1.- Test de hipótesis de normalidad. 2.- Test de hipótesis para una proporción 6-1

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1 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Estadística º Curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte ---o0o--- Tests hipótesis con una y dos muestras Bioestadística - Facultad Medicina Universidad Granada (España) Tests con una muestra - TESTS DE HIPÓTESIS CON UNA MUESTRA.- Test hipótesis normalidad.- Test hipótesis para una proporción 6-

2 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con una muestra - 3 TEST DE HIPÓTESIS DE NORMALIDAD DE D AGOSTINO La Normalidad en v.a. continuas es asumida en muchas técnicas estadísticas hay que comprobarla! H : x Normal vs. H : x Normal (test colas) 0 Ejemplo: Un aparato automático medida realiza 0 terminaciones la concentración l hierro en plasma un adulto spués una prueba resistencia física, obteniendo los valores,6 ;,4 ;,7 ; 3, ; 3,4 ; 3,5 ; 3, ; 3,6 ; 3,4 ; 3,5 Pue consirarse que los datos provienen una distribución Normal? Si x, x,..., x n es una muestra aleatoria (ornada menor a mayor) una v.a. x, comparar con una D α la Tabla 4 la cantidad: D ( n + )( Σx ) Σixi = i n n Σxi n i ( Σx ) Tests con una muestra - 4 TEST DE HIPÓTESIS DE NORMALIDAD DE D AGOSTINO Cálculos previos Ornación menor a mayor la muestra l ejemplo anterior y cálculos previos al test D Agostino. Observación nº i Valor x i Σ x i = = 3.5 Σ x i = (.4) + (.6) (3.6) = Σ ix i = = 84. Estadístico contraste D = Hacer los cálculos intermedios con 5 cimales. El término []=.645 es el numerador la varianza. =

3 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con una muestra - 5 TEST DE HIPÓTESIS DE NORMALIDAD DE D AGOSTINO D DI ó D DS H Nota pie página Tabla 4: DI < D < DS H 0 Aquí n=0, α=5% D I =0,53 y D S =0,849 H 0 (D I <D <D S ) al error α=5%. α n ,0 0,0 0,05 0,0 0, 0 0,63-0,835 0,653-0,84 0,669-0,846 0,68-0,848 0,690-0,850 0,573-0,843 0,598-0,849 0,68-0,853 0,634-0,855 0,646-0,857 0,53-0,849 0,544-0,854 0,568-0,858 0,587-0,860 0,603-0,86 0,436-0,855 0,473-0,859 0,503-0,86 0,57-0,865 0,547-0,866 0,379-0,857 0,40-0,86 0,455-0,865 0,48-0,867 0,505-0,868 Valor P Ver lo que pasa en cada α la Tabla 4 y aplicar la finición P (mínimo α en el que se concluye H ). Ejemplos para el D actual y otros valores inventados: α = 0% 0% 5% % % Valor P Conclusión D =0.700 H 0 H 0 H 0 H 0 H 0 P>0% H 0 (P>0%) D =0.900 H H H H H P<% H (P<%) D =0.855 H H H H H 0 %<P<% H (P<%) TEST DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN Tests con una muestra ( ) x B n, p, p sconocido H0 : p = p0 Test hipótesis: H : p p0 Si x es una observación la variable aleatoria binomial y n el tamaño la muestra. Si se verifica que np > 5 y nq > con q = p. Entonces el estadístico contraste es: z x np = np q 0 0 N ( 0,) El valor P se calcula a partir la Tabla 6-3

4 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte TEST DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN Tests con una muestra - 7 Ejemplo. En una investigación se ha afirmado que el 0% los estudiantes bachiller mejoran su condición física spués un cierto entrenamiento. Para comprobar si esto es cierto, se ha tomado una muestra 50 estudiantes bachiller a los que se ha sometido a dicho entrenamiento durante un mes, obteniéndose que solamente 5 estudiantes han mejorado su condición física spués l mismo. Que se pue cir a la vista los resultados. H0 : p = 0.0 n = 50, x = 5, p0 = 0.0 H : p 0.0 np0 = = 30 > 5 Se verifican las condiciones valiz nq0 = = 0 > 5 z x np = = = = np q0 4 ( ) H : p 0.0 P < %.960 ( ) Intervalo confianza (largo) para p al 95%: p ; 0.6 Tests con dos muestras - 8 Resúmenes: Capítulo VII TESTS DE HOMOGENEIDAD CON DOS MUESTRAS.- Comparación medias.- Comparación proporciones 6-4

5 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - 9 Resúmenes: Capítulo VII Varianzas iguales Test Stunt ( σ = σ ) Normales Muestras inpendientes Varianzas distintas Test Welch Comparación ( σ σ ) Medias No normales Test Wilcoxon Normales Test Stunt Muestras apareadas No normales Test Wilcoxon Versión para muestras inpendientes Versión para muestras apareadas Tests con dos muestras - 0 Ejemplo.- Dentro un estudio en el que se consiran las condiciones físicas un grupo esgrimistas, se valoró el VO máx. (ml Kg./m) en un grupo varones y en otro mujeres practicantes dicho porte y con edas comprendidas entre los 6 y 8 años. Los resultados fueron los siguientes: Varones: n =50; x =45; s =6. Mujeres: n =50; x =4; s =5.8 Se puen consirar ambos sexos homogéneos respecto al VO máx.? Ejemplo.- Para valorar la eficacia un plan educativo stinado a potenciar la práctica actividas físicas en un colectivo caracterizado por su elevado grado sentarismo, se consiraron los niveles triglicéridos en una muestra 0 individuos que habían seguido el plan durante un año y otra 3 individuos l mismo colectivo que no lo habían seguido. Los resultados fueron: Si: n =0; x =3.7; s =.5 No: n =3; x =46.8; s =5.5 qué se pue cir l acerca l objetivo l enunciado? 6-5

6 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - Resúmenes: 7..a H Hipótesis H Muestras: µ = µ 0 µ µ Muestra : n, x, s Muestra : n, x, s Pero Pero para para saber saber como como comparar comparar las las medias medias es es preciso preciso conocer conocer si si las las varianzas varianzas puen puen consirarse consirarse homogéneas, homogéneas, es es cir cir si si σ = σ Y Y eso eso lo lo tendremos tendremos que que cidir cidir con con un un test test hipótesis hipótesis preliminar!! preliminar!! Tests con dos muestras - Resúmenes: 7..a No nos spistemos, este es el test que necesitamos como paso previo para saber como comparar las dos medias Contraste igualdad varianzas H0 σ = σ () Hipótesis H σ σ s () Estadístico contraste: F para 0.0; ( n ); ( n ) = s (3) Cantidad teórica: F (Tabla 5) ( s s ) (4) Decisión: Si F F ( ) ( ) Varianzas iguales ( σ 0.0; n ; n = σ ) Si F > F 0.0; ( n ); ( n ) Varianzas distintas ( σ σ ) 6-6

7 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - 3 Resúmenes: 7..a i) Varianzas iguales Test Stunt Si antes cidimos σ = σ t = x x n + n s n n con s ( n ) s + ( n ) s = ( n ) + ( n ) t n + n α + t - Stunt (tabla 3 con g.l.) ( ) ( ) ; n n (obtener P) Tests con dos muestras - 4 Resúmenes: 7..a ii) Varianzas distintas Test Welch Y este si antes cidimos σ σ t t α ; f = x x A + B s s con A = ; B = n n y f ( A + B) = g.l. A B + n n t - Stunt (tabla 3 con f g.l.) (obtener P) 6-7

8 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - 5 Resúmenes: 7..a Ejemplo µ Promedio VO max en varones µ Promedio VO max en mujeres H 0 µ = µ (el VO max es el mismo en varones y mujeres) Hipótesis H µ µ (los dos sexos no puen consirarse homogéneos respecto al VO ) Muestra : n = 50, x = 45, s = 6. Muestras: Muestra : n = 50, x = 4, s = 5.8 H0 σ = σ H σ σ 6. Varianzas F = =.4; F0.0;(49, 49) =.5; F <F 0.0;(49, 49) 5.8 iguales (49)(6. ) + (49)(5.8 ) s = = ; t = =.499 (98 g.l.) (36.040) < P < 0.0 Tests con dos muestras - 6 Resúmenes: 7..a Ejemplo µ Nivel medio trigliceridos en seguidores l programa µ Nivel medio trigliceridos en individuos que no siguen el programa H 0 µ = µ Hipótesis H µ µ Muestra : n = 0, x = 3.7, s =.5 Muestras : Muestra : n = 3, x = 46.8, s = 5.5 (el nivel medio TG es el mismo en los dos grupos) (los grupos no son hmogéneos respecto al nivel medio TG) H0 σ = σ H σ σ 5.5 F = = 4.6; F0.0;(, 9) =.38; F >F 0.0;(, 9).5 Varianzas distintas A= = 5.65, B= = 50.09; t = = ( ) f = = g.l < P <

9 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - 7 Ejemplo muestras apareadas Ejemplo 3.- Se midió la presión sanguínea sistólica en 0 individuos corredores maratón antes y spués 6 meses entrenamiento intensivo. Los valores (medidos en mm Hg) vienen dados en la tabla siguiente: Atleta Antes Después pue concluirse que hay variación en la presión sanguínea sistólica media tras el entrenamiento intensivo? Tests con dos muestras - 8 Resúmenes: 7..b Situación Hipótesis Test Stunt { H 0 µ A = µ D; H µ A µ D Individuo : n Antes: x x x x a a a an Después: x x x x d d d dn Diferencia : d = x x d = x x d = x x a d a d n an dn d t = ; t ; ( n-) s n d d s ; d media y varianza la diferencia t -Stunt (tabla 3 con g.l.) α (n - ) (obtener P) d 6-9

10 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - 9 Resúmenes: 7..b Ejemplo 3 H 0 µ A = µ D (no hay variación en la presión sistólica media) Hipótesis H µ A µ D (hay variación en la presión sistólica media) Atleta 9 0 Antes Después Diferencia d s d = 6.00; = 7. 6 t = =.5; 7./ < P < 0.0 Ejemplos variables no normales Tests con dos muestras - 0 Ejemplo 4.- Se sea comprobar si cierta terapia hace variar el tiempo rehabilitación relativo a una terminada lesión. Para ello se tomaron dos muestras atletas que la sufrieron. La primera, la constituyen 5 casos que no siguieron la terapia indicada mientras que la segunda la forman 0 casos que si la siguieron. Los tiempos rehabilitación se presentan a continuación: Días Sin Terapia, 4,, 30, 0 rehabilitación Con Terapia 6,, 4,, 8, 34,, 7,, qué pue concluirse con estos datos? Ejemplo 5.- Considérese el anterior ejemplo 3 en que se observó la presión sanguínea sistólica en 0 atletas antes y spués 6 meses entrenamiento intensivo. Analizar ahora el problema si no pue consirarse que los valores la presión sigan una distribución normal Individuo Antes Después

11 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tests con dos muestras - Resúmenes: a), b) Ejemplo 4: Test Wilcoxon - muestras inpendientes H0 Los periodos rehabilitación puen consirarse iguales Hipótesis H La terapia modifica la duración la rehabilitación Días A, 4,, 30, 0 rehabilit. B 6,, 4,, 8, 34,, 7,, ( n = 5) ( n = 0) Datos A ornados B Nº orn Totales Rangos r i A = R B = R Suma :0 R ր = 34 P > 0.0 ( 5 6 / ) R α, n, n Tabla 6 Tests con dos muestras - Resúmenes: a), c) Ejemplo 5: Test Wilcoxon - muestras apareadas H Hipótesis H 0 no hay variación en la presión sistólica media hay variación en la presión sistólica media Individuo Antes: x a Después: x Diferencias d ( + ) d = x x ( ) 5 0 i a d Ornación d i ( + ) ( ) 5 0 Num. orn Rangos Total ( + ) ri ( ) Suma : 45 R = 38.5 ր 0.05 < P < 0.0 (9 0 / ) R α,9 Tabla 7 6-

12 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 3 Resúmenes: 7.4.a y 7.5.a Muestras inpendientes Test para dos proporciones inpendientes Comparación proporciones Muestras apareada s Test McNemar COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 4 Resúmenes: 7.4.a Ejemplo muestras inpendientes Ejemplo 6.- Con objeto comparar si la tasa lesiones es la misma en voleibol masculino que en el femenino se consiraron dos muestras 90 y 04 jugadores respectivamente. De los 90 varones se registraron lesiones en la temporada, mientras que esto sucedió en 3 las 04 mujeres. Qué conclusión pue sacarse? 6-

13 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 5 Resúmenes: 7.4.a Observemos Observemos que que los los datos datos l l problema problema se se puen puen organizar organizar en en forma forma tabla tabla tal tal y y como como sigue: sigue: Modalidad Si Lesión No ( ) ( ) Tamaño muestra Masculino x = n x = 69 n = 90 Femenino x = 3 n x = 7 n = 04 Suma a = 53 a = 4 n + n = 94 Este Este tipo tipo tabla tabla frecuencias frecuencias se se conoce conoce como como TABLA TABLA DE DE CONTINGENCIA. CONTINGENCIA. El El tratamiento tratamiento las las tablas tablas contingencia contingencia lo lo veremos veremos en en los los dos dos capítulos capítulos siguientes, siguientes, el el l l test testχ,, y y el el caso caso particular particular tablas tablas x x COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 6 Resúmenes: 7.5.a Ejemplo (muestras apareadas) Ejemplo 7- Se sea estudiar si dos programas entrenamiento, el tradicional y el integrado, son valorados con el mismo grado satisfacción por parte entrenadores que han utilizado ambos sistemas. Para ello se encuestó a una muestra aleatoria 5 entrenadores cuya resultado se reproduce (en parte) a continuación: Tiene vd. una opinión favorable acerca l método consirado? Individuo Tradicional SI SI NO NO SI Integrado SI NO SI NO NO 6-3

14 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 7 Resúmenes: 7.5.a Test McNemar H 0 La proporción p respuestas SI/NO es igual que la p Hipótesis respuestas NO/SI H Las proporciones anteriores no puen consirarse iguales Característica situación n Característica situación n Si Si n n No No n n n Valiz: n + n > 0 Z = ; Z α en la tabla la N(0,) n + n (obtener P) pˆ = n n pˆ = n n COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES Tests con dos muestras - 8 Resúmenes: 7.5.a Ejemplo 7 H 0 Los dos sistemas entrenamiento se valoran igual Hipótesis H Uno los dos sistemas se valora mejor que el otro Integrado Tradicional Si No Totales Si n = 7 n = 35 6 No n = 43 n = 0 63 Totales n = 5 pˆ = 35 5 = 8.0% pˆ = 43 5 = 34.4% Valiz: n + n = = 78 > Z = = P >

15 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tabla 5 Tabla 5 Distribución F Snecor (a=0.0) Distribución F Snecor (a=0.0) 0 α F α + Tabla 6 Tabla 6 Límites significación para el test Wilcoxon Límites significación para el test Wilcoxon (muestras inpendientes) (muestras inpendientes) 6-5

16 Estadística º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte Tabla Tabla 6 (continuación) Límites Límites significación para para el el test test Wilcoxon (muestras inpendientes) Tabla 7 Tabla 7 Límites significación para el test Wilcoxon Límites significación para el test Wilcoxon (muestras apareadas) (muestras apareadas) 6-6