Planificación de Análisis Matemático II A (61.03) 1º Cuatrimestre 2010 Docente responsable: GABBANELLI SUSANA

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1 Planificación de Análisis Matemático II A (61.03) 1º Cuatrimestre 2010 Docente responsable: GABBANELLI SUSANA OBJETIVOS Objetivos específicos de la asignatura: Conocer los fundamentos del cálculo para funciones escalares y vectoriales. Interpretar el lenguaje simbólico apropiado para la operar con los conceptos inherentes a la asignatura. Resolver problemas que combinen razonamientos teóricos y métodos de cálculo. Objetivos relativos a la formación profesional: Proveer de una metodología rigurosa para el análisis, modelización y resolución de problemas. Afianzar, incrementar y perfeccionar los conocimientos matemáticos siendo que la Matemática es el lenguaje de la Ingeniería, además de proveerle herramientas imprescindibles para su desarrollo y para la creación de nuevas tecnologías. CONTENIDOS MÍNIMOS Cálculo diferencial e integral de las funciones de varias variables. Análisis vectorial. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. PROGRAMA SINTÉTICO Nociones elementales de Topología de espacios reales n dimensionales. Funciones de varias variables. Límite y continuidad para funciones de varias variables. Diferenciabilidad. Derivadas direccionales. Gradiente. Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados. Integrales múltiples. Curvas. Integrales de línea. Superficies. Integrales de superficie. Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicaciones. PROGRAMA ANALÍTICO 1. Geometría del plano y el espacio Nociones elementales de cónicas y cuádricas. Coordenadas polares. Nociones elementales de Topología en el plano y el espacio tridimensional real: conjuntos abiertos y cerrados, entorno, frontera, puntos de acumulación, conjuntos conexos y simplemente conexos. 2. Funciones y límites. Derivadas parciales. Funciones escalares. Conjuntos de nivel. Funciones vectoriales. Límite y continuidad. Derivada de funciones escalares. Derivadas parciales. Definición de curva. Parametrización de curvas. Vector tangente.

2 3. Diferenciación Definición de función diferenciable. Vector gradiente. Teorema del valor medio. Continuidad y derivabilidad. Derivada direccional. Plano tangente y recta normal. Derivada de funciones vectoriales. Matriz Jacobiana. Definición de superficies. Parametrización de superficies. Curvas paramétricas. Plano tangente y recta normal a una superficie. 4. Funciones compuestas y funciones implícitas Composición de funciones. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Campos escalares y vectoriales. Funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Jacobianos. 5. Fórmula de Taylor. Extremos relativos. Extremos condicionados. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Diferenciales totales sucesivas. Fórmula de Taylor. Puntos estacionarios. Extremos absolutos y relativos. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente. Hessiano. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. 6. Ecuaciones diferenciales Definición de ecuación diferencial. Soluciones. Ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuación a variables separables, ecuación lineal de primer orden y ecuación de Bernoulli. Trayectorias ortogonales. Líneas de campo. 7. Integrales de línea Curvas de Jordan. Puntos regulares y singulares. Longitud de arco. Parámetro intrínseco. Vector velocidad. Vector aceleración. Definición de integral de línea de campos escalares y vectoriales. Propiedades. Trabajo. Circulación. Aplicaciones geométricas y físicas. Campos de gradientes. Propiedades. Función potencial. Condición necesaria y suficiente para la existencia de una función potencial. Ecuación diferencial total exacta. Ecuaciones diferenciales transformables a una ecuación diferencial exacta (factor integrante). 8. Integrales múltiples Definición de integral doble. Propiedades. Aplicaciones geométricas y físicas. Cambio de variables en integrales dobles. Jacobiano. Coordenadas Polares. Integrales triples. Cambio de variables. Jacobianos. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones geométricas y físicas. 9. Integrales de superficie Definición de elemento de área. Área de una superficie en el espacio. Orientación de una superficie. Flujo de un campo vectorial. Distintas expresiones para la integral de superficie. 10. Análisis vectorial Teorema de Green. Su extensión a recintos múltiplemente conexos. Definición de divergencia y rotor de un campo vectorial. Operador nabla. Campos solenoidales e irrotacionales. Funciones armónicas. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Aplicaciones. BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Cálculo vectorial Apostol, T. M. (2001). Calculus. Reverté. Courant, J.(1984). Introducción al cálculo y al análisis matemático 2. Limusa. Mardsen, J. & Tromba, A. J. (1998). Addison-Wesley

3 Penney, E. (1994). Cálculo y geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana Pita Ruiz, C. (1995). Cálculo vectorial. Prentice-Hall Hispanoamericana Purcell, E. J., & Varberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica. Prentice-Hall. Santaló. L. A.(1993). Vectores y tensores con sus aplicaciones. Eudeba. Spiegel, M. (1991). Cálculo Superior. Mc-Graw Hill. Stein, S.(1996). Cálculo y geometría analítica. Mc Graw-Hill. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Acero, F. y Comas, J.(2007). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Kreider, D., Kuller y Ostberg, D. (1973). Ecuaciones Diferenciales. Fondo Eduacativo Interamericano. Simmons, G. F. (1993). Ecuaciones Diferenciales. Mc Graw-Hill. RÉGIMEN DE CURSADA Metodología de enseñanza Cada curso desarrollará la asignatura durante 8 horas semanales, 4 horas de teoría a cargo del profesor responsable del curso, y 4 horas de trabajos prácticos a cargo de personal auxiliar, bajo la dirección del profesor responsable. Con el trabajo conjunto del grupo de docentes (profesordocentes auxiliares) asignados a cada curso, se pretende orientar al alumno hacia un estudio integral de la materia. Esto significa impulsar una formación integradora del alumno que permita ir generando las bases del esperado criterio profesional de un egresado universitario; es decir, darle las herramientas necesarias para que su accionar no se vea limitado por la falta de entrenamiento en la combinación de razonamientos teóricos y métodos de cálculo para afrontar la resolución de diferentes tipos de problemas; evaluar los procedimientos más convenientes, asociar conceptos y analizar la lógica del resultado obtenido (homogeneidad de unidades, cumplimiento de leyes y/o propiedades fundamentales, etc.). Se utiliza una guía de trabajos prácticos común para todos los cursos que pretende impulsar el enfoque antes indicado; esta guía se va actualizando/corrigiendo acorde a las necesidades y se publica en la página Evaluaciones La elaboración de todas las evaluaciones de la asignatura es realizada por Silvia Gigola, Cristina Unger y Eduardo Zitto bajo la supervisión de María Inés Troparevsky. En la confección del parcial se trabaja con los ejercicios aportados por los docentes Jefes de Trabajos Prácticos de la asignatura y en la confección del examen integrador con los aportados por los Profesores. Página web La página web de la asignatura diseñada y actualizada por Jorge Comas es: Modalidad de Evaluación Parcial Se tomará una Evaluación Parcial y una Evaluación Integradora. La Evaluación Parcial podrá rendirse en tres fechas; la Planificación Cuatrimestral establece dos fechas durante el Período de Clases y la otra en la primera semana del período de Evaluaciones Integradoras. La Evaluación Integradora podrá rendirse en a lo sumo 3 (tres) veces durante los Períodos de Evaluaciones habilitados para cada cuatrimestre por la correspondiente reglamentación vigente en la Facultad. En la Planificación Cuatrimestral no se definen unidades temáticas; por ende, los temas de las evaluaciones no se dividen en unidades temáticas. Toda evaluación se deberá aprobar o recuperar "completa" en una sola oportunidad; es decir, nunca se considerarán partes aprobadas en otra oportunidad, ni se tomarán recuperatorios de partes de una evaluación.

4 Podrán presentarse a rendir la Evaluación Integradora todos los alumnos que hayan aprobado la Evaluación Parcial y figuren inscriptos como alumnos regulares en los listados definitivos de los alumnos inscriptos en la materia. Todas las evaluaciones serán escritas y en cada una de ellas el alumno dispondrá de 3 (tres) horas para rendirla. El temario para la Evaluación Integradora se corresponde con la totalidad del programa de la materia, el cual está expuesto en cartelera para conocimiento de los alumnos. Las Evaluaciones Parciales y las Evaluaciones Integradoras serán corregidas por los profesores asistidos por los docentes auxiliares; en todos los casos, los temas se generarán desde la Dirección de la Cátedra. Para rendir la Evaluación Integradora, el alumno DEBERÁ inscribirse previamente con el tiempo de antelación que oportunamente se indique para cada fecha. Para rendir cada evaluación (parcial o integradora) es IMPRESCINDIBLE que el alumno presente su Libreta Universitaria; no se permitirá rendir la evaluación a aquellos alumnos que no cumplan este requisito. Todo alumno que haya aprobado la Evaluación Integradora tendrá aprobada la asignatura con la calificación definitiva que el docente a cargo juzgue correspondiente a su desempeño. A aquellos estudiantes que consideren posible superar su rendimiento se les permitirá volver a rendir, anulando la Evaluación Integradora aprobada, si así lo demandaran. La opción de anular una Evaluación Integradora aprobada deberá ser comunicada por el alumno a la Coordinación de la asignatura dentro de las 24 horas de haberse dado a conocer la calificación por parte de la cátedra. De acuerdo a la normativa establecida por la Facultad, la anulación por pedido del alumno de una Evaluación Integradora aprobada no hará perder una oportunidad para rendir, pero es definitiva; es decir, una vez anulada no se podrá volver a tener en cuenta para la aprobación de la materia.

5 CALENDARIO DE CLASES Semana Temas de teoría <1> Geometría del plano y el espacio. Cónicas y cuádricas. Coordenadas cartesianas y polares. <2> Funciones de varias variables. Límite y continuidad. Derivadas. Curvas. <3> Diferenciabilidad. Gradiente. Tangentes y normales. Derivada direccional. <4> Superficies. Parametrización. Plano tangente. Recta normal. <5> Regla de la cadena. Funciones implícitas. Resolución de problemas Bibliografía básica Ídem tema teoría. Ver ibliografía de Cálculo Vectorial. <6> Polinomio de Taylor. Extremos libres.. <7> Extremos condicionados. Problemas de extremos. <8> Ecuaciones diferenciales. EDO. <9> Ecuaciones diferenciales. EDO. <10> Longitud de curvas. Diferencial de arco. Integrales de línea. <11> Función potencial. Ecuaciones diferenciales exactas. <12> Integrales múltiples en coordenadas cartesianas. Aplicaciones físicas y geométricas <13> Coordenadas cilíndricas y esféricas. Cambio de variables en integrales múltiples. <14> Superficies. Área de superficies. Integrales de superficie. Flujo. <15> Operadores vectoriales. Teoremas integrales (Green, Stokes y Gauss). <16> Teoremas integrales (Green, Stokes, Gauss). Cálculo Vectorial y de EDO.

6 CALENDARIO DE EVALUACIONES Es requisito indispensable para rendir el parcial y la evaluación integradora presentarse con libreta universitaria provisoria o definitiva. Evaluación Parcial El temario de la Evaluación Parcial para las 3 fechas está definido por los temas desarrollados hasta la semana ocho inclusive. Parcial Semana Fecha Hora Aula 1º fecha 9 Sábado 08/05 9:00 Se publicará en cartelera. Complementaria (*) 10 Lunes 10/05 9:00 Se publicará en cartelera. 2º fecha 12 Sábado 29/05 9:00 Se publicará en cartelera. Complementaria (*) 13 Lunes 31/05 9:00 Se publicará en cartelera. 3º fecha 17 Martes 29/06 14:00 Se publicará en cartelera. Complementaria (*) 18 Martes 06/07 14:00 Se publicará en cartelera. (*) PODRÁN PRESENTARSE, CON LA DEBIDA JUSTIFICACIÓN, SÓLO AQUELLOS ALUMNOS QUE NO PUEDAN RENDIR EN LAS FECHAS 1, 2 O 3. Evaluación Integradora Fecha Hora Aula Martes 29/06 14:00 hs Se publicará en cartelera. Martes 06/07 14:00 hs Se publicará en cartelera. Martes 13/07 14:00 hs Se publicará en cartelera. Martes 20/07 14:00 hs Se publicará en cartelera. Martes 27/07 14:00 hs Se publicará en cartelera.