DEFORMACIONES EN VIGAS

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1 Folio EST - DEFORMACIONES EN VIGAS Materia: Estructura II Folio: Fecha: EST - Julio/ Autores: Arqto. Verónica Veas B. Arqto. Jing Chang Lou.

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3 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL I.- INTRODUCCION El análisis estructural de las vigas suele dividirse en vigas isostáticas e hiperestáticas. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analizar Si la viga tiene un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, bastará con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla. ΣFx ΣFy ΣM Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas, no bastará con las ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario incorporar nuevas expresiones. Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que experimentará la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deben ser limitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No resulta extraño entonces que muchos dimensionamientos queden determinados por la deformación y no por la resistencia. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

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5 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL II.- DEFORMACION EN VIGAS.- LINEA ELASTICA o ELASTICA Denominaremos línea elástica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que ésta se encontraba inicialmente recta..- SUPUESTOS BASE. Para establecer una serie de relaciones al interior de la sección, indicamos que se trata de una viga, cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservación de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y la hipótesis de Bernouilli-Navier. a.- LEY DE HOOKE. Establece que la relación entre la tensión y la deformación unitaria es una constante y se denomina módulo de elasticidad.. E τ ε E Elasticidad (kg/cm ). τ Tensión (kg/cm ) e Deformación Unitaria o expresado de otra forma: τ E e b.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXION De la deducción realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexión simple sabemos que:.? MV τ I τ Tensión (kg/cm ) M Momento flector (kg.cm). V Distancia desde la fibra neutra a la fibra más traccionada o más comprimida. (cm). I Inercia (cm ). Si igualamos las expresiones. y. tenemos que: MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5

6 MV E ε o I. MV ε c.- ANALISIS DE LA SECCION La sección cc tt, inicialmente recta, se curva con un radio R como indica el gráfico. La fibra cc se acorta a cc. La fibra tt se alarga a tt, y La fibra nn permanece del mismo largo. Por triángulos semejantes non y t n t obtenemos ds V. ε??(deformación unitaria) ds R El arco es igual al producto del ángulo por el radio. ds d R o 5. I R d ds Igualando las ecuaciones. con., obtenemos: o V MV /:V R R M Reemplazamos en la ecuación 5. I R M d ds M.ds d Como nos estamos refiriendo a una sección infinitamente pequeña, la diferencia entre un arco y su proyección horizontal es mínima: ds La expresión final indica que la curvatura de la línea elástica es una variable proporcional al momento flector. d M. 6

7 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL.- METODOS DE CALCULO Existen diferentes métodos para abordar el análisis de las deformaciones en las vigas: Método de Área de Momentos. Método de Doble Integración. Método de la Viga Conjugada. Si bien, todos presentan su mecánica propia, a la vez tienen una partida común, que es justamente el análisis de la elástica expuesto anteriormente. A través de ellos buscaremos determinar el ángulo de curvatura de la línea elástica y sus deflexiones o flechas. Cada método tiene ventajas o desventajas dependiendo de la viga a analizar..a.-metodo DE AREA DE MOMENTOS La deducción del capítulo anterior establece que la curvatura de la línea elástica está en función del momento flector de la viga. Si analizamos la relación de los ángulos en el siguiente gráfico tenemos que: Los triángulos rectángulos OAE y OBC forman respectivamente en E y C un ángulo de 9º-d, por lo tanto los triángulos rectángulo ACD y BED necesariamente debe formar en D el ángulo d. De esta forma, también podemos referirnos a d, como el ángulo que forman las tangentes a dos puntos de la línea elástica y establecer nuevas relaciones. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7

8 PRIMER TEOREMA DE MOHR El ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B, es igual al área de momento flector entre esos dos puntos, dividido por. AB Area entre A y B o AB B d A B A M SEGUNDO TEOREMA DE MOHR La distancia desde un punto B de la elástica de una viga, medida perpendicularmente a la posición original hasta la tangente trazada por otro punto A de la elástica, es igual al momento del área de momento flector entre los dos puntos, respecto a la ordenada que pasa por B, dividido por. Esta distancia la denominaremos desviación tangencial. dt x d (gráfico superior) t t BA BA A B A B dt x.m. A B x. d tba Area. AB.x 8

9 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Establecemos el equilibrio externo de la viga. Ra Rb ql Determinamos la ecuación general de momento flector de la viga. Mx qlx qx Aplicando el Primer Teorema de Mohr, podemos determinar el ángulo en el apoyo calculando el ángulo entre la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elástica y la tangente trazada en el punto medio, siendo ésta la tangente de pendiente nula. AB L/ M AB L/ qlx qx AB L/ qlx qx 6 AB ql ql 6 8 AB A Siendo la viga simétrica se deduce que este valor de ángulo es también válido para el extremo derecho de ésta. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9

10 Otra forma de enfrentar el ejercicio, si conocemos el área es: AB A Area entre A y B A ql 8 L Para obtener la flecha máxima aplicamos el segundo teorema de Mohr. Calculamos la desviación tangencial en el extremo izquierdo de la elástica con respecto a la tangente trazada en el punto de flecha máxima, que en este caso corresponde a L/. t AB A ql B M.x. A L/ qlx qx Ymáx.x. L/ qlx qx Ymáx. Y máx L/ qlx 6 qx 8 Y máx ql ql 8 8 Y máx 5qL 8 Si conocemos el área y su centroide podemos realizar la operación de la siguiente forma: t AB Area AB. x A ql L 5 L t AB 8 8? Y máx 5qL 8

11 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL.b.- METODO DE DOBLE INTEGRACION De la deducción del Primer Teorema Mohr se obtuvo la expresión: d M. /: d M La derivada en cualquier punto de la una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. dy Tg Como? es d Tg dy Reemplazando en la ecuación inicial obtenemos la Ecuación Diferencial de la Elástica de una viga d dy M d y M Integrando obtenemos la Ecuación General de Pendiente. dy M + C Integrando nuevamente obtenemos la Ecuación General de Flecha. y M + C + C Este método nos permite calcular las pendientes y deflexiones de la viga en cualquier punto. La dificultad radica en despejar las constantes de integración. Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformación de la viga MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

12 EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA La ecuación diferencial de la elástica de una viga está dada por la expresión: d y M d y o M El valor de momento varía en función de X de acuerdo a la ecuación general antes establecida: Mx qlx qx Entonces la ecuación diferencial de la elástica para esta viga es: d y qlx qx Integrando obtenemos la ecuación de pendiente para cualquier punto de la elástica. dy qlx qx dy qlx qx + C 6 Por simetría, la flecha máxima está en el punto medio de la viga, por lo que la tangente trazada en este punto de la elástica es de pendiente nula, es decir, dy si: X L/

13 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL Por lo tanto: ql L q L + C 6 8 C ql Entonces la ecuación general de la pendiente es: dy qlx qx 6 ql La ecuación de flecha la obtenemos integrando la ecuación de anterior: qlx qx ql x.y + C Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X o X L Si X C qlx qx ql x Si XL + C Por lo tanto C Entonces la ecuación general de flecha es: y qlx qx ql x Los ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X y XL en la ecuación correspondiente ql A B ql y la flecha máxima reemplazando en X L/. Y máx 5qL 8 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

14 .c.- METODO DE VIGA CONJUGADA Este método se basa en los mismos principios del método de área de momento, pero difiere en su aplicación. Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la misma longitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la viga original, pero cargada con el diagrama del momento flector de la viga original dividido por. De esta manera, el ángulo de la tangente trazada en cualquier punto de la elástica de la viga real está dada por el cortante (Q ) de la nueva viga, y la flecha se determina calculando el momento flector (M ) de esa viga ficticia Según lo anterior, podemos establecer las siguientes equivalencias: VIGA REAL VIGA FICTICIA. momento M carga M/ ángulo cortante Q flecha Y momento M Podemos afirmar que existe una analogía entre las relaciones carga - cortante - momento - y momento - pendiente - flecha. EJEMPLO VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Para la aplicación del método es necesario determinar el gráfico de momento flector y sus valores característicos. M max ql 8 Para obtener los valores de ángulo y flecha generamos una viga ficticia o conjugada. VIGA FICTICIA Generamos una viga y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por Mmáx q' ql 8

15 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL El cortante de la viga ficticia corresponde a la pendiente que adquiere la tangente trazada a la curva elástica de la viga real, por lo que el gráfico de cortante de la viga ficticia representa los cambios en la pendiente. El ángulo en el punto de apoyo de la viga original equivale a la reacción de la viga conjugada. A Ra' ql L 8 A ql El momento flector de la viga ficticia corresponde al descenso de la viga real al deformarse. En este caso, el gráfico de momento de la viga ficticia representará los valores de deformación de la viga real. Como el descenso máximo de la viga es en L/, determinamos el momento máximo de la viga ficticia en ese punto. Y MAX M' MAX ql L ql 8 L L 8 Y MAX 5qL 8 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5

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17 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL III. APLICACIÓN..- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN L/..a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTOS Establecemos el equilibrio externo. RA RB P Determinamos la ecuación general de momento flector. Px Mx Por simetría de la viga, deducimos que la pendiente de la tangente trazada en el punto medio de la curva elástica es nula. Para la aplicación de los Teoremas de Mohr, debemos considerar la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elástica y la tangente trazada en el punto medio de ésta. Para determinar los valores de ángulo en los apoyos calculamos el ángulo entre las dos tangentes AB B A AB A M. A A L / L / Px. Px A PL 6 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7

18 y la flecha máxima la obtenemos calculando la desviación tangencial en el extremo izquierdo con respecto a la tangente trazada por el punto medio de la curva elástica. Ymáx B M.x. A L/ Px Ymáx.x. Ymáx L/ Px 6 PL Ymáx 8.b.- POR MÉTODO DOBLE INTEGRACIÓN. Como la viga es simétrica analizamos sólo el primer tramo. Con la ecuación general de momento, establecemos la ecuación diferencial de la elástica. d y. Px Integrando dos veces la ecuación obtenemos: dy Px + C Px.y + Cx + C Según la deformación de la viga, la pendiente de la tangente trazada en el centro de la viga es nula, es decir: dy Si X L/ P L + C C PL 6 Entonces la ecuación general de ángulo es: dy Px PL 6 8

19 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula en el apoyo de la viga, es decir cuando X Por lo tanto C Entonces la ecuación general de flecha es Px.y PL x 6 El ángulo en el apoyo se obtiene reemplazando X en la ecuación correspondiente PL A 6 Y la flecha máxima reemplazando en X L/. Pl Ymáx 8..c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA. VIGA REAL Determinamos el gráfico de momento flector y sus valo res característicos PL M máx Generamos una viga ficticia y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por. Y le determinamos las reacciones y el momento máximo, valores correspondientes a los ángulos en los apoyos y al descenso máximo de la viga dada. VIGA FICTICIA Mmáx q' A Ra' PL A 6 PL PL L L PL 6 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9

20 Este valor de ángulo es válido también para el otro extremo, porque la viga es simétrica. Y por la misma condición, el momento máximo se produce cuando XL/ Ymáx PL L Mmáx 6 PL L L PL Ymáx 8

21 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO Establecemos el equilibrio externo. RA RB ql Determinamos la ecuación general de momento flector. q* x q L/ q * Mx qx L qlx qx L qlx qx Mx L x x Como la viga es simétrica, la tangente trazada por el punto medio de la elástica es de pendiente nula. Para determinar el ángulo en el apoyo calculamos el ángulo entre la tangente trazada en el extremo y la tangente trazada en L/. L/ qlx qx AB A. L A L/ qlx 8 qx L A ql ql 9 A 5qL 9 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

22 Para determinar la flecha máxima se calcula la desviación tangencial en el extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en L/. L/ qlx qx t AB.x. L L/ qlx qx t AB. L t AB L/ qlx 5 qx 5L t AB Y ql ql 96 8 MAX ql.b.- POR METODO DE DOBLE INTEGRACION La viga es simétrica por lo tanto se puede analizar un sólo tramo. Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica para el primer tramo. qlx qx Mx L. d y qlx qx L Integrando la ecuación dos veces obtenemos: dy qlx qx. + C 8 L qlx qx.y + Cx + C 6L 5 Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X L/

23 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL ql L q L + C 8.L 6 C 5qL 9 Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X Por lo tanto C Reemplazando C y C obtenemos: en las ecuaciones anteriores Ecuación general de ángulo: dy. qlx 8 qx L 5qL 9 Ecuación general de flecha:.y qlx 5 qx 5qL x + 6L 9 Determinamos el ángulo en los apoyos reemplazando X en la ecuación correspondiente A 5qL 9 Siendo simétrica la viga, este valor también es válido para el otro extremo de la viga. Y la flecha máxima reemplazando en X L/. Y MAX ql MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

24 .- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN L/.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS. Establecemos el equilibrio externo determinando las reacciones en los apoyos. P Ra P Rb Determinamos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos: de a L/ y de L/ a L Px Mx T Mx T PL Px PL M MAX 6 En una viga asimétrica la curva elástica no es simétrica con respecto a su centro, lo que produce una mayor dificultad para determinar el punto cuya tangente sea de pendiente nula. Para determinar los ángulos en los apoyos y la flecha máxima, debemos recordar algunos supuestos iniciales: El arco es el producto entre un ángulo y un radio. La deformación que se produce en una viga es muy pequeña en comparación con la longitud de ella; por lo tanto el ángulo que se genera es también reducido. De forma que, no existe gran diferencia entre un arco y su proyección vertical (desviación tangencial). Arco ángulo x radio t ángulo x largo

25 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL Entonces para calcular los ángulos en los apoyos debemos calcular primero la desviación tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo PL L L L PL L L ( L ) t t( ) L 5PL 8 Como t ángulo x largo se deduce que ángulo () t/largo t O.L t ( L ) ( L ) O 5PL 8 L O 5PL 8 Para determinar el valor de la flecha máxima, necesitamos saber su ubicación. El ángulo corresponde a un área de momento dividido por. Ahora que conocemos el valor de esa área de momento ( O ) podemos obtener su extensión. x 5PL 8 O L 8 Px x x 5.L Para determinar la flecha máxima calculamos la desviación tangencial en, con respecto a la tangente trazada a la elástica en X 5L/ t Pxx Px ( ) x 5.L/ t 5 5.PL ( ) 5.L / 768 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5

26 .b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN. Con las ecuaciones generales de momento establecemos las ecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrándola dos veces obtenemos: TRAMO (-L/) d y Px dy Px + C 8 Px.y + Cx + C TRAMO (L/-L) d y PL Px dy PLx Px + C 8 PLx Px.y + Cx + C 8 Según las condiciones de apoyo La flecha es nula cuando X para el primer tramo C La flecha es nula cuando X L para el segundo tramo PL PL. + C.L + C 8 PL C C.L Según la deformación de la viga la pendiente es única para ambos tramos cuando XL/. Entonces igualamos las ecuaciones de pendiente de ambos tramos en L/ Px 8 + C PLx Px 8 + C 6

27 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL PL 8 + C 9PL 6 7PL 8 + C 6PL C C + 8 Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha de ambos tramos en L/ 7PL 56 8PL C L 7PL 8 8PL 56 + C L C PL C L C PL 8 Reemplazamos C en las ecuaciones anteriormente obtenidas. C C 6PL 8 PL PL 8 PL + 8 5PL 8 9PL 8 Entonces las ecuaciones generales de ángulo y flecha son: TRAMO Ecuación de pendiente válida para X L/ dy Px 8 5PL 8 Ecuación de flecha válida para X L/ Px.y 5PL x 8 TRAMO Ecuación de pendiente válida para L/ X L dy PLx Px 8 PL 8 Ecuación de flecha válida para L/ X L PLx.y 8 Px PL x 9PL MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7

28 Para determinar la ubicación de la flecha máxima en la viga es necesario considerar que la flecha es máxima cuando el ángulo es nulo, para lo cual igualamos la ecuación de ángulo del primer tramo a cero. Px 8 5PL 8 x L 8 x 5.L Los ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X o XL en la ecuación correspondiente 5PL A 8 B 7 PL 8 Y la flecha máxima reemplazando en X 5L/ Ymáx 5 5.PL 768..c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA Con el gráfico del momento flector y sus valores característicos generamos la viga ficticia. Mx T Px Mx T PL Px PL M MAX 6 A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por. Se determinan los ángulos en los apoyos y el descenso máximo de la viga dada, calculando las reacciones en los apoyos y el momento máximo de la viga ficticia. 8

29 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL VIGA FICTICIA q ' Mmax PL 6? A Ra? B Rb ΣMa PL L L PL L L L 8PL Rb'.L RB ' B 7PL 8 ΣFy 7PL Ra' 8 PL 6 L PL L 6 Donde Qx el momento es máximo 5PL PL x x 8 6 L 8L x 56 5.L x,559l Y max M max Y R A A 5PL 8 5PL 8 5.L PL 6 L 5.L 5.L 5.L máx 5.PL 56 Y máx 5 5.PL 768 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9

30 .- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON UN MOMENTO APLICADO EN EL EXTREMO.a- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO. Establecemos el equilibrio externo y determinamos la ecuación general de momento flector. M Ra L Mx Mx L Rb Para calcular los ángulos en los apoyos en esta viga asimétrica, debemos calcular primero la desviación tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo. Analizando la desviación tangencial en el punto L determinamos el ángulo en MLL ( L ) t t( ) L ML 6 M L Luego si t ángulo x largo se deduce que ángulo t / largo ML 6 L ML 6

31 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL Analizando la desviación tangencial en el punto determinamos el ángulo en L ML L t( L ). t( ) L ML L L ML ML L Para determinar la ubicación del punto en donde la flecha es máxima aplicamos el Primer Teorema de Mohr. ML 6 A Mx x L. ML 6 Mx L x L x L Para determinar la flecha máxima calculamos la desviación tangencial desde el punto con respecto a la tangente trazada por L/ t t t t L/ ( ) o L/ L/ ( ) o L / Mx x. L Mx L Mx ( ) o L/ ( L/ ) L/ M L L L o 9 ML. Y máx 9 ML. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

32 -b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION. Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica. d y Mx L Integrando la ecuación diferencial dos veces obtenemos: dy Mx + C L Mx.y + Cx + C 6L Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X y X L Si X C ML Si XL + CL + C 6 ML C 6 Reemplazando los valores de C y C en las ecuaciones correspondientes podemos determinar la ecuación general de pendiente. dy Mx L + ML 6 y la ecuación general de flecha. Mx.y 6L + MLx 6 Los ángulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X y XL en la ecuación de pendiente A ML 6 B ML Para determinar la ubicación del punto en donde la flecha es máxima igualamos la ecuación general de ángulo a cero. Mx L + ML 6

33 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL x L x L Determinamos la flecha máxima reemplazando la ecuación general de flecha en X L/ Y MAX ML 9..c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA Con el gráfico del momento flector y sus valores característicos generamos la viga ficticia. Mx Mx L A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por y calculando las reacciones en los apoyos y el momento máximo de la viga ficticia determinamos los ángulos en los apoyos y el descenso máximo de la viga dada M q' max M M L L A Ra' /L ML A 6 ML 6 M L L B Rb' /L ML ML B ML L M L L PL Ymax M max ' 6 6L 9. Y max ML 9. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

34 5.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA 5.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO Establecemos el equilibrio externo. Ra ql Determinamos la ecuación general de momento flector qx Mx El ángulo entre las tangente trazadas en ambos extremos de la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema de Mohr. OL L qx OL L qx 6 OL ql 6 A OL ql 6 Calculando la desviación tangencial en (extremo libre de la viga) con respecto a la tangente trazada en el otro extremo, determinamos la flecha máxima.

35 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL qx t ( O L).x. L qx t( O L) qx t( O L) 8 L ql t( O L) 8 L ql Ymax t( O L) 8 5.b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica. d y qx Integrando la ecuación diferencial dos veces se obtiene: dy qx + C 6 qx.y + Cx + C Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X L C ql 6 Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X L C ql 8 Reemplazando C y C en las ecuaciones anteriores se obtiene: Ecuación general de pendiente. dy qx 6 ql + 6 MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5

36 Ecuación general de flecha..y qx ql x ql El valor máximo de ángulo se obtiene reemplazando X en la ecuación correspondiente ql A 6 Y la flecha máxima reemplazando en X. Y max ql 8 5.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA. Con el gráfico de momento flector y los valores característicos generamos la viga ficticia. qx Mx A la viga ficticia se le aplica como carga el momento flector de la viga dada dividido por La relación establecida entre la viga ficticia y la viga real es que los valores de cortante y momento de la viga ficticia equivalen a la pendiente y a la flecha de la viga real. Pero en el caso particular de las vigas en voladizo, la pendiente en el apoyo es nula, así como su descenso. En este punto no deberían existir R ni M por lo tanto para la aplicación de este método, es necesario invertir el apoyo de la viga ficticia al otro extremo de la viga, de manera de encontrar R y M max en el punto correspondiente q' M max ql A Ra' ql L A ql 6 Ymax M' max Y max ql 8 ql L L 6

37 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL 6.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN EL EXTREMO LIBRE 6.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO. Establecemos el equilibrio externo. Ra P Determinamos la ecuación general de momento flector. Mx Px El ángulo entre las tangentes trazadas en ambos extremos de la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema de Mohr. L L P.L PL EL L B L PL Calculando la desviación tangencial en (extremo libre de la viga) con respecto a la tangente trazada en el otro extremo determinamos la flecha máxima PL t( ) L PL t( ) L L Y t( ) max L PL MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7

38 6.b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica. d y Px PL Integrando dos veces la ecuación diferencial obtenemos: dy Px PLx + C Px PLx.y + Cx + C 6 Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X C Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X C Entonces las ecuaciones generales de ángulo y flecha son: Ecuación general de ángulo dy Px PLx Ecuación general de flecha.y Px 6 PLx El valor máximo de ángulo se encuentra en el lado derecho y se obtiene reemplazando XL en la ecuación correspondiente B PL Y la flecha máxima reemplazando en X L. Y max PL 8

39 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL 6.c- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA. Con el gráfico de momento flector y los valores característicos generamos la viga ficticia. M PL A la viga ficticia se le aplica como carga el momento flector de la viga dada dividido por Como se ha explicado en el ejemplo anterior, en el caso de las vigas en voladizo, es necesario invertir su apoyo en el otro extremo de la viga para la aplicación del método. q' M max PL B R B PL L B PL Y max M' max PL L L Y max PL MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9

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41 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL IV.- BIBLIOGRAFIA Resistencia de Materiales. William A. Nash. Editorial McGraw-Hill México. Año 97. Resistencia de Materiales S. P. Timoshenko. Editorial Epasa-Calpe Madrid. Año 98. Resistencia de Materiales Ferdinand L. Singer / Andrew Pytel. Editorial Harle México. Año 98. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

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43 Folio EST - MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL V.- INDICE I.- INTRODUCCIÓN... II.-... DEFORMACION EN VIGAS Línea Elástica Supuestos Base... 5 Ley de Hooke... 5 Deducción de la Fórmula de Flexión... 5 Análisis de la sección Métodos de Cálculo... 7 Método de Area de Momentos... 7 Ejemplo... 9 Método de Doble Integración... Ejemplo... Método de Viga Conjugada... Ejemplo... III.- APLICACIÓN Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/... 7 Por Método de Area de Momento... 7 Por Método de Doble Integración... 8 Por Método de Viga Conjugada Viga simplemente apoyada con carga triangular... Por Método de Area de Momento... Por Método de Doble Integración.... Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/... Por Método de Area de Momento... Por Método de Doble Integración... 6 Por Método de Viga Conjugada Viga simplemente apoyada con un momento aplicada en el extremo... Por Método de Area de Momento... Por Método de Doble Integración... Por Método de Viga Conjugada Viga en voladizo con carga repartida uniformemente... Por Método de Area de Momento... Por Método de Doble Integración... 5 Por Método de Viga Conjugada Viga en voladizo con carga puntual aplicada en el extremo libre... 7 Por Método de Area de Momento... 7 Por Método de Doble Integración... 8 Por Método de Viga Conjugada... 9 IV.- BIBLIOGRAFIA... V.- INDICE... MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE