Unidad 10. Depreciación por el método de la línea recta. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 10 Depreciación por el método de la línea recta Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Comprenderá el concepto de depreciación. Calculará la vida útil de un activo, sin inflación. Calculará el valor de rescate de un activo, sin inflación. Calculará el valor en libros de un activo, con y sin inflación. Aplicará el método de la línea recta en la solución de problemas de depreciación con y sin inflación.

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3 Introducción En ocasiones escuchamos quejas referentes a que los bienes ya no tienen el mismo valor con el que fueron adquiridos. Esto puede deberse a que el valor desciende o aparentemente aumenta. Escuchamos también términos como activo, recursos agotables, vida útil, valor en libros, entre otros, cuyo significado tal vez ignoremos. En esta unidad definiremos los conceptos de activo, valor en libros y valor de rescate de un activo con y sin inflación. Estudiaremos uno de los métodos más utilizados para el cálculo de la depreciación, el Método de la línea recta, para lo cual necesitarás recordar algunos elementos de unidades anteriores, así como los revisados en otras materias; por ejemplo, la ecuación de la línea recta en su forma general (geometría analítica), el valor actual de un monto cierto y el valor presente de una anualidad vencida Depreciación Por lo general se refiere a términos y situaciones de tipo contable de uso poco común para nosotros, sin embargo, necesitamos manejar términos como activo, que representa a los bienes tangibles (inmuebles, equipo, maquinara, mobiliario, vehículos, etcétera). Es importante establecer la existencia de dos tipos de bienes. Aquellos que pierden valor por el deterioro progresivo, por ejemplo, una mina. A estos bienes se les conoce como agotables. Existen otros bienes, los cuales pierden su valor a consecuencia del uso y el paso del tiempo, valor que no se puede recuperar dándoles mantenimiento, como ocurre con las máquinas o los automóviles, por ejemplo. Otros bienes al parecer pierden valor, pero tienen un mayor precio, como los bienes inmuebles, los cuales incrementan su precio durante determinado tiempo y no disminuye como esperamos debido a la inflación, incrementos de servicios en la zona, entre otros factores. En esta unidad estudiaremos únicamente los bienes que pierden su valor por el uso y el tiempo; es decir, bienes que se deprecian. Por qué algunos bienes aumentan su precio a lo largo del tiempo y no lo disminuyen? 303

4 matemáticas financieras Depreciación es la pérdida del valor de un activo tangible a consecuencia de su uso, el tiempo, la tecnología y algunos otros factores. Para poder analizar el método de depreciación lineal es necesario definir algunos conceptos: vida útil, valor de rescate, costo inicial, valor en libros y base de depreciación o valor de uso, para lo cual se analizará el siguiente ejemplo: Un automóvil se compró con $ Después de usarlo durante 12 años se vendió en $44 000, perdiendo su valor de manera constante cada año. Podemos observar lo siguiente: Los $ representan el valor o costo inicial del vehículo, el cual se representa con la letra C, siendo la base de partida para la depreciación, es decir, es la cantidad sobre la cual se inicia la pérdida del valor. Los $ representan el valor de rescate o de salvamento, en este caso se trata de un valor de rescate positivo ya que se recupera algo del valor inicial del automóvil; existen situaciones donde no se recupera nada del valor inicial, en ese caso se dice que el valor de rescate es nulo. En otros casos no sólo no se recupera algo, por el contrario, hay que desembolsar una cantidad para desechar el activo, como ocurre cuando un edificio ya no es útil y se requiere demoler, lo cual tiene un costo adicional considerándosele un valor de rescate negativo. El tiempo transcurrido desde el momento de la adquisición hasta el momento de su venta o desecho se le conoce como tiempo de vida útil o simplemente vida útil, el cual representaremos con la letra n. Por lo general la vida útil de un activo se mide en años, aunque en ocasiones se pueden considerar horas de trabajo o piezas producidas; en el ejemplo del auto, su vida útil es de 12 años. La cantidad que pierde de valor el activo cada año es lo que se conoce como cargo periódico por depreciación, el cual puede ser variable o constante. Este concepto por lo general se representa con la letra R y está expresado en dinero. Los activos no pierden su valor al mismo tiempo, lo pierden paulatinamente. Retomando el ejemplo del automóvil, pasa de un valor de $ a $ en el transcurso de 12 años, es decir perdió $ A esta cantidad se le conoce como valor de uso o base de depreciación; es decir, la diferencia entre el costo inicial y el valor de rescate, se simboliza con la letra W y representa la cantidad total que se depreció al término de su vida útil. 304

5 unidad 10 Si revisamos el ejemplo del automóvil, y considerando que no pierde los $ al mismo tiempo sino de forma constante a lo largo de 12 años, podemos afirmar que se deprecia $6 500 cada año ( entre 12) (ver tabla 10.1). Costo inicial 0 $ C 0 1 $ C 1 2 $ C 2 3 $ C 3 4 $ C 4 5 $ C 5 6 $ C 6 7 $ C 7 8 $ C 8 9 $ C 9 10 $ C $ C 11 Valor de rescate 12 $ C 12 tabla comportamiento de depreciación del valor de un automóvil a lo largo de su vida útil (12 años). La tabla 10.1 nos muestra el comportamiento del valor de un activo a lo largo de su vida útil. A cada uno de los valores que se incluyen en esta tabla se le conoce como valor en libros y se representa como. El primer valor en libros (C 0 ) corresponde al costo inicial en el tiempo cero, es decir, cuando se adquiere un artículo que no se ha depreciado, y el último valor en libros (C n ) corresponde al valor de rescate. 305

6 matemáticas financieras Método de depreciación de la línea recta sin considerar la inflación Como ya mencionamos, la depreciación de un activo puede ser variable o constante, en esta unidad nos referiremos únicamente a la depreciación anual (R) constante. Valor en libros (C n ) $ figura Gráfica del método de la línea recta. Retomando el caso del automóvil de $ , que después de 12 años se vende en $44 000, si consideramos los valores de la tabla como coordenadas de un plano cartesiano y la graficamos, podemos observar que se forma una línea recta; de ahí el nombre de método de la línea recta (figura 10.1). Si recordamos la ecuación general de una línea recta (geometría analítica): y=mx+b Donde: 306

7 unidad 10 y= representa el valor en libros C n. x= el tiempo transcurrido en años k. b= es la intersección de la recta con el eje Y, en este caso el costo inicial C. m= representa la pendiente de la recta, es decir, el grado de inclinación de la recta, la cual, al tratarse de valores que decrecen conforme el tiempo aumenta, es de valor negativo y está dada por la depreciación anual R. Cambiando las literales de la ecuación general de la línea recta por las de la depreciación: = Rk+C Ordenando la ecuación se tiene: =C kr donde: es el valor en libros en el año k R es la depreciación anual k es el tiempo transcurrido en años C es el costo inicial Esta fórmula nos permite conocer el valor en libros en cualquier momento, incluyendo el valor de rescate al término de la vida útil. Como ya se mencionó, la base de depreciación o valor de uso (W) se obtiene entre la diferencia del costo inicial y el valor de rescate. W=C S donde: W es el valor de uso o base de depreciación C es el costo inicial S es el valor de rescate Como la depreciación anual es constante se obtiene dividiendo el valor de uso, o base de depreciación, entre los años de vida útil. 307

8 matemáticas financieras R = W n donde: R es la depreciación anual W es el valor de uso o base de depreciación n es el tiempo de vida útil Ejemplos 1. Una compañía constructora compró una máquina para hacer bloques con un costo de $15 000; se estima que tendrá 5 años de vida útil y valor de rescate de $ Cuál es la depreciación anual? Solución Se identifican los datos: C=$ S=$1 500 n=5 años Primero se calcula el valor de uso (W): W=C S W= W= Cuando se obtiene el valor de uso, se calcula el valor de la depreciación anual: R = W n R = = Significa que la máquina disminuirá su valor en $2 700 cada año durante sus 5 años de vida útil. 308

9 unidad Cuál es el valor de rescate que tendrá un equipo que cuesta $80 000, y que se deprecia en $ anuales durante 6 años? Solución Se identifican los datos: C=$ R=$ n=6 años Para este tipo de problemas existen dos formas para determinar el valor de rescate de un activo. En el primer método se utiliza la fórmula para calcular el valor en libros. En el segundo método se utilizan las fórmulas para calcular el valor de uso y la depreciación anual. Revisemos ambos métodos. Método 1 (fórmula de valor en libros) El valor de rescate corresponde al último valor en libros, cuando k = n es el tiempo de vida útil, por lo que se pueden sustituir los valores en la fórmula para calcular el valor en libros: C 6 =S Por lo tanto: =C kr S=C 6 = (12 000) S= S=8 000 Significa que el valor de rescate del equipo después de 6 años es $

10 matemáticas financieras Método 2 (fórmulas para el valor de uso y la depreciación anual) Primero se calcula el valor de uso (W) despejándolo de la fórmula para calcular la depreciación anual: R = W n W=nR W=6(12 000)= Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor de uso y se despeja el valor de rescate: W=C S S=C W S= =8 000 Observa que con cualquiera de los dos métodos se obtiene el mismo resultado. Tú decides cuál de los dos métodos utilizarás. 3. Cuál es el valor en libros de un edificio después de 35 años, cuya construcción cuesta $ y se espera que tenga vida útil de 40 años? Solución Aparecen dos valores de tiempo, el tiempo de vida útil y tiempo transcurrido del valor en libros. Debes tener mucho cuidado en no confundirlos, primero utiliza el tiempo de vida útil para calcular la depreciación anual, posteriormente calcula el valor en libros. Se identifican los datos: C=$ n=40 años S=nulo=0 310

11 unidad 10 Se calcula el valor de la depreciación anual: W R = (en este caso, W= porque W=C S= ) n R = = Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor en libros, considerando que se busca el valor en el año 35, por lo tanto, k=35: =C kr C 35 = ( ) C 35 = = Significa que el valor en libros del edificio a los 35 años es $ Cuál es el tiempo de vida útil de una recámara con valor inicial de $ y valor de rescate nulo al término de su vida útil, si el valor en libros a los 4 años es de $12 150? Solución Se identifican los datos: C=$ C 4 =$ S=nulo=cero Primero se determina el valor de la depreciación anual, despejándolo de la fórmula para calcular el valor en libros: =C kr C 4 =C 4R = R 4R=

12 matemáticas financieras 4R= R = = R= Determinado el valor de la depreciación anual, se sustituye en la fórmula para calcular la depreciación anual: R = W n W=C S W= = Por lo tanto: = n n = = La vida útil de la recámara es 16 años. Ejercicio 1 1. Una empresa adquiere una máquina que tiene vida útil de 10 años y valor de $ El valor de rescate de dicha máquina al término de su vida útil es de $80 000, cuál es la depreciación anual? 2. Cuál es la vida útil de una máquina que costó $15 000, si el cargo anual por depreciación es de $900 y el valor de rescate es de $7 800? 3. Ricardo compró una selladora de $22 000, se estima que tendrá vida útil de 12 años, después de los cuales pagará $2 000 por remover la selladora. Cuál es la depreciación anual? 312

13 unidad Cuál es el valor de rescate después de 5 años de una sala, cuyo precio inicial es de $ y que se deprecia en $800 anuales? 5. Cuál es el valor en libros de un automóvil después de 10 años, si su costo inicial fue de $ y se espera que tenga vida útil de 15 años, momento en el que costará $91 000? 6. Enrique Bermúdez adquirió una máquina flejadora cuya vida útil es de 18 años, con valor inicial de $ y el valor de rescate es de $700 al término de su vida útil. Cuál es la depreciación anual? 7. Cuál es el valor de rescate de una máquina que costó $5 000, con vida útil de 5 años, si el cargo anual por depreciación es de $900? 8. Guadalupe compró una recámara de $28 753; se estima que la depreciación anual será de $ y el valor de rescate al término de su vida útil será $ Cuál es su tiempo de vida útil? 9. Cuál es el valor de rescate después de 5 años de una sala, cuyo precio inicial es de $ y que se deprecia en $ anuales? 10. Cuál es el valor en libros de una motocicleta después de 4 años, si su costo inicial fue de $ y se espera que tenga vida útil de 9 años, momento en el que tendrá un costo de $1 300? Método de depreciación de la línea recta considerando la inflación Hasta el momento hemos tratado con situaciones donde la inflación no afecta la forma en la que se deprecian los activos. Sin embargo, bajo ciertas circunstancias éstos se ven afectados por la inflación, es decir, cuando la depreciación es mayor que la inflación, el valor del activo desciende, mientras que si la inflación es mayor que la depreciación el valor del activo aumenta. Debemos calcular el valor en libros. Hay que recordar que la inflación no es otra cosa que una clasificación de interés, por lo cual utilizaremos las fórmulas de este curso: Fórmula para calcular el valor en libros =C kr Considerando que la inflación puede transformar al capital =C(1+i) k kr 313

14 matemáticas financieras kr representa la suma de la depreciación anual tantas veces como número de años k transcurridos k ( 1+ i) 1 Ck = C( 1 + i) R i Tomando en cuenta que la depreciación anual es constante, podemos considerar que se trata de una anualidad. Además, considerando que la depreciación anual es un valor constante, periódico y que se contabiliza al final de cada año, podemos considerarla como una anualidad vencida. Por lo tanto, podemos afirmar que para calcular el valor en libros de un activo, considerando la inflación, se puede utilizar la siguiente fórmula: donde: es el valor en libros en el año k k k ( 1+ i) 1 Ck = C( 1+ i) R R es la depreciación anual i k es el tiempo transcurrido en años C es el costo inicial i es la inflación Con esta fórmula podemos despejar tanto el valor inicial como la depreciación anual, dependiendo de cuáles sean las necesidades del problema. Ejemplos 1. Cuál es el valor en libros de una computadora después de 5 años, si su valor inicial fue de $ y se deprecia a razón de $1 000 anuales? Considera que la inflación promedio en los últimos 5 años ha sido de 6%. Solución Se identifican los datos: C=$ R=$1 000 k=5 años i=

15 unidad 10 inflación: Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor de libros considerando la k k ( 1+ i) 1 Ck = C( 1 + i) R i (1.06 C 5 =24 520(1+0.06) ) C 5 =24 520( ) C 5 = ( ) C 5 = C 5 = Lo que nos indica el valor en libros de la computadora a los 5 años es $ Calcula la depreciación anual de un activo que costó $ , con valor de rescate de $ después de 5 años, considerando 15% de inflación anual. Solución Se identifican los datos: C=$ S=$ =C 5 n=5 años i=0.15 Recuerda que el valor de rescate corresponde al último valor en libros, por lo cual se puede utilizar la fórmula para calcularlo; sustituyendo los valores conocidos y simplificando las operaciones: =C(1+i) k R ( 1+ i) k 1 i 315

16 matemáticas financieras = (1+0.15) 5 R (. ) = ( ) R = R( ) Se despeja el valor de R (depreciación anual): R( )= R( )= R = = El activo se deprecia en $ anuales. 3. Cuál es el valor de rescate de una casa que tiene vida útil de 40 años, si su valor inicial fue de $ y la inflación se considera de 4% y su valor en libros a los 15 años fue de $ ? Solución Para determinar el valor de rescate es necesario conocer primero el valor de la depreciación anual, para lo cual se utilizará el valor en libros a los 15 años: C=$ C 15 = $ Vida útil de 40 años i=0.04 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor en libros. Se despeja de ésta el valor de la depreciación anual R: 316

17 unidad 10 =C(1+i) k R (1 + i) k 1 i ( = (1+0.04) 15 R + 0 ) = ( ) R = R( ) R( )= R( )= R = = Una vez que se tiene el valor de la depreciación anual (R= ), se calcula el valor de rescate, sin olvidar que corresponde al último valor en libros (k = n): =C(1+i) k R (1 + i ) k 1 i C 40 = (1+0.04) (. ) C 40 = ( ) C 40 = ( ) C 40 = C 40 = = Ejercicio 2 1. Roberto adquirió una casa que tiene vida útil de 60 años y valor de $ El valor de rescate al término de su vida útil es de $ , con 7% de inflación promedio anual. Cuál es el cargo por depreciación anual? 317

18 matemáticas financieras 2. Cuál es el valor de rescate de una máquina que costó $ y tiene vida útil de 12 años, si el cargo anual por depreciación es de $ y la inflación anual de 13%? 3. Andrea compró una computadora con valor de $16 500; se estima que tendrá vida útil de 6 años, después de los cuales le pagarán $6 200 por ella. Si la inflación promedio anual es de 9% anual, cuál es la depreciación anual? 4. Cuál es el valor de rescate después de 12 años de una máquina cuyo precio inicial es de $ y que se deprecia en $ anuales, considerando 2% de inflación anual? 5. Cuál es el valor en libros de un automóvil después de 8 años, si su costo inicial fue de $ y se espera que tenga vida útil de 19 años, momento en el cual costará $ , si consideras 6% de inflación? 6. Alfonso Patiño compró una máquina con valor inicial de $65 400; se espera que tenga vida útil de 10 años. Si el valor de rescate de dicha máquina al término de su vida útil es de $ y la inflación promedio anual es de 2% anual, cuál es el cargo por depreciación anual? 7. Cuál es el valor de rescate de una lavadora que costó $9 300 y tiene vida útil de 6 años, si el cargo anual por depreciación es de $200 y la inflación de 3% anual? 8. El señor Lugo compró una cámara de video por $15 840; se estima que tendrá vida útil de 9 años, después de los cuales la venderá en $ Cuál es la depreciación anual, si la inflación es de 4% anual? 9. Después de 5 años, cuál es el valor en libros de una sala cuyo precio inicial es de $ y su valor de rescate de $1 500 después de 12 años de vida útil, con inflación promedio de 8% anual? 10. Cuál es el valor en libros de un departamento después de 15 años, si su costo inicial es de $ y se espera que tenga vida útil de 35 años, momento en el cual costará $ , con 10% de inflación anual? Problemas resueltos 1. Cuál es el valor de rescate de que tendrá una recámara que cuesta $ y que se deprecia en $820 anuales durante 10 años? Solución 318

19 unidad 10 Se identifican los datos: C=$ R=$820 n=10 años El valor de rescate corresponde al último valor en libros cuando k es el tiempo de vida útil, por lo cual se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor en libros: C 10 =S Por lo tanto: =C kr S=C 10 = (820) S= S=6 400 El valor de rescate de la recámara después de 10 años es $ Cuál es el valor en libros de un departamento después de 18 años, cuyo costo es de $ y se espera que tenga vida útil de 50 años, momento en el que su valor será nulo? Solución En este problema aparecen dos valores de tiempo, el tiempo de vida útil y el tiempo transcurrido en el valor de libros; debes tener mucho cuidado en no confundirlos, primero utiliza el tiempo de vida útil para calcular la depreciación anual, y posteriormente calcula el valor en libros. Se identifican los datos: C=$ n=50 años 319

20 matemáticas financieras Se calcula el valor de la depreciación anual: R = W n W=C S Debido a que el valor de rescate es nulo, entonces el valor de uso o base de depreciación es igual al costo inicial: R = = Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor en libros, considerando que se busca el valor en el año 18, por lo tanto k=18: =C kr C 18 = (17 900) C 18 = = Significa que el valor en libros del departamento a los 18 años es $ Cuál es el valor en libros de una computadora después de 3 años, si su valor inicial es de $ y se deprecia a razón de $700 anuales? Considera que la inflación promedio ha sido de 9% en los últimos años. Solución Se identifican los datos: C=$ R=$700 k=3 años i=

21 unidad 10 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor en libros considerando la inflación: =C(1+i) k R ( 1+ i ) k 1 i C 3 =16 000(1+0.09) (. ) C 3 =16 000( ) C 3 = (3.2781) C 3 = C 3 = El valor en libros de la computadora a los 3 años es $ Calcula la depreciación anual de un activo que costó $ y después de 8 años tendrá valor de rescate de $25 000, considerando 12% de inflación anual. Solución Se identifican los datos: C=$ S=$25 000=C 8 k=8 años i=0.12 Recuerda que el valor de rescate corresponde al último valor en libros, por lo que podemos utilizar la fórmula para calcularlo: =C(1+i) k R (1 + i ) k 1 i 321

22 matemáticas financieras ( =80 000(1+0.12) 8 R + 0 ) =80 000( ) R = R( ) Se despeja el valor de R (depreciación anual): R( )= R( )= R= = El activo se deprecia en $ anuales. Problemas propuestos 1. Una empresa adquiere una flejadora de $ , con vida útil de 22 años. Si el valor de rescate de dicha máquina al término de su vida útil es de $ , cuál es el cargo por depreciación anual? 2. Cuál es la vida útil de una mesa de trabajo que costó $19 000, si el cargo anual por depreciación es de $956 y el valor de rescate es de $4 660? 3. El señor Gómez adquirió una máquina de envasado de $ ; se estima que tendrá vida útil de 65 años, después de los cuales la venderá en $ Cuál es la depreciación anual? 4. El señor Peña compró una casa con valor de $ ; se estima que tendrá vida útil de 45 años, después de los cuales la venderá en $ Cuál es la depreciación anual, si la inflación es de 8% anual? 5. Cuál es el valor en libros de una recámara después de 8 años, cuyo precio inicial es de $ y su depreciación anual es de $900, con inflación promedio de 7% anual? 322

23 unidad 10 Respuestas a los ejercicios ejercicio 1 1. $ años. 3. $ $ $ $ $ años. 9. $ $ ejercicio 2 1. $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

24 matemáticas financieras Respuestas a los problemas propuestos 1. $ años. 3. $ $ $

25 Matemáticas inancieras Unidad 10. Depreciación por el método de la línea recta Nombre: Grupo: Profesor: Número de cuenta: Campus: Autoevaluación 1. La señora Zúñiga compró un horno para cerámica con valor de $ , con vida útil de 12 años. Si el valor de rescate de dicha máquina al término de su vida útil es de $93 150, cuál es el cargo por depreciación anual? a ) $ b) $ c ) $ d) $ Cuál es la vida útil de una radiograbadora que costó $1 800, si el cargo anual por depreciación es $96 y el valor de rescate es $264? a ) 14 años. b) 15 años. c ) 16 años. d) 17 años. 3. Adriana compró una máquina de escribir de $1 750; se estima que tendrá vida útil de 12 años. Si la depreciación anual es de $65, cuál es su valor de rescate al término de su vida útil? a ) $0 b) $1 400 c ) $970 d) $ El señor Ramírez adquirió una casa de $ ; se estima que tendrá vida útil de 60 años, después de los cuales la venderá en $ Cuál es la depreciación anual, si la inflación es de 9% anual? a ) $ b) $

26 c ) $ d) $ Cuál es el valor en libros después de 10 años de una máquina foliadora cuyo precio inicial fue de $ y su valor de rescate después de 12 años de vida útil es de $ , con inflación promedio de 13% anual? a ) $ b) $ c ) $ d) $