Representación de la información

Transcripción

1 Prof. Rodrigo Araya E. Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática Valparaíso, 1 er Semestre 2006

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3 Contenido En el mundo que vivimos estamos rodeados de información, se dice la llamada Sociedad de la información. Pero, Que es la información?

4 Definición de Información Datos: Representación simbólica de un atributo o característica. Un dato por si solo no dice nada. Información: Conjunto de datos procesados que nos permiten realizar operaciones o tomar decisiones.

5 Información Contenido Existen distintos espacios en los cuales se puede representar la información. Espacio mental. Espacio del lenguaje. Espacio tipográfico. Espacio del Computador.

6 Información Analógica e Información Digital Comúnmente la información es procesada de 2 maneras: analógica y digitalmente. Cual es la diferencia entre información digital e información analógica? La representación de la información está dada por señales. por lo que existen señales analógicas y señales digitales.

7 Información Analógica e Información Digital Una señal se puede considerar como una función en el tiempo g(t). Una función g(t) continua en el tiempo se dice que es una señal analógica. Por su parte, una señal digital es una función discreta (niveles).

8 Señal Analógica

9 Señal Digital Contenido

10 Información Analógica e Información Digital Señales Analógicas: Audio. Instrumentos con agujas. Señales Digitales: TTL. instrumentos con indicadores numéricos.

11 Información Analógica e Información Digital En la naturaleza todo es analógico, ya que físicamente todo es continuo. los computadores realizan sus operaciones sobre información digital. Es posible convertir la información analógica en información digital y vice versa (ADC y DAC).

12 Información Analógica e Información Digital Es mejor la información digital? Se evitan errores debidos a cambios físicos, como la temperatura, humedad, etc. Se evitan los errores acumulativos.

13 Existen diversas representaciones numéricas. Sin duda, las más fáciles y cómodas de utilizar para fines matemáticos, son las que se representan mediante bases numéricas. Las representaciones numéricas que utilizan bases, son posicionales. Es posible representar una misma cantidad numérica, en diferentes bases.

14 Bases Numéricas Forma general de expresar un número en función de su base k 1 k 2 k 3... k m = k 1 B m 1 + k 2 B m k m 1 B 1 + k m B 0 donde B =base y k i =la cifra i. Las cifras k i pueden ser dígitos entre 0 y B 1.

15 Números Decimales La base más común y natural de utilizar es la base 10, la que corresponde a los números decimales. En esta base estamos acostumbrados a realizar todas nuestras operaciones de cálculo. Por ejemplo... El número puede ser representado de la forma general, de la siguiente forma:

16 Números binarios En el mundo digital, se utilizan generalmente representaciones que tienen solo 2 estados discretos (0 o 1, on u off, etc...). Para ello se utilizan los números binarios {0,1} cuya base es 2. Por ejemplo... Si se tiene corresponde a: = 78 10

17 Bases Numéricas En la computación son muy útiles además las bases octal(8) y hexadecimal(16). La utilidad de estas bases, se debe a que pueden representar información binaria de manera compacta (8 y 16 bits).

18 Sistemas Octal y Hexadecimal Sistema Octal Dígitos: 0,1,2,...,6,7 Ej: = = Base Hexadecimal Dígitos: 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F Ej: 2A5D 16 = =

19 Bases Numéricas Las bases numéricas también se pueden extender para representar números decimales. De forma general: k 1 k 2 k 3... k m, k j = k 1 B m 1 +k 2 B m 2 + +k m B 0 +k j B 1 Por ejemplo , = , = = 11, , 43 8 = = 250,

20 Conversión de Bases Numéricas Para la conversión desde la base decimal, a otra base, se realizan divisiones sucesivas de los cocientes, por la base a la cual se transformará. Rescatando en cada paso los restos de las divisiones. Por ejemplo... Convertir a la base octal =

21 Conversión desde la base Decimal Ejemplo 2 Convertir a la base binaria =

22 Conversión desde la base Decimal Ejemplo 3 Convertir a la base hexadecimal =

23 Conversión desde la base Decimal Esta idea se puede extender además para números fraccionarios. En este caso es necesario tratar la parte entera y la parte decimal, por separado. Por ejemplo... Convertir 23, a la base binaria , , , , = 10111, , ,

24 Conversión hacia la base Decimal Para realizar una conversión desde cualquier base a la base decimal, es necesario aplicar la fórmula general propuesta anteriormente: k 1 k 2 k 3... k m = k 1 B m 1 +k 2 B m 2 + +k m 1 B 1 +k m B 0 Por ejemplo... Convertir 724, 34 8 a la base decimal = 468,4375

25 Conversión entre las bases de potencia de 2 De manera muy particular, entre las bases que son potencias de 2, existe una propiedad que hace muy rápida la conversión. Las más conocidas son Binario, Octal y Hexadecimal. El procedimiento de esta conversión se basa en utilizar la conversión a binario como conversión intermedia. Es decir, por ejemplo para convertir un número en base octal a base hexadecimal, se convierte primero a binario y luego a hexadecimal.

26 Conversión de una base potencia de 2 a Binario Para realizar la conversión, se considera B = 2 n, por lo que cada dígito del número en base B corresponden a n dígitos de base binaria. Por Ejemplo... Para convertir a binario, se tiene que B = 8 = 2 3, por lo que n = 3. Luego cada dígito del número a convertir se traduce en 3 dígitos binarios =

27 Conversión de una base potencia de 2 a Binario Ejemplo 2 Para convertir 3E7 16 a binario, se tiene que B = 16 = 2 4, por lo que n = 4. Luego cada dígito del número a convertir se traduce en 4 dígitos binarios. 3 E 7 3E =

28 Conversión de Binario a una base potencia de 2 Para este procedimiento se considera de igual manera, B = 2 n, por lo que se deben hacer grupos de n dígitos (de derecha a izquierda). Por Ejemplo... Para convertir a Octal, se tiene que B = 8 = 2 3, por lo que n = 3. Luego se agrupa de la siguiente forma: = 232 8

29 Conversión de Binario a una base potencia de 2 Ejemplo 2 Para convertir a hexadecimal, se tiene que B = 16 = 2 4, por lo que n = B 8 A 2 = 1B8A 16

30 Aritmética de los Computadores Como se explicó anteriormente, los computadores tienen como unidad de almacenamiento, sólo la capacidad de distinguir entre 2 estados (on u off, 0 o 1, etc..). Los computadores pueden realizar operaciones aritméticas, por lo que requieren de algún dispositivo de HW para almacenar los números que se estén operando. Estos dispositivos se denominan registros. los registros tienen un ancho en bits, definido por la arquitectura. Actualmente los procesadores utilizan registros de 32 o 64 bits.

31 El Registro Contenido Un registro se representa por un conjunto de bits (generalmente 8, 16, 32 o 64). un ejemplo de un registro de 16 bits esta dado por: Por convención, los grupos de 8 bits(b) se denominan bytes(b).

32 El Registro Contenido Podemos darnos cuenta, que si un número debe ser almacenado en un registro, entonces el tamaño máximo de este número está limitado por el ancho del registro. Con sólo 16 bits el número más grande representable por un registro es = Sin embargo, Cuando hemos utilizado nuestros computadores normales (de 32 bits), hemos podido trabajar con números mayores a ?

33 Aritmética de los Computadores Sin duda, al hablar de operaciones aritméticas se requiere además que el computador sea capaz de trabajar con números negativos y con números decimales. Como se representa un número negativo en un registro? Existen diferentes formas de representar un número negativo, pero por convención el bit más significativo del registro representa el signo. Número positivo Número negativo

34 Números negativos Hay 3 formas de representar números negativos Signo y Magnitud (S-M). Complemento 1 (C-1). Complemento 2 (C-2). En estas 3 representaciones, los números positivos quedan de la misma forma.

35 Signo y Magnitud Ejemplo La idea de esta representación, es reservar el bit más significativo del registro, para el signo y en el resto de los bits se almacena la magnitud. En un registro de 16 bits, sólo se utilizan 15 bits para la magnitud, es decir, el rango representable en 16 bits es: a para representar el número en un registro de 6 bits

36 Signo y Magnitud Según el ancho n de un registro, el rango de números representables está dado por: (2 n 1 1) N +(2 n 1 1) El problema que surge de esta representación es el que existen dos ceros (+0 y 0).

37 Complemento 1 Ejemplo La idea de esta representación es básicamente tomar un número positivo y luego complementar cada bit del registro para transformarlo en negativo. este mecanismo es bastante sencillo y rápido de realizar. para representar el número en un registro de 6 bits. Primero se considera Luego se complementa cada bit

38 Complemento 1 Según el ancho n de un registro, el rango de números representables está dado por: (2 n 1 1) N +(2 n 1 1) Al igual que en S-M, existen dos ceros (+0 y 0).

39 Complemento 2 Ejemplo En esta representación, el Complemento 2 de N en un registro de m bits se obtiene calculando 2 m N. para representar el número en un registro de 6 bits = en C

40 Complemento 2 Ejemplo La otra forma de calcular el Complemento 2, es calcular primero el C-1 y luego sumar 1. De esta forma, su cálculo es bastante rápido y sencillo, por lo que es muy fácil de implementar por HW. para representar el número en un registro de 6 bits en C Se suma en C-2.

41 Complemento 2 Según el ancho n de un registro, el rango de números representables está dado por: (2 n 1 ) N +(2 n 1 1) Con el C-2 se soluciona el problema de los dos ceros, existiendo un único cero, por lo que el rango de números representables es asimétrico.

42 Suma de Registros Para realizar sumas de registros, debemos sumar números binarios. La idea de esto es aprender como la máquina realiza las operaciones aritméticas internamente. Analizaremos los formatos C-1 y C-2 de representación, ya que se pueden implementar por HW.

43 Suma de Registros Al realizar una suma, es posible tener un carry de salida y/o un carry de entrada. Suma con carry de salida y sin carry de entrada: Suma con carry de salida y carry de entrada:

44 Suma de Registros Al sumar registros debemos tener en cuenta que es posible causar un overflow. Recordemos que en n bits solo es posible representar números entre: (2 n 1 1) y (2 n 1 1) para C-1 y (2 n 1 ) y (2 n 1 1) para C-2.

45 Suma de Registros en C-2 Algunos ejemplos... Si queremos calcular (7 4) utilizando registros de 5 bits.: Luego, en C en C en C en C-2.

46 Suma de Registros en C-2 Algunos ejemplos... Calcular (5 8) utilizando registros de 5 bits.: en C en C-2. Calcular (7 7) utilizando registros de 5 bits.: en C en C-2.

47 Suma de Registros en C-2 Utilizando registros de 5 bits en C-2, el número mínimo representable es -16 y el máximo representable es +15. Si no cumplimos con esto, se produce un overflow. Ejemplos de overflow Si intentamos calcular ( 10 8) utilizando registros de 5 bits.: en C en C ???.

48 Overflow Contenido Ejemplos de overflow Si intentamos calcular (9 + 7) utilizando registros de 5 bits.: ???.

49 Overflow Contenido Como es posible detectar un overflow? Para detectar un overflow es necesario analizar el carry de salida y el de entrada, al bit del signo (el bit más significativo). Si ambos carry (entrada y salida) son iguales, NO hay overflow. En caso contrario (si los carry son distintos), existe overflow.

50 Suma de Registros en C-1 También se puede operar aritméticamente con registros en C-1. Algunos ejemplos Si calculamos (7 4) utilizando registros de 5 bits.: en C en C Si hay carry de salida, Se suma en C-1.

51 Suma de Registros en C-1 Algunos ejemplos Si calculamos (5 8) utilizando registros de 5 bits.: en C en C-1. Si calculamos (7 7) utilizando registros de 5 bits.: en C en C-1.

52 Aritmética de Punto Flotante A Comienzos de 1980 con la ayuda de varios científicos, entre ellos W. Kahn, se desarrollo un estándar para el sistema de Punto Flotante, que adopto la IEEE (IEEE 754). Con la introducción de este Sistema de Punto Flotante se resolvieron las limitaciones que tiene el Sistema de Punto Fijo. El estándar cumple con 3 requisitos: 1 La representación del Punto Flotante debe ser consistente en todas las máquinas que lo adopten. 2 La aritmética de redondeo debe ser correcta. 3 El tratamiento de casos especiales debe ser consistente (Ej: división por cero, etc...).

53 Aritmética de Punto Flotante La notación de Punto Flotante se asemeja a la notación científica o exponencial en la que representamos a los números. La idea principal de esta notación, es facilitar la comparación entre los números y su ordenamiento.

54 Aritmética de Punto Flotante Representación del estándar IEEE754 Solo nos preocuparemos de la representación de precisión simple (32 bits). 1 bit 8 bits 23 bits S E M S: Signo (0=positivo y 1=negativo) E: Exponente sesgado. M: Mantisa (magnitud del número normalizado).

55 Aritmética de Punto Flotante El exponente sesgado corresponde a: e + (B n 1 1) Donde e es el exponente real y n el número de bits para representar el exponente (en precisión simple son 8 bits). La normalización de un número se refiere a dejarlo de la forma: + 1.b 1b 2 b 3... b 23 x2 + e En los 23 bits de la mantisa, se almacenan los bits desde el b 1 al b 23 sin considerar el 1 que esta a la izquierda de la coma, llamado bit oculto (hidden bit).

56 Aritmética de Punto Flotante El rango de números representables está dado por: 1,2x10 38 a3,4x Se debe tener en cuenta que existe un cierto grado de precisión, que está dado por ɛ (épsilon). Este número ɛ es la diferencia entre 1 y el número próximo más grande. Luego, ɛ está dado por: 2 n donde n es el número de bits que tiene la mantisa. Por ejemplo para la precisión simple, se tiene que ɛ = 2 23 = 0, Qué precisión ɛ se logra con una mantisa de 3 bits?

57 Aritmética de Punto Flotante Como sumar o restar en Punto Flotante? Para sumar o restar, es necesario realizar los siguientes pasos: 1) Se debe desplazar la mantisa del número que tenga menor exponente, hasta igualar al exponente del otro número. En este paso es posible perder bastantes dígitos del número. 2) Sumar las mantisas (en caso de ser una resta, es necesario utilizar el complemento 2). 3) Finalmente si es necesario, se debe volver a normalizar.

58 Aritmética de Punto Flotante Un ejemplo de suma Si queremos sumar los números 1,101x2 2 y 0,1x2 +3 1) 1,101x2 2 = 0, x2 +3 2) Se suma: 0, , , ) El resultado es 0, x2 +3 y finalmente se normaliza, quedando 1, x2 +2 Es importante verificar que no se produzcan overflow.

59 Contenido Por código se entiende una relación capaz de llevar un conjunto de símbolos de un espacio (dominio), a otro espacio diferente (codominio).

60 Código BCD Contenido Por ejemplo para representar el número se puede convertir a binario, resultando = Esta conversión resulta un poco larga, si pensamos que se debe realizar por cada número que queremos representar. Además, se debe tener conocimiento completo del número, para poder realizar la conversión.

61 Código BCD Contenido El código BCD establece una relación que permite convertir rápida y fácilmente los números decimales en binarios. Tabla de conversión BCD Decimal BCD Decimal BCD

62 Código BCD Contenido Ejemplo de conversión a BCD Convertir a un número en BCD: =

63 Código BCD Contenido El código Gray tiene propiedades muy particulares, por o que es altamente utilizado. Esta definido de la siguiente forma: El código Gray de 1 bit, esta dado por {0, 1}. El código se puede construir para k + 1 bits, dado el código de k bits. Para ello se hace una lista con el código Gray conocido y se le anteponen 0 s. Luego se sigue la lista con el código en orden inverso, y antepuesto por 1 s.

64 Código Gray Contenido Construcción del Código Gray

65 Código Gray Contenido Ejemplo de un código Gray de 3 bits i G(i) G(i) La función inversa G(i) 1 = j se define si G(j) =

66 Contenido Existen otros código, como por ejemplo el EBCDIC. Por ejemplo el código ASCII (American Standard Code of Information).

67 Fin... Contenido