PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

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1 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN: Si una acción está constituida por dos etapas sucesivas: la primera etapa puede ocurrir de m maneras distintas y para cada una de esas posibilidades, la segunda etapa puede elegirse de n maneras distintas. Entonces, el número de posibilidades de efectuar la acción completa, en ese orden es: Nº de maneras = m x n Generalmente para hallar el número de maneras diferentes en el principio de multiplicación, se utiliza el diagrama del árbol. Ejemplos: 1.- Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C, De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por B? Nº de maneras = 2 3 = El pedido de una computadora personal digital puede especificar uno de cinco tamaños de memoria, cualquier tipo de monitor de tres posibles, cualquier tamaño de disco duro de entre cuatro posibles y puede incluir o no una tarjeta para lápiz electrónico. Cuántos sistemas distintos pueden ordenarse? Nº de maneras = = Uno de los editores del anuario de un colegio, ha diseñado una página que debe contener 5 tipos diferentes de fotografías. El editor puede escoger entre 4 fotografías de grupos de profesores, 10 fotografías de eventos atléticos, 7 de salones de clases, 8 de todo el terreno del colegio y 5 de las actividades de los distintos clubes. Cuántos proyectos de páginas diferentes se podrán preparar con las fotografías que dispone? PRINCIPIO DE ADICIÓN: Nº de maneras = = Si una tarea puede desarrollarse de m maneras, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n maneras y no es posible realizar ambas tareas simultáneamente, entonces el número de maneras en que una o la otra tarea se pueden realizar es: Nº de maneras = m + n Ejemplo: César, Patricia y Miguel desean ingresar al correo electrónico de Jimmy, pero no conocen su clave de ingreso. Sin embargo, uno de ellos la tiene anotada en su cuaderno de apuntes pero no saben quién, y tampoco saben cuál de las claves anotadas es de Jimmy. Si César tiene tres claves anotadas, Patricia tiene cuatro y Miguel tiene dos, cuál es el máximo número de intentos para ingresar al correo de Jimmy? Nº de maneras = = 9 Gladys Enríquez Mantilla 148

2 TÉCNICAS DE CONTEO VARIACIONES O ARREGLOS: Dado un conjunto que tiene n elementos diferentes, se llama arreglo o variación a cualquier grupo ordenado de r elementos diferentes escogidos entre los n elementos dados. Ejemplo: n V r = n! (n r )! Se contrata un servicio de calificación de computadoras para encontrar las tres mejores marcas de monitores EGA. Se incluirá un total de diez marcas en el estudio. De cuántas formas distintas puede el servicio de calificación llegar al ordenamiento final? 10! 7! V3 10 = = 720 VARIACIONES CON REPETICIÓN: Sea A un conjunto con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos hacer con m elementos de A independientemente de que se repita alguno. Ejemplo: n VR r = r n Hemos dibujado cinco cuadrados juntos en una hilera y cada cuadrado se puede pintar o bien en blanco o en negro. Cuántos modelos distintos podemos obtener? PERMUTACIONES: = 2 5 = 32 Dado un conjunto que contiene n elementos distintos, se llama permutación a todo arreglo ordenado de estos n elementos tomados de n en n. n n P n = A = n! Ejemplo: Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chips de memoria iguales. De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del controlador? P 5 = 5! = 120 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: Dado un conjunto de n elementos distintos, de modo que el primer elemento aparezca n1 veces, el segundo n2 veces,..., el k-ésimo nk veces, donde n = i n n n! Pn, n,..., n = 1 2 k n! n! n k! Gladys Enríquez Mantilla 149

3 Ejemplo: Se cuenta con 12 analistas de sistemas y se desea asignar tres al trabajo 1, cuatro al trabajo 2 y cinco al trabajo 3. De cuántas formas distintas se puede efectuar esta asignación? 12 12! P 3,4, 5 = = ! 4! 5! PERMUTACIONES CIRCULARES: Es un caso particular de permutaciones en las que en la ordenación no hay ni comienzo ni fin (los elementos están dispuestos en forma circular). Para contar las distintas agrupaciones se fija uno de los elementos y se permutan los demás. Es decir, si tenemos n elementos permutaremos n-1. P c = (n 1)! Ejemplo: Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican seis vasos diferentes, de cuántas formas pueden ser ubicados? COMBINACIONES: P c = ( 6 1)! = 5! = 120 Una combinación de n elementos tomados de r en r es una selección de r elementos a partir de los n dados sin tener en cuenta el orden. C n r = r! n! (n r)! Ejemplos: 1.- Una tarjeta de circuito tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se colocan cinco componentes idénticos sobre la tarjeta, cuántos diseños distintos pueden obtenerse? 8! C5 8 = = 56 5! 8 5! ( ) 2.- De un conjunto de seis hombres y cinco mujeres, cuántos comités de ocho miembros se puede formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos tres mujeres? C 3 + C 4 C 4 C3 C5 C = Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas? C C2 + C3 = 7 Gladys Enríquez Mantilla 150

4 EJERCICIOS PROPUESTOS Técnicas De Conteo 1.- Un conferencista dispone de ocho temas sobre los que puede disertar durante 30 minutos. Se le pide que presente una serie de cinco conferencias de 30 minutos a un grupo de personas. Entre cuántas secuencias de conferencias puede escoger? En una encuesta se recomienda a un consumidor que ordene sus preferencias por cuatro marcas de gaseosa. Cuántas ordenaciones pueden resultar? De cuántas maneras distintas se pueden ordenar dos fichas rojas, dos verdes y tres azules? El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas: a) Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar un área geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9? 1000 b) Al igual que en el inciso a), cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse de modo que el primer dígito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1? 160 a) Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparece más de una vez en cada prefijo? Un grupo de personas son clasificadas de acuerdo al sexo, estado civil (soltero, casado, viudo) y profesión. Si hay 30 profesionales, de cuántas maneras se puede hacer esta clasificación? De cuantas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos si el mayor debe recibir 4 y los menores 2 cada uno En cuántas formas puede un sindicato local elegir entre sus 25 miembros a un presidente y a un secretario? Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER? Una placa de automóvil consta de dos letras distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero. Cuántas placas diferentes pueden formarse? Se va a presentar 6 conferencistas en una reunión. De cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los seis conferencistas en fila? En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir? Cuántos almuerzos diferentes son posibles, si se componen de una sopa, un emparedado, un postre y una bebida y puede elegirse entre cuatro sopas, tres tipos de emparedados, cinco postres y cuatro bebidas? Una caja de cartón con 12 baterías para radio contiene dos baterías defectuosas. De cuántas maneras diferentes puede el inspector escoger tres de las baterías y obtener: a) Ninguna batería defectuosa 120 b) Una defectuosa. 90 c) Ambas baterías defectuosas. 10 Gladys Enríquez Mantilla 151

5 14.- Una prueba de Falso-Verdadero estaba formado por diez preguntas de las cuales 7 eran falsas y 3 verdaderas. Si un estudiante supiera esto pero sus respuestas fueran al azar; cuántas respuestas diferentes podría dar? A un producto se le codifica asignándole 3 letras y 2 números (las letras deben ir antes que los números); sólo se podrán emplear las letras A y B y los dígitos del 1 al 6. Cuántos códigos diferentes es posible obtener? De cuántas formas pueden sentarse 12 miembros del Directorio de una empresa, alrededor de una mesa circular? Utilizando las letras de la palabra EQUATION, cuántas palabras código con cuatro letras diferentes pueden ser formadas, a) Empezando con T y terminando con N. 30 b) Empezando y terminando con una consonante. 180 c) Sólo con vocales. 120 d) Con tres consonantes Un vendedor de automóviles tiene siete modelos para exhibir en una vitrina, pero ésta sólo tiene espacio para 5 carros. Cuántas muestras puede poner? En una sección con 41 alumnos, el profesor va a rifar tres premios. a) Cuántos tríos diferentes podrían salir favorecidos? b) Al final al profesor le falta dinero y solo rifa dos premios. A cuánto baja la cantidad de grupos diferentes que pueden ser favorecidos? Cuántas listas de 5 socios pueden formarse de un total de 9 que presentaron solicitudes de préstamo, los cuales se otorgan por prioridad o calificación? De cuántas formas puede seleccionarse un comité de 3 personas desde 4 matrimonios. a) Si todos son igualmente elegibles. 56 b) Si el comité debe constituirse de dos mujeres y un hombre Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los dígitos del 0 al 9 si: a) Los dígitos pueden repetirse b) Los dígitos no pueden repetirse c) El último dígito ha de ser cero y los dígitos no pueden repetirse. 504 d) Los números formados deben ser pares e) Los números formados deben ser múltiplos de Hay doce maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y diez maneras en las cuales pueden tener un defecto mayor. a) de cuántas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? 120 b) Dos defectos menores y dos defectos mayores Cuántas ensaladas pueden prepararse con lechuga, pepino, tomate, betarraga y zanahoria? Un número telefónico tiene diez dígitos que consisten en un código de área (3 dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo es cero o uno), un código de intercambio (3 dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo no es cero ni uno) y un número de línea (4 dígitos, no todos son ceros). Cuántos de tales números con diez dígitos hay? Gladys Enríquez Mantilla 152

6 26.- En los laboratorios Beta hay 3 plazas vacantes. De un total de 33 solicitudes de empleo, sólo 14 se han considerado aceptables, en base a las entrevistas practicadas por el departamento de personal. De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas? a) Si todos los empleos son de la misma categoría 364 b) Si un empleo es de gerente de ventas, uno es de agente visitador para las ciudades de Trujillo y Chiclayo y otro de agente visitador para las ciudades de Cusco y Arequipa Se va a conformar un comité de tres miembros compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay tres candidatos de los trabajadores, dos de la administración y cuatro del gobierno. Determinar cuántos comités diferentes pueden conformarse Una tienda de artículos electrodomésticos posee en existencia ocho clases de refrigeradoras, seis tipos de lavadoras y seis clases de hornos microondas. En cuántas formas diferentes pueden elegirse dos artículos de cada clase para una barata? Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra INDEPENDENCIA? Cuántos números distintos, de cinco cifras, se pueden formar con tres números 1 y dos números 2? De cuántas maneras se pueden repartir 12 libros entre tres niños de forma que cada uno reciba 4 libros? Un comité de cuatro va a ser seleccionado de un grupo de tres estudiantes de cuarto año, cuatro de tercero y cinco de segundo. De cuántas maneras puede se hecho si: a) No hay restricciones en la selección. 495 b) El comité debe tener 2 de segundo año, 1 de tercero y 1 de cuarto. 120 c) El comité debe tener al menos 3 de segundo año. 75 d) El comité debe tener por lo menos uno de cuarto El gerente de una pequeña planta desea determinar el número de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que pueden servir como operadores del equipo de producción, 8 que pueden desempeñarse como personal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, de cuántas maneras puede integrarse el primer grupo? Hallar los números que se pueden formar con 4 de los 5 dígitos 1, 2,3,4,5. a) Si éstos no se pueden repetir. 120 b) Sí se pueden repetir. 625 c) Empezando por 2, si los dígitos no se pueden repetir. 24 d) Terminando en 25, sin repetirse los dígitos Un estudiante debe responder diez de trece preguntas en una prueba escrita. Cuántas selecciones podrá hacer si: a) Escoge indistintamente las diez. 286 b) Las dos primeras son obligatorias. 165 c) Debe responder a la primera o la segunda pero no ambas. 110 d) Debe responder obligatoriamente a 3 de las 5 primeras. 80 e) Debe responder por lo menos a 3 de las 5 primeras. 276 Gladys Enríquez Mantilla 153

7 36.- De cuántas formas diferentes puede el director de un laboratorio de cómputo elegir a dos administradores entre 7 aspirantes y 3 estadísticos entre 9 candidatos? Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras RLH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, hallar el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía Martha, Teresa y Carla vieron huir de un banco en un automóvil a tres hombres justo antes de que sonara una alarma contra robos. A pesar de que todo ocurrió en cuestión de segundos, cuando fueron interrogadas por la policía pudieron darle la siguiente información acerca de la placa del automóvil, que constaba de tres letras seguidas por tres dígitos. Teresa tenía la seguridad que la segunda letra de la placa era una M o una N y que el penúltimo dígito era un 5 o un 8. Carla está segura de que la tercera letra de la placa era una E o una F y que el último dígito era un 4 o un 7. Martha dijo que sólo estaba segura que la primera letra era definitivamente una R. A partir de esta información, cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? Cuántas palabras código con cuatro letras diferentes pueden ser formadas, si se quiere utilizar las letras de la palabra PROBLEMAS? a) Empezando y terminando con una vocal. 252 b) Con tres vocales. 144 c) Empezando con E y terminando con P. 42 d) Sólo con consonantes En una caja se tiene cinco tickets de S/100 cada uno, tres tickets de S/300 cada uno y dos tickets de S/500 cada uno. Se escogen aleatoriamente tres tickets, en cuántas de estas muestras la suma de los precios de los tres tickets es de S/700? Una empresa dedicada a la venta de computadoras, ofrece cinco modelos diferentes de la marca A, seis modelos diferentes de la marca B y cuatro de la marca C. La facultad ha decidido comprar tres computadoras para el laboratorio 3. Luego de un estudio de mercado, se decidió efectuar la compra en dicha empresa. De cuántas maneras se podrá seleccionar las tres computadoras, si: a) Todas deben ser de la misma marca. 34 b) Deben corresponder a dos marcas diferentes. 301 c) Las tres deben ser de marcas diferentes Se quiere formar comisiones integradas por un médico y dos ingenieros de un grupo de cuatro médicos y seis ingenieros. De cuántas maneras diferentes se podrá nombrar dicha comisión si cierto médico se rehúsa integrar la comisión si está el ingeniero A o el ingeniero B presente en dicha comisión? La profesora de está pensando asignar trabajos individuales o grupales a los alumnos del ISI 32: Jorge, Claudia, Juan, Pedro y Paola. Cuántos trabajos podría asignar? Al salir de la tienda, Patricia y Mariela vieron cómo dos hombres huían de una joyería, en la cual sonaba la alarma. Patricia está segura que el último dígito de la patente del auto en que huyeron los asaltantes era un 5 ó un 6, y el segundo era un 3, mientras Mariela asevera que la primera letra era una O o una D, y que el primer dígito era un 1 ó un 7. Cuántas patentes cumplen estas restricciones, suponiendo cuatro letras y cinco dígitos? Gladys Enríquez Mantilla 154

8 45.- Un lote de cincuenta discos duros fue inspeccionado, para ello se seleccionó una muestra aleatoria de cinco de ellos. Si se sabe que siete no cumplen con los requerimientos del cliente, Cuántas muestras contienen al menos un disco duro que no cumple con los requerimientos? Carlos y Javier acuden a un restaurante que ofrece un menú con diez comidas diferentes. Si cada uno desea pedir una comida diferente a lo que pide el otro. De cuántas maneras diferentes puede hacer el pedido? Un grupo está formado por tres economistas, seis administradores, cuatro médicos y dos contadores. Si se eligen tres personas al azar, cuántas muestras se formarán de tal manera que los tres integrantes resulten de profesiones diferentes? Para que una cerradura especial sea abierta, es necesario que se digite en un panel magnético una secuencia correcta formada por cuatro dígitos diferentes y dos letras también diferentes. Los dígitos pueden variar de 1 a 9. Cuál es el número máximo de intentos que una persona que no conoce la secuencia correcta puede hacer para que la cerradura sea abierta? Ocho personas se disponen a viajar en un tren que tiene cuatro vagones. a) De cuántas maneras podrán ubicarse en el tren? b) De cuántas maneras podrán ubicarse de modo que hayan dos pasajeros en cada vagón? Un teclado especial de computadora puede comprarse en seis casas distribuidoras diferentes. De cuántas formas pueden elegirse cuatro distribuidoras de entre las seis? Dados los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, se trata de calcular la cantidad de números de cuatro cifras que se pueden formar sin repetirse ninguna de ellas, que cumplan las siguientes características: a) Total de números posibles. 840 b) Empiecen en uno y acaben en siete. 20 c) No contengan ni el cuatro ni el cinco. 120 d) No contengan el dos ni el siete y sí el seis. 96 e) Contengan el uno. 480 f) Comiencen en cuatro, acaben en tres y no contengan ni el cinco ni el siete. 6 g) La segunda cifra sea cinco y la última par. 60 h) La segunda cifra sea dos y la última uno. 20 i) Empiecen en cuatro y no contengan el uno ni el seis. 24 j) El primero y el último sean impares y los del medio pares. 72 k) Empiecen en impar y terminen en par. 240 l) El primero, segundo y cuarto sean impares y el tercero par. 72 m) Contengan un impar. 96 n) Tengan más pares que impares. 96 o) Sean múltiplos de dos. 360 p) Sean múltiplos de cinco. 120 q) Acaben en tres y tengan dos pares. 54 r) No contengan el uno ni el cuatro y tengan algún par. 120 s) Los dos centrales sean pares Un profesor asigna una semana antes del examen, un conjunto de diez problemas. El examen consistirá de 5 problemas elegidos al azar a partir de los diez asignados. Un estudiante sólo puede resolver 7 de estos problemas. Hallar el número de maneras en que el estudiante: a) Conteste bien 3 preguntas. 105 b) Tenga por lo menos 4 preguntas buenas. 126 Gladys Enríquez Mantilla 155

9 53.- Cuatro turistas llegan a un pueblo que tiene 6 hoteles. Si los turistas eligen al azar el hotel donde se van a hospedar. Hallar el número de maneras en que: a) Todos ellos se hospeden sin ninguna restricción b) Todos se hospeden en hoteles distintos Un club que consiste de cuatro mujeres y dos hombres, está por celebrar su reunión anual. Además de haberse tomado una fotografía de grupo, planean elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario. De cuántas maneras pueden: a) Formarse para su fotografía de grupo. 720 b) Elegir a sus tres dirigentes si no hay restricciones de sexo. 120 c) Elegir a sus tres dirigentes si el presidente tiene que ser mujer y el vicepresidente hombre. 32 d) Elegir a sus tres dirigentes si el presidente tiene que ser de un sexo y el vicepresidente y el secretario del otro sexo Una agencia de publicidad ha obtenido la exclusividad respecto a una línea de ropa. Por este motivo la agencia ha decidido organizar un concurso nacional destinado a adivinar el nombre futuro de esa línea de producción. Las condiciones son: los nombres que se propongan deben ser de cuatro letras, ninguna letra debe repetirse, la primera y la tercera de las letras deben ser consonantes, la segunda y la cuarta letras deben ser vocales. Si una persona propone dos veces el mismo nombre queda descalificada. Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro que participa en el sorteo público? Suponga que hay ocho máquinas disponibles pero sólo tres espacios en el piso del taller donde se han de instalar tales máquinas. De cuántos modos diferentes pueden colocarse las ocho en los tres espacios disponibles? Una línea de ferrocarril tiene 20 estaciones. Cuántos boletos distintos habrá que imprimir si cada boleto lleva impreso las estaciones de origen y de destino? De cuántos modos posibles pueden adornarse las manos con dos anillos distintos sin ponerlos en el mismo dedo? La clase A tiene 29 alumnos, 24 la clase B y 18 la clase C. De cuántas maneras puede formarse una comisión que tenga dos alumnos de cada clase? De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve automóviles de los cuales 4 son blancos, 3 amarillos y 2 azules? Tres peruanos, cuatro franceses, cuatro italianos y dos colombianos se encuentran reunidos, de cuántas maneras pueden ubicarse: a) en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos b) en una mesa redonda, juntos los de la misma nacionalidad En cuántas formas puede un sindicato local elegir entre sus 25 miembros a un presidente y a un secretario? El jefe de personal de una corporación ha contratado diez ingenieros. De cuántas formas pueden ocupar tres puestos diferentes que están disponibles en dicha fábrica? En una reunión familiar se encuentran el padre de familia, su esposa y sus tres hijos. Si están alrededor de una mesa circular entreteniéndose con un juego de salón. De cuántas formas se pueden ubicar alrededor de la mesa si los tres niños deben estar siempre juntos? 12 Gladys Enríquez Mantilla 156

10 65.- De cuántas maneras se pueden asignar 16 vendedores a cinco sucursales de una tienda de modo que vayan 4 a dos sucursales, 3 a las otras dos y los 2 restantes a la última sucursal Un estudiante dispone de una biblioteca con 12 libros, de cuántas maneras podrá realizar una selección de cinco libros? a) Cuando un determinado libro sea incluido siempre. 330 b) Cuando un determinado libro sea siempre excluido A un congreso asisten 60 personas de las cuales 40 sólo hablan inglés y 20 sólo alemán. Cuántos diálogos pueden establecerse sin intérprete? De cuántas formas pueden repartirse siete libros entre siete niños si: a) Los libros son distintos b) Hay cuatro libros iguales y el resto distintos. 210 c) Los libros son todos distintos y queremos que a Juan le toque el de novelas y a Pedro el libro de cuentos En un Simposio organizado por la Municipalidad de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular dando de frente al público asistente. De cuántas maneras pueden disponerse los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo cono no pueden estar separados? Ocho amigos van de viaje llevando para ello dos automóviles. Si deciden ir cuatro en cada automóvil, de cuántas formar pueden ir si: a) Todos tienen brevete b) Sólo tres tienen brevete En una empresa de 12 empleados 5 son mujeres y 7 son hombres. Se forma un comité compuesto por dos mujeres y tres hombres. De cuántas maneras puede formarse dicho comité si: a) Puede pertenecer al comité cualquier mujer o cualquier hombre. 350 b) Un hombre determinado tiene que pertenecer al comité. 150 c) Dos hombres en concreto no pueden estar en el comité De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 6 libros de estadística, 2 de matemática y 4 de química si los libros de la misma materia deben estar juntos y si, a) No se distingue entre los libros de la misma materia b) Se distingue entre los libros de la misma materia En una carrera de maratón intervienen cuatro españoles, cuatro italianos, cuatro ingleses y cuatro franceses. Suponiendo que terminan la carrera todos los corredores, cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay españoles? Un comité de doce personas será elegido entre diez hombres y diez mujeres. De cuántas formas se puede hacer la selección si: a) La mitad deben ser mujeres b) Debe haber un número par de mujeres c) Debe haber más mujeres que hombres d) Debe haber al menos ocho hombres La compañía telefónica desea saber cuántas líneas como máximo puede instalar en cierto distrito cuya serie es 531. Tal misión es encargada a un empleado de la sección de operaciones, puedes indicar la respuesta de dicho empleado? Gladys Enríquez Mantilla 157

11 76.- De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de cinco miembros a partir de ocho personas? a) Si no existe ninguna restricción. 56 b) Si una persona determinada debe estar siempre incluida. 35 c) Si una persona determinada debe estar siempre excluida. 21 d) Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida. 15 e) Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisión Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta de tres números enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por el proceso de construcción de las cerraduras cada número no puede aparecer más de una sola vez en la combinación de la cerradura. Cuántas cerraduras diferentes pueden construirse? Una persona que sale de vacaciones desea llevarse cuatro libros para leer; dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. De cuántas maneras puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela? En una ciudad A los números telefónicos se forman con cuatro números (0 a 9) no pudiendo ser cero el primero de ellos, y en otra ciudad B con cinco números con las mismas condiciones, cuántas comunicaciones pueden mantenerse entre los abonados de ambas ciudades? Tres matrimonios se reúnen para celebrar el aniversario de uno de ellos. Desean que les hagan una fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también las mujeres. De cuántas formas distintas pueden colocarse? En una clase hay 10 chicos y 5 chicas; si el profesor desea escoger un grupo de tres, a) De cuántas maneras puede hacerlo? 455 b) En cuántos grupos habrá una sola chica? 225 c) En cuántos habrá un chico por lo menos? Se desea colocar en una fila los 15 celulares de una oficina. Si 5 celulares son Movistar, otros 5 son Claro y el resto son Nextel. De cuántas maneras distintas se pueden colocar? En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único diferenciable de cada corredor es su nacionalidad, de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera? Las letras de la palabra BRINCOS están impresas en siete tarjetas, cuántas palabras código de tres letras diferentes pueden formarse si: a) la primera y la última letra deben ser consonantes. 100 b) todas las vocales usadas (si hay) tienen que estar al final de la palabra, es decir, una vocal no puede estar seguida de una consonante Se escriben las letras a, b, c, d, e, f en papelitos distintos y luego se revuelven los seis papelitos en una bolsa. Se desea formar palabras de cuatro letras con esas letras. Se extrae un papelito, se apunta la letra, y se regresa a la bolsa, repitiendo este proceso 4 veces. Cuántas palabras se puede formar? En cierta ciudad las matrículas de los autos se forman con dos vocales diferentes seguidas de cinco dígitos todos diferentes. a) Hallar la cantidad de matrículas que pueden hacerse b) Determinar cuántas de ellas comienzan con A y terminan con c) La segunda letra es E y los últimos dos dígitos son impares Gladys Enríquez Mantilla 158

12 87.- Una compañía tiene diez programadores, ocho analistas de sistemas, cuatro ingenieros de sistemas y tres estadísticos. Se elegirá un equipo para un nuevo proyecto de largo plazo. El equipo consistirá de tres programadores, dos analistas de sistemas, dos ingenieros de sistemas y un estadístico. a) En cuántas formas puede seleccionarse el equipo? b) Si el cliente insiste en que se incluya en el proyecto a un ingeniero con el que ha trabajado anteriormente, de cuántas maneras puede seleccionarse el equipo? Un número de teléfono consta de siete dígitos. Si la primera ha de ser un número entre 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser números entre 1 y 9 ambos inclusive. Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones? Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por dentro; de cuántas formas puede una persona entrar y salir de la tienda? Una persona va en busca de trabajo, el primer día solicita empleo en una empresa para ocupar cualquier de los tres puestos vacantes, al día siguiente solicitó empleo en otra empresa donde puede ocupar 5 puestos vacantes, y el tercer día presenta su solicitud en otra empresa en donde puede ocupar 2 puestos vacantes. Cuántas posibilidades hay que ocupe un puesto vacante? Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O ó una Q, y que el último dígito era un 3 ó un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C ó una G y que el primer dígito era definitivamente un 7. Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? Un psicólogo que escribe palabras absurdas o sin sentido, de tres letras, para utilizarlas en un examen de memoria elige la primera letra entre las consonantes q, w, x, z ; la segunda la escoge entre las vocales e, i, u mientras que la tercera la elige entre las consonantes c, f, p, v. cuántas de estas palabras sin sentido: a) se pueden construir. 48 b) comenzarán con la letra w. 12 c) terminarán con la letra f o con p En cuántas formas puede entrevistar una persona que recolecta datos para una organización de investigación de mercados, a tres de las 20 familias que viven en cierto condominio? Si un restaurante ofrece nueve postres diferentes, que sirve con café, café descafeinado, té, leche o chocolate caliente. En cuántas formas se pueden ordenar un postre y una bebida? Un jefe de policía necesita asignar oficiales de diez disponibles para controlar el tráfico en los cruces A, B y C, de cuántas maneras lo puede hacer? En cierta ciudad las placas de los automóviles, se identifican por tres letras y tres números. a) Cuál es el número total si ninguna letra de placas posible puede usarse más de una ocasión en la misma placa? b) Cuál es el número total sin esta restricción? Gladys Enríquez Mantilla 159

13 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Probabilidad a priori: Es aquella que se puede determinar de antemano, sin necesidad de realizar el experimento. Probabilidad empírica: Se determina mediante una serie de experimentos. Se calcula dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles. Experimento aleatorio: ( E) n P ( A) = = n ( A) número de casos ( Ω) número de casos posibles favorables Es cualquier acción o proceso cuyo resultado no puede predecirse. Es el conjunto de pruebas realizadas en las mismas condiciones. Fenómeno determinístico: ( D) Cualquier acción o fenómeno cuyo resultado puede predecirse con exactitud. Espacio muestral: ( Ω ) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Evento: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } resultados, puntos muestrales o sucesos Es un subconjunto del espacio muestral: A = { 2, 4, 6 } Diagrama del árbol: Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. El esquema se inicia en un punto que corresponde al espacio muestral Ω y a partir de ahí se trazan líneas (ramas principales) que conducen a los eventos mutuamente excluyentes que describen el experimento aleatorio dado. De estos eventos nuevamente se trazan líneas (ramas secundarias) que conducen a otros eventos mutuamente excluyentes y así sucesivamente. Ejemplo: El siguiente diagrama muestra los resultados obtenidos al lanzar tres veces una moneda al aire. Gladys Enríquez Mantilla 160

14 EJERCICIOS PROPUESTOS Experimento Aleatorio-Espacio Muestral-Eventos 1.- Decir si los siguientes son experimentos aleatorios o son fenómenos determinísticos. Seleccionar una alumna del Registro de Notas. Se lanza una moneda y se observa el lado superior. Soltar una piedra en el aire. Se le pregunta a un consumidor cuál de entre dos productos es su preferido. Extraer un alumno de un grupo que contiene alumnos aprobados y reprobados en el primer examen de estadística y observar su situación. Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles hasta antes de que ocurra un accidente. Se observa el cambio diario de un índice de precios de bolsa. Observar la nacionalidad de una persona extraída de un grupo donde no hay extranjeros. Se extrae una muestra de un producto terminado en una línea de ensamblaje para determinar si el producto es defectuoso o no. Observar el tiempo de vida de una computadora. Lanzar una pelota en una piscina con agua. Se analiza una cantidad de una sustancia química producida por un proceso particular para determinar si contiene un porcentaje mayor que el permitido de impurezas. Observar el resultado de un partido de fútbol. La hora en que se despierta diariamente una persona. Lanzar una moneda hasta que salga cara. Entrevistar a los profesores de la Unifé acerca de su profesión, hasta completar cinco administradores. Observar el color de una tiza extraída de una caja que contiene sólo tizas rojas. Seleccionar una persona al azar y preguntarle su edad. La hora en que se despierta una persona utilizando un reloj despertador. 2.- Para los siguientes experimentos aleatorios determinar el Espacio Muestral y los Eventos que se indican. E 1 : Se lanza un dado y se observa el número que aparece en el lado superior. A : como máximo cuatro. B : número par o mayor que uno. C : número par y mayor que tres. D : número par e impar. Gladys Enríquez Mantilla 161

15 E 2 : E 3 : E 4 : E 5 : E 6 : E 7 : E 8 : E 9 : E 10 : Se lanzan tres monedas y se observan los lados superiores. A : no obtener sello. B : obtener dos veces cara. C : como máximo dos caras. D : obtener un sello. E : obtener por lo menos dos caras. Se lanzan una moneda y un dado y se observan los lados superiores. A : se obtiene sello y un número impar. B : se obtiene un número par. C : se obtiene un número divisible por tres. Se lanzan dos monedas y un dado y se observan los lados superiores. A : aparecen dos caras y un número impar. B : la segunda moneda es cara. C : aparece exactamente una cara y un número primo. D : se obtiene como máximo una cara. Se cuenta el número de camiones que pasan por un peaje durante un día determinado. A : pasan como mínimo diez camiones. B : más de tres y como máximo ocho camiones. C : no más de tres. D : no menos de seis. Se arroja una moneda cinco veces y se cuenta el número total de sellos obtenidos. A : se obtiene más de dos sellos. B : menos de tres sellos. C : se obtiene un número impar de sellos. D : se obtiene no más de tres sellos. De cinco profesores A, B, C, D y E se elige una comisión de tres miembros. A : A es integrante de la comisión. B : A o B son seleccionados. C : A y B son elegidos. D : A no es seleccionado. E : B y C son elegidos. Dos alumnos son distribuidos en dos celdas numeradas. A : una celda queda vacía. B : ambas celdas son ocupadas. C : la segunda celda queda vacía. Se lanzan dos dados y se observan los números que aparecen en las caras superiores. A : la suma de los dos números es menor que seis. B : obtener dos números menores que tres. C : los dos números son iguales e impares. D : obtener en el segundo dado el número cuatro. Elegir una persona adulta desde una población y observar el grado de instrucción alcanzado. A : no tiene educación superior. B : tiene educación primaria. Gladys Enríquez Mantilla 162

16 TEOREMAS DE PROBABILIDAD 1. PROBABILIDAD DE LA REUNIÓN DE EVENTOS: P a) Si A 1, A2,..., Ak son k eventos mutuamente excluyentes, es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro, se tiene: k k P Ai = P ( Ai ) Ai A j = Φ i, j i = 1 i = 1 Si k = 2: P ( A A ) = P ( A ) + P ( ) A2 Si k = 3: P ( A A A ) = P ( A ) + P ( A ) + P ( ) Ejemplo: A3 En una tienda que vende automóviles hay cinco rojos, tres negros y 4 blancos. Si una persona desea comprarse un automóvil, cuál es la probabilidad que escoja uno de color rojo o negro? 5 3 P ( R N ) = P ( R) + P ( N) = + = 0, b) Si A 1, A2,..., Ak son k eventos cualesquiera: P k Ai = i = 1 k P i = 1 k k ( Ai) P ( Ai A j ) + P ( Ai A j Ar )... ( 1) P( A1 A2... Ak ) i = 1 i = 1 Si k = 2: P ( A A ) = P ( A ) + P ( A ) P ( A ) Si k = 3: k A2 ( A A A ) = P ( A ) + P ( A ) + P ( A ) P( A A ) P( A A ) P( A A ) + P ( A A ) A3 Ejemplo: Se sabe que la probabilidad de que Ana apruebe es 0.45 mientras que para Bertha esta probabilidad es de Si se sabe que la probabilidad de que ambas aprueben es Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas apruebe estadística? P ( A B ) = P ( A ) + P(B ) P ( A B ) = = PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE EVENTOS : a) Si A 1, A2,..., Ak son k eventos independientes, es decir la ocurrencia de uno no tiene efecto sobre la ocurrencia de otro : k P Ai i = 1 = k i = 1 P ( A ) Si k = 3: P ( A A A ) = P ( A ). P ( A ). P ( ) A3 i Gladys Enríquez Mantilla 163

17 Ejemplo: En una caja se tienen fichas de colores: ocho verdes, cuatro blancas, cinco rojas, seis negras. Si se eligen cuatro fichas al azar una tras otra y luego de observar su color se regresa a la caja, cuál es la probabilidad que la primera y tercera sean verdes, la segunda blanca y la cuarta roja? ( V B V R ) P ( V). P ( B). P ( V). P ( R) P = P = ( V B V R ) = b) Si A 1, A2,..., Ak son k eventos no independientes : Ejemplo: k P Ai = P i = 1 ( A ). P ( A A ).P ( A A A )...P ( A A A... A ) k 1 2 k-1 En una caja se tienen fichas de colores: cinco verdes, tres blancas, siete rojas, dos negras. Si se eligen cuatro fichas al azar una tras otra y luego de observar su color NO se regresa a la caja, cuál es la probabilidad que la primera y tercera sean verdes, la segunda blanca y la cuarta roja? ( V B V R ) P ( V). P ( B/V). P ( V/VB). P ( R/VBV) P = P = ( V B V R ) = PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO : a) Si A es un evento cualquiera: P ( A ) = 1 P ( A) b) Si A 1, A2,..., Ak son k eventos independientes. k k P Ai = 1 P Ai i = 1 i = 1 Ejemplo: ( ) Se sabe que la probabilidad de que un ingeniero consiga trabajo es Si tres ingenieros independientes entre sí salen a buscar trabajo en un día dado, hallar la probabilidad de que al menos uno de ellos consiga trabajo. P ( C C C ) = 1 P ( C). P ( C). P ( C) ( C C C ) = P = Gladys Enríquez Mantilla 164

18 EJERCICIOS PROPUESTOS Teoremas De Probabilidad 1.- Una compañía comercializa cinco tipos de impresoras a color, cuatro de impresoras láser y seis de impresoras matriciales. Cuál es la probabilidad de que si se eligen cinco impresoras al azar se obtengan tres de color, dos láser y ninguna matricial? Si tres de 20 neumáticos están defectuosos y 4 de ellos se escogen aleatoriamente cuál es la probabilidad de que solamente uno de los defectuosos sea escogido? El señor A es miembro de un equipo de 10 hombres de servicio. Para cierto trabajo, se requieren 3 hombres. Si los 3 han de ser escogidos al azar. Cuál es la probabilidad de que sea incluido el señor A? Un explorador de petróleo hará una sucesión de perforaciones en un área dad para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un experimento dado es 0,2. a) cuál es la probabilidad de que la tercera excavación sea la primera en la cual se localice un pozo productivo? b) si sus recursos totales le permiten la excavación de no más de 3 perforaciones cuál es la probabilidad de que localice cuando menos un pozo productivo? Se lanza un dado hasta que aparezca el 6. Cuál es la probabilidad de que se necesite exactamente cuatro lanzamientos? De un lote de piezas, del que se sabe que el 5% son defectuosas, se efectúan extracciones con reemplazamiento, se extrae una pieza y una vez observada, se devuelve al lote; determinar la probabilidad de que, en tres extracciones resulte una sola pieza defectuosa Por equivocación se mezclaron treinta pernos de alta resistencia con 25 pernos comunes, de igual apariencia, por lo que resulta imposible distinguirlos. Si se sacan dos pernos al azar (uno después del otro) qué probabilidad hay que uno de ellos sea de alta resistencia y el otro sea un perno común? En cierta compañía, la semana pasada se fabricaron 50 juegos Play Station. 40 operaron sin problemas y 10 tuvieron al menos un defecto. Se seleccionaron aleatoriamente 5 juegos; cuál es la probabilidad de que cuatro funcionen perfectamente? Si Carlos tiene tres billetes de una lotería que vendió 1000 billetes y existen 5 premios. Cuál es la probabilidad de que Carlos gane por lo menos un premio? Un cargamento de 150 lavadoras contiene 40 defectuosas y 110 no defectuosas. Se elige al azar veinte lavadoras (sin sustitución) y se clasifica. Cuál es la probabilidad de que se encuentren: a) Exactamente 9 lavadoras defectuosas b) Al menos dos lavadoras defectuosas La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5. Si A y B disparan, cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco? 0.55 Gladys Enríquez Mantilla 165

19 12.- Una factoría opera con un turno diurno de 8 horas. Se usan 5 máquinas de cierto tipo. Si una de estas máquinas se descompone se hace a un lado y se repara por una cuadrilla que opera de noche. Suponga que la probabilidad de que una máquina dada sufra una descompostura durante un día de operación es 1/5. Cuál es la probabilidad que: a) No ocurra ninguna descompostura de máquina en un día dado b) Dos o más descomposturas de máquina ocurran en un día dado La probabilidad que Juan apruebe estadística es 0,57, mientras que la de Carlos es 0,64. Si se sabe que la probabilidad que ambos aprueben es 0,35, cuál es la probabilidad que Juan o Pedro aprueben estadística? Cuarenta trabajadores han recibido nuevas computadoras. Veintisiete tienen la nueva tecnología MMX. Si se seleccionan diez aleatoriamente, cuál es la probabilidad que tres estén equipadas con MMX? Para la señalización de emergencia de un aeropuerto se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador se accione durante una avería es igual a 0.95 para el primero de ellos y 0.90 para el segundo. Hallar la probabilidad de que durante una avería se accione sólo un indicador Tres hombres y cuatro mujeres se van a sentar al azar en una fila. Hallar la probabilidad que se encuentren: a) Un hombre y una mujer alternando b) Las mujeres juntas c) Los extremos ocupados por hombres Si un empleado elude su trabajo el 30% del tiempo, cuál es la probabilidad de que sea sorprendido si su jefe lo controla 4 veces al azar? Sabemos que los diskettes producidos por cierta compañía son defectuosos con probabilidad 0.01 e independientes entre sí. Los diskettes se venden en cajas de 10 y se ofrece una garantía de devolución en caso de encontrar más de uno defectuoso en cada caja. Calcular la proporción de diskettes que se devuelven Una caja contiene la producción de piezas de una máquina A y otra la producción de una máquina B. La primera contiene dos piezas buenas y dos malas; la segunda, dos buenas y cuatro malas. Si se extrae una pieza de cada caja; hallar la probabilidad de que ambas sean de la misma característica La probabilidad de que Elena derrote a Carlos en un juego de ajedrez es de 2/3. Cuál es la probabilidad de que Elena derrote a Carlos exactamente dos veces en 3 juegos de ajedrez Después de un extenso estudio, los archivos de una compañía de seguros revelan que la población de un país cualquiera puede clasificarse, según sus edades, como sigue: un 35% menores de 20 años, un 25% entre 21 y 35 años, un 20% entre 36 y 50 años, un 15% entre 51 y 65 años y un 5% mayores de 65 años. Suponga que se puede elegir un individuo de tal manera que cualquier habitante del país supuesto tienen la misma posibilidad de ser elegidos. Cuál es la probabilidad de que el individuo sea mayor de 35 años? En un laboratorio de informática hay 50 computadoras de las cuales 15 están infectadas por un virus. Diez estudiantes llegan al laboratorio y se sientan aleatoriamente cada uno de ellos ante una computadora. Calcular la probabilidad de que al menos tres estudiantes hayan elegido computadoras infectadas Gladys Enríquez Mantilla 166

20 23.- Tres administradores comparten una oficina con un teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para A, 2/5 para B y 1/5 para C. El trabajo de estos administradores les obliga a frecuentes salidas, de manera que A está fuera el 50% de su tiempo, B y C el 25%. Calcular la probabilidad que: a) No esté ninguno para responder el teléfono b) Hayan cuatro llamadas seguidas para un mismo ingeniero En un taller hay tres computadoras; la primera se avería al mes con una probabilidad de 0,04, la segunda con 0,06 y la tercera con 0,1; sus averías son independientes en probabilidad. Calcular la probabilidad que: a) Se averíe una sola computadora en el mes b) Se averíen las tres computadoras en el mes c) Se averíen la primera y la segunda pero no la tercera d) Se averíe al menos una de las computadoras En un grupo hay 3 ingenieros, 6 abogados, 4 médicos y 2 psicólogos. Si se eligen tres personas al azar, hallar la probabilidad que: a) No resulten de la misma profesión b) Los tres resulten de profesiones diferentes Un lote consta de doce artículos buenos, 6 con pequeños defectos y 4 con defectos graves. Si se escogen tres artículos al azar (sin sustitución), hallar la probabilidad que: a) todos sean buenos b) por lo menos uno tenga pequeños defectos c) a lo más uno no sea bueno d) exactamente uno tenga defectos graves e) ninguno tenga defectos graves Cuatro profesionales van a ser seleccionados de un grupo formado por 3 matemáticos, 4 profesores y 5 administradores. Cuál es la probabilidad que el grupo seleccionado esté integrado: a) Por dos administradores, un profesor y un matemático b) Por lo menos por tres administradores c) Por lo menos por un matemático Una compañía de taxis tiene 12 Datsun y 8 Toyota, 5 de éstos están en el taller de reparaciones. Cuál es la probabilidad que: a) Al menos tres de ellos sean Toyota b) Todos los que están en el taller sean de la misma marca Se sabe que una computadora responde a un antivirus con probabilidad 0,8. Si a tres computadoras independientes entre sí se les aplica el antivirus, hallar la probabilidad de que al menos una responda Un sistema está formado por dos componentes A y B. Si la probabilidad de que A falle es 0,7 y la de que B fracase es 0,8 qué probabilidad hay de que: a) el sistema siga funcionando bien. 0,06 b) ambos componentes fallen. 0,56 c) falle cualquiera de ellos. 0, La compañía de computadoras Wang elabora unidades por semana. Cada unidad pasa por tres puestos de inspección A, B y C, antes de ser embarcadas. En el puesto A se rechazan 2 por 100; 5 por 100 se rechazan en el puesto B, y por último en el puesto C se rechazan aproximadamente 1 por 100. Cuál es la probabilidad de que una unidad tomada al azar pase las tres inspecciones? 0,9217 Gladys Enríquez Mantilla 167

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