1.4 Cálculo de Probabilidades con Métodos de Conteo. Considerere un espacio muestral finito,

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1 1 1.4 Cálculo de Probabilidades con Métodos de Conteo Considerere un espacio muestral finito, y defina, Luego, Ω = {ω 1,..., ω n }, P ({ω i }) = p i, i = 1,..., n P (A) = ω i A p i, A Ω Ω se dice equiprobable si todos los p i son iguales, e.d. p i = 1, i = 1,..., n. n En este caso, P (A) = n A n = número de casos favorables número de casos totales = ( ω i A p i = ω i A 1 n = n A n = #A #Ω ) Advertencia

2 2 Ejemplo B: Urna negra: 5 bolas rojas, 6 bolas verdes Urna blanca: 3 bolas rojas, 4 bolas verdes Usted escoge una urna a voluntad, y luego extrae al azar una bola de esa urna. Si usted extrae una bola roja gana un premio. Qué urna usted debe preferir? Defina los eventos: R N =se extrae una bola roja de la urna negra. R B =se extrae una bola roja de la urna blanca. P (R N ) = = 5 11 = 0, 455 P (R B ) = = 0, 429 La urna negra es preferible.

3 En un segundo juego la composición de las urnas es: Urna negra: 6 bolas rojas, 3 bolas verdes Urna blanca: 9 bolas rojas, 5 bolas verdes Qué urna usted debe preferir? Para este segundo par de urnas las probabilidades de extraer una bola roja son: 3 P (R N ) = 6 9 = 0, 667 P (R B ) = = 0, 643 Nuevamente la urna negra es preferible. En un tercer, y último, juego, el contenido de urna negra del segundo juego se agrega a la urna negra del primer juego. De manera similar, el contenido de urna blanca del segundo juego se agrega a la urna blanca del primer juego. Qué urna usted debe preferir en el último juego? Tal vez su intuición le dice que escoja la urna negra.

4 4 El cálculo de la probabilidades arroja: P (R N ) = = 0, 55 P (R B ) = = 0, 571 De modo que en el último juego la urna blanca es preferible! Este ejemplo ilustra una instancia de la paradoja de Simpson. Ejemplo real: ver sección Ejemplos interesantes en: Gardner, M. (1976) Mathematical Games. Scientific American,

5 5 El Principio de Multiplicación. Si un experimento tiene m resultados y otro tiene n resultados, entonces hay m n resultados para los dos experimentos. Ejemplo: En la clase hay hombres mujeres es posible formar parejas

6 6 Principio de Multiplicación Extendido. p experimentos n i resultados en el experimento i, i = 1,..., p hay n 1 n 2 n p resultados para los p experimentos. Ej.: cuál es el número total de patentes de autos? Ejemplo C: Una palabra binaria de 8 bits es una secuencia de 8 dígitos, cada uno de los cuales puede ser 0 o 1. Cuántos palabras de 8 bits Ud. puede formar? Sol: Hay dos alternativas para el primer dígito, dos para el segundo, etc. Luego hay = 2 8 = 256, palabras binarias de 8 bits.

7 Ejemplo D: Una molécula de ADN es una secuencia de cuatro tipos de nucleótidos que se denotan por A, G, C y T. La molécula puede tener millones de unidades de largo y por lo tanto puede codificar una cantidad enorme de información. Por ejemplo, para una molécula con 1 millón de unidades de largo, uno puede formar secuencias diferentes. Este es un número enorme con cerca de un millón de dígitos. Un aminoácido se codifica con una secuencia de tres nucleótidos. Luego hay 4 3 = 64 códigos diferentes, pero hay sólo 20 aminoácidos puesto que alguno de ellos tienen varios códigos. Una proteína es una molécula que se compone de cientos de unidades de aminoácidos. Luego hay una cantidad enorme de proteínas. Por ejemplo hay secuencias diferentes de 100 aminoácidos. 7

8 Permutaciones y Combinaciones. Sea C = {C 1, C 2,..., C n } una colección de n objetos. Escogemos r objetos y los listamos en orden. 1. Muestreo sin reemplazo (objetos no se pueden repetir) 2. Muestreo con reemplazo (objetos se pueden repetir) Proposición A Para muestreo sin reemplazo, uno puede escoger los r objetos de n (n 1) (n 2) n {r 1} { }} { (n r + 1) formas Para muestreo con reemplazo, uno puede escoger los r de n n n } {{ } r = n r formas

9 9 Corolario El número de permutaciones de n objetos es Ejemplo: n(n 1)(n 2) 1 = n! Suponga que todas las patentes son equiprobables. Cuál es la probabilidad de que una patente escogida al azar no tenga ni letras ni números repetidos?

10 10 Ejemplo E: Problema del cumpleaños Hay n personas en una sala. Cuál es la probabilidad que al menos dos de ellas tengan el mismo día de cumpleaños? Suponga que cada día del año es igualmente probable como cumpleaños. (Descarte años bisiestos). Sea A el evento: hay al menos dos personas con el mismo día de cumpleaños. P (A) = 1 P (A c ). P (A c ) = P ( no hay dos personas con (365 n + 1) = 365 n En un curso con n = 75 alumnos: P (A) =

11 n P (A) 4 0, , , , , ,988 11

12 12 Recuento de Combinaciones El interés se centra en los constituyentes de las muestra y NO en el orden de ellos. Pregunta básica: si seleccionamos r objetos de un conjunto de n, sin reemplazo y sin considerar el orden, cuántas muestras distintas hay? Pregunta equivalente: cuántos subconjuntos de tamaño r se pueden formar de un conjunto de tamaño n?

13 13 Respuesta: número de muestras ordenadas: n(n 1) (n r + 1) (r objetos) que se pueden ordenar de r! maneras Luego, el número de subconjutos de tamaño r que se pueden a partir de un conjunto de tamaño n es, n(n 1) (n r + 1). r! Note que el numerador en esta ecuación se puede reescribir en la forma, n(n 1) (n r + 1) = n(n 1) (n r + 1) = n! (n r)! (n r)! (n r)!

14 14 Proposición B El número de muestras no-ordenadas de tamaño r tomadas sin reemplazo de n objetos es ( ) n r = n! r!(n r)! = Coeficiente binomial Los coeficientes binomiales ocurren en la expansión, n ( ) (a + b) n n = a k b n k k En particular, 2 n = k=0 n k=0 ( ) n. k

15 Interpretación: Este resultado provee el número de subconjuntos que uno puede formar a partir de un conjunto de tamaño n. Es decir, #(P (A)) = 2 n, si #(A) = n. Uno suma el número de subconjuntos de tamaño cero (con la convención 0! = 1.) con el número de subconjuntos de tamaño 1, etc., hasta el número de subconjuntos de tamaño n. 15

16 Ejemplo G: Hasta 1991, un jugador de la lotería del Estado de California, EEUU, podía ganar el pozo escogiendo seis números entre 1 y 49 y que después coincidieran con los seleccionados por funcionarios de la lotería. Habían ( 49 6 ) = formas de escoger 6 números de 49, y por lo tanto la probabilidad de ganar el pozo era aproximadamente 14 millones. Si no había ganadores, el pozo se acumulaba para el próximo juego. Las reglas del juego fueron modificadas de modo que el los jugadores tenían que escoger 6 números entre 1 y 53. Puesto que ( 53 6 ) = , la probabilidad de ganar decrece a 1 en 23 millones aproximadamente. Por la acumulación de pozos de varios juegos, el pozo alcanzó un record de USD 120 millones. Este pozo generó un fiebre de juego, gente compraba boletos a tasas de entre 1 y 2 millones por hora y los ingresos del estado crecieron fuertemente. 16

17 17 Ejemplo H: - n items en un lote. - items pueden ser defectuosos o no. - se seleccionan r para ser examinados. hay ( n r ) de tales muestras. Supongamos que hay k items defectuosos en el lote. Cuál es la probabilidad que la muestra contenga m items defectuosos exactamente?

18 18 Sea A el evento relevante: P (A) = n casos favorables n casos totales ( ) k m ( ) n k r m Luego, P (A) = = n formas en que A puede ocurrir n muestras = número de muestras con exactamente m items defectuosos. = número de muestras con exactamente r m items NO defectuosos ( km )( n k ) ( r m nr ) Probabilidad Hipergeométrica

19 19 Ejemplo I: Métodos de Captura-Recaptura Uso: Estimación del tamaño de una población de animales Etapa I 10 animales son atrapados, marcados y devueltos Etapa II 20 animales son atrapados, 4 de ellos habían sido marcados Cuál es el tamaño de la población?

20 20 Sea A el evento: 4 animales de 20 tienen marcas. ) P (A) = ( 10 )( n ( n20 ) = n muestras favorables n muestras totales n = tamaño de la población DESCONOCIDO cantidad de interés datos = n de animales marcados en la Etapa II cantidad desconocida ANTES del experimento... observada DESPUES del experimento

21 Tamaños de las muestras (10 y 20) son conocidos antes del experimento (cantidades fijas por DISEÑO. Cantidad de interés NO observable: parámetro El proceso de aprendizaje sobre los parámetros se llama INFERENCIA ESTADÍSTICA. 21

22 22 Proposición C El número de formas que n objetos pueden ser ordenados en r clases con n i objetos en la clase i, i = 1,..., r, y ri=1 n i = n, es ( ) n n! = n 1 n 2 n r n 1!n 2! n r!. Note que la Proposición B es un caso especial del la Proposición C con r = 2. Dem: Hay ( n n1 ) maneras de escoger los objetos para la primera clase. Terminada esta etapa, Hay ( n n ) 1 n maneras de escoger los objetos 2 para la 2da clase.

23 23 Continuando de esta manera, uno cuenta n! n 1!(n n 1 )! (n n 1 )! (n n 1 n 2 )!(n 2 )! n r { }} { (n n 1 n 2 n r 1 )! (0)!n r! } {{ } 1 formas de escoger los objetos de la forma deseada. El resultado de la proposición se obtiene después de simplificar.,

24 Ejemplo J Un comité de siete personas puede ser dividido en tres comites de tamaño tres, dos y dos, respectivamente. Cuantos subcomites diferentes uno puede formar de esta forma? ( ) = 9! 2!4!3! =

25 Ejemplo K De cuántas formas uno puede reordenar el conjunto de nucleotoides {A, A, G, G, G, G, C, C, C} en una secuencia de nueve letras? Solución: Uno puede usar la Proposición C después de notar que uno puede reformular la pregunta en forma equivalente: De cuántas formas uno puede ordenar las nueve posiciones en la secuencia en subgrupos de tamaño dos, cuatro y tres? (que son las posiciones de las letras A, G y C). ( ) = 9! 2!4!3! =

26 Ejemplo L De cuántas formas uno puede ordenar n = 2m personas y luego asignarlas a m canchas de tenis? Sol: En este problema n i = 2, i = 1,..., m, y de acuerdo a la proposición C el número de asignaciones es (2m)! 2 m. Uno tiene que ser cauteloso con estos problemas. Suponga que la pregunta fuera por el número de parejas que uno puede formar con 2m personas, sin requerir que luego sean asignadas a canchas de tenis. Puesto que el número de formas en que uno puede asignar m parejas a m canchas es m!, uno debe dividir el resultado anterior por m!, y obtener, (2m)! m! 2 m. 26

27 Los números ( n ) n 1 n 2 n r se llaman coeficientes multinomiales, y ocurren en la expansión (x 1 + x x r n = ( ) n x n 1 n 1 n 2 n 1 xn 2 2 xn r r, r donde la suma es sobre los enteros n 1, n 2,..., n r, tales que n 1 + n n r = n. 27

28 28 Ejercicio Suponga que un mazo de 52 naipes contiene 4 ases. El mazo se mezcla y los naipes se distribuyen entre cuatro jugadores. Cada Jugador recibe 13 naipes. Calcule la probabilidad que cada jugador reciba un as. Sol: Número de casos totales: Los cuatro ases ocupan cuatro posiciones en el mazo. Enumere las posiciones en el mazo de 1 a 52. El número de casos totales es el número de formas que se puede seleccionar 4 números de 52.

29 En otras palabras, el número de subconjuntos de tamaño 4 que se puede seleccionar a partir de 52 elementos. Número de configuraciones totales = ( 52 4 ). Suponga que cada una de estas configuracines es igualmente probable. Número de casos favorables: Si cada jugador recibe un as, entonces debe haber exactamente un as entre los 13 primeros naipes, exactamente un as entre los 13 naipes siguientes, y exactamente un as entre los 13 naipes que los otros dos jugadores recibiran. Para el primer as hay 13 posicines posibles. Para el segundo as hay 13 posiciones posibles, y el mismo número de posiciones para los ases de los otros dos jugadores. 29

30 30 Por lo tanto hay 13 4 configuraciones de posiciones de los cuatro ases que conducen al resultado deseado. Luego, la probabilidad p que cada jugador reciba exactamente un as es p = 134 ( 52 4 ) = 0, 1055

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