Introducción a la Geodesia

Transcripción

1 Introducción a la Geodesia Jose Antonio Sánchez Sobrino Centro de Observaciones Geodésicas Instituto Geográfico Nacional Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

2 Definición clásica de Geodesia Geodesia Física: estudia el campo gravitatorio de la Tierra, partiendo de mediciones del mismo y el modelado del mismo: geoide. Geodesia Geométrica: figura de la Tierra en su aspecto geométrico, dimensiones. Astronomía Geodésica: métodos astronómicos para determinar las coordenadas de puntos fundamentales sobre los que se basarán las redes geodésicas. Geodesia Espacial: utiliza las mediciones a cuerpos externos a la Tierra para el posicionamiento y las mediciones geodésicas. Helmert (880) ciencia de la medida y representación de la Tierra. - obtener un conocimiento de la forma y dimensiones de la Tierra - ciencia que proporciona o determina coordenadas. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

3 La figura de la Tierra Geoide: superficie (de nivel) equipotencial del campo gravitatorio de la Tierra. Coincide con el nivel medio del mar (MSL) en un océano abierto sin perturbaciones o su extensión hipotética por debajo de las masas continentales (Bomford, 977; Clarke, 880; Fischer, 845; Listing, 873; Torge, 99). Un punto de la superficie terrestre está sometido casi exclusivamente a la atracción de la Tierra y a la fuerza centrífuga derivada de su rotación: W potencial de la gravedad. V potencial gravitatorio Φ potencial centrífugo W = V + Φ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

4 Los puntos W = cte definen una superficie equipotencial. Gradiente en cada punto: vector de gravedad g, siendo su dirección la que define la vertical del lugar: g = W (g=grad W) Infinitas sup. equipotenciales, según cte elegida => W = W g aunque sólo tiene sentido físico. = cte -> GEOIDE, La superficie equipotencial materializada por los océanos sin mareas (casi sup. del nivel medio de los mares) = geoide (sup. de referencia fundamental para la altitud). En Geodesia Geométrica -> idealización a partir de medidas (por ejemplo, GPS o también geoide astrogeodésico). Superficie Geoide compleja -> ϕ, λ elipsoide de revolución. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

5 Sistemas elipsoidales de referencia La Tierra puede representarse con mucha aproximación mediante un elipsoide de revolución que mejor se adapte a la zona, definiéndose este sistema con: Superficie de referencia: dimensiones (semiejes a, b) y excentricidad (e). Ejes o líneas de referencia en la superficie que definen un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales. Sentidos de medida en dos planos ortogonales. A partir de las dimensiones de los semiejes del elipsoide a (semieje mayor) y b (semieje menor) se definen los parámetros geométricos. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

6 Coordenadas geodésicas Líneas de referencia: los meridianos y los paralelos, con plano fundamental el del Ecuador (π) y plano secundario, el plano meridiano que contiene meridiano origen (π'). Latitud geográfica (ϕ): ángulo medido sobre el plano meridiano que contiene al punto entre el plano ecuatorial y la normal al elipsoide en P. Longitud geográfica (λ): ángulo medido sobre el plano ecuatorial entre el meridiano origen y el plano meridiano que pasa por P. Relación latitud geocéntrica Φ (vector O-geocentro y P) y geodésica o geográfica: a tanϕ = tanφ b Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

7 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 El datum geodésico es el conjunto de: Una superficie de referencia (elipsoide de revolución) Un punto fundamental donde coinciden normales al geoide y al elipsoide Datum altimétrico: geoide (MSL) Achatamiento: Primera excentricidad: Segunda excentricidad: a b a b a f = = b b a e ' = a b a e = a b a e = ' b b a e =

8 Si en lugar de normal al elipsoide en P tomamos normal al geoide (línea de la plomada) -> coordenadas astronómicas Λ, Φ Las coordenadas astronómicas de un punto definen la dirección de la vertical de este lugar con respecto al eje de rotación de la Tierra. Se obtienen por obs. astronómica y se refieren a un dato físico: la vertical del lugar. Las coordenadas geodésicas se obtienen mediante cálculos y observaciones sobre una superficie convencional (elipsoide de referencia), referidos a la normal al elipsoide. Relación: Ecuación de Laplace (antiguos puntos Laplace) o en función de las comp. de la desv. de la vertical: A a A g = ( Λ λ) sen Φ ξ = Φ ϕ η = ( Λ λ) cosϕ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

9 Sólo con estos breves conceptos ya se ha visto una relación entre: Geodesia Física: geoide. Geodesia Geométrica: elipsoide, SGR y coordenadas geodésicas. Astronomía Geodésica: coordenadas astronómicas. Cualquier método geodésico implica las tres áreas Geodesia espacial -> GNSS En GPS intervienen las 4 áreas de conocimiento de la Geodesia + Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

10 Radios de curvatura del elipsoide de revolución Radio de curvatura de una curva plana y = f (x) ρ = dy + dx d y d x 3 Radio de curvatura de la sección meridiana que pasa por el punto ρ = a( e ) 3 ( e sin ϕ) Gran normal (N), radio de curvatura del primer vertical que pasa por el punto (Tª Meusnier): a N = e sin ϕ p = N cos ϕ a b p N P Cualquier sección del elipsoide tendrá un radio de curvatura entre N (máximo) y ρ (mínimo). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

11 Curvatura de una sección normal arbitraria de acimut a (fórmula de Euler) R α = cos α + ρ sin α N Si α=0º o 80º (merid) R α = ρ Si α=90º o 70º (paral) R α = Ν Longitudes de arco de meridiano y paralelo: ds m = ρ dϕ ds p = p cos ϕ = N cos ϕ dλ Longitud de arco de meridiano: s m = ϕ ρ δϕ = a ( e ) ϕ ( e dϕ sin ϕ) s e 3e 5e 3e 3e 45e 5e 45e = a ϕ + + sin ϕ + + sin 4ϕ Longitud de arco de paralelo entre dos longitudes geográficas dadas λ y λ : s p = λ λ N cosϕδλ = N cosϕ ( λ λ ) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

12 Reducción de medidas al elipsoide. Reducción al horizonte medio. corrección negativa (d red< d medida): D = D + c siendo D la distancia reducida y D la distancia medida.. Reducción al nivel del mar. Estrictamente, tendría que hacerse al elipsoide, pero las altitudes estarán referidas al MSL (diferencia: ondulación del geoide). h m altitud media de los dos extremos de la base h h c = D 8D D R puede ser el radio de la esfera media, estrictamente es el radio de la sección normal entre los dos puntos, R α, que viene dado por la fórmula de Euler: D R = R + h 4 m 3 R α = cos ρ α + sen N α R α = ρ sen N ρ z + N cos z R = N ρ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

13 3. Paso de la cuerda al arco. La distancia para el cálculo de coordenadas tiene que estar sobre el arco (del elipsoide). D = D + 3 La corrección es positiva (la distancia sobre el arco es mayor que la distancia sobre la cuerda). D 3 4R Las correcciones sobre el horizonte medio y paso al nivel del mar se pueden hacer también en un solo paso a partir de la fórmula: D D h = h h + + R R / Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

14 Problemas directo e inverso de la geodesia Problema directo: cálculo de coordenadas a partir de una distancia y un acimut desde un punto a otro, conocidas las coordenadas de uno de los puntos Problema inverso: determinación del acimut y la distancia a partir de las coordenadas de un par de puntos. Numerosos algoritmos por diferentes autores (Levallois, Helmert, Coticchia, Rudoe, etc), con cierto grado de aproximación según los términos utilizados. Unas fórmulas bastante simples con buenos resultados hasta 30 km son las aproximadas de Clarke: p = D sen A cosa ρ N q = p tana tanϕ ϕ = D cos A ρ Y 3 p q donde x se refiere a: y se refiere a: D sen A p 3 λ = N cos ϕ + q 3 D cosa ϕ = ϕ + ρ ϕ + ( ϕ ) Y = ϕ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

15 Para lados superiores a 30 km utilizar otros desarrollos con más términos. El acimut recíproco respecto del directo (la diferencia es la convergencia de meridianos) se puede calcular a partir de la expresión: ( λ λ ) sen q p θ = θ ± 80º + ϕ 3 El problema geodésico inverso es algo más complicado. Se pueden utilizar procedimientos aproximados simples (cálculo de los arcos de merid. y paralelo o reducción a coord. proyectivas). Aproximación: fórmula topográfica (errores < 0,3 m a distancias hasta 40 km): L = ρ m cos A ϕ + A o L = N m λ cosϕ sen A + m A con A = λ sen ϕ m Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

16 Para un cálculo riguroso a grandes distancias, es necesario aplicar más términos o resolver el problema por otros métodos (punto auxiliar, método de Krasovsky, argumentos medios con desarrollos en serie...). Fórmulas cerradas más simples con buenos resultados: Fórmulas de Bowring (50 km) Fórmulas de media-latitud de Gauss (40 km) Fórmulas de Puissant (00 km) Método de Vicenty (varios cm en km) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

17 Elipsoides de referencia Superficie de referencia no puede ser geoide. Elipsoide de revolución que mejor se adapte al geoide en la zona. Punto donde ambos coinciden o bien la normal a ambos. Datum geodésico, el conjunto de ambos: Una superficie de referencia (elipsoide de revolución). Un punto fundamental coinciden normales al geoide y al elipsoide. Datum altimétrico: geoide (MSL). Consideraciones elección elipsoide (adaptación geoide primer orden, Bomford): Centro gravitatorio terrestre debería coincidir con centro del elipsoide. Plano definido por el Ecuador terrestre debe coincidir con el del elipsoide. Suma cuadrados de las ondulaciones del geoide debe ser mínima. Mantener paralelismo eje rotación con semieje menor. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

18 Definición de numerosos elipsoides de referencia. Dificultad conexión de trabajos internacionales y cartografía. Hayford, 94 Asamblea Internacional de Geodesia y Geofísica propone un Elipsoide Internacional de Referencia, a = , a = /97. Fórmula de gravedad normal internacional establecida por G. Cassinis, para adopción de elipsoide de nivel en Hayford 94: γ ( sin ϕ sin ϕ ) m = s 964, Unión Astronómica Internacional, nuevos valores: Conexión con Geodesia Física a= f=/98,5. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

19 967, Asamblea General de la U.G.G.I. el Sistema de Referencia 94 fue sustituido por el Sistema Geodésico de Referencia 967 con constantes: a = m GM = m 3 s - J = ω = rad s - Orientación: a) eje menor del elipsoide de referencia paralelo a la dirección definida por el origen internacional convencional (polo CIO) para el movimiento del polo (903,0). b) El meridiano de referencia es paralelo al meridiano cero adoptado por el BIH para las longitudes (Greenwich). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

20 NAD7 Hayford 94 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

21 Problemas con los diferentes Sistemas Geodésicos de Referencia ED 50 (Elipsoide Internacional) WGS84 Diferencias en la cartografía de centenares de metros Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

22 Otra consecuencia de trabajar con diferentes Sistemas Geodésicos: Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00

23 World Geodetic System 984 (WGS84) Desde 987, el GPS utiliza el World Geodetic System WGS-84. Sistema de referencia terrestre único. Determinado por observaciones Doppler al sistema de satélites de navegación NNSS o Transit, de tal forma que se adaptara lo mejor posible a toda la Tierra. Origen, centro de masas de la Tierra, incluyendo océanos y atmósfera. Eje Z paralelo a la dirección del polo CIO o polo medio definido por el BIH, época con una precisión de 0,005 Eje, intersección del meridiano origen, Greenwich, y el plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje Z, el meridiano de referencia coincide con el meridiano 0 del BIH en la época (precisión ). Eje Y ortogonal a los anteriores, pasando por el origen. Terna rectangular dextrosum. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

24 Asociado el elipsoide de referencia SGR80 definido por: Semieje mayor de la elipse a =6.378,37 km Semieje menor de la elipse b = 6.356,75 km Factor de achatamiento f = /98, Velocidad angular de la tierra Constante de gravitación ω E = rad / s 8 3 µ = m / s Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

25 Marcos de Referencia Terrestres (TRF) Distinción entre la definición de un sistema de coordenadas y la realización práctica: marco de referencia. Para conseguir una realización práctica de un marco geodésico global de referencia se tienen que establecer una serie de puntos con un conjunto de coordenadas. Un conjunto de puntos consistentes infieren: - la localización de un origen - la orientación del sistema de ejes cartesianos ortogonales - una escala Un conjunto de estaciones con coordenadas constituyen una realización de un Marco de Referencia Terrestre (TRF, Terrestrial Reference Frame). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

26 El marco de referencia de WGS84 fue establecido en 987 a través de un conjunto de estaciones NNSS (Navy Navigation Satellite System) o TRANSIT (Doppler). El principal objetivo en la realización del marco fue alinear lo más preciso posible, el origen, la escala y la orientación del marco WGS84 con respecto al Sistema Terrestre definido por el BIH (BTS, BIH Terrestrial System) en la época Dos actualizaciones del WGS84: WGS84 (G730), en la época 994, (G realizado por técnicas GPS y 730 es la semana GPS) WGS84 (G873), en la época Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

27 Las nuevas exigencias de precisión hacen que este Sistema de Referencia, geocéntrico, con una indeterminación en el geocentro de m, con un eje Z variable temporalmente, etc, para la definición de Sistemas de Referencia más precisos sea necesario el uso de Marcos de Referencia ITRF. La razón proviene de cambios temporales de la corteza de la Tierra que deben ser estimados o modelados: mov. de placas tectónicas, marea terrestre, carga oceánica... Como consecuencia de estos efectos temporales, cualquier juego de coordenadas ha de referirse en el marco ITRF vigente correspondiente a una determinada época. En Geodesia, a efectos prácticos, WGS84 como marco NO EISTE...???? Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

28 Parámetros físicos derivados de WGS84 El elipsoide WGS84 definido como una superficie equipotencial tiene un potencial gravitacional teórico (U). Este potencial puede ser calculado usando los parámetros y constantes definidas para el elipsoide: semieje mayor (a), inversa del achatamiento (/f), velocidad angular de la Tierra (w) y la constante gravitacional geocéntrica (GM). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

29 - Gravedad normal en la superficie del elipsoide. La gravedad normal teórica (γ) es el gradiente del potencial normal U y es dado en la superficie del elipsoide por la fórmula cerrada de Somigliana: + k sin ϕ γ = γ e donde e sin ϕ γ e y γ p la gravedad normal en el ecuador y en los polos. k = bγ aγ p e Esta es la Fórmula de la Gravedad Normal del elipsoide SGR80, cuya superficie equipotencial sirve como referencia horizontal y vertical, como figura geométrica de la Tierra y como superficie de referencia para la gravedad normal de la Tierra. Altitudes normales Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

30 - Gravedad normal en un punto por encima del elipsoide. Se suele usar la forma de γ desarrollada en serie de Taylor con la derivada respecto a la altura h: γ γ γ h = γ + h + h h h Desarrollando la expresión se llega a: γ h 3 = γ ( + f + m f sin ϕ) h + h a a ω a b donde m = y γ es la gravedad normal en el elipsoide a latitud ϕ. GM Esta fórmula sería válida siempre que h sea relativamente pequeño. Para altitudes muy grandes o mayores exigencias de precisión se utilizan otros desarrollos. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

31 Transformaciones de Datum locales a WGS84. Para aplicaciones poco precisas (cartografía de escalas pequeñas), la transformación puede realizarse mediante las fórmulas de transformación estándar de Molodensky: ϕ WGS84 = ϕ LOCAL + ϕ λ WGS84 = λ LOCAL + λ con: ϕ = h WGS84 = h LOCAL + h sinϕ cosλ Y sinϕ sin λ + Z cosϕ + a( Ne λ = N + h sin λ + Y cosλ ( N + h)cosϕ b b sinϕ cosϕ) / a + f ρ + ρ sinϕ cosϕ a a h = cosϕ cos λ + Y cosϕ sin λ + Z sinϕ a a N + f b a N sin ϕ donde, Y, Z son las diferencias en coordenadas geocéntricas entre los centros del datum local y el WGS84 (fuente: NIMA - NGIA) y N y ρ los radios principales de curvatura. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

32 Parámetros de transformación (NIMA, 997) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

33 Ecuaciones de regresión múltiple (MRE) para SAN (NIMA, 997) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

34 Sistema de coordenadas cartesianas geocéntricas Para situar un punto en el espacio -> sistema de coordenadas basado en tres ejes perpendiculares entre sí: El punto O, donde se cruzan los tres ejes, centro de la Tierra. Eje Z, coincidente con el eje de rotación. Coincidir el plano definido por OZ con un meridiano origen (Greenwich). Con este sistema de coordenadas, cualquier punto M puede ser situado con los valores de las componentes,y,z. A este tipo de coordenadas se les llama coordenadas tridimensionales cartesianas geocéntricas. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

35 Paso coord. geográficas Coord. Cartesianas (ϕ, λ, h) > (, Y, Z) Q N cosϕ cosλ OQ = YQ = N cosϕ sin λ ZQ N( e )sinϕ h = hcosϕ cosλ QP = hcosϕ sin λ hsinϕ OP = OQ + QP, con lo que: OP = Y Z P P P = ( N + h)cosϕ cosλ ( N + h)cosϕ sin λ ( N( e ) + h)sinϕ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

36 Paso Coordenadas cartesianas Coord. Geográficas h = + Y cosϕ N ϕ = arctan Z + Y λ = arctan Y e N N + h Operando iterativamente, primero h=0, hallo N Cálculo de ϕ con h = 0 Cálculo de N Cálculo de h ϕ = arctan Z + Y ( e ) N = a e sin ϕ Cálculo nuevo ϕ El sistema converge rápidamente, ya que N>>h. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

37 Otras fórmulas directas: Z + e' bsin 3 ϕ = arctan 3 p e λ = ar tan Y a cos θ θ h = p cosϕ N donde θ es una cantidad auxiliar: θ = ar tan Za pb p = + Y Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

38 Transformación entre Sistemas en coord. cartesianas El sistema cartesiano es más fácil de manejar que las coordenadas geodésicas, no tiene en cuenta superficie de referencia ni parámetros de geometría del elipsoide. Este es el sistema básico sobre el que el GPS trabaja en coordenadas (prescindiendo del sistema de coordenadas en el plano orbital). El paso de un Sistema Geodésico a otro es fácil haciendo el paso intermedio de transformar las coordenadas geodésicas a coordenadas cartesianas en cada sistema y hacer la transformación entre uno y otro sistema en cartesianas. Y Z = N ( N ( N + h) cosϕ cos λ + h) cosϕsenλ + h)sinϕ e Nsenϕ ( En donde h es realmente la altitud sobre el elipsoide y no sobre el geoide. El problema se plantea aquí porque normalmente en el sistema local no se va a poder conocer la altitud elipsoidal. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

39 Para pasar de un sistema geodésico a otro, tres operaciones : una traslación del centro de la Tierra O con una traslación T, T Y, T Z una rotación R (si los tres ejes no son paralelos entre sí) un factor de escala, λ Z R z Z O O Y R y Y R x Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

40 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 Sean ( i Y i Z i ) coordenadas de un punto P en el sistema "i" (con i= o ), la transformación será, matricialmente: Si los diferentes sistemas no son demasiado distantes: T, T Y, T Z no exceden algunos centenares de metros. λ es de unas ppm (0-6 ). R es una rotación infinitesimal de la forma: Si R, R Y y R Z no exceden de algunos segundos de arco (sistemas casi paralelos) se puede usar esa aproximación linealizada. + + = ) ( Z Y R T T T Z Y Z Y λ = Y Z Y Z R R R R R R R

41 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 = Z Y Z Y Z Y R R R T T T Y Z Z Y Y Z D D D λ Se puede establecer el modelo linealizado: (A = L) = (A T A) - (A T L) R Y R Z T Z Z D R Z R Y T Y Y D Y R Z R T D Y Z Z Z Y Y Z Y + + = = + + = = + + = = λ λ λ Modelo de transformación general simple.

42 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 - Transformación de semejanza bidimensional (Helmert). Transformación bidimensional (D) simple en el que se determinan dos traslaciones, un giro y un factor de escala entre ambos sistemas. Si α es muy pequeño, entonces el sistema puede quedar como: Con dos puntos con coordenadas en ambos sistemas, se resuelve. Normalmente, se suelen utilizar al menos 3 puntos para resolver por MMCC. i Y i Y T T Y Y + + = cos sin sin cos α α α α λ i i Y i Y i Y Y T T Y T T Y + + = + + = ) ( λ α α λ α α λ

43 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 - Transformación de Bursa-Wolf. Adecuado para transformación entre sistemas en un ámbito geográfico amplio. Preparando el sistema para su resolución por MMCC (3 o más puntos comunes en ambos sistemas de referencia) quedaría en la forma: Es decir, en la forma: A = L Y resolviendo: = (A T A) - A T L SR i SR i Z Y Z Y SR i i i Z Y Z Y T T T Y Z Y Z Z Y Y Z = Ω Ω Ω M M M M M M M M M µ ) ( SR x y x z y z SR Z Y SR Z Y T T T Z Y Ω Ω Ω Ω Ω Ω + + = λ

44 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 - Transformación de Badekas-Molodensky. Aplicación a una zona limitada. Para la resolución se divide en dos pasos: en uno se resuelven los giros y el factor de escala y en el siguiente, las tres traslaciones. La solución se refiere al baricentro de los puntos, de tal forma que se calculan primero los baricentros de ambos sistemas: Si se hace: Se plantean las ecuaciones para resolver los primeros cuatro parámetros: n n i i = = n Y Y n i i = = n Z Z n i i = = x = Y Y y = Z Z z = Ω Ω Ω + = Z Y SR SR SR x y z x z y y z x z y x z y x λ M M M M M M

45 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo 00 Y finalmente se plantean las ecuaciones para resolver las tres traslaciones: La aplicación práctica tanto en este caso como el anterior ha de hacerse con el conocimiento de altitudes elipsoidales (normalmente no conocidas). Es necesario un proceso iterativo, en el cual en primer lugar se aplica la transformación a los puntos sobre el geoide (en ambos sistemas). Ω Ω Ω = Z Y SR SR SR Z Y Y Z Z Y Y Z Z Y Z Y T T T µ 0 0 0

46 Sistemas de coordenadas globales y locales Consideremos un sistema de coord. cartesianas locales con origen en el punto P i y las direcciones N, E y U (ejes n, e, u) del plano tg al punto. Las coordenadas globales son iguales que las geocéntricas, usando la notación vectorial en lugar de las componentes, Y, Z. De la misma forma, los vectores y i j representan dos puntos de la superficie terrestre, P i y P j. Definiendo el vector entre esos dos puntos en el sistema de coordenadas global como ij = j, i el vector en el sistema de coordenadas local referido al plano tangente en P es definido como x ij Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

47 En el sistema local denominado NEU, los vectores n y e forman el plano tangente en P y la tercera coordenada u es ortogonal, coincidiendo con la normal al elipsoide: n i = sinϕi cosλi sinϕi sin λi cosϕ i ei = sin λi cosλi 0 u i = cosϕi cosλi cosϕi sin λi sinϕ i Realmente hay que tener en cuenta para ser más preciso, que el sistema local se refiere a coordenadas astronómicas y no geodésicas y la normal al plano tangente en P es normal al geoide, no al elipsoide, pero las diferencias para distancias pequeñas no son apreciables. Por consiguiente, el vector entre los puntos Pi y Pj en el sistema NEU será: x ij = n e u ij ij ij = n e u i i i ij ij ij Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

48 n, i, ei ui Di Uniendo los vectores del sistema local en la matriz tenemos: D i sinϕi cosλi = sinϕi sin λi cosϕi sin λ cosλ 0 i i cosϕi cosλi cosϕ i sin λi sinϕ i y por tanto la expresión anterior queda como: x ij = D T i Se pueden también expresar los componentes de x ij en función de la distancia espacial s ij, el azimut α ij y el ángulo cenital z ij mediante la relación: x ij n = e u ij ij ij ij sij sin zij cosα ij = sij sin zij sinα ij sij cos zij donde el azimut y el ángulo cenital se refieren a las medidas desde P. Invirtiendo la expresión para obtener las medidas a partir de NEU: e u ij ij s ij = n ij + e ij + u ij α ij = cos zij = n + e tan n + u ij Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo ij ij ij

49 Sistemas de altitudes El geoide como superficie de referencia Geoide es una superficie definida por magnitudes físicas (el potencial terrestre). La diferencia en un punto entre geoide y elipsoide se denomina ondulación del geoide, concepto fundamental en la evaluación de altitudes determinadas con GPS. El ángulo existente en un punto determinado entre la normal al geoide y la normal al elipsoide se denomina desviación de la vertical, siendo ésta nula en el Datum. La desviación de la vertical se puede descomponer en dos componentes una en el sentido de la latitud o N-S (ξ) y otra en el sentido de la longitud o E-W (η). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

50 Componentes desviación vertical ξ = φ ϕ η = (Λ λ) cosφ Desviación total en una dirección de acimut α Fórmulas Vening-Meinesz N ζ = ϕ ε = ξ cos α + η sinα N η = λ cosϕ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

51 Ejemplo: mezcla observaciones clásicas con GPS para cálculo h Desviaciones de la vertical (psi, eta y total) según EGM008 Paso de Z orto a Z elipsoidal Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

52 La superficie idealizada llamada Geoide: Pasa por el cero medio de los mareógrafos con aprox. de hasta - m. Es aquella superficie equipotencial (de nivel) del c.g.t. que mejor coincide con el nivel medio de los océanos cuando se eliminan efectos perturbadores como mareas, presión, viento, etc... Por suerte se separa poco de un elipsoide de revolución. El Geoide tiene una expresión matemática compleja (desarrollo en armónicos esféricos del potencial). Al aumentar el grado y orden aumenta la precisión, pero también la complejidad del estudio de sus coeficientes. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

53 Determinación del geoide La determinación de la figura del geoide ha sido uno de los problemas fundamentales de la Geodesia Física desde el siglo pasado Dificultad por la irregularidad del mismo sobre la superficie de la Tierra y la dificultad de obtener valores de gravedad en la superficie terrestre con precisión. Dificultad matemática y complejidad del proceso. El potencial total gravitatorio de la Tierra se define como: W = V + Φ V potencial gravitatorio Φ potencial debido a la rotación de la Tierra. Si ω es la velocidad angular de rotación, entonces: φ = ω( x + y donde x e y son las coordenadas geocéntricas de un punto. ) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

54 La función del potencial gravitacional se define como: V GM r + max = n n n= m= 0 n a P r nm (sinφ')( C nm cos mλ + S nm sin mλ) r = distancia desde el centro de masas de la Tierra. a = semieje mayor elipsoide. n, m = grado y orden, respectivamente de los coeficientes gravitacionales. Φ = latitud geocéntrica. λ = longitud geocéntrica (o geodésica, da lo mismo). C = coeficientes gravitacionales normalizados = nm, S nm (lo mismo para S nm ). P nm (sinφ') + ( n m)! n m n k ( )!( + ) Los coeficientes gravitacionales C nm y S nm son para m=0 k= y m> k=. = Función de Legendre normalizada = ( n m)!(n + ) k P nm (sinφ') = Función de Legendre = ( n m)! + P nm (sinφ') m m d (cosφ') [ Pn (sinφ')] = Polinomio de Legendre = m P n (sinφ') d(sinφ') n d n (sin φ' ) n n n! d(sin ') φ C nm Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

55 La determinación de los coeficientes de los armónicos esféricos se hace a partir del desarrollo de las anomalías de la gravedad g, las cuales son determinadas a nivel global en toda la Tierra a partir de observaciones gravimétricas (satélites). Los modelos geopotenciales de la Tierra nos dan estos coeficientes (normalizados) hasta un determinado grado y orden (máximo, 60). Las series son válidas para r a, es decir, para la superficie de la Tierra o para r mayor, no pueden usarse para masas en el interior de la Tierra. Siendo el potencial total terrestre W: (desarrollo armónicos esféricos) W ( r, θ, λ) n GM a = + ( Cnm cos mλ + S nm sin mλ) Pnm (cosθ ) + Φ r r n n= m= 0 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

56 Potencial normal del elipsoide: U ( r, θ ) GM ' = + r n= a r n P n ( cosθ ) + Φ Anomalía gravimétrica del modelo geopotencial (W U): n GM a g( r, θ, λ) = ( n ) ( Cnm cos mλ + S nm sin mλ) r r (cosθ n P nm ) n= m= 0 siendo C nm y S nm son las diferencias entre los coeficientes del geopotencial y el potencial del elipsoide. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

57 Diferentes métodos han sido empleados para la determinación del geoide, siendo el fundamental el método gravimétrico. Evaluación en cada punto de gravedad observada de la integral de Stokes: R N grav = g, 4πγ σ ( ϕ λ) S( Ψ) dσ R, radio medio de la Tierra g, gravedad normal del elipsoide s, esfera de integración g, anomalías de la gravedad reducidas S(Ψ), función de Stokes al geoide ( Ψ) = 4 6t + 0t (3 6t )ln( t t ) S + t con t = sin Ψ Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

58 Anomalías de gravedad: g red = g obs g mod g obs anomalías gravimétricas observadas: g obs = g obs + δ F δ B + δ top γ g obs gravedad observada en el terreno δ F corrección aire libre o Faye = dg/dh =0,3086 H δ B corrección Bouguer simple = (πgρ) Η = 0,9 H δ top corrección topográfica o Bouguer compuesta (MDT) γ gravedad normal del elipsoide a esa latitud Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

59 Se pueden obtener modelos geopotenciales que se aproximan bastante al geoide, dependiendo la precisión del grado y orden de los polinomios (n y m). N( r, θ, λ) n GM a = ( Cnm cos mλ + S nm sin mλ) rγ r n n= m= 0 P nm (cosθ ) Con n=m=360 se llegan a obtener unos 0000 coeficientes: OSU9A, EGM96... Obtención anomalías aire libre y cálculo anomalías modelo en geoide gravimétrico. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

60 Para la obtención del modelo de geoide gravimétrico, en la práctica se divide la ondulación N en tres componentes: N = N mod + N ind + N gra N mod contribución del modelo geopotencial de armónicos esféricos (EGM96, OSU9A, etc) N ind contribución de la reducción al terreno (efecto indirecto o cogeoide) N gra contribución de las observaciones del campo gravitatorio terrestre: anomalías aire libre después de quitar el efecto del modelo geopotencial global y la topografía (corrección topográfica con MDT) R N grav = g, 4πγ σ ( ϕ λ) S( Ψ) dσ Resolución compleja con técnicas de paso a frecuencias, Transformada de Fourier (FFT). Posterior escalado del geoide mediante medidas reales. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

61 Con todo esto, tenemos geoide físico. Necesitamos geoide real aplicable a nuestras medidas ESCALADO DEL GEOIDE (GM ~ GM, densidad media corteza...) GPS Últimamente, satélites midiendo gravedad (TOPE-POSEIDON) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

62 Modelo global EGM96 Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

63 EIGEN-CG0C Geoid Misiones CHAMP y GRACE Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

64 European Gravimetric Geoid 997 (EGG97) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

65 EGM008: el nuevo modelo de geoide mundial x Realizado por National Geospatial-Intelligence Agency. Disponible desde verano de 008. Nuevo modelo mundial con g de 5 x 5. Rejilla con valores de ondulación de x. Desarrollo en armónicos grado y orden 60. Desviación estándar de ~ 0 cm (mucho mejor en precisión relativa). Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

66 EGM 008 testeado por GPS - Nivelación Thinned set consisting of 387 points. ± m edit applied. Conversion of Height Anomalies to Geoid Undulations applied in EGMs using DTM006.0 elevation coefficients to commensurate Nmax. Bias Removed Linear Trend Removed Model (Nmax) Number Passed Edit Weighted Std. Dev. (cm) Number Passed Edit Weighted Std. Dev. (cm) EGM96 (360) GGM0C_EGM96 (360) EIGEN-GL04C (360) EGM008 (360) EGM008 (90) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

67 Modelos ajustados al SRV Necesidad de un modelo de geoide ajustado al S.R.V. Oficial. Utilidad práctica: h => H. Geoide (dos conceptos): - Modelo gravitacional superficie equipotencial W 0 = cte. - Separación entre SRV y elipsoide, efectos prácticos. Geoide gravimétrico: Información detallada, pero deficiencia en longitudes de onda largas. Objetivo: combinación modelo gravim. con datos GPS/NAP. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

68 Superficie de referencia vertical: REDNAP El proyecto REDNAP km NAP señales Desde 008: 3.00 km más Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

69 Vectores de error vertical REDNAP (95% confianza) Único constreñimiento en ajuste: Alicante Precisión relativa 0.6 ppm (residuo medio) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

70 Combinación EGM08 - REDNAP Necesaria adaptación EGM008 al SRV en España: REDNAP. Fuentes de datos: Apoyos de nivelación REGENTE (6 h estático GPS). Puntos REDNAP (~0 GPS estático rápido). Puntos ampliación REDNAP (estático 30 GPS). Puntos EUVN_DA (Francia y Portugal, para dar continuidad). Rejillas de x con límites { ϕ: 35º - 44º N Península y Baleares λ: 9º 30 W 4º 30 E { ϕ: 7º 30-9º 30 N λ: 8º 30 W 3º W Canarias Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

71 Fuentes de datos Denominación Puntos Obs. GPS Tiempo obs. Long. lineabase REDNAP.68 Fast Static ~ 0 min. < 0 km Ampliación REDNAP 64 Estático 30 min. < 0 km Apoyos niv. REGENTE 5 Estático 6 horas ( sesiones) < 5 km REDNAP Canarias 963 Fast Static ~ 0 min. < 0 km EUVN_DA Portugal & Francia 55 Estático Variable Variable Total puntos validados Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

72 Datos utilizados para EGM08 - REDNAP Total puntos Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

73 Modelado de una superficie de corrección Calcular N EGM08 N OBS y modelar la superficie de corrección. Diferencias EVRF000 y sistemas nacionales (cm) Separación media (constante utilizada) = 0.56 m. EVRF000 H España = - 0,50 m. Si subimos 50 cm nuestro sistema de altitudes para tenerlo en EVRF000, N OBS sería 50 cm mayor y la cte. con EGM08 sería sólo de 6 cm!! Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

74 Elección del algoritmo para la superficie de corrección Comparación de diferentes algoritmos. Difícil por la distribución irregular de los datos: dado el número de puntos, con una distribución regular cualquier algoritmo es bueno. La superficie del algoritmo no ha de pasar por los datos. Kriging y LSC: anisotropías en variograma en direcciones perpendiculares a las líneas NAP. Elección mín. curvatura: mejor superficie para modelar las diferencias. Principio: superficie de corrección más suave que se adapte a los datos. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

75 Superficie de corrección EGM008 ( m) Equidistancia 3 cm!! Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

76 Modelo final EGM08 - REDNAP Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

77 Precisión final de EGM008-REDNAP Residuos en puntos dato: > 7 cm: 5 (0,4 %) 6 7 cm: 3 (,8 %) 5 6 cm: 53 (4, %) 4 5 cm: 847 (6,8 %) < 4 cm: 0749 (86,7 %) Para una fiabilidad completa en zonas fuera de puntos dato, hay que testear un modelo sin líneas de ampliación REDNAP. Evaluación de la precisión relativa. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

78 Test sobre ampliación REDNAP ( líneas) Línea REDNAP Nº señales observadas Dif. promedio (m) Desviación estándar (m) Promedio Total Precisión relativa: ~ ppm Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

79 Qué es la altitud? Altitud de un punto cualquiera de la superficie terrestre: partir del mareógrafo más cercano e ir determinando por cualquier método las diferencias de altitud entre puntos. Cuando estacionamos un nivel y hacemos lecturas a dos miras, estamos midiendo diferencias de cotas geométricas. Suponemos dos puntos alejados A y B de la superficie terrestre. La nivelación cerrada (suma de diferencias de altitudes medidas) no será 0, aún sin errores inherentes a toda medida. Esto es debido a que: δn δn δn 0 δn Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

80 Si hiciéramos una nivelación entre dos puntos de una misma superficie equipotencial, obtendríamos una diferencia de altitud nula. falso geométricamente: las líneas de fuerza del campo no son paralelas. Por ello podemos tener dos conceptos para medir la altitud: - Distancia a una superficie de referencia (altitud geométrica). - Dos puntos están a la misma altura si se encuentran sobre la misma superficie equipotencial (altitud dinámica). Una buena definición de altura tiene que verificar: que la altura de un punto no dependa del camino desde la referencia. que se mida en unidades de longitud (m). que difiera poco de los desniveles obtenidos por diferentes métodos Altitud = Geodesia Geométrica + Geodesia Física Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

81 La diferencia de potencial entre los puntos A y B es: - dw = g dn = g dn g gravedad en la estación A y g gravedad en B. δn ' g = δ δ δ g n ' n ' n La dif. GEOMÉTRICA de altitudes medida depende del camino recorrido. En trabajos geodésicos, las distancias son largas y las líneas equipotenciales convergen (no son paralelas), no tienen sentido las altitudes geométricas si no se añade el componente físico: gravedad. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

82 Cotas geopotenciales y altitudes dinámicas Las cotas geopotenciales son independientes del camino recorrido. Siendo O sobre el geoide y un punto A conectados mediante línea de nivelación, la cota geopotencial es la diferencia de potencial entre los dos puntos: C = W W En la práctica, se calcula de modo discreto: A 0 = A o gdn A A C O = gi ni i= 0 La cota geopotencial es la misma para todos los puntos de una superficie de nivel y puede considerarse una medida natural de altitud. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

83 Unidad: unidad geopotencial (u.g.p.), donde: ugp= Kgal * m = 000 g * m = gal * Km Los números geopotenciales fueron adoptados por la AIG en 955. Anteriormente se utilizaban altitudes dinámicas. Para convertir cotas geopotenciales en altitudes dinámicas (dimensiones de longitud) se las divide por la gravedad normal del elipsoide a 45º: H din = C γ 0 γ 0 = gals (elipsoide internacional Hayford 94) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

84 Altitudes ortométricas Siendo P 0 la intersección del geoide con la línea de la plomada que pasa por el punto P llamamos H o altitud ortométrica a la longitud del segmento de línea a lo largo de la línea de la plomada entre P 0 y P. Podemos efectuar la siguiente integración a lo largo de la línea de la plomada, puesto que el resultado es independiente de la trayectoria: C H 0 = g dh multiplicando y dividiendo por H: de modo que: H C = H g dh H C 0 = g H Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

85 donde: g H = H g dh 0 es el valor medio de la gravedad sobre la línea de la plomada entre el geoide, (P 0 ), y el terreno, (P). Para convertir los resultados de nivelación en altitudes ortométricas, necesitamos conocer la gravedad dentro de la Tierra. Debe calcularse con los únicos valores que realmente conocemos, que son los valores de la gravedad en la superficie. Se extrapola al interior reduciendo los valores medidos de la gravedad por el método de la reducción Poincaré-Prey. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

86 Reducción Poincaré-Prey: curvaturas medias de las superficies geopotenciales J coincide con la curvatura media de las superficies equipotenciales del campo de gravedad normal J 0 g h γ = +4πGρ h Gradiente vertical de la g + Lámina de masa Numéricamente, despreciando la variación de g con la latitud y tomando ρ =,67gr/cm 3 para la densidad y G=66,7x 0-9 unidades c.g.s, resulta: g h = 0, , 38 = 0, 0848gal / km, llegando a la expresión final de la reducción de Poincaré-Prey como: g Q = g P ( H p -H Q ) g en gales, H en Km Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

87 ya se puede sustituir en la fórmula de la altitud ortométrica el término de la gravedad media a lo largo de la línea de la plomada: g( z) = g ( H z) donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno, de tal forma que ahora puede integrarse directamente, resultando: g H = H [ g ( H z )] dz = H z 0 g + H g = g H z H 0 Finalmente se resuelve iterando: H g = H + gh C = 0 g H Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

88 Esto es equivalente a:. Quitar lámina Bouguer -0.9 (H P -H Q ). Reducción aire libre (H P -H Q ) 3. Restauración lámina Bouguer -0.9 (H P -H Q ) (H P -H Q ) La reducción de Poincaré-Prey está calculada considerando la densidad media de la corteza (ρ=,67 gr/cm 3 ) y por tanto el error cometido depende de ello. Para dρ=0, gr/ cm 3, el error en dg = 4, mgales. En Km de altura supondría un error de 4 mm. (En la práctica, la máxima variación puede llegar a ser de 0.6 gr/ cm 3 ). La corrección puede llegar a ser de unos 5 cm para un desnivel de 000 metros. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

89 El potencial normal: gravedad normal Para poder determinar algunas alturas necesitamos la gravedad normal. El potencial gravitatorio terrestre es: W = G ρdv + ω x + y r ( ) V El conocimiento riguroso del potencial implica conocer en cada punto de la tierra el valor de su densidad. Ante esta dificultad se descompone el valor del potencial en dos términos: uno de fácil cálculo (U) que se acerque lo más posible al valor del potencial real, y el otro la diferencia (T). Así, W = U + T, siendo U el potencial normal (se sustituye por V+Φ) y T el potencial perturbador o potencial anómalo. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

90 Para la determinación de U se eligen diversos modelos de Tierra, de forma que su potencial normal U en cada punto sea muy similar al verdadero W. Se adopta como modelo de Tierra un elipsoide de revolución con masa igual a la masa de la Tierra y velocidad de rotación ω igual a la terrestre. Gravedad normal: γ = grad U. Diversas fórmulas, siendo la más normal la de 967: γ 967 = ( sen φ sen φ ) Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

91 Altitudes normales (H*) Introducidas por Molodensky, la superficie del geoide se sustituye por el quasi-geoide. Hace la simplificación que el campo de gravedad de la Tierra es normal, es decir: W = U g = γ T = 0 Bajo esta hipótesis se sustituye en la fórmula de altitud ortométrica la gravedad por la normal del elipsoide γ: C = W 0 W = H 0 γ dh * H * = C 0 dc H γ * C = γ Existen fórmulas desarrolladas, llegando a la expresión de H * en función de C y los parámetros del elipsoide y la latitud. Ventajas: No exige conocimiento de geoide. Adoptada por la mayoría de los países del Este. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

92 Sistemas de altitudes utilizados en Europa Datums altimétricos Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

93 Altitudes elipsoidales (h) En GPS, las altitudes se refieren al elipsoide de referencia, GRS80 (WGS84). Elipsoidales: están medidas desde el punto de la superficie terrestre al elipsoide, medidas sobre la normal al elipsoide que pasa por el punto. No tienen un significado geométrico ni físico, tal como los sistemas anteriores. Es necesario un perfecto conocimiento del geoide, ya que: h = H ± N h altitud elipsoidal H ortométrica N ondulación del geoide en el punto Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

94 Se hace imprescindible el conocimiento de algún modelo de geoide de suficiente precisión en la nivelación con GPS. Utilización práctica en modo diferencial: h = H + N. Geoide: superficie equipotencial que más se aproxima al nivel medio del mar. Esta definición tan sólo tiene un significado físico (nunca geométrico en el sentido estricto) y por tanto el geoide no es en realidad el nivel medio del mar. Transformación del sistema GPS a un sistema geodésico local o nacional, hemos de tener en cuenta este aspecto: una transformación global clásica tridimensional puede introducir unos errores considerables cuando trabajamos a distancias grandes y según los puntos de control 3D = D + D Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

95 Métodos de nivelación con GPS Atendiendo exclusivamente a la posibilidad o no de tener un modelo de geoide y sin tener en cuenta nº de receptores, extensión y geometría de la zona, etc:. Se dispone de carta del geoide local con la precisión necesaria. Nivelación GPS: H -H = h -h -N + N H = h + N Precisión requerida de al menos de ppm en N.. Se dispone de puntos con H conocida en el entorno de trabajo. Utilizándolos como puntos de control, dotándolos de altitud elipsoidal con GPS y realizando interpolación, se obtendrían perfiles del geoide en la zona. Buenos resultados en trabajos de ámbito local y si el número de puntos de control es reducido, en zonas donde la topografía del geoide no es muy movida. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

96 -3. Se dispone de un modelo de geopotencial. Normalmente suelen ser globales y no dan la precisión necesaria, aunque sí un conocimiento aproximado de N en términos absolutos. Generalmente suelen ser de orden y grado 360. Estos modelos, aunque nominalmente suelen estar en precisiones de ± m, es evidente que por su carácter global (mallas 5 x5 ) no pueden recoger anomalías locales y suelen dar perfiles planos del geoide. Pueden ser útiles para un posicionamiento global absoluto del trabajo. EGM008 ofrece precisiones válidas en el entorno de 0, m Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

97 -4. Se dispone de un levantamiento gravimétrico. Investigación: obtener deformaciones locales de un geoide ya conocido con menor precisión. Para ello se combinan observaciones GPS con las anomalías gravimétricas para obtener deformaciones locales más detalladas. CONCLUSIÓN La transformación WGS84-Sistema Local (en distancias > (depende)), debería ser una Transformación D + D, y no 3-D. El conocimiento del geoide vuelve a ser cuestión fundamental de la Geodesia Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo

98 Ejemplo: Dotación de altitud ortométrica a los aeropuertos de España. En 999 AENA-Eurocontrol solicitó al IGN la determinación de altitudes ortométricas a puntos situados en cabecera y pie de pista de 40 aeropuertos de toda España. Mediante la utilización de perfiles del geoide IBERGEO95 desde dos clavos NAP (red de nivelación de alta precisión) situados a distancias de hasta 5 Km, a sendos puntos del aeropuerto, se tenía una doble comprobación de la altitud ortométrica de cada punto. Fecha del Longreso Curso de GPS en Geodesia y Cartografía Montevideo, Mayo