Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo

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1 MA2006

2 Primer Regla del Producto Si el primer elemento u objeto de un par ordenado puede ser seleccionado de n 1 maneras y por cada una de estas n 1 maneras el segundo elemento del par puede ser seleccionado de n 2 maneras, entonces el número de pares es n 1 n 2.

3 El propietario de una casa que va a llevar a cabo una remodelación requiere los servicios tanto de un contratista de fontanería como de un contratista de electricidad. Si existen 12 contratistas de fontanería y 9 contratistas electricistas disponibles en el área, de cuántas maneras pueden ser elegidos los contratistas?

4 El propietario de una casa que va a llevar a cabo una remodelación requiere los servicios tanto de un contratista de fontanería como de un contratista de electricidad. Si existen 12 contratistas de fontanería y 9 contratistas electricistas disponibles en el área, de cuántas maneras pueden ser elegidos los contratistas? Sean P l,..., P l2 los fontaneros y Q l,...,q 9 los electricistas, entonces se desea el número de pares de la forma (P i, Q j ). Con n 1 = 12 y n 2 = 9, la regla de producto da N = (12)(9) = 108 formas posibles de seleccionar los dos tipos de contratistas.

5 Una familia se acaba de cambiar a una nueva ciudad y requiere los servicios tanto de un obstetra como de un pediatra. Existen dos cĺınicas médicas fácilmente accesibles y cada una tiene dos obstetras y tres pediatras. La familia obtendrá los máximos beneficios del seguro de salud si se une a la cĺınica y selecciona ambos doctores de la cĺınica. De cuántas maneras se puede hacer esto?

6 Una familia se acaba de cambiar a una nueva ciudad y requiere los servicios tanto de un obstetra como de un pediatra. Existen dos cĺınicas médicas fácilmente accesibles y cada una tiene dos obstetras y tres pediatras. La familia obtendrá los máximos beneficios del seguro de salud si se une a la cĺınica y selecciona ambos doctores de la cĺınica. De cuántas maneras se puede hacer esto? Denote los obstetras por O 1, O 2, O 3 y 0 4 y los pediatras por P 1,..., P 6. Entonces se desea el número de pares (O i, P j ) para los cuales 0 i y P j están asociados con la misma cĺınica. Como existen cuatro obstetras, n 1 = 4, y por cada uno existen tres opciones de pediatras, por lo tanto n 2 = 3. Aplicando la regla de producto se obtienen N = n 1 n 2 = 12 posibles opciones.

7 Regla general del producto Supóngase que un conjunto se compone de conjuntos ordenados de k elementos (k-tuplas) y que existen n 1 posibles opciones para el primer elemento por cada opción del primer elemento, existen n 2 posibles opciones del segundo elemento;... ; por cada posible opción de los primeros k 1 elementos, existen n k opciones del elemento k-ésimo. Existen entonces n 1 n 2 n k posibles k-tuplas.

8 (Continuación del ejemplo inmediato anterior) Suponga que el trabajo de remodelación de la casa implica adquirir primero varios utensilios de cocina. Se adquirirán en la misma tienda y hay cinco tiendas en el área.

9 (Continuación del ejemplo inmediato anterior) Suponga que el trabajo de remodelación de la casa implica adquirir primero varios utensilios de cocina. Se adquirirán en la misma tienda y hay cinco tiendas en el área. Con las tiendas denotadas por D 1,..., D 5, existen N = n 1 n 2 n 3 = (5)(12)(9) = tuplas (triadas) de la forma (D i, Pj, Q k ); así que existen 540 formas de elegir primero una tienda, luego un contratista de fontanería y finalmente un contratista electricista.

10 Si cada cĺınica tiene dos especialistas en medicina interna y dos médicos generales, existen n 1 n 2 n 3 n 4 = (4)(3)(3)(2) = 72 formas de seleccionar un doctor de cada tipo de tal suerte que todos los doctores practiquen en la misma cĺınica.

11 En el alfabeto Braile se construye cada símbolo utilizando una matriz (3 2) de 6 puntos algunos de ellos en relieve o realzados y los otros no. Determine el número de caracteres que se puede representar si no se puede elegir la configuración donde ninguno está realzados. Son tan pocos que se requiere anteponer otro símbolo para indicar cómo interpretar la matriz de puntos. Determine el número de caracteres que se puede representar con 8 puntos.

12 Un restaurante ofrece una selección de 4 aperitivos, 14 entradas, 6 postres y 5 bebidas. De cuántas maneras se puede diseñar una comida suponiendo que se tiene suficiente hambre para hacer cualquier selección?

13 Una octava contiene 12 notas distintas: en un piano 5 de esas notas están en teclas negras y 7 en teclas blancas. Cuántas diferentes melodias de 8 notas se pueden construir con las notas de una octava si sólo deben usarse notas en teclas blancas?

14 En el alfabeto o código Morse las letras o números son representados por puntos o rayas. Por ejemplo, S es tres puntos y O es tres rayas. Cuando se usa en telegrafía la duración del sonido raya es aproximadamente 3 puntos. La distancia entre dos caractares de una palabra son aproximadamente 3 puntos, mientras que la separación entre dos palabras es el equivalente a 5 puntos. Cuántos caracteres se requerirían para representar sólo letras (29) y números (10)?

15 Una pizería ofrece rápida ofrece una selección de 8 toppings para cada una de las pizas. De cuántas maneras se un cliente puede escoger si la selección incluye de 1 a 4 toppings diferentes?

16 Suponga que el formato de las placas de Nuevo León es de tres letras seguido de un número de 3 dígitos. La primera letra está entre N y S. Determine el total de placas posibles para Nuevo León.

17 Determine el número de enteros entre 100 y 999 que tienen sus tres dígitos diferentes. Cuántos de esos son impares?

18 Permutación y Combinación Un subconjunto ordenado se llama permutación. El número de permutaciones de tamaño r que se puede formar con los n individuos u objetos en un grupo será denotado por P n,r (npk). Un subconjunto no ordenado se llama combinación. Una forma de denotar el número de combinaciones es C n,r (ncr), pero en su lugar se utilizará una notación que es bastante común en libros de probabilidad: ( n r ), que se lee de n se eligen r.

19 Fórmula de P n,r P n,r = n! (n r)!

20 Suponga que de 7 alumnos se va a elegir un comite: presidente, vicepresidente y tesorero. Cuántos comites es posible formar?

21 Suponga que de 7 alumnos se va a elegir un comite: presidente, vicepresidente y tesorero. Cuántos comites es posible formar? En este caso n = tamaño del grupo = 7 y r = tamaño del subconjunto = 3. El número de permutaciones es P 7,3 = 7! (7 3)! = 7! 4! = = 210 Es decir, el total de comites que es posible formar es de 210.

22 Continue con el ejemplo anterior y suponga que los comites son igualmente probables y que Pedro es uno de los 7 alumnos. Responda: En cuántos comites estará Pedro como presidente? En cuántos comites estará Pedro? En cuántos comites no estará Pedro?

23 De cuántas maneras las letras de COMPUTER pueden ser arreglas en una ĺınea? De cuántas maneras las letras de COMPUTER pueden ser arreglas en una ĺınea si la CO debe considerarse como una unidad?

24 Una reunión de 6 diplomáticos (digamos A, B, C, D, E y F) se llevará a cabo usando una mesa circular. A pesar de que la mesa no tiene cabecera y no importa la posición absoluta, sí importa la relativa. De cuántas maneras se pueden sentarse los diplomáticos? De cuántas manearas se pueden sentar para que A quede entre B y F?

25 Existen diez asistentes de profesor disponibles para calificar exámenes en un curso de cálculo en una gran universidad. El primer examen se compone de cuatro preguntas y el profesor desea seleccionar un asistente diferente para calificar cada pregunta (sólo un asistente por pregunta). De cuántas maneras se pueden elegir los asistentes para calificar?

26 Existen diez asistentes de profesor disponibles para calificar exámenes en un curso de cálculo en una gran universidad. El primer examen se compone de cuatro preguntas y el profesor desea seleccionar un asistente diferente para calificar cada pregunta (sólo un asistente por pregunta). De cuántas maneras se pueden elegir los asistentes para calificar? En este caso n = tamaño del grupo = 10 y r = tamaño del subconjunto = 4. El número de permutaciones es P 10,4 = 10! (10 4)! = 10! = = ! Es decir, el profesor podría aplicar 5040 exámenes diferentes de cuatro preguntas sin utilizar la misma asignación de calificadores a preguntas.

27 Fórmula de C n,k C n,r = ( n r ) = n! r! (n r)!

28 Suponga que se tiene un departamento con 10 empleados y que se elige el jefe del departamento de la siguiente manera. Hay una selección interna de tres candidatos. De los cuales el jefe de la comañía selecciona uno. Cuál es el número total de posibles selecciones internas?. Suponga que Pedro es uno de los 10 empleados, cuál es el número total de ternas donde Pedro está presente?

29 De 12 personas 5 serán seleccionadas para formar un grupo de trabajo. Suponga que 2 miembros insisten que en caso de ser seleccionadas deben ir las dos. De cuántas maneras se puede formar los equipos? Si los equipos se forman al azar, cuál será la probabilidad de que queden juntas? Si tales miembros ahora no quieren ir juntos en caso se ser seleccionados, de cuántas maneras se pueden formar los equipos?

30 El almacén de una universidad recibió 25 impresoras, de las cuales 10 son impresoras láser y 15 son modelos de inyección de tinta. Si 6 de estas 25 se seleccionan al azar para que revise un técnico particular, cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de las seleccionadas sean impresoras láser (de modo que las otras 3 sean de inyección de tinta)?

31 Solución Sea D 3 = {exactamente 3 de las 6 seleccionadas son impresoras de inyección de tinta}. Suponiendo que cualquier conjunto particular de 6 impresoras es tan probable de ser elegido como cualquier otro conjunto de 6, se tienen resultados igualmente probables, por lo tanto P(D 3 ) = N(D 3 )/N, donde N es el número de formas de elegir 6 impresoras de entre las 25 y N(D 3 ) es el número de formas de elegir 3 impresoras láser y 3 de inyección de tinta. lo tanto N = C 25,6. Para obtener N(D3), primero se piensa en elegir 3 de las 15 impresoras inyección de tinta y luego 3 de las impresoras láser. Existen C 15,2 formas de elegir las 3 impresoras de inyección de tinta y C 10,3 formas de elegir las 3 impresoras láser; N(D3) es el producto de estos dos números: ( ) ( ) P(D 3 ) = N(D 3) N = 3 ( ) =

32 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar?

33 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? ( ) ! N T = = = ! 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar?

34 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? ( ) ! N T = = = ! 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? N 1 = N num w=4 N num m=3 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar?

35 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? ( ) ! N T = = = ! 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? N 1 = N num w=4 N num m=3 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? N 2 = N T N num men=0 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar?

36 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? ( ) ! N T = = = ! 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? N 1 = N num w=4 N num m=3 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? N 2 = N T N num men=0 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? N 3 = N num w=0 + N num m=1 + N num w=2 + N num m=3 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar?

37 Se tiene un equipo de 13 programadores. 1 De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para trabajar en un proyecto? ( ) ! N T = = = ! 2 Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres: Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean mujeres y 3 sean hombres? N 1 = N num w=4 N num m=3 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1 hombre? N 2 = N T N num men=0 Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3 mujeres? N 3 = N num w=0 + N num m=1 + N num w=2 + N num m=3 3 Suponga que hay dos personas (x y y) que se reusan a trabajar juntas, cuántos equipos se pueden formar? N 4 = N x está + N y está + N x,y no están

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