Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.

Transcripción

1 polonio de erga era conocido como 'el gran geómetra'. Sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro "Las cónicas" con el que introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola, elipse e hipérbola. Sin embargo no es tan conocido por su tratado sobre angencias. En el que polonio describe el problema que hoy es conocido como roblema de polonio: Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados. Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular. : razar la circunferencia que pasa por los tres puntos. 1º- razamos dos segmentos que unen los tres puntos. 2º- razamos las mediatrices de ambos segmentos º- El punto intersección de las dos mediatrices es el centro de las circunferencias buscadas. Este procedimiento podemos usarlo a la inversa para encontrar el centro desconocido de una circunferencia dada. razaremos dos secantes y sus mediatrices. RRR: razar la/las circunferencias tangentes a las tres rectas. 1º- razamos las bisectrices de los tres ángulos interiores del triángulo que forman las tres rectas 2º- El punto donde se cortan es el incentro, centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y por lo tanto tangente a los tres lados de este. ara trazar la circunferencia antes tenemos que encontrar los puntos de tangencia con las tres rectas. Estos se hallan RZND ERENDIULRES LS RES DESDE EL ENR DE L IRUNFERENI SLUIÓN. º- razamos la circunferencia solución. ero existen otras tres soluciones fuera del triángulo. ara encontrarlas debemos proceder de igual forma: trazando las bisectrices, esta vez de los ÁNGULS EXERIRES. Dichas bisectrices se cortarán dos a dos en los centros de las otras tres soluciones. LS RBLEMS DE LNI: y RRR

2 R: razar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a la recta. Este problema tiene importancia ya que el procedimiento para resolverlo estará incluido en procedimientos para resolver problemas de mayor complicación. ara el caso particular de encontrar un punto sobre la recta no tendremos más que trazar la perpendicular a la recta por el punto perteneciente a ella y la mediatriz del segmento que unen los dos puntos. ero vamos a estudiar el caso más complicado que tiene dos soluciones. ENUNID 1º- razamos una recta que une los dos puntos y corta a la recta en el punto p. Esta recta será el eje radical de las dos soluciones. 2º- enemos que hallar los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde p hasta una circunfenencia auxiliar que pase por los dos puntos del enunciado. ara ello trazaremos la mediatriz del segmento que los une (ya que la usaremos más tarde, pues en ella se encuentran los centros de las soluciones) y desde el punto medio trazaremos dicha circunferencia auxiliar. 1 p p 2 p SLUIÓN º- untos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. auxiliar que pasan por p: para ello trazamos la mediatriz entre entre p y el centro de la cir. auxiliar y desde m trazamos un arco de radio mp que corta a la cir. auxiliar en los puntos 1 y 2 que son los puntos buscados. 2 1 m p 4º- on centro en p y radio p1 ó p2 trazamos un arco que abate la distancia p1 ó p2 sobre la recta del enunciado. 1 y 2 serán los puntos de tangencia de las circunferencias solución al problema. 4 p 5º- Desde 1 y 2 levantamos perpendiculares a la recta del enunciado, sobre estas támbién se encontraran los centros de las circunferencias de la solución. Donde estas cortan a la mediatriz del segmento que une a los puntos del enunciado se encuentran los centros de las dos soluciones. 6º- Ya tenemos los dos centros y los dos puntos de tangencia necesarios para trazar las soluciones. 5 6 LS RBLEMS DE LNI: R

3 RR: razar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas. ENUNID roblema con dos soluciones para el cual vamos a SLUIÓN presentar dos procedimientos para resolverlo. el primero de ellos "por potencia" que resolveremos de manera similar a R. y el segundo de ellos "por homotecia". De cualquier modo tenemos que tener claro que los centros de las soluciones se encuentran sobre la bisectriz del ángulo que producen las dos rectas. REDIMIEN R ENI (como R): Se trata de olvidarse de la recta superior y sustituirla por el punto simétrico (tomando como eje de simetría la bisectriz del ángulo). partir de ahi se resuelve como R. 1º- razamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. Desde el punto dado trazamos una perpendicular a ella y con centro en la interseccion de ambas (bisectriz y perpendicular) trazamos una circunferencia que pasa por el punto dado, obteniendo su simétrico al otro lado de la bisectriz. 2º- Nos quedamos con los dos puntos simetricos y también con los trazados auxiliares, desechando la recta superior del enunciado. partir de ahí procedemos igual que en R desde el paso º. REDIMIEN R HMEI: Dos circunferencias son siempre homotéticas. Sus centros están alineados con el centro de homotecia y sus radios homotéticos (radios que se trazan desde las intersecciones de las circuferencias con rectas secantes concurrentes en el centro de homotecia) son paralelos. or ello trazaremos una circunferencia, tangente a las dos rectas y homotética a las dos soluciones, que nos ayudará con sus rádios a encontrar sobre la bisectriz los centros de las circunferencias solución. 1º- razamos la bisectriz y una circunferencia aux., tangente a las dos rectas. 1 2º- razamos la recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto del enunciado. Esta recta producirá en la cir. auxiliar dos puntos desde los cuales trazar dos rádios 2 de la cir. auxiliar. º- Desde el punto dado en el enunciado trazamos paralelas a los radios. Estas cortan a la bisectriz en los centros de las cir. solución. Desde estos centros trazamos perpendiculares a las rectas para obtener los puntos de tangencia. 4º- razamos las circunferencias solución 4 LS RBLEMS DE LNI: RR

4 R: razar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas. ara resolver este problema necesitamos reducirlo a RR. Hacemos dilatando el ángulo formado por las rectas y convirtiendo la circunferencia en un punto para encontrar las circunferencias tangentes exteriores a la dada y a las rectas. onvertimos la circunferencia en un pto. y contraemos el ángulo para encontrar las circunferencias tangentes que contienen a la dada y a las dos rectas. Una vez hemos reducido el problema lo podemos resolver, en ambos casos bien por el método de la homotécia o bién convirtiendo RR en R. ara este ejercicio, si el punto se encuentra sobre las rectas o sobre la circunferencia, o si ambas rectas dadas son paralelas el problema se soluciona con mayor facilidad. EN ULQUIER S, SIEMRE (por teorema fundamental de las tangencias) EL ENR DE ULQUIER DE LS SLUINES ESRÁ EN L BISEIZ DEL ÁNGUL QUE FRMN LS DS RES. Si son paralelas en una paralela equidistante de ambas 2 soluciones Dilatando el ángulo. (por homotecia) 1º- ontraemos la circunferencia dada hasta convertirla en un punto (su centro) y dilatamos las rectas trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada. 2º- Nos quedamos con el punto y las dos nuevas rectas. Resolvemos RR. En este caso hemos resuelto RR por el procedimiento de homotecia, pudiendo haberlo hecho también por el procedimiento de potendia/eje radical. Una vez obtenidos los centros de las circunferencias de las soluciones de RR, regresamos al problema dado. razando perpendiculares a las rectas obtenemos sus correspondientes puntos de tangencia. Uniendo centros encontramos los puntos de tangencia sobre la circunferencia dada. 2 soluciones. ontrayendo el ángulo. (por potencia) 1º- ontraemos la circunferencia dada hasta convertirla en un punto (su centro) y contraemos también el ángulo formado por las rectas trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada. 2º- Nos quedamos con el punto y las dos nuevas rectas. Resolvemos RR. En este caso hemos resuelto RR por el procedimiento de potencia/eje radical, pudiendo haberlo hecho también por el procedimiento de homotecia. anto con estas dos soluciones como en las dos anteriores, tanto si resolvemos por un método o por el otro, debemos tener cuidado en resolver RR del centro de la circunferencia como punto y LS DS NUEVS RES, no las dadas. Una vez obtenidos los centros de las circunferencias de las soluciónes de RR, regresamos al problema dado. razando perpendiculares a las rectas obtenemos sus correspondientes puntos de tangencia. Uniendo centros encontramos los puntos de tangencia sobre la circunferencia dada. LS RBLEMS DE LNI: R

5 :razar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia. ENUNID SLUIÓN Este problema puede presentarse de dos formas: uno de los puntos está sobre la circunferencia (1 solución) y los dos puntos están fuera o dentro de la circunferencia (2 soluciones). ara los casos con dos soluciones se puede resolver por potencia-centro radical. En este caso vamos a emplear el método de la potencia. Hallando un eje radical auxiliar que nos ayudará a encontrar el centro radical de la circunferencia del enunciado y las dos de la solución. 1 1º- razamos la recta que pasa por los puntos dados. l segmento delimitado por ellos le trazamos su mediatriz (sobre ella estarán los centros de las soluciones). Sobre dicha mediatriz elegimos un centro al azar y trazamos una circunferencia que pase por los dos puntos y corte a la cir. del enunciado. 2 2º- razamos el eje radical de ambas. El eje radical corta a la recta definida por los dos puntos en el centro radical () de las soluciones con la cir del enunciado. t1 5 t2 º- Hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes exteriores a la circunferencia dada desde el punto. Estos (t1 y t2) serán los puntos de tangencia de las soluciónes finales. 4º- Unimos t1 y t2 con el centro de la cir. dada. Los puntos de intersección de estas rectas con la mediatriz del segmento que une los puntos dados serán los centros de las soluciones. 5º- razamos las dos circunferencias. 4 t1 t2 Si el problema se presenta con uno de los dos puntos sobre la circunferencia la solución es mucho más obvia y rápida. En este caso la solución se encuentra en la intersección de la mediatriz del segmento que une los dos puntos con la recta que une el centro de la circunferencia dada con el punto sobre esta. Si el problema se presernta con los dos puntos dentro de la circunferencia el procedimiento es exactamente el mismo. LS RBLEMS DE LNI:

6 : razar las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior a ellas. ENUNID SLUIÓN Este problema solo puede ser resuelto por el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia, mediante inversión positiva, lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias tangentes exteriores a las dos dadas, en algún caso muy particular podriamos encontrarnos con que una de las circunferencias de la solución. De este modo reducimós el problema a. La inversión positiva nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: circunferencias tangentes que contienen a la dada 1º-Unimos los centros de ambas circunferencias. Buscamos sobre el el centro de inversión positiva (que coincide con el centro de homotecia directa, por ello lo obtenemos trazando dos radios homotéticos que son paralelos y trazando la recta que une los puntos homotéticos de ambas circunferencias) ' 2º- Hallamos el inverso de : razamos una circunferencia (con centro en la interseccion de las mediatrices de y ) que pasa por - -. razamos la recta que corta a la última circunferencia B' en el inverso de,. ' º- partir de aquí resolveremos el problema ' 1 2 partir de hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir (la grande o la pequeña) que pasan por. 1 y 2 son puntos de tangencia de 2 4 las soluciones del problema inicial. Volvemos al problema origuinal para, por inversión obtener los 2' restantes puntos de tangencia de las soluciones (con la otra circunferencia). ' 1 4º-lineando 1 y 2 con el centro de inversión obtenemos 1' y 2' El procedimiento es el mismo que el que resuelve. En este caso ' es eje radical de las soluciones. Y trazando una cir. que pase por y ' y sea secante a la dada ( la grande es la que hemos utilizado, pero podriamos elegir cualquiera de las dos dadas en el enunciado) obtenemos otro eje radical auxiliar que en su intersección con el anterior eje radical nos da el centro radical de las soluciones. ' 1' 5º- lineando 1 y 2 con ( o 1' y 2' con ') encontramos sobre la mediatriz de ' los centros de las circunferencias solución. 5 omo hemos visto este problema, se reduce a exactamente del mismo modo, mediante inversión positiva, que reducíamos a R. Del mismo modo también reduciremos el problema a, pero con una inversión positiva para obtener las otras dos soluciones. 2' ' ' 1' 1 2 LS RBLEMS DE LNI: (1) Dos soluciones mediante inversión positiva

7 : razar las circunferencias tg. a dos cir. dadas y que pasan por un punto exterior a ellas. ENUNID SLUIÓN Este problema solo puede ser resuelto por el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia, mediante inversión negativa, lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias tangentes a las dos dadas, cada una de las soluciones contendrá a una de las circunferencias dadas. De este modo reducimós el problema a. La inversión negativa nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: cir. tangentes que contienen a una de las dadas 1º-Unimos los centros de ambas circunferencias. Buscamos sobre el el centro de inversión positiva (que coincide con el centro de ' homotecia directa, por ello lo obtenemos trazando dos radios homotéticos que son paralelos y trazando la recta que une los puntos homotéticos de ambas circunferencias) ' 2º- Hallamos el inverso de : razamos una circunferencia (con centro en la interseccion de las mediatrices de y ) que pasa por - -. razamos la recta que corta a la última circunferencia en el inverso de,. º- partir de aquí resolveremos el problema ' 1 ' El procedimiento es el mismo que el que resuelve. En este caso ' es eje radical de las soluciones. Y trazando una cir. que pase por y ' y sea secante a la dada (la grande es la que hemos utilizado, pero podriamos elegir cualquiera de las dos dadas en el enunciado) obtenemos otro eje radical auxiliar que en su intersección con el anterior eje radical nos da el centro radical de las soluciones. 2 partir de hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir (la grande o la pequeña) que pasan por. 1' y 2' son puntos de tangencia de las soluciones del problema inicial. 4º- Debemos encontrar 1 y 2. ara ello podemos hacer uso del centro de inversión: lineando 1' y 2' con (centro de inversión) encontramos sobre la otra circunferencia los puntos inversos, que son también los puntos de tangencia de las cir. solución con la cir. de menor radio. ero también podemos alinear 1' y 2' con ' para hallar los centros de las cir. solución y unir dichos centros con (centro e la segunda cir. dada) para encontrar así 1 y 2. 5º- Solo nos queda, en el caso de haber empleado la inversión para encontrar 1 y 2 encontrar los centros de las cir. solución. Lo hacemos del mismo modo que muestra la segunda opción del paso 4º. 1 ' 4 5 En las ilustraciones de este problema 1' y 2' ( y por lo tanto 1 y 2) quedan alineados con (centro de inversión). Esta circunstancia es solo casual para las posiciones relativas entre las dos circunferencias y el punto dados. 2 1 ' En general 1 y 2 no tienen por que estar alineados con el centro de inversión. 2 LS RBLEMS DE LNI: (2) Dos soluciones mediante inversión negativa

8 Si conocemos bién el procedimiento de la inversión para el caso estandar de este problema, cuando el punto dado es el punto de tangencia sobre una de las circunferencias dadas el problema queda simplificado sobremanera. l invertir una de las circunferencias en la otra, o vicebersa, teníamos también que obtener el punto inverso (lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican el ejercicio). ara los dos casos que se muestran en esta página, al estar el punto contenido en una de las circunferencias, el punto inverso se encontrará sobre su circunferendia transformada lo cual hace posible resolver el problema con muy pocos trazados y muy rápidamente. : razar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. R INVERSIÓN SIIV ENUNID SLUIÓN 1º- Los centros de la solución, en 1 cualquier caso, se encontrarán sobre la recta que pasa por el punto de tangencia dado y el centro de la circunferencia a la que pertenece. 2º- partir de ahí aplicaremos una inversión positiva en problema. El centro de inversión positiva es el centro de homotecia directa de este modo trazamos una paralela a por ' obteniendo el punto nomotético de ()'. Uniendo con ()' obtenemos, centro de inversión. 2 Sobre la recta, encontramos el punto ' sobre la circunferencia de centro '. ' es el punto de tangencia de la solución sobre la segunda circunferencia. Uniendo y ' con los centros de sus respectivas circunferencias obtenemos una intersección que por teorema fundamental de las tangencias es el centro de la solución. Esta método tiene el inconveniente de, generalmente, tener el centro de inversión algo alejado de las circunferencias dadas, por lo que si no nos dan el problema preparado en función al espacio gráfico, el centro de inversión se sale del límite del papel y su resolución se complica considerablemente. Esto puede suceder en ejercicios donde este problema es solamente uno mas de los varios que el ejercicio pueda contener. : razar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. R INVERSIÓN NEGIV ' () ENUNID SLUIÓN Los centros de la solución 1 en cualquier caso se encontrarán sobre una recta que pasa por el centro de la cir. y el punto de tangencia dados. ' 2º- INVERSIÓN NEGIV: Situamos el centro de inversión (). ara ello hemos trazado un radio paralelo al radio desde ' obteniendo ()', que es el homotético inverso de. Uniendo con ()' obtenemos el centro. ' () 2 ' () razando una recta que pasa por y por ( en este caso ya la hemos trazado para resolver el centro de inversión. btenemos otro punto, ', sobre la cir. de centro ', que es el inverso de razon negativa del punto. este punto es el punto de tangencia de la solución sobre la segunda circunferencia. º- Uniendo ' con ' ( propiedad fundamental de las tangencias) obtenemos el centro de la circunferencia solución. ara ilustrar estos métodos ( que en realidad es el mismo a diferencia del signo positivo o negativo de la razón de inversión) hemos cambiado el punto de tangencia por razones de espacio, pero el método no cambia en cualquier caso. En ambas modalidades de este problema el procedimiento es el mismo, no importa sobre que circunferencia se situe el punto de tangencia dado. LS RBLEMS DE LNI: () El punto es el punto de tangencia R INVERSIÓN

9 : razar las circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido un punto de tangencia sobre una de las dos circunferencias dadas. Resolución por otencia (eje radical y centro radical) ENUNID SLUIÓN 1º- Unimos el centro de la circunferencia con el punto de tangencia. Sobre esta recta estará indiscutiblemente (propiedad fundamental de tangencias) el centro de las soluciones 2º- razamos una circunferencia tangente por el punto dado a la primera y secante a la segunda. Hallamos el centro radical,, de las tres circunferencias. ara ello debemos trazar los ejes radicales de las dos parejas de circunferencias. Este centro radical,, lo es respecto de las dos circunferencias dadas y de la auxiliar que hemos trazado, pero tambien lo es respecto de las dos soluciones. 1 2 º- on centro el centro radical, trazamos una circunferencia que pasa por el punto de tangencia dado. Los puntos de intersección con la otra circunferencia, 1 y 2 serán los puntos de tangencia de las circunferencias soluciones soluciones. Esto se debe a que el valor - debe ser el mismo desde a los puntos de tangencia de las soluciones al ser el punto que cumple la misma potencia respecto a las tres circunferencias. 4º-Unimos estos puntos de tangencia, 1 y 2, con el centro de la circunferencia,. donde estas rectas corten a la recta que pasa por el centro de la otra cir. y el punto de tangencia dado tendremos los centros de las soluciones. Este método podría ser más apropiado en el caso de que el centro de inversión positíva se salirea de los límites del papel. En este caso el centro de una de las circunferencias se aleja bastante del nucleo del ejercicio, pero eso es debido a las posiciones relativas de las dos circunferencias y puntod e tangencia dado que hacen que una de las cir. solución tenga un rádio considerablemente mayor que los de las cir. dadas. 1 2 LS RBLEMS DE LNI: (4) El punto es el punto de tangencia R ENI: EJE RDIL-ENR RDIL

10 : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta que pasan por un punto exterior a ambas. ENUNID Este problema puede ser resuelto mediante distintos métodos. No obstante vamos a desarrollar el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la recta,mediante inversión positiva, lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias tg. exteriores a la cir. dada. De este modo reducimós el problema a R. Este procedimiento nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles para este caso. 4 SLUIÓNES Inversión positiva, k>0. 2 soluciones, circunferencias tangentes exteriores a la dada 1º- razamos una perpendicular a la recta dada pasando por el centro de la cir. Situamos en el extremo superior el centro de inversión () siendo el otro extremo del diámetro y el punto de intersección con la recta dada su inverso. sí la recta es la inversa de la circunferencia º- Hallamos el inverso de : razamos una circunferencia (con centro en la interseccion de las mediatrices de y ) que pasa por - -. razamos la recta que corta a la última circunferencia en el inverso de,. partir de aquí resolveremos el problema R ara aclarar la resolución (que en parte puede ser estudiada en el problema R) hemos ampliado el area del problema en que nos vamos a ocupar. ' ' t t1 ' 1' º- es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada en ( centro radical auxiliar). trazamos una circunferencia auxiliar que pasa por - (en este caso nos sirve la trazada para obtener ) y encontramos los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde a dicha circunferencia. Dichos puntos de tangencia son t y t (en minusculas y remarcados con circulos menores). on centro en, abatimos la distancia -t (t 1 ) sobre la recta dada obteniendo 1 y. Estos Y son puntos de tangencia de las dos soluciones finales. ero a partir de aquí regresamos al problema inicial aprobechando la inversión para encontrar los inversos de estos puntos sobre la primera circunferencia dada. 4 ' ' 1 1' 4º- lineamos y 1 con ( centro de inversión, encontrando sus inversos sobre la circunferencia, y 1, estos tambien son puntos de tangencia de las soluciones finales. 5º- lineando y 1 con el centro de la cir. dada y trazando perpendiculares a R por los puntos y 1 hallamos intersecciones donde se encuentran los centros de las circunferencias que solucionan la mitad del problema. ara encontrar la sotras circunferencias (que contienen a la dada y son tangentes a la react pasando por el punto dado procedemos de igual modo pero transformando la circunferencia en la recta mediante una inversión negativa. 5 ' ' 1 LS RBLEMS DE LNI: (1) Dos soluciones mediante inversión positiva

11 : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta que pasan por un punto exterior a ambas. Este problema puede ser resuelto mediante distintos métodos. No obstante vamos a desarrollar el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la recta,mediante inversión negativa, lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias tg. que contienen a la cir. dada. De este modo reducimós el problema a R. Este método nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles ENUNID 4 SLUIÓNES Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: circunferencias tangentes que contienen a la dada 1º- razamos una perpendicular a la recta dada ' pasando por el centro de la cir. Situamos en el extremo inferior el centro de inversión () siendo el extremo superior del diámetro y el punto de intersección con la recta dada su inverso. sí la recta es la inversa de la circunferencia. 2º- Hallamos el inverso de : razamos una circunferencia (con centro en la interseccion de las mediatrices de y ) que pasa por - -. razamos la recta que corta a la última circunferencia en el inverso de,. partir de aquí resolveremos el problema R on el fin de observar mejor los siguientes pasos, que pueden ser en parte estudiados en el procedimiento de R, hemos eliminado los trazados auxiliares empleados hasta ahora, exceptuando la cir. ', para quedarnos con 'R (también hemos dejado visible la cir. del enunciado, que por el momento no va a intervenir en el proceso. ' º- es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada en ( centro radical auxiliar). trazamos una circunferencia auxiliar que pasa por - (en este caso nos sirve la ya trazada para obtener ) y encontramos los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde a dicha circunferencia. ' t t1 1' 4º- lineamos y 1 con ( centro de inversión, encontrando sus inversos sobre la circunferencia, y 1, estos tambien son puntos de tangencia de las soluciones finales. ' 4 ' 1 1' Dichos puntos de tangencia son t y t1 (en minusculas y remarcados con circulos menores). on centro en, abatimos la distancia -t (t 1 ) sobre la recta dada obteniendo 1 y. Estos Y son puntos de tangencia de las dos soluciones finales. ero a partir de aquí regresamos al problema inicial aprobechando la inversión para encontrar los inversos de estos puntos sobre la primera circunferencia dada. ' 5 5º- lineando y 1 con el centro de la cir. dada y trazando perpendiculares a R por los puntos y 1 hallamos intersecciones donde se encuentran los centros de las circunferencias que solucionan la mitad del problema. omo vemos, el procedimiento es exactamente el mismo que para resolver las cir. tangentes exteriores pero aplicando un ainversión de razon negativa. ' 1 1' Este procedimiento es algo complejo y largo, pero se simplifica sobremanera cuando el punto está sobre la recta o la circunferencia. LS RBLEMS DE LNI: (2) Dos soluciones mediante inversión negativa

12 Si conocemos bién el procedimiento de la inversión para el caso estandar de este problema cuando el punto dado es el punto de tangencia sobre la recta o sobre la circunferencia el problema queda simplificado sobremanera. l transformar la rectaen la circunferencia o vicebersa teniamos tambien que obtener el punto inverso(lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican el ejercicio). ara estos dos casos, al estar el punto contenido en la recta o la circunferencia, el punto inverso se encontrará sobre su transformada (recta o cricunferencia) lo cual hace posible resolver el problema con muy pocos trazados y muy rápidamente. : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la recta. R INVERSIÓN ENUNID SLUIÓN Los centros de la solución en cualquier caso se encontrarán sobre una perpendicular a la recta dada que pasa por el punto de tangencia dado. 1º- INVERSIÓN SIIV: Situamos el centro de inversión () en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta. razamos una recta desde pasando por hasta obtener ' sobre la cir. dada. Y a partir de ' trazamos una recta pasando por el centro de la cir. dada para encontrar el centro de la solución en la intersección de esta con la primera perpendicular a la recta dada. partir de ahí aplicaremos dos inversiones el en problema. 1º Inversión positiva para encontrar una solución (tg. exterior a la cir. dada) y 2º Inversión negativa para enontrar la otra solución (tg que contiene a la cir. dada) ' 2º- INVERSIÓN NEGIV: Situamos el centro de inversión () en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta. razamos una recta desde pasando por hasta obtener ' sobre la cir. dada. partir de ' trazamos una recta pasando por el centro de la cir. dada para encontrar el centro de la solución en la intersección de esta con la primera perpendicular a la recta dada. ' Siendo tan sencilla la resolución de este problema mediante este método nos podemos permitir sin problemas resolver ambas soluciónes en el mismo ejercicio. : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la circunferencia. R INVERSIÓN ENUNID SLUIÓN Los centros de la solución en cualquier caso se encontrarán sobre una recta que pasa por el centro de la cir. y el punto de tangencia dados. 1º- INVERSIÓN SIIV: Situamos el centro de inversión () en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta. razamos una recta desde pasando por hasta obtener 1' sobre la recta dada. partir de 1' trazamos una recta perpendicular a la recta dada para encontrar el centro de la solución en la intersección de esta con la recta que une y el centro de la cir. dada. partir de ahí aplicaremos dos inversiones el en problema. 1º Inversión positiva para encontrar una solución (tg. exterior a la cir. dada) y 2º Inversión negativa para enontrar la otra solución (tg que contiene a la cir. dada) 2º- INVERSIÓN NEGIV: Situamos el centro de inversión () en el extremo inferior del diámetro perpendicular a la recta. razamos una recta desde pasando por hasta obtener ' sobre la recta dada. partir de ' trazamos una recta perpendicular a la dada para encontrar el centro de la solución en la intersección de esta con la solución en la intersección de esta con la recta que une y el centro de la cir. dada. 1' 2' Siendo tan sencilla la resolución de este problema mediante este método nos podemos permitir sin problemas resolver ambas soluciónes en el mismo ejercicio. mbos problemas se resuelven mediante el mismo método, pero adaptado a los datos del enunciado. LS RBLEMS DE LNI: () El punto es el punto de tangencia R INVERSIÓN

13 : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la recta. R ENI. ENUNID SLUIN 1º- La perpendicular por el punto dado a la recta dada contiene los centros d etodas las circunferencias tangetes a la recta por el punto dado. 2º. on centro arbitrario trazamos una cir. que pasa por y corta a la cir dada en dos puntos, trazamos el eje radical de ambas cir. cobteniendo sobre la recta dada un entro radical uxiliar. º- Llevamos el valor constante - a la cir. dada haciendo centro en, con radio - para obtener 1 y 2 sobre la cir dada. 1 y 2 son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. dada que pasan por. 1 4º- 1 y 2 son los puntos de tangencia sobre la circunferencia dada de las cir.de la solución. sí pues solo nos queda alinear 1 y 2 con el centro de la cir. dada para obtener sobre la perpendicular los centros de las soluciones. : razar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la circunferencia. R ENI. 2 ENUNID SLUIÓN 1º- razamos una recta por y el centro de la circunferencia. En esta estarán los centros de las soluciones º- razamos por una perpendicular a la recta que une el centro de la cir dada con. Esta recta es un eje radical que corta a la recta dada en que es el centro radical de las dos circunferencias de la solución y la cir. dada. º- on centro en y radio - abatimos esa distancia sobre la recta. Sobre la cir. dada obtenemos ', que en este caso no nos sirve, y ' son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. dada desde. Sobre la recta obtenemos 1 y 2, que son los puntos de tangencia sobre la recta dada de las soluciones. 4º- Solo nos queda trazar perpendiculares a la recta dada por 1 y 2 para hallar los centros de las circunferencias de la solución en la recta que une con el centro de la cir. dada. 1 ' 2 4 mbos casos explicados en esta página están resueltos por el mismo procedimiento. ara entenderlos bien es necesario tener claros los conceptos de potencia, eje y centro radical. onociendolos el procedimiento es muy sencillo y más fácil de memorizar. LS RBLEMS DE LNI: (4) El punto es el punto de tangencia R ENI: EJE RDIL-ENR RDIL