 LSB Error no-lineal diferencial ±1 LSB (no hay caracteres perdidos) Error de Offset 1LSB Ruido del sistema ±1 LSB Ancho de Banda (0-5V) 50KHz (f3db) Ancho de Banda (±10V) 5KHz (f3db) Entradas Digitales Señales Características entradas Señal alta Señal baja Características Salidas Señal Alta Señal Baja Resolución de timing 8 configurables I/O (4 en cada canal) 3,5 V min. 1,5 V max. 4, V 0,45V 1.6µs 100µs (depende del modo I/O) 10