Capítulo 7. Fuerzas en vigas y cables

Transcripción

1 Capítulo 7 Fuerzas en vigas y cables

2 Fuerzas en elementos rectos sujetos a dos fuerzas Elemento recto sujeto a dos fuerzas AB Sometido en A y B a fuerzas iguales y opuestas F y F que están dirigidos a lo largo de AB. Si se corta AB en C, y se dibuja el DCL correspondiente a AC, se concluye que las fuerzas internas que existían en el elemento AB en C son equivalentes a una fuerza axial F igual y opuesta a F. En un elemento sujeto a dos fuerzas que no es recto, las fuerzas internas se reducen a un sistema fuerza-par.

3 Fuerzas en elementos sujetos a fuerzas múltiples Elemento sujeto a fuerzas múltiples AD se corta en J y se dibuja el DCL de JD; las fuerzas internas en J son equivalentes a un sistema fuerza-par que consta de la fuerza axial F, la fuerza cortante V y un par M. La magnitud de la fuerza cortante mide la fuerza cortante en el punto J.

4 Fuerzas en vigas Vigas elementos prismáticos rectos y largos diseñados para soportar cargas que se aplican en varios puntos a lo largo del elemento. Las cargas son perpendiculares al eje de la viga y sólo producen corte y flexión en ésta. Las cargas pueden estar concentradas en puntos específicos o distribuidas a lo largo de toda la longitud o porción de la viga. El análisis se limitará a vigas simplemente apoyadas, vigas con volados y vigas en voladizo.

5 Fuerza cortante y momento flector en una viga Para determinarlos en un punto dado C, primero se determinan las reacciones en los apoyos considerando toda la viga como cuerpo libre. Se corta la viga en C y se usa el DCL correspondiente de una de las dos partes para determinar V y M. Para evitar confusión en relación con el sentido de la fuerza cortante V y el par M, se adopta la convención de signos de la figura.

6 Fuerza cortante y momento flector en una viga Ya determinados los valores de la fuerza cortante y momento flector en unos cuantos puntos seleccionados de la viga, dibujar un diagrama de fuerza cortante y un diagrama de momento flector. Cuando una viga sólo esta sometida a cargas concentradas, la fuerza cortante tiene un valor constante entre las cargas y el momento flector varía linealmente entre éstas. Cuando una viga está sometida a cargas distribuidas, la fuerza cortante y el momento flector varían en forma diferente.

7 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector Representando con ω la carga distribuida por unidad de longitud (positiva si va dirigida hacia abajo), se tiene que: dv/dx = -ω dm/dx = V Después de integrar las ecuaciones anteriores Vd Vc = -(área bajo la curva de carga entre C y D) Md Mc = área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D

8 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector Vd Vc = -(área bajo la curva de carga entre C y D) Hace posible dibujar el diagrama de la fuerza cortante de ina viga a partir de la curva que representa a la carga distribuida que actúa sobra dicha viga y del valor V en un extremo de la misma. Md Mc = área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D Posible dibujar el diagrama del momento flector a partir del diagrama de la fuerza cortante y del valor M en un extremo de la viga.

9 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector Las cargas concentradas introducen: discontinuidades en el diagrama de fuerza cortante Los pares concentrados implican discontinuidades en el diagrama del momento flector. A partir de: dm/dx = V Se observa que los puntos de la viga donde el momento flector es máximo o mínimo son también los puntos donde la fuerza cortantes es = 0.

10 Cables con cargas concentradas Considerar un cable con un peso despreciable que soporta cargas concentradas. Al suponer todo el cable AB como un cuerpo libre se observó que las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar cuatro incógnitas que representan a las reacciones en los apoyos A y B. Si se conocen las coordenadas de D, se puede obtener una ecuación adicional considerando el DCL para la porción AD y DB del cable.

11 Cables con cargas concentradas Una vez que se han determinado las reacciones en apoyos, se encuentra la elevación de cualquier punto del cable y la tensión en cualquier porción del mismo a partir del DCL apropiado. Se señaló que la componente horizontal de la fuerza T que representa a la tensión es la misma en cualquier punto del cable.

12 Cables con cargas distribuidas Considerar cables que soportan cargas distribuidas. Utilizando como cuerpo libre un tramo del cable CD que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto arbitrario D del cable, se observa que la componente horizontal de la fuerza de la tensión T en D es constante e igual a la tensión To en C. Mientras que su componente vertical es igual al peso W de la porción del cable CD T = To^2 + W^2 Tan θ= W/To

13 Cable parabólico En el caso de una carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, la carga soportada por la porción CD está dada por W = ωx. Se encontró que la forma de la curva adoptada por el cable es una parábola cuya ecuación: y = (ωx^2) / 2To Y la longitud del cable se puede encontrar utilizando la expansión en series dada la ecuación:

14 Catenaria Caso de una carga uniformemente distribuida a lo largo del mismo cable Ejemplo: cable colgando bajo su propio peso. La carga soportada por la porción CD está dada por W=ωs, donde s es la longitud medida a lo largo del cable. Se selecciona el origen O de los ejes coordenados a una distancia c = To/ω por debajo de C, y se derivaron las relaciones.

15 Catenaria s = c senh (x/c) y = c cosh (x/c) y^2 s^2 = c^2 To = ωc W = ωs T= ωy Las cuales pueden emplearse para problemas que involucran cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso.