Capítulo 2. Planteamiento de la propuesta

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1 Capítulo 2 Planteamiento de la propuesta 10

2 2.1 Antecedentes La matemática educativa es una disciplina del conocimiento cuyo objeto de investigación lo constituye el campo de problemas derivado de los procesos de estudio de las matemáticas. En este sentido, se propone describir y explicar los fenómenos didácticos que se originan en el proceso de enseñanza y en el proceso de aprendizaje. Un fenómeno didáctico que ha captado nuestra atención es la falta de motivación para el estudio de las matemáticas en el medio escolar, que según Chevallard, Bosch, & Gascón (1997) se debe en gran parte a la atomización que sufren los temas matemáticos al ser propuestos en los programas escolares y tratados en los libros de texto. Existen diversas investigaciones que sustentan la problemática de la desarticulación de los conceptos matemáticos estudiados en los sistemas escolares. En la tesis de Javier García (2005) se trata la problemática de la desarticulación en el estudio de la proporcionalidad; en donde comenta: las razones de ser de una organización matemática, esto es, las cuestiones a las que dicha organización matemática responde, cumplen, entre otras, la función de integrar los diferentes componentes de la misma, deducimos que la desaparición escolar de las razones de ser de las organizaciones matemáticas propuestas para ser estudiadas en la escuela provoca el debilitamiento progresivo de su articulación. Por su parte Navarro (2007) pone de manifiesto que en el curso de Geometría y Trigonometría en el nivel bachillerato, la semejanza de triángulos y las razones trigonométricas quedan atomizadas y abandonadas después de estudiarse brevemente. No parece ser el principio de una secuencia lógica de conocimiento que llega a dar soporte, en su momento a un objeto emergente como las funciones trigonométricas. Además, comenta haber encontrado atomizaciones de los conceptos en dos textos de uso generalizado en el medio escolar (nivel bachillerato) los cuales dejan por fuera la posibilidad de dar un significado amplio, útil y razonado al tema de estudio. En el análisis de textos que ella realiza, describe la organización de los temas de nuestro interés, los cuales continúan 11

3 vigentes en los programas actuales revisados para la realización de este documento, por esta razón, describimos la forma en que los temas se encuentran constituidos. El curso se divide en dos partes: Geometría Deductiva y Trigonometría. En la primera, se abordan los conceptos básicos de geometría, el método hipotético deductivo para la demostración de teoremas, triángulos y sus propiedades, polígonos y circunferencia. La segunda parte, Trigonometría, se trabaja de una manera que podría llamarse algebraica y se abandonan los conocimientos manejados en la primera. Navarro encuentra que estas partes están matemáticamente vinculadas, por ejemplo el seno, coseno y la tangente de un ángulo se suelen definir como relaciones métricas entre los lados de triángulos rectángulos. Para que éstas estén bien definidas es necesario demostrar que no dependen del triángulo rectángulo considerado, sino sólo del ángulo; aquí es donde la Semejanza entre triángulos rectángulos conecta con la Trigonometría: siempre que los triángulos sean rectángulos, la proporcionalidad entre sus lados justifica que las razones correspondientes no dependan del triángulo considerado. Comenta también, que en los textos no se menciona la relación entre semejanza de triángulos y funciones trigonométricas, tampoco se informa de los problemas que dieron origen a su existencia, ni se hace referencia a que inicialmente estaban referidas a circunferencias y no a triángulos. Por su parte Montiel (2005) argumenta: En nuestra opinión los fenómenos relacionados con el aprendizaje de la función trigonométrica radican en el significado que tiene el seno (o el coseno) aplicado a una variable y el significado en sí de la variable. Dicho en otros términos, en la construcción de y = sen x y y = cos x. Por otro lado estas investigaciones (Kee, Mura, Dionne; 1996; Maldonado; 2005; Hornsby; 1990 y Navarro; 2004) tratan en exclusiva con las concepciones de seno y coseno, ya sea como razones o como funciones. Ninguna de ellas profundiza a detalle en los conceptos básicos asociados al seno y al coseno, como por ejemplo el ángulo, el triángulo rectángulo, la razónproporción, la relación funcional y por supuesto la función. 12

4 Por lo anteriormente citado, ella sugiere que debemos rescatar la herencia geométrica y la estructura del discurso matemático escolar, los elementos fundamentales de la construcción de la función trigonométrica, como saber escolar, para el estudiante. El fenómeno didáctico de la desarticulación de la semejanza con la trigonometría, como se ha visto en las investigaciones mencionadas, pone de manifiesto la necesidad de proponer una secuencia didáctica que subsane la falta de articulación de los conceptos matemáticos mencionados. Los investigadores señalan enfáticamente que los alumnos deberían percibir las relaciones entre la semejanza, semejanza en triángulos rectángulos, razones trigonométricas y funciones trigonométricas. Además deben reconocer y usar conexiones entre estos conceptos matemáticos para formar un todo coherente. 2.2 La Propuesta Para subsanar el fenómeno didáctico de la falta de articulación de conceptos, se propone una propuesta de desarrollo docente que consiste en el diseño de una secuencia didáctica que integre algunos de los conceptos que se estudian en el curso de Geometría y Trigonometría, específicamente aquellos que tienen relación con el proyecto de construcción de una maqueta, como son; razones, semejanza en figuras rectangulares, semejanza en triángulos rectángulos y razones trigonométricas. El propósito es mantener la secuencia lógica de los temas para que las razones trigonométricas se construyan a través de la semejanza y conserven su razón de ser en el currículo como se analiza más adelante. La secuencia didáctica está diseñada para aplicarse a estudiantes del III semestre de bachillerato, en el curso de Geometría y Trigonometría, que corresponde a Matemáticas III en el plan de estudios de las escuelas incorporadas a la Universidad de Sonora. Como se ha mencionado en párrafos anteriores, el Sistema Nacional de Bachillerato (SNB), se encuentra inmerso en la reforma educativa, por lo tanto, la propuesta se diseña también, retomando los elementos de las competencias establecidas en el enfoque normativo por competencias (SEP, 2008). 13

5 2.2.1 Objetivos Los objetivos de la secuencia didáctica se plantean, de acuerdo a la teoría de referencia, de la siguiente manera: Construir, con base en una Organización Matemática (OM) que articule la semejanza de triángulos rectángulos y las razones trigonométricas, una Organización Didáctica (OD) para el tercer semestre de Bachillerato. Construir una Organización Didáctica (OD) que permita a los estudiantes desarrollar acciones de exploración, de modelización matemática, de técnicas de solución, de reflexión y validación de resultados Análisis de la razón de ser de la semejanza y las razones trigonométricas Chevallard, Bosch y Gascón (Ibíd.) señalan que para que una cuestión matemática pueda estudiarse con sentido en la escuela, es necesario: 1. Que provenga de cuestiones que la Sociedad propone que se estudien en la Escuela (legitimidad cultural o social). 2. Que aparezca en ciertas situaciones umbilicales de las matemáticas, esto es, situadas en la raíz central de las matemáticas (legitimidad matemática). 3. Que conduzcan a alguna parte, esto es, que esté relacionada con otras cuestiones que se estudian en la Escuela, sean estas matemáticas o relativas a otras Disciplinas (legitimidad funcional). Para dar respuesta al sentido de estudiar en la escuela la semejanza y las razones trigonométricas, consideramos necesario realizar la justificación curricular (ver Anexo II) de los conceptos involucrados en la propuesta didáctica en nivel secundaria, al ser un precedente en el nivel que se aplicará la secuencia didáctica la cual nos permitirá un acercamiento a la forma de abordar los conceptos de interés. Debido al tratamiento de los conceptos de semejanza y razones trigonométricas propuesta en el currículo, se aprecia que la RES desea proporcionar a la razón trigonométrica su sustento proporcional. Desde primer grado se empieza el estudio de la proporcionalidad, 14

6 para continuarse en segundo grado, y es hasta en tercer grado que se estudia la razón trigonométrica, habiéndose construido previamente el andamiaje que sustenta su naturaleza proporcional. Por otra parte, la forma de organizar los conceptos matemáticos manifiesta la legitimidad matemática, funcional y social de los conceptos matemáticos de la semejanza y las razones trigonométricas en el nivel medio básico. La investigación de (Navarro, 2007) alude a la falta de articulación de la semejanza y la trigonometría en el bachillerato, de donde concluimos que se establece la legitimidad social o cultural y la legitimidad matemática, sin embargo, es necesario privilegiar el estudio de la semejanza y las razones trigonométricas con actividades que favorezcan la legitimidad funcional, dicho de otra manera, que las actividades cumplan la función de integrar los diferentes componentes de estos conceptos, para que las OM propuestas para ser estudiadas en la escuela, provoquen la articulación de los conceptos Uso de tecnología Al considerar que uno de los objetivos básicos de la educación, es formar bachilleres competentes para enfrentar situaciones que se les presenten a lo largo de su vida y considerando que el uso de tecnología es una herramienta indispensable que coadyuva en el logro de habilidades tecnológicas y permite a los estudiantes explorar nuevas formas de apropiación del conocimiento en las que los alumnos sean agentes activos de su propio aprendizaje, pongan de manifiesto sus concepciones y reflexionen sobre lo que aprenden, creemos necesario el aprovechamiento de la tecnología en las actividades de la propuesta didáctica. Según Arcavi & Hadas ( ), los ambientes dinámicos, no solamente ayudan a los estudiantes a construir figuras con ciertas propiedades y después visualizarlas, también permiten al usuario transformar esas construcciones en tiempo real. Por lo tanto, es un componente importante en el aprendizaje de conceptos geométricos al contribuir en dotar de significado la construcción de los mismos. A través de la visualización dinámica se analiza el papel que juegan las variables en una construcción y el tipo de relaciones que guardan entre sí. De esta manera la evolución del pensamiento matemático se ve favorecida 15

7 al poner en juego acciones específicas como identificar, relacionar, comparar, conjeturar y analizar, por mencionar algunas. En congruencia con esta perspectiva del uso educativo de tecnología, se ha seleccionado como recurso didáctico la utilización del software de geometría dinámica GeoGebra; en algunas de las actividades de la propuesta didáctica para facilitar la apropiación de los conceptos y que los estudiantes exploren, visualicen y analicen modelos geométricos del mundo real. 16