TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS

Transcripción

1 TEM 6: ESTÁTIC DE VIGS Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga. Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son: 1. Las fuerzas axiales. Las fuerzas cortantes 3. El momento flector La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo. Calculo de reacciones Convenciones de simbología para apoyos y cargas l estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores. Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes: poyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido. V

2 poyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática H V Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente longitudinal, otra transversal y una reacción de momento. M H V Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se muestran como una secuencia de vectores. Cálculos de reacciones de vigas

3 En este capítulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzará con la detrminación de las reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático para el análisis. Estas son: F x = 0 F y = 0 M Z = 0 La aplicación de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos, los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento. Ejemplo 1 Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura: 00N*m 100N 160N B 0,1m 0,1m 0,1m 0,1m Solución De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se observan en la figura siguiente: 00N*m 100N 160N B H V VB

4 hora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene: F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B = 0 V + V B = 60 N M = , 160 0,3 + V B 0,4 = 0 V B = 670 N hora, como: V + V B = 60 N V = = 410 N El signo negativo en V indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura. Ejemplo Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el peso de la viga VB 10kN/m B H V 3

5 Solución: Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra vertical en el apoyo fijo o pasador y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. hora aplicando las ecuaciones de la estática: F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B = 0 V + V B = N M = 0 V = 0 V = N Luego, V B = N Ejemplo 3 Determine las reacciones en y B para la viga de la figura 5N 53 H B VB 45 V 3 9

6 Solución: Usando las ecuaciones de la estática se tiene: F x = 0 H 5 cos 53 V B cos 45 = 0 Luego: F y = 0 V + V B sen 45 5 sen 53 = 0 V = 5 sen 53 V B sen 45 M = 0 5 sen V B sen 45 1 = 0 V B = 15 sen 53 = 1,41 N 1 sen 45 V = 5 sen 53 1,41 sen 45 V = 3 N H = 5 cos cos 45 H = 5,13 N lgunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una articulación es capaz de transmitir sólo fuerzas horizontales y verticales. Ningún momento puede ser transmitido por una articulación. Por tanto, el punto donde se localiza una articulación es particularmente conveniente para separar una estructura en partes con el fin de calcular las reacciones. Cada parte de la viga así separada se trata en forma independiente. Cada articulación proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las reacciones. La introducción de una articulación o articulaciones convierte al sistema en muchos casos, en estáticamente detrminado. La introducción de una articulación en una viga estáticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de vigas es:

7 L/ P L a P P/ P/ P a P/ P/ plicación del método de las secciones El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las secciones. El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura.

8 Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga. P q1 P1 q B H x V VB Mx Hx Vx Fuerza cortante en vigas Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna V x en el corte que satisfaga la ecuación F y = 0. Esta fuerza interna V x, actuando en ángulo recto respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de la página anterior o considerando el lado derecho.

9 Momento flector en vigas Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de equilibrio: F x = 0 y F y = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema plano es M z = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al momento externo para satisfacer la ecuación gobernante M z = 0. Esos momentos tieneden a flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores. Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga, se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus respectivos brazos. Las fuerzas internas V x y P x así como los momentos aplicados deben incluirse en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo). La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente: M M M M De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se genera una curva convexa.

10 Ejemplo 1 Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente: 6.000N 10kN/m B 9.000N 3

11 Solución: La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades: i. Tramo D 0 < x < 3 Mx Vx C 9.000N x x x = V x x = V 3 x x x + = M 9 x

12 ii. Tramo DB 3 < x < 5 Mx 10kN/m C D Vx N x = V x = V x x x 3 3 = M x x x = M x El mismo procedimiento puede seguirse para marcos que consisten de varios elementos rígidamente unidos entre sí, así como para barras curvas. En todos esos casos, las secciones deben ser perpendiculares al eje de un elemento.

13 Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector Las ecuaciones derivadas del método de las secciones se pueden representar en gráficos, en los cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una línea base que representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localización de diversas cantidades resultan inmediatamente obvias. Ejemplo 1 Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura: 53 5N H B V VB 5 5 Solución: Se calculan en primer lugar las reacciones: F x = 0 H 5 cos 53 = 0 H 5 cos 53 = 0 H = 3N

14 F y = 0 V + V B 5 sen 53 = 0 V + V B = 4N M = 0 5 sen V B 10 = 0 V B = N V = N DIGRM DE FUERZ NORML 3N N DIGRM DE FUERZ CORTNTE N DIGRM DE MOMENTO FLECTOR 10N*m

15 Ejemplo Dibuje los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo cargada con una fuerza inclinada en su extremo libre de la figura siguiente: 45 M Pcos 45 H V L Solución: Haciendo equilibrio estático: F x = 0 H + P = 0 H = P F y = 0 V P = 0 V = P M = 0 M P L = 0 M = P L Luego los diagramas son los siguientes:

16 DIGRM DE FUERZ NORML P DIGRM DE FUERZ CORTNTE P DIGRM DE MOMENTO FLECTOR P*L Ejemplo 3 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga uniformemente distribuida (véase figura) qn/m H B V VB L

17 Solución: De las ecuaciones de la estática: F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B q L = 0 V + V B = q L M = 0 q L L + V B L = 0 V B = V = q L q L DIGRM DE FUERZ NORML DIGRM DE FUERZ CORTNTE q*l/ q*l/ DIGRM DE MOMENTO FLECTOR (q*l^)/8

18 Ejemplo 4 Para la viga de la figura, exprese la fuerza cortante V x y el momento flector M x en función de x. M qn/m H B V VB L Solución: Esta es una viga estáticamente indeterminada de primer grado, pues se tienen cuatro incógnitas y tres ecuaciones de la estática para determinarlas, el procedimiento que se sigue es dejar las incógnitas en función de un parámetro. Calculamos las reacciones en primer lugar: F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B q L = 0 V = q L V B M = 0 M q L L + V B L = 0 M = q L V B L hora, se calculan las fuerzas internas que afectan al sistema utilizando el método de las secciones.

19 M Mx qn/m Vx V x V q x = V x Luego, reemplazando: q L V B q x = V x q x M + V x = M x Reemplazando: q L + V q x B L + (q L V B ) x = M x Ejemplo 5 Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0, m de radio, como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de 1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección - definida por α = 45. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo plano.

20 1.000N N 0,4 Solución: Usando el método de las secciones se obtiene los siguiente: M45 H45 V N 45 0,14 O

21 hora, utilizando las ecuaciones de la estática: F 45 = cos 45 + H 45 = 0 H 45 = 707,11 N F 135 = sen 45 V 45 = 0 V 45 = 707,11 N M 0 = 0 M 45 + H 45 0, = 0 M 45 = 707,11 0, = 141,4 N m

22 TEM 7: FLEXIÓN Considere una viga horizontal prismática cuya sección transversal tenga un eje de simetría. Una línea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales será considerada como eje de la viga. continuación considere un elemento típico de la viga entre dos planos perpendiculares al eje. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd. Cuando la viga es sometida a momentos iguales M z actuando alrededor del eje z, esta viga se flexiona en el eje de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a d y b c, permanecen rectas. Esta observación forma la base de la hipótesis fundamental de la teoría de flexión. Puede enunciarse de la siguiente manera: Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas después de que ésta es sometida a flexión. y y a b O x z c d Mz d Mz O a b g h y e f c d En la flexión pura de una viga prismática, el eje de la viga se deforma según un círculo de radio, mientras que la longitud de ef está dado por: ef = ds

23 ds = ρ dθ Luego: dθ ds = 1 ρ = k Donde k es la curvatura. La longitud de la fibra gh está dada por: g = ρ y dθ Y, por tanto la diferencia entre las longitudes de las fibras estará dada por: Dividiendo por ds: du = g ef = ρ y dθ ρ dθ = y dθ du dθ = y = k y ds ds Como las deflexiones y la rotación del eje de la viga son muy pequeños, los cosenos de los ángulos implicados al formar las proyecciones de du y ds sobre el eje horizontal son casi igual a la unidad, luego, es posible reemplazar la deformación axial de la viga por du y reemplazar ds por dx, con lo que queda: Usando la Ley de Hooke: ε x = k y σ x = E ε x = E k y Por otro lado, se requiere que la suma de todas las fuerzas en una sección en la dirección x sea 0, lo que implica: F x = 0 σ x d = 0 E k y d = 0 k es constante en flexión pura, luego: E k y d = 0 Para satisfacer esta condición el eje z debe pasar por el centroide de área de la sección transversal y como este eje z representa el origen del sistema implica que a lo largo de este eje tanto las deformaciones como los esfuerzos normales son nulos. Este eje se llama fibra neutra.

24 Para completar la fórmula de flexión elástica, debemos considerar que la sumatoria de los momentos externos debe ser igual a la suma de los momentos internos de la viga, vale decir: Mz y a b x=-eky O c d y x z M 0 = 0 M z = E k y d y M z = E k y d M z I zg = E k σ x = M z I zg y Cabe destacar que el momento de inercia se calcula respecto de la fibra neutra de la figura, luego es necesario primero establecer el centroide de área de la figura. Debe notarse que en el caso de la flexión pura, el único esfuerzo que actúa es σ x, luego el tensor de esfuerzos estará dado por: σ = σ x Y, como vimos en el capítulo este tensor de esfuerzos se puede hacer rotar y obtener el estado de esfuerzos en cualquier sistema de eje coordenado. Ejemplo 1 Una viga en voladizo de madera que pesa 0,75 N/m soporta una carga puntual hacia arriba de 0 kn en su extremo. Determine los esfuerzos máximos de flexión en una sección a m desde el extremo libre.

25 400 B 0kN 0,75kN/m B HB VB L Sección transversal viga (medidas en milímetros) 300 Utilizando las ecuaciones de la estática: F x = 0 H B = 0

26 F y = 0 V B 0,75 L + 0 = 0 V B = 0 + 0,75 L M B = 0 0 L + 0,75 L M B = 0 M B = 0 L 0,75 L hora determinamos el sistema de fuerzas internas que afectan a la viga a metros del extremo (veáse figura): = M m 38,5 kn m = M m Mm 0kN 0,75kN/m Vm El esfuerzo está dado por: σ x = M y I zg Derivando el esfuerzo normal respecto a y e igualando a cero se encuentra el esfuerzo normal máximo en la sección: dσ x dy = M I zg 0

27 Esto implica que no se tienen máximo ni mínimos relativos, por tanto se debe evaluar en los bordes superiores e inferiores para encontrar el esfuerzo normal máximo. Por otro lado la sección transversal de la viga simétrica, lo que implica que el centroide se encuentra en la intersección de los ejes de simetría y por tanto la fibra neutra se ubica a la mitad de la altura de la viga: Fibra neutra 300 Calcularemos ahora el momento de inercia: I zg = 1 1 0,3 0,43 = 0,0016 m 4 Luego el esfuerzo normal en el borde superior es: 38,5 0, σ x = = 4.81,5 kn 0,016 m = N = Pa m = 4,81 MPa (en compresión) Mientras que en el borde inferior: σ x = 38,5 0, 0,016 = 4.81,5 kn m = N = Pa = 4,81 MPa (en tracción) m

28 TEM 8: ESFUERZOS CORTNTES EN VIGS Este capítulo está dedicado a determinar los esfuerzos cortantes en vigas causadas por fuerzas cortantes transversales. Probaremos en primer lugar que la fuerza cortante está inseparablemente unida a un cambio en el momento flector de una sección de la viga. M M+dM V dx V+dV Haciendo momento en queda: M = 0 M + dm M V dx = 0 dm = V dx dm dx = V Esta ecuación significa que si la fuerza cortante está actuando en una sección, habrá un cambio en el momento flector de una sección adyacente. La diferencia entre los momentos flectores de secciones adyacentes es V dx. Si ninguna fuerza cortante está presente no se producirá ningún cambio en el momento flector. lternativamente, razón de cambio del momento flector a lo largo de la viga es igual a la fuerza cortante. Considere una viga longitudinal de varios tablones longitudinales continuos, cuyas sección transversal se muestran en la figura, en que se destaca que el tablón superior está a una distancia y 1 de la fibra neutra de la viga.

29 FIBR NEUTR y1 CENTROIDE Por simplicidad, la viga tiene una sección transversal rectangular, pero tal limitación no es necesaria. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas, ambas perpendiculares al eje de la viga y de longitud dx, se muestran en la figura:

30 Se destaca también, en rojo, el tablón superior de la viga. El elemento está sometido a un momento flector M en el extremo y a un momento flector M B en el extremo B, lo que generan esfuerzos normales a las secciones (son representadas por las flechas de color rojo de la figura anterior). Estos esfuerzos de flexión varían linealmente desde su respectivas fibras neutras. La misma viga, en sentido longitudinal se muestra en la figura siguiente: una distancia y de la fibra neutra el esfuerzo en los extremos y B está dado, respectivamente, por: σ = M y I σ B = M B y I La fuerza que actúa en un diferencial de área d está dado por: df = M y I df B = M B y I d d

31 La fuerza que actúa sobre el área del tablón de la sección transversal está dada por: F = M y I d F = M I F B = M B I y d y d Si F F B, el tablón superior tiende a deslizar respecto del tablón inferior, por tanto para que exista equilibrio de fuerzas se requiere que existe una fuerza horizontal resistente. df = M I y d M B I y d df = M I y d Si dx es una cantidad diferencial, el momento cambia también una cantidad diferencial, luego df = dm I y d En vez de trabajar con una fuerza df que se desarrolla a lo largo de una longitud dx, es más conveniente trabajar con una fuerza por unidad de longitud, esto se consigue dividiendo df por dx, con lo que se obtiene: Donde q se llama flujo cortante. q = df dx = dm dx 1 I y d = V I y d hora, el esfuerzo de corte que se desarrolla en el plano longitudinal es: τ = V I t y d Donde t es el espesor de la sección transversal del plano considerado. Ejemplo 1 Dos tablones largos de madera forman una sección T para una viga, como se muestra, en mm, en la figura siguiente. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3.000N, encuentre la separación necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700N

32 La distancia desde la base del perfil hasta la fibra neutra es: y = El momento de inercia del perfil es: I = = 16,5mm , ,5 = mm 4 1 El momento estático está dado por: y d = 87,5 00 y dy 37,5 y d = 00 87, ,5 = = mm 3

33 Luego el flujo cortante está dado por: q = Finalmente la separación entre clavos es: Ejemplo = 16,51N/mm d = ,51 = 4,4mm Una viga de luz 6 m soporta una carga de 3 kn/m, incluido su peso propio. La sección transversal de la viga estará hecha de varias piezas de madera, como se muestra en las figuras de más abajo. Determine la separación de los tornillos de cabeza cuadrada de 10 mm necesaria para unir la partes de esta viga entre sí. Suponga que un tornillo de 10 mm, según estudios de laboratorio, es bueno para transmitir kn de carga lateral paralela al grano de la madera. Suponga I =, mm 4 3kN/m B H V VB 6

34 a a FIBR NEUTR Calculamos las reacciones de la viga: F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B 3 6 = 0 V + V B = 18kN M = 0 V B = 0 V B = 9kN V = 9kN hora determinaremos la fuerza cortante en cualquier punto de la viga utilizando el método de las secciones: Derivando esta ecuación respecto a x se obtiene: 9 3 x = V x

35 dv x dx = 3 0 Luego esta ecuación no tiene máximos ni mínimos relativos, lo que implica que para obtener la máxima fuerza cortante en la viga hay que evaluar la ecuación en los extremos de la viga: 9 = V x (x = 0) 9 = V x (x = 6) Por tanto la máxima fuerza cortante que se da en la viga corresponde a 9 kn 3kN/m 9kN Vx x Para calcular la separación entre tornillos, debe determinarse el flujo cortante en la sección a-a, para ello se evalúa el momento estático en el área achurada del perfil = y d mm 3 = y d Luego: q = , = 0, N/mm d = 0, = 13,4mm

36 En los apoyos el espaciamiento enytre tornillos debe ser de 13 mm. Este espaciamiento se aplica sólo en una sección donde la fuerza cortante V es de 9kN. Dado que la fuerza cortante no es constante en todo el tramo, es conveniente diferir la separación entre tornillos con el fin de ahorrar material, así en las cercanías de los apoyos es necesario colocar tornillos de 10 mm espaciados 10 mm a 1,5 m cerca de ambos apoyos y de 40 mm en la parte central de la viga (debido a que la fuerza cortante desarrollada en esta parte es menor a la mitad de la fuerza cortante máxima). Ejemplo 3 Obtenga una expresión para la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección transeversal rectangular maciza que transmite una fuerza cortante V. Calcule además el esfuerzo cortante máximo que se desarrolla en la sección y1 h b τ = V y d I t

37 El momento de inercia está dado por: I = b 3 1 demás t = b El momento estático está dado por: y d = / y b dy y 1 y d = b y 1 Luego el esfuerzo cortante está dado por: V b τ = y 1 b 3 1 b = V b 3 1 y 1 = 6 V b 3 y 1 Para encontrar el esfuerzo cortante máximo derivamos el esfuerzo cortante por y 1 e igualamos esta expresión a cero: Luego: dτ = 6 V dy 1 b 3 y 1 = 0 y 1 = 0 τ máx = 6 V b 3 4 = 3 V b = 3 V De los resultados obtenidos podemos deducir que el esfuerzo cortante en una viga de sección rectangular varía parabólicamente y que el esfuerzo cortante máximo se obtiene cuando y 1 es igual a cero, a medida que nos vamos alejando de la fibra neutra el val,or del esfuerzo cortante va haciéndose más bajo hasta llegar a ser nulo cuando y = ±/, vale decir, el esfuerzo de corte es cero al llegar al borde superior e inferior de la viga. Ejemplo 4 El sistema de cargas y la sección transversal a que se ve afecta una viga I se muestra en las figuras siguientes, determine los esfuerzos cortantes en los niveles indicados. Desprecie el peso de la viga.

38 kN C B H V VB FIBR NEUTR EJE DE SIMETRÍ F x = 0 H = 0

39 F y = 0 V + V B 100 = 0 V + V B = 100 kn M = 0 V B = 0 V B = 50 kn V = 50 kn hora determinamos la fuerza cortante a lo largo de la viga: i. Tramo - C 0 < x < 3 50kN Vx x 50 kn = V x

40 ii. Tramo C B 3 < x < 6 100kN C Vx 50kN 3 x = V x 50 kn = V x hora, calcularemos los esfuerzos cortantes en los diferentes niveles: Nivel 1 1: El área que involucra este nivel es nula, lo que implica que el esfuerzo cortante también es cero. Nivel - El momento de inercia del perfil está dado por: I = = mm 4 El momento estático de este nivel está dado por: y d = 135 y 150 dy 15 = = El plano considerado justo coincide con dos piezas lo que implica que t puede tener el espesor de la pieza de arriba con t=150mm, y el espesor de la pieza de abajo con t=10mm

41 Luego: τ = τ = Nivel 3 3: = 0, kn/mm = ,565 Pa = 0,31 MPa = 0, kn/mm = Pa = 4,68 MPa El momento de inercia del perfil está dado por: I = = mm 4 El momento estático de este nivel está dado por: y d = 15 y 10 dy y 150 dy 15 = y d = mm 3 El espesor de acuerdo al plano considerado es t = 150 mm Por tanto: τ = Nivel 4 4: = 0, kn/mm = Pa = 0,33 MPa El momento de inercia del perfil está dado por: I = = mm 4 El momento estático de este nivel está dado por: y d = 15 y 10 dy y 150 dy 15 = y d = mm 3 El ancho t correspondiente al plano considerado es: t = 10 mm

42 Por tanto: τ = = 0, kn/mm = Pa = 6,56 MPa

43 TEM 8: CÁLCULO DE L ELÁSTIC (DEFLEXIONES) En este capítulo se presenta uno de los métodos más importantes para calcular las deformaciones que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas, posteriormente, en el capitulos de vigas estáticamente indeterminadas, se verán otrois métodos. El cálculo de estas deformaciones permite trazar la linea deformada de las estructuras, también llamada elástica por corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elástico de estos sistemas. Método de la doble integración Utilizando algunos de las cosas vistas en el capítulo de flexión se tiene: ds = ρ dθ dθ ds = 1 ρ du = y dθ du dθ = y ds ds = y ρ ε x = y ρ ε x y = 1 ρ Utilizando la ley de Hooke Y usando la fórmula de flexión para vigas: Se tiene: Luego: σ x = E ε x ε x = σ x E M y σ x = I M y ε x = E I 1 ρ = M E I De acuerdo al cálculo vectorial el radio de curvatura viene dado por: ρ = r (t) 3 r t x r (t)

44 Sea r x = (x, y x ) r x = (1, dy dx ) r x = (0, d y dx ) Luego: r t x r t = i j k 1 dy dx 0 0 d y dx 0 = k d y dx Luego: ρ = 1 + dy 3/ dx d y dx Si las deformaciones son muy pequeñas el término dy dx se puede despreciar, con lo que queda: ρ = 1 d y dx 1 ρ = d y dx Finalmente: d y dx = M E I Sea E I =, entonces: y = M Esta última expresión indica que un valor positivo del momento flector, esto es, que estira la fibra inferior del elemento, implica curvatura positiva de la elástica (cóncava), y viceversa. Para integrar esta ecuación diferencial se requiere detrminar dos constantes de integración, lo cual se consigue al imponer dos condiciones de borde, para ello se utilizan valores conocidos de la elástcia o de la tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes también pueden ser útiles para determinar la expresión analítica de la elástica. M = dθ dx = y

45 V = dm dx = y q = dv dx = y El uso de estas relaciones está restringido al caso de funciones y, θ, M, V, q que sean continuas en el rango de integración. Por lo tanto la relevancia práctica de este método es limitada cuando se tienen cargas concentradas o cargas que no se pueden representar por una función continua en la longitud de la viga. Condiciones de borde Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de la ecxuación diferencial deben ser establecidas condiciones de borde o frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes: a) Empotramiento: tanto la flecha como la pendiente deben ser nulas. Por consiguiente, en el extremo donde existe el empotramiento x = 0, y(x = 0) = 0 y x = 0 = 0 b) poyo móvil y apoyo fijo: en el extremo considerado no debe existir ni flecha ni momento M y x = a = 0 y x = a = 0 c) Extremo libre: tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante, por tanto: y x = a = 0 y x = a = 0 d) rticulación: en este caso se permite el desplazamiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. Este tipo de apoyo no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante, lo que implica: y x = a = 0 y x = a = 0 En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del elemento. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos puntuales y en cambios bruscos de áreas transversales que afectan el valor de. En tales casos, las condiciones de brode debn complementarse con los requisitos físicos de continuyidad de la curva elástica. Esto significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la deflexión y la tangente a la curva elásticadeben ser las mismas independientemente de la dirección con que se aproxime uno al punto común.

46 Ejemplo 1 Determinar la deformación vertical y el ángulo de la elástica con la horizontal en el extremo B de la viga en voladizo que se indica en la figura. Los valores de son constantes para toda la viga. M q H B V L F x = 0 H = 0 F y = 0 V q L = 0 V = q L M = 0 M q L L = 0 q L M =

47 q*l/ Mx q Vx q*l x q L + q L x q x x = M x q L y = q L y = q L y = Las condiciones de borde son: Lo que implica que: Usando la primera condición de borde: x + q L x q x x + q L x + q L x3 6 y 0 = 0 y 0 = 0 q x3 6 + C 1 q x4 4 + C 1 x + C

48 C = 0 Usando la segunda condición de borde: C 1 = 0 Por tanto: q L y = hora, en el extremo B, x = L, luego: x + q L x3 6 q x4 4 Ejemplo q L4 y = 4 y = q L4 q L q L4 8 Un momento flector M 1 se aplica a na viga en volado (ver figura) de longitud L y constante. Encuentre la ecuación de la elástica. M M1 H V L

49 Solución Usando las ecuaciones de la estática: F x = 0 H = 0 F y = 0 V = 0 M = 0 M + M 1 = 0 M = M 1 Las condiciones de borde son: hora utilizando el método de las secciones: y x = 0 = 0 y x = 0 = 0 M Mx x Vx M x = M = M 1 Luego: y = M 1

50 Usando la segunda condición de borde: Finalmente: y = M 1 x + C 1 y x = 0 = C 1 = 0 y = M 1 x + C Usando la primera condición de borde: y x = 0 = C = 0 Luego: La ecuación de la curva elástica es: y = M 1 x y = M 1 x El signo positivo del resultado indica que la deflexión debida a M 1 es hacia arriba, si derivamos esta expresión y la igualamos a cero queda: Derivando nuevamente: M 1 x x = 0 = 0 M 1 > 0 Lo que implica que la flecha mínima se da en x = 0 y coincide con la segunda condición de borde, vale decir, que y = 0, ahora para encontrar el máximo valor de la flecha evaluamos en el extremo x = L, con el fin de encontrar un máximo absoluto: Ejemplo 3 y = M 1 L La viga de la figura recibe una carga uniformemente distribuida q en toda su extensión. La rigidez es constante. Encuentre la ecuación de la elástica por los tres siguientes métodos: a) Use la ecuación diferencial de segundo orden para obtener la deflexión de la viga

51 b) Use la ecuación de cuarto orden c) Ilustre una solución gráfica del problema. Solución a) q B H V VB L F x = 0 H = 0 F y = 0 V + V B q L = 0 V + V B = q L M = 0 V B L q L L = 0 V B = V = q L q L

52 hora, utilizando el método de las secciones: q Mx q*l/ Vx x q L q L q x = V x x q x = M x Luego: y = q L x q x Las condiciones de borde son: y x = 0 = 0 y x = L = 0 Lo que implica que: y = y = q L 4 q x3 x + C 6 1 q L 1 q x4 x3 4 + C 1 x + C hora: y x = 0 = C = 0

53 q L4 q L4 y x = L = C 1 L = 0 q L C 1 = 0 q L3 C 1 = 4 Finalmente: y = Y las desangulaciones están dadas por: y = q L 1 q x4 q L3 x3 4 4 x q L 4 q x3 q L3 x 6 4 b) La aplicación de este método es directa: y = q y = q x + C 1 q x y = + C 1 x + C Pero el momento en el extremo x = 0 es nulo, luego: y x = 0 = C = 0 Pero el momento en el extremo x = L es nulo también, luego: q L y x = L = + C 1 L = 0 q L = C 1 q x q L y = + x El resto del problema es igual que en la parte a) c) Los pasos para una solución gráfica se muestran en la página siguiente. Se pueden observar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y curvatura, y a partir de ellos se calculan los diagramas de deflexión y las desangulaciones que sufre la viga.

54 q*l/ DIGRM DE FUERZ CORTNTE DIGRM DE CURVTUR q*l/ q*l²/(8* DIGRM DE MOMENTO FLECTOR q*l²/8 Como se puede observar del diagrama de momento flector y del diagrama de curvatura, la desangulación máxima se da en los extremos de la viga, luego: En x = 0 En x = L y = y = q L3 4 q L3 4 En x = L/, se presenta la mayor deflexión, debido a la simetría de la viga, lo que implica que en ese punto: y = 0

55 y = 1 q L 1 L3 q L4 q L y = 1 q L4 q L4 q L q L4 y = 384 Luego: DIGRM DE DESNGULCIÓN q*l³/(4* -q*l³/(4* DIGRM DE DEFLEXIÓN -5*q*L4/(384*