REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

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1 pá- 23-Regresion y Correlacion 2010pJMindice.doc gina 1 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Hernán Doval y Juan Gagliardi En este capítulo nos referiremos a las metodologías para analizar si dos variables cuantitativas están o no relacionadas entre sí. Antes de entrar en este tema conviene analizar el concepto más general de asociación entre variables, dentro del cual la regresión y la correlación constituyen un aspecto particular. ANÁLISIS UNIVARIADO DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CONCEPTO DE ASOCIACIÓN ESTADÍSTICA Repaso del concepto de variable Hemos visto que los datos pueden ser constantes o variables y que esta propiedad es independiente de la naturaleza cuantitativa o cualitativa de los datos. Así, si en un estudio se aplican dos tratamientos antihipertensivos diferentes y se mide el descenso tensional que producen, podemos distinguir dos variables: una variable categórica (el tratamiento, A ó B) y otra cuantitativa (el descenso de la presión arterial). Es importante reconocer al tratamiento como variable: el tratamiento sería constante si se aplicara el mismo tratamiento a todos los pacientes, pero al aplicar el tratamiento A a un grupo de individuos y el B a otro grupo, el tratamiento pasa a ser una variable ( varía entre los sujetos). Otro ejemplo que podemos considerar es el registro de la frecuencia de eventos cardiovasculares en una población urbana y otra rural. En este caso tenemos dos variables categóricas: una es pertenecer a la población rural o urbana y la otra es presentar o no el evento. Concepto de asociación Consideremos las siguientes hipótesis nulas aplicadas a los 2 ejemplos anteriores: Los descensos tensionales producidos por los dos tratamientos son iguales. La frecuencia de eventos cardiovasculares es igual en las poblaciones rural y urbana. Podíamos formular estas hipótesis con otras palabras: Los descensos tensionales son independientes del tratamiento recibido. La frecuencia de eventos es independiente del grupo poblacional. Es decir, que el concepto de hipótesis de independencia que hemos visto para datos cualitativos puede extenderse también a los datos cuantitativos. Si rechazamos la hipótesis de independencia, decimos que ambas variables están asociadas. Es decir, en el primer ejemplo diremos que existe asociación entre la magnitud del descenso tensional y el tratamiento aplicado y, en el segundo caso, que existe asociación entre la frecuencia de eventos y el hábitat rural o urbano.

2 Correlación y Regresión Hoja 2 Variables dependientes e independientes En nuestro primer ejemplo, es claro que el tratamiento determina los descensos tensionales y no al revés (sería absurdo pensar que el descenso tensional determina el tratamiento que recibirá cada paciente). Podemos decir, entonces, que el descenso tensional depende del tratamiento. Por este motivo denominamos variable independiente al tratamiento y variable dependiente al descenso tensional. En el segundo ejemplo, el presentar o no un evento puede depender de estar en un ambiente rural o urbano, pero no es el evento el que determina que el individuo esté en uno u otro hábitat. Por este motivo, el hábitat rural o urbano es la variable independiente y el tener o no un evento es la variable dependiente. Se acostumbra utilizar la letra X para indicar la variable independiente y la letra Y para la variable dependiente. Observemos que en los dos ejemplos que venimos desarrollando ambas variables independientes son categóricas mientras que las dependientes son cuantitativa en el primer ejemplo y cualitativa en el segundo. Más adelante consideraremos otros casos. Análisis uni y multivariado Se denomina análisis univariado al que incluye una sola variable independiente, bivariado al que incluye dos y multivariado si son dos ó más (tabla 1). Esta nomenclatura es la más generalmente utilizada y es la que emplearemos nosotros. En el final del libro nos referiremos a algunos conceptos básicos del análisis multivariado.

3 Correlación y Regresión Hoja 3 Cantidad de variables dependientes Tabla 1. Análisis uni, bi y multivariado. Cantidad de variables indipendientes Análisis 1 1 Univariado 1 2 Bivariado 1 2 Multivariado Pruebas de asociación entre dos variables (una dependiente y otra independiente) Siguiendo el flujograma de la figura 1, vemos que en primer lugar debemos reconocer si la variable independiente (X) es categórica (como en nuestros dos ejemplos) o cuantitativa. Si X es categórica (ejemplo: género), Y puede ser categórica (ejemplo: diabetes sí o no) o cuantitativa (ejemplo: frecuencia cardíaca). En el primer caso debemos analizar los datos aplicando las pruebas vistas en el capítulo de análisis de datos cualitativos y en el segundo, con las pruebas consideradas en el de análisis de datos cuantitativos. Si X es cuantitativa, Y puede ser categórica o cuantitativa y sobre estos casos nos extenderemos más en detalle. Figura 1. Elección de prueba estadística para análisis de asociación entre dos variables. DEPEN: dependiente. INDEP: independiente. CUALI: cualitativos. CUANTI: cuantitativos. Para el análisis de datos cualitativos y cuantitativos ver los capítulos correspondientes. Y = f(x): ambas variables están relacionadas mediante una determinada ecuación matemática.

4 Correlación y Regresión Hoja 4 X cuantitativa e Y categórica Si queremos relacionar la edad con la aparición de eventos cardiovasculares, es obvio que la edad es la variable independiente (X) y la presentación o no de los eventos la variable dependiente (Y). En este caso podemos aplicar dos tácticas: Definir grupos etarios (por ejemplo, < 65 años y 65 años), transformando así la edad (variable cuantitativa) en grupos etarios (variable categórica) y nos guiamos por la parte ya vista del flujograma. Mantener la edad como variable cuantitativa, en cuyo caso nos encontramos con que X es cuantitativa e Y categórica. En este caso (figura 1) efectuamos una abstracción: suponemos que los eventos (Y) son la variable independiente y que la edad (X) es la variable dependiente y aplicamos las pruebas correspondientes al análisis de datos cuantitativos. Es decir, comparamos las edades entre los pacientes que tuvieron y no tuvieron eventos. En el Capítulo 27 veremos que en el análisis multivariado es posible mantener a la edad como variable independiente y los eventos como variable dependiente, pero ello no tiene mucho sentido en el análisis univariado. Ambas variables (X e Y) son cuantitativas Consideraremos dos ejemplos: Existe relación entre edad y colesterolemia? Existe relación entre glucemia y colesterolemia? En el primer caso es claro que la edad es la variable independiente, pues no existen datos que indiquen que la colesterolemia determine la edad cronológica de un individuo. Pero en el segundo caso, cualquiera de las dos variables puede jugar el papel de variable independiente, pues el que la glucemia determine la colesterolemia es tan factible como que la colesterolemia determine la glucemia. Cuando ambas variables son cuantitativas, debemos decidir (figura 1) si nuestra hipótesis nula (H 0 ) es simplemente que X e Y son independientes o la H 0 es que X e Y están relacionadas por una determinada ecuación matemática (lineal, exponencial, hiperbólica, etc.), lo que en la figura 1 se indica como Y = f(x) (ver más adelante). En el primer caso, elegiremos las pruebas de correlación. En el segundo caso elegimos el análisis de regresión, el que incluye correlación. Es decir, podemos efectuar análisis de correlación sin regresión, pero ésta incluye a la primera. A regresión y correlación estará dedicado el resto de este capítulo. CONCEPTO DE FUNCIÓN Se denomina función a una operación matemática que permite transformar la variable independiente en la dependiente. Por ejemplo, si Y = X 2, elevando X al cuadrado obtendremos el valor de Y. Decimos que Y es función de X y lo expresamos como: Y = f(x)

5 Correlación y Regresión Hoja 5 En esta clase solamente nos referiremos a funciones lineales (líneas rectas), pero en biología se aplican muchos otros tipos de funciones como las exponenciales (eliminación de fármacos), hiperbólicas (relación dosisrespuesta), trigonométricas (ritmos circadianos), etc. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN CONCEPTO DE CUADRADOS MÍNIMOS En los cálculos de regresión y correlación se aplica un método denominado de los cuadrados mínimos cuyo significado explicaremos mediante la figura 2. Figura 2. Concepto de cuadrados mínimos. a,..., j: diferencia entre los valores de Y de los respectivos puntos y los de la línea recta. La figura nos muestra una serie de puntos indicados con +. A cada punto corresponde un valor de X y un valor de Y. Vemos que hay una tendencia a que a medida que aumenta X aumente Y, y a esa tendencia la representamos con una línea recta (punteada en la figura) denominada línea de mejor ajuste. Las diferencias entre los valores de Y de cada punto y los de la recta las hemos indicado con letras (a,..., j). Al efectuar la resta: Diferencia = Y PUNTO Y RECTA algunos valores (a, c, e, g, i, j) serán negativos mientras que los otros serán positivos.

6 Correlación y Regresión Hoja 6 La línea de mejor ajuste se traza de manera tal que la suma algebraica de las diferencias sean cero (figura 2). Por este motivo esta suma algebraica no resulta apropiada para calcular la línea de mejor ajuste. En cambio, se la calcula a partir de que la suma de los cuadrados de las diferencias sea un mínimo, de ahí el nombre de método de los cuadrados mínimos. Recordar que al elevar las diferencias al cuadrado, todos los números serán positivos y, por lo tanto, su suma será un número mayor que cero. REGRESIÓN LINEAL La regresión lineal es la que se utiliza para probar la hipótesis de que la relación entre las dos variables es una recta. Por este motivo consideraremos en primer lugar las características de la función lineal y luego cómo probamos la hipótesis de regresión lineal. Función lineal La figura 3 nos muestra un par de coordenadas que se cortan en el punto (0,0), es decir, cuando tanto X como Y valen 0. A este punto de lo denomina origen. El gráfico nos muestra un línea recta (trazo lleno) y, como referencia, un línea horizontal (punteada) que nos permite apreciar la inclinación (pendiente) de la recta. El punto en que la recta corta al eje de las Y se denomina ordenada al origen y es el valor de la función cuando X = 0. La ecuación de la recta es: Y = Y 0 + b X ó Y = a + b X Y 0 es la ordenada al origen y en estadística muchas veces se la representa con la letra a ; nosotros utilizaremos indistintamente ambas nomenclaturas. b se denomina coeficiente de regresión lineal y corresponde a la pendiente. Figura 3. Función lineal.

7 Correlación y Regresión Hoja 7 b es el coeficiente (pendiente) calculado para la muestra y es nuestra estimación de β, el coeficiente de regresión en la población. Como con todos los estadísticos, puede calcularse el intervalo de confianza tanto de la ordenada al origen como del coeficiente de regresión, y su interpretación es similar. Se analiza con más detalle en el ejercicio adjunto. Hipótesis de regresión lineal Explicaremos esta hipótesis con ayuda de la figura 4. Figura 4. Hipótesis de regresión lineal. La figura nos muestra un par de coordenadas con 8 valores en el eje de las X. Para cada valor de X hay varios datos representados en la figura mediante una curva de Gauss. También está trazada la línea de mejor ajuste (punteada). Para poder aceptar la hipótesis de regresión lineal: H 0 : Y = a + b X debemos descomponerla en dos hipótesis. En primer lugar la hipótesis de regresión nula (H 0 : β = 0). Si aceptamos β = 0 no hay regresión lineal ni de otro tipo, pues β = 0 implica que Y es constante para cualquier valor de X (la recta es horizontal, paralela al eje de las X). Si rechazamos β = 0, entonces todavía debemos aceptar que la función es una recta (hipótesis de linealidad): en la población las medias correspondientes a cada X están sobre una línea recta (en el ejemplo de la figura, H 0 : µ 1, µ 2,..., µ 8 se encuentran sobre la recta). En resumen: Para aceptar la hipótesis de regresión lineal debemos rechazar β = 0 y aceptar la hipótesis de linealidad.

8 Correlación y Regresión Hoja 8 PRUEBAS de las hipótesis La gran mayoría de los software de estadística prueban la hipótesis de regresión nula, ya sea mediante una prueba de t o mediante análisis de la variancia (ANOVA). En cambio, es mucho menos frecuente que prueben la hipótesis de linealidad. Existen diversas métodos para evaluarla, los que no discutiremos en este capítulo. Conceptos Básicos CORRELACIÓN Como ya vimos el análisis de correlación se utiliza cuando sólo nos interesa saber si dos variables están asociadas (es decir, no son independientes) sin importarnos el tipo de función matemática que relaciona ambas variables. Coeficientes de correlación Para los estudios de correlación calculamos un estadístico denominado coeficiente de correlación, del cual consideraremos 2 tipos: Coeficiente de correlación de Pearson (también denominado de correlación lineal ), aplicable a datos gaussianos y al que representaremos con la letra r. Coeficiente de correlación de Spearman, no paramétrico, por lo que no supone distribución gaussiana y al que representaremos como R S. Existen varios coeficientes no paramétricos. Solamente nos referiremos al de Spearman, por ser el más común. Ambos coeficientes son calculados en base a los datos de la muestra, sus valores varían entre 1 y 1 y son los estimadores de ρ, el coeficiente de correlación en la población. En la figura 5 vemos que: Figura 5. Significado del signo de r (r < 0 indica número negativo) Un coeficiente igual a 0 indica que Y es constante para cualquier valor de X (línea horizontal).

9 Correlación y Regresión Hoja 9 Un coeficiente menor de 0 (negativo) indica que a medida que aumenta X, disminuye Y. Un coeficiente mayor de 0 (positivo) indica que a medida que aumenta X, aumenta Y. En la figura 6 vemos que un coeficiente igual a 1 implica que todos los puntos se encuentran sobre la línea recta (lo mismo a aplica a r = -1). Figura 6. Coeficiente de correlación igual a 1. Prueba de la hipótesis nula En los estudios de correlación, cualquiera sea el coeficiente que se aplique, la hipótesis nula es: H 0 : ρ = 0 es decir, en la población la correlación es nula. Tal como vimos en inferencia estadística (módulo 5) un coeficiente de correlación estadísticamente significativo implica que se ha rechazado H 0. En la figura 7 vemos que en el gráfico de la izquierda el coeficiente de correlación es 0,7635 y en el de la derecha de solamente 0,2965. Sin embargo, en el primer caso aceptamos H 0 mientras que en el gráfico de la derecha encontramos correlación estadísticamente significativa. Ello se explica por la diferencia en el número de puntos sobre el que se calculó el coeficiente. Este ejemplo nos muestra que: Una correlación estadísticamente más significativa NO indica que haya mayor correlación.

10 Correlación y Regresión Hoja 10 Figura 7. Una correlación estadísticamente más significativa no implica mayor correlación. N: número de puntos. NS: no significativo. Coeficiente de determinación Cómo podemos, entonces, estimar cuanta correlación hay entre 2 variables? Mediante el coeficiente de determinación (r 2 o R 2 ). Como su representación simbólica lo indica, es el cuadrado del coeficiente de correlación. Como éste varía entre 1 y 1, r 2 varía entre 0 y 1 (pues al elevar al cuadrado los números negativos se convierten en positivos). Significado del coeficiente de determinación Este coeficiente indica cuánto de la variancia de Y está determinada por la variancia de X (figura 8). De manera menos estricta, pero más fácil de comprender, podemos decir que indica cuanto de Y puede explicarse por los valores de X. Retomando el ejemplo de la glucemia (G) y la colesterolemia (C) y suponiendo que obtuvimos r = 0,7, r 2 será igual a 0,49 lo que nos indica que C puede explicar el 49 % del valor de G, o viceversa. Si r = 0,3 (r 2 = 0,09) solamente el 9 % de G puede explicarse por los valores de C. DISTRIBUCIÓN DE r La figura 9 nos muestra a partir de qué número de individuos es estadísticamente significativo un valor de r. Así, por ejemplo, si r = 0,15 (r 2 = 0,0225) con 172 individuos rechazamos la hipótesis nula a pesar de que los valores de X apenas explican el 2,25 % del valor de Y. Con r = 0,3 (r 2 = 0,09) bastan 44 individuos para que sea estadísticamente significativo a pesar de no poder explicar con los valores de X más del 9 % de los valores de Y. Con r = 0,4 (r 2 = 0,16) solamente se necesitan 25 individuos para que sea significativo. Obviamente, a medida que aumenta el valor de r, será significativo con menor número de individuos.

11 Correlación y Regresión Hoja 11 Figura 8. Significado del coeficiente de determinación. La parte sombreada de cada barra indica cuanto de la varianciade Y está determinada por la variancia de X (ver texto). Figura 9. Distribución de r. Los números sobre las barras indican el número de puntos a partir del cual se rechaza H 0 : ρ = 0. La figura 9 también puede funcionar como tabla. Obtenido un valor de r, es posible verificar si es o no estadísticamente significativo (error α = 0,05). Por ejemplo, si obtuvimos con 20 individuos r = 0,4 buscamos en la figura 9 y comprobamos que no es estadísticamente significativo. También puede calcularse el intervalo de confianza del coeficiente de correlación r. Hemos comentado que la correlación puede ser positiva o

12 Correlación y Regresión Hoja 12 negativa, y siempre se enuncia en valores de 1 a +1. Un valor negativo de r indica que Y disminuye al aumentar X, y un valor positivo que Y aumenta al incrementarse X. Tomemos dos ejemplos. Un valor de r de 0,4 (IC 95% 0,3 a 0,5) indica que la correlación es estadísticamente significativa. Por contrario, por ejemplo, un coeficiente r de 0,4 (IC 0,8 a + 0,9) indica que no es estadísticamente significativo, dado que no podemos establecer en forma confiable si el valor de X se eleva o disminuye al incrementar Y. Consultando la tabla observamos que para 25 pacientes un coeficiente r de 0,4 es ya significativo, de tal manera que podemos estimar que en el primer ejemplo se han incorporado más de 25 determinaciones o pacientes, y en el segundo caso sin duda menos que esa cantidad. CONCEPTOS ADICIONALES Correlación lineal estadísticamente significativa vs. linealidad La correlación de Pearson se denomina también correlación lineal pues fue desarrollada para funciones lineales. Está muy difundido el concepto de que si esta correlación es estadísticamente significativa, la función es lineal. Lo analizaremos con 3 ejemplos: En la figura 10 observamos que los puntos forman una línea recta, siendo r > 0,9 y p < 0,0001. Al efectuar la prueba de linealidad mediante ANOVA, ésta es aceptada. Figura 10. Función lineal, correlación lineal significativa y linealidad aceptada por ANOVA. En la figura 11 observamos que los puntos forman una sigmoidea, a pesar de lo cual sigue siendo r > 0,9 y p < 0,0001. Al efectuar la prueba de linealidad mediante ANOVA, ésta es rechazada.

13 Correlación y Regresión Hoja 13 FIGURA 11. Función sigmoidea, correlación lineal significativa y linealidad rechazada por ANOVA. En la figura 12 observamos que los puntos forman una hipérbola, a pesar de lo cual sigue siendo r > 0,9 y p < 0,0001. Al efectuar la prueba de linealidad mediante ANOVA, ésta es nuevamente rechazada. Figura 12. Función hiperbólica, correlación lineal significativa y linealidad rechazada por ANOVA.

14 Correlación y Regresión Hoja 14 En resumen: Una correlación lineal significativa NO implica que la función sea una línea recta. Falsas correlaciones En la figura 13 observamos una nube de puntos cerca del origen y un punto aislado en el ángulo superior derecho. En este caso puede obtenerse un coeficiente de correlación estadísticamente significativo, pero determinado por un solo punto. A veces en la literatura aparecen publicadas correlaciones como las de esta figura por lo que necesario estar atento y no darles valor alguno. Por este motivo, no debe tomarse en cuenta ninguna correlación si no está acompañada de un gráfico (llamado gráficos de dispersión o scatter plot) mostrando cómo se distribuyen los puntos. Figura 13. Ejemplo de falsa correlación. El índice de masa corporal (BMI) se calcula como: BMI (kg / m 2 ) = Peso (kg) / [Talla (m)] 2 Si efectuamos un estudio de correlación entre BMI y peso o entre BMI y talla, obviamente se obtendrá una correlación estadísticamente significativa, pero no es válida pues el BMI se calculó a partir de las otras dos variables.

15 Correlación y Regresión Hoja 15 Si existiera un resistenciómetro para medir resistencia vascular periférica (RVP), sería válido correlacionarla con el volumen minuto cardíaco (VMC). Pero como RVP se calcula a partir de VMC y presión arterial media, una correlación entre RVP y VMC será estadísticamente significativa, pero carente de validez. Correlación y regresión en datos no paramétricos o puntajes Hemos comentado que existen varios métodos para calcularlo pero el más utilizado es el Coeficiente de Correlación de Spearman. Como todos los métodos no paramétricos, no supone distribución gaussiana. Conceptualmente, el cálculo se efectúa en dos pasos: Reemplazo de cada valor por su ordinal Cálculo del coeficiente de correlación y recta de regresión con la misma metodología descrita anteriormente. La mayoría de los paquetes estadísticos efectúan el cálculo del coeficiente de Spearman pero en su ausencia, puede calcularse modificando los datos en forma manual y aplicando luego el método habitual. En el ejercicio práctico del ejemplo de la relación entre la longitud de las uñas y la glucemia, al reemplazarse el valor fuera de escala por su ordinal la correlación positiva aparente desaparece. Cuando existen datos extremos, muy distantes a la media poblacional, para el cálculo de correlación y regresión (llamados en regresión outliers y leverage) puede efectuarse un ejercicio excluyéndolos para el cálculo, o alternativamente efectuar un cálculo no paramétrico como hemos comentado. Un ejercicio de correlación y regresión Utilizaremos la base de datos de un relevamiento efectuado en la Ciudad de Mendoza, en Argentina, con adolescentes de 12 a 14 años, que ya comentamos en el capítulo de análisis comparativo de datos cuantitativos. Este estudio se desarrolló con el objetivo de conocer la relación entre parámetros demográficos y los niveles de presión arterial. Analizaremos si existe relación entre la tensión sistólica (TAS1) y el peso corporal. Las dos variables serán consideradas como gaussianas a los fines del ejemplo. Primera pregunta: Existe correlación entre la presión sistólica y el peso corporal en adolescentes? Siempre es conveniente efectuar un gráfico de dispersión, en el EPI2000 denominado scatter, para observar la nube de puntos entre las dos variables, y que grafica también una recta de regresión. En la figura queda clara la tendencia de que con el aumento de peso se incrementa la presión arterial.

16 Correlación y Regresión Hoja 16 Calculamos utilizando el programa EPI2000 Correlation coefficient: r = 0.49 r^2= % confidence limits: 0.44 < R < 0.54 Source df Sum of Squares Mean Square F-statistic Regression Residuals Total B Coefficients B 95% confidence Partial Variable Mean coefficient Lower Upper Std Error F-test PESO Y-Intercept Analizaremos en detalle estos resultados. Coeficiente de correlación: r = 0.49 (IC 95% 0.44 < R < 0.54) p <0,001 r^2= 0.24 El coeficiente de correlación es 0,49, y su intervalo de confianza no abarca el 0, lo que nos indica que existe una relación estadísticamente significativa entre el peso y la presión sistólica en adolescentes. El cálculo del coeficiente de determinación, r cuadrado, aquí equivalente a 0,24, indica en forma simplificada que conociendo el valor del peso podemos explicar el 24% de la variación del valor de la presión sistólica. De tal manera obtenemos una inferencia de que ambos están correlacionados, pero que no todo el valor de la presión puede pronosticarse conociendo sólo el peso, lo que además lógico desde el punto de vista clínico. Regresión:

17 Correlación y Regresión Hoja 17 Una de las mayores ambiciones al correlacionar parámetros cuantitativos es determinar la curva de regresión que permita sobre la base de un parámetro estimar el valor del otro. Recordamos que la ecuación lineal de la recta enuncia que: Y = a + b * X En este caso pretendemos determinar el valor de la presión sistólica que será la Y en base a los valores de peso, que será la X. El programa nos da los datos: B Coefficients B 95% confidence Partial Variable Mean coefficient Lower Upper Std Error F-test PESO Y-Intercept El denominado Y intercept es el valor de a para la fórmula nos indica el valor de presión sistólica si el peso fuera 0 es en este caso de 82,32. El coeficiente b es 0,5222 y corresponde a la b de la fórmula. De tal manera la ecuación queda configurada de la siguiente manera: Tensión sistólica = a + b * Peso = 82,3 mmhg + 0,52 mmhg/kg. * Peso(kg.) En forma simplificada, la presión sistólica aumenta 0,5 mmhg por cada kg de aumento del peso corporal, es decir que por cada 10 kg de diferencia en el peso esperamos 5mmHg de aumento de la presión arterial. De esta forma para un grupo de adolescentes que pesaran 40 kilogramos podemos estimar que cabe esperar que la presión sistólica promedio fuera de: TAS = 82,3 + 0,522 * 40 = 82,3 + 20,8 = 103,1 mmhg Hemos comentado anteriormente que el coeficiente de determinación de la correlación entre la tensión sistólica y el peso no es muy elevado, de tal manera que cabe un grado de dispersión o intervalo de confianza para la estimación. En la misma tabla se informan los valores de los límites inferiores y superiores del intervalo de confianza del coeficiente B, sobre la base de ellos podríamos estimar para el mismo adolescente el intervalo de confianza de la presión sistólica esperada. B 95% confidence Partial Variable Mean coefficient Lower Upper Std Error F- test PESO Y-Intercept Con estos valores podríamos calcular entonces: Valor menor esperado: Tensión sistólica = 82,3 + 0,465 * 40 = 100,9

18 Correlación y Regresión Hoja 18 Valor mayor esperado: Tensión sistólica = 82,3 + 0,579 * 40 = 105,5 Es decir que dado un grupo de adolescentes de 40 kilogramos de peso esperamos que la presión sistólica oscile entre 100,9 y 105 mmhg con una probabilidad del 95%, con un valor promedio esperado de 103 mmhg. Nótese que el valor menor y mayor del coeficiente B surgen del cálculo habitual de estadística: valor promedio ± 1,96 errores estándar: coeficiente b ± 1,96 * error estándar = 0, ± 1,96 * 0,02911 Comentarios finales Los métodos de correlación y regresión son de uso frecuente en estudios fisiopatológicos y en modelos epidemiológicos. Dado que no analizan eventos clínicos, no son requeridos habitualmente para los conceptos de medicina basada en evidencias, pero aportan racionalidad a lo que veremos con detalle en las metodologías multivariadas, comenzando por la más sencilla: la regresión múltiple. Se debe tener en cuenta que habitualmente puede ser correcto predecir el valor de Y dentro del rango observado de X, procedimiento llamado interpolación, sin embargo es incorrecto extrapolar, es decir predecir el valor de Y fuera del rango observado de X aplicando la ecuación de regresión, dado que fuera de los valores observados la función puede cambiar.