Análisis de series temporales A time series pattern component random (error) component trend pattern seasonal pattern cyclic pattern

Transcripción

1 Análisis de series temporales Josep Allepús Benevento, May 4th Components of a time series Mathematical Representations A time series pattern component random (error) component trend pattern seasonal pattern Una serie temporal Y(t), puede admitir una descomposición del tipo: Aditiva: Y = T + S + C + I Multiplicativa: Y = T * S * C *I Esquema mixto Y ( t) = T( t)* C( t)* E( t) + I( t) cyclic pattern 3 4 Ejemplo. Serie aditiva Ejemplo. Serie aditiva Yt trim , trim ,8 trim ,9 trim ,7 trim ,9 trim ,3 trim ,6 trim ,2 trim ,2 trim ,2 trim ,6 trim ,3 trim ,5 trim , trim ,3 trim , trim1-21 trim2-21 trim3-21 trim4-21 trim1-22 trim2-22 trim3-22 trim4-22 trim1-23 trim2-23 trim3-23 trim4-23 trim1-24 trim2-24 trim3-24 trim trim1-21 trim2-21 trim3-21 trim4-21 trim1-22 trim2-22 trim3-22 trim4-22 trim1-23 trim2-23 trim3-23 trim4-23 trim1-24 trim2-24 trim3-24 trim4-24 6

2 Ejemplo. Serie aditiva Ejemplo 2. Serie multiplicativa trim4-24 trim3-24 trim2-24 trim1-24 trim4-23 trim3-23 trim2-23 trim1-23 trim4-22 trim3-22 trim2-22 trim1-22 trim4-21 trim3-21 trim2-21 trim1-21 Yt trim trim trim trim trim trim trim trim trim trim trim trim trim1-21 trim2-21 trim3-21 trim4-21 trim1-22 trim2-22 trim3-22 trim4-22 trim1-23 trim2-23 trim3-23 trim Ejemplo 2. Serie multiplicativa Ejemplo 2. Serie multiplicativa trim1-21 trim2-21 trim3-21 trim4-21 trim1-22 trim2-22 trim3-22 trim4-22 trim1-23 trim2-23 trim3-23 trim ,8 1,6 1,4 1,2 1,8,6,4,2 trim1-21 trim2-21 trim3-21 trim4-21 trim1-22 trim2-22 trim3-22 trim4-22 trim1-23 trim2-23 trim3-23 trim que entran en España (1958-2) que entran en España (1958-2) Media móvil 12 meses 2 Media móvil 12 meses

3 Media móvil 12 meses que entran en España (1958-2) que entran en España (1991-2) Lineadetendencia que entran en España: Total anual ) YearTOTAL Visitors , , , , , , , , , ,9 TOTAL Visitors Linea de tendencia que entran en España (1991-2) Tabla resolución Lineadetendencia Meses Media Diferenci Promedi Indice Regre Linea de Desvia Desvia a ciones ciones móvil 12 o móvil resp.pro cíclicoirregul cíclica meses m.móvil centrado estacional sor tendencia s 1991 enero , Feb 2.2, Mar 3.118, Abr 3.364, 1991 May 3.995, Jun 4.596, Jul 8.121, ,7% ,8% 1991 Ago 9.841, ,9% ,% 12,8% 1991 Set 5.592, ,3% ,7% 12,8% 1991 Oct 3.991, ,3% ,8% 12,9% 1991 Nov 2.773, ,8% ,4% 13,1% 1991 Dic 3.524, ,1% ,2% 13,1% 1992 enero , ,1% ,8% 12,8% 1992 Feb 2.529, ,3% ,5% 12,6% 1992 Mar 2.868, ,4% ,6% 12,6% 1992 Abr 4.118, ,2% ,7% 12,5% 1992 May 4.283, ,8% ,3% 12,3% 1992 Jun 4.584, ,4% ,8% 11,9% 1992 Jul 8.77, ,9% ,5% 11,6% 1992 Ago 9.956, ,1% ,4% 11,4% 1992 Set 6.14, ,7% ,2% 11,2% 1992 Oct 4.13, ,3% ,1% 11,% 1992 Nov 2.62, ,3% ,8% 1,8% Dic 3.516, ,5% ,6% 1,6%

4 Desv.St y Medias anuales Determinación del tipo de esquema: Desv.St versus Medias Meses , , ,7 3.2, , , , , ,7 3.65, , , , , , 3.16, , , , , , , , , ,2 4.94,8 4.51, , ,3 4.79, , 4.118,5 4.33, , , , ,6 5.63, ,4 6.59, , , ,2 5.4, , 4.913, , , ,8 6.24, , , 4.768, 5.63,6 5.2, , , ,6 6.27, , ,3 8.77, ,5 9.61, 7.756, ,1 8.33, ,3 9.5, , , , ,4 1.4, , , , , , , ,6 6.14, ,4 6.56, , , , ,8 6.96, , ,1 4.13,8 4.45, , ,7 5.19, , , , , ,5 2.62, , , 3.215, , , , , , , , , 3.782, , 3.717,1 4.14, 4.317, , ,5 TOTAL= MEDIA= 4.457,9 4.61, , , 4.799,5 5.54, , ,2 6.92, ,5 St.Dev= 2.241, , ,5 2.37,8 1.72,9 1.8, ,1 2.79,4 2.5,7 2.62,1 19 Meses MEDIA St.Dev ,9 2241, ,9 2226, ,9 2224, , 237, ,5 172, ,5 18, ,6 1912, ,2 279, ,3 25, ,5 262,1 St.Dev Determinación del tipo de esquema: Desv.St versus Medias Media MEDIA St.Dev Determinación del tipo de esquema: Comparación con el año anterior diferencias tasa.var Y Y-lag12 Y/lag12 n= , Min= ,8126 Max= ,2243 Media= 5238,5 189,51 1,45 StDev= ,79 Coef.Var=,4113 2,1591,679 Removing Time Trends: Detrending Often, the trend component of a time series dominates, but the interesting part of the series is another component. menor variabilidad Esquema Multiplicativo Detrending Determinación de la tendencia Step 1: Estimate the Secular Trend using regression model Step 2: Subtract the estimated secular trend from the original series. 23 Miles de viajeros que entran en España. Fuente de información: Linea de Meses Promedio Regresor móvil tendencia centrado 1991 enero , Feb 22, Mar 3118, Abr 3364, 1991 May 3995, Jun 4596, Jul 8121,3 4469,7 1, 4348, Ago 9841,5 4495,3 2, 4365, 1991 Set 5592,6 4498,5 3, 4381, Oct 3991,1 4519,5 4, 4398, Nov 2773,5 4563, 5, 4414, Dic 3524,9 4574,5 6, 4431, enero ,6 4572,1 7, 4448, 1992 Feb 2529,4 4575,1 8, 4464, Mar 2868,1 4597,4 9, 4481, Abr 4118,5 4619,7 1, 4497, May 4283,9 4618, 11, 4514, Jun 4584, 4611,2 12, 4531, 1992 Jul 877,4 4617,8 13, 4547, Ago 9956,1 4629,6 14, 4564, Set 614,1 4636,7 15, 458, Oct 413,8 4646,6 16, 4597, Nov 262,2 4652,7 17, 4614, 1992 Dic 3516,5 4658,8 18, 463,6 24

5 Seasonal Component Seasonal Variation Found in High Frequency data (Quarterly, monthly) Caused by natural or budget calendars Retail Sales higher during holidays Travel more frequent in summer Weather Want to quantify or remove in forecasting How predictable is this component? Patterns of change in a time series within a year. These patterns tend to repeat themselves each year. Almost all businesses tend to have recurring seasonal patterns Compute a moving average The Moving-Average Method : Moving-average method smooths out fluctuations The moving-average method is not only useful in smoothing out a time series; it is the basic method used in measuring the seasonal fluctuation, described. In contrast to the least squares method, which expresses the trend in terms of a mathematical equation (Y= a + bt), the moving-average method merely smooths out the fluctuations in the data. This is accomplished by moving the arithmetic mean values through the time series. To apply the moving-average method to a time series, the data should follow a fairly linear trend and have a definite rhythmic pattern of fluctuations. If the duration of the cycles is constant, and if the amplitudes of the cycles are equal, the cyclical and irregular fluctuations can be removed entirely using the moving-average method. The result is nearly a straight line. The first step in computing the twelve-months moving average is to determine the twelve-months moving totals and determine the arithmetic mean visitors per year. 27 Método de la Media Móvil: Se basa en el suavizado de la serie mediante medias móviles sucesivas de orden p. PASOS: Representar gráficamente la serie y observar cuál es el período de oscilaciones más importantes. Elegir un valor de p que represente el período de oscilaciones más importantes que caracteriza la serie. Una media móvil no es más que el valor medio de un conjunto de valores adyacentes de una serie temporal, existiendo dos tipos genéricos: medias móviles simétricas o centradas y medias móviles asimétricas. 3. Si p es par las medias móviles sería necesario centrarlas haciendo la media de medias móviles sucesivas 4. La tendencia de la serie la componen las medias móviles centradas obtenidas en el paso Medias Móviles Tabla resolución Una media móvil simétrica de la variable yt de orden 2p+1, denotada por MM(2p+1), es aquella que contiene p términos anteriores y p términos posteriores de la variable yt, y viene dada por la expresión: p p p yt MM (2 p + 1) t = + y t yt + y t+ 1 + y t 2p + 1 y t p + yt p y t MMA ( p) = p y t Una media móvil asimétrica es aquella que no cuenta con un conjunto simétrico de valores de yt, en concreto, una media móvil asimétrica de orden p responde generalmente a la expresión: 29 Meses Media Diferenci Promedi Indice Regre Linea de Desvia Desvia a ciones ciones móvil 12 o móvil resp.pro cíclicoirregul cíclica meses m.móvil centrado estacional sor tendencia s 1991 enero , Feb 2.2, Mar 3.118, Abr 3.364, 1991 May 3.995, Jun 4.596, Jul 8.121, ,7% ,8% 1991 Ago 9.841, ,9% ,% 12,8% 1991 Set 5.592, ,3% ,7% 12,8% 1991 Oct 3.991, ,3% ,8% 12,9% 1991 Nov 2.773, ,8% ,4% 13,1% 1991 Dic 3.524, ,1% ,2% 13,1% 1992 enero , ,1% ,8% 12,8% 1992 Feb 2.529, ,3% ,5% 12,6% 1992 Mar 2.868, ,4% ,6% 12,6% 1992 Abr 4.118, ,2% ,7% 12,5% 1992 May 4.283, ,8% ,3% 12,3% 1992 Jun 4.584, ,4% ,8% 11,9% 1992 Jul 8.77, ,9% ,5% 11,6% 1992 Ago 9.956, ,1% ,4% 11,4% 1992 Set 6.14, ,7% ,2% 11,2% 1992 Oct 4.13, ,3% ,1% 11,% 1992 Nov 2.62, ,3% ,8% 1,8% Dic 3.516, ,5% ,6% 1,6%

6 Índices de Variación Estacional Determining a Seasonal Index La estacionalidad de cada período vendrá representada por los (IGVEAk) correspondientes a cada uno de los períodos. Cálculo de los Índices Específicos de Variación Estacional (IEVEik) según el esquema de acuerdo con el que se combinan las componentes de la serie sea: 1. Aditivo 2. Multiplicativo INTERPRETACIÓN: En el esquema aditivo: Cuando un Índice General de Variación Estacional Ajustado sea positivo, entonces la variable supera a la media de tendencia-ciclo en dicho período, debido al efecto estacional; dándose el efecto contrario si es negativo. En el esquema multiplicativo: Cuando un Índice General de Variación Estacional Ajustado es mayor que 1 (que 1 en %), entonces la variable supera a la media de tendencia-ciclo en dicho período, por el efecto estacional; y viceversa si es menor que 1%. 31 Objective: To determine a set of typical seasonal indexes A typical set of monthly indexes consists of 12 indexes that are representative of the data for a 12-month period (Logically, there are four typical seasonal indexes for data reported quarterly). Each index is a percent, with the average for the year equal to 1.; that is, each monthly index indicates the number of visitors, production, or another variable in relation to the annual average of 1.. A typical index of 96. for January indicates that visitors (or whatever the variable is) are usually 4 percent below the average for the year. An index of 17.2 for October means that the variable is typically 7.2 percent above the annual average. 32 Ratio-to-moving-average method Indices mensuales respecto el promedio anual Several methods have been developed to measure the typical seasonal fluctuation in a time series. The method most commonly used to compute the typical seasonal pattern is called the ratio-tomoving-average method. It eliminates the trend, cyclical, and irregular components from the original data (Y). The numbers that result are called the typical seasonal index. 33 Prom.Indice Meses estacional 1 53,3% 57,7% 59,2% 58,6% 61,5% 58,1% 58,9% 6,9% 59,% 59,2% 58,6% 2 49,4% 54,9% 55,5% 57,% 62,2% 59,7% 61,7% 62,1% 61,2% 63,6% 58,7% 3 7,% 62,2% 61,2% 68,8% 74,6% 81,% 83,3% 74,% 75,7% 76,4% 72,7% 4 75,5% 89,3% 9,2% 82,5% 13,3% 96,8% 9,2% 95,% 92,4% 16,9% 92,2% 5 89,6% 92,9% 89,% 98,5% 94,6% 97,2% 15,% 16,3% 17,8% 97,7% 97,9% 6 13,1% 99,4% 99,9% 98,9% 18,4% 19,3% 14,3% 14,9% 12,9% 18,7% 14,% 7 182,2% 175,2% 171,% 177,% 161,6% 151,9% 153,9% 149,8% 156,% 153,4% 163,2% 8 22,8% 215,9% 213,% 23,2% 176,1% 183,2% 181,5% 182,8% 17,7% 168,4% 191,6% 9 125,5% 13,4% 129,4% 127,1% 119,5% 116,4% 117,1% 116,5% 113,4% 122,9% 121,8% 1 89,5% 89,% 93,3% 93,4% 97,8% 11,1% 99,7% 13,7% 111,1% 1,9% 98,% 11 62,2% 56,8% 62,4% 61,1% 67,% 71,8% 7,2% 7,7% 75,2% 68,6% 66,6% 12 79,1% 76,3% 76,% 73,9% 73,4% 73,5% 74,1% 73,2% 74,5% 73,2% 74,7% 34 Índices de estacionalidad mensuales Time Series: Analysis and Forecasting Mes Indice estacional 1,5864 2,5873 3,7273 4,9221 5, , , , ,2182 1, , ,7472 Indice estacional 2, 1,8 1,6 1,4 1,2 1,, ,6,4 THE SPANISH INBOUND TOURISM SURVEY (FRONTUR) Tourism entries broken down by type. February 24: Provisional data (*) Month-to-month variation rate Year-to-year variation rate Cumulative since January Total Cumulative year-to-year variation rate 5,86, ,76,579 Visitors Tourists 2,982, ,588, Same-day visitors 2,14, ,172, (*) The figures are definitively reviewed after one year. Source: I.E.T. -. DATATUR: 21, C/ José Lázaro Galdiano,6, 2836 Madrid ESPAÑA tfno , fax

7 THE SPANISH INBOUND TOURISM SURVEY (FRONTUR) Visitor entries broken down by type. Serie to March 24: Provisional data (*) Visitor entries Visitors Tourists Same-day visitors Visitors Tourists Same-day January 22 3,925,785 2,263,363 1,662,423 February 22 4,424,84 2,656,4 1,768,44 March 22 5,784,979 3,795,35 1,989,628 April 22 6,39,13 3,814,244 2,224,886 May 22 6,789,424 4,647,1 2,142,414 June 22 7,131,22 5,11,786 2,2,236 July 22 9,869,773 6,862,325 3,7,447 August 22 12,199,27 7,824,59 4,374,762 September 22 7,629,413 5,287,799 2,341,614 October 22 6,528,664 4,473,835 2,54,829 November 22 4,72,1 2,8,64 1,92,36 December 22 4,981,967 2,791,82 2,19,885 January 23 4,279,476 2,436,93 1,842,546 February 23 4,383,78 2,698,242 1,684,837 March 23 5,488,25 3,344,836 2,143,368 April 23 6,712,565 4,283,16 2,429,45 May 23 7,378,651 4,864,122 2,514,529 June 23 7,51,339 5,122,183 2,388,156 July 23 1,117,49 6,932,115 3,184,933 August 23 11,847,434 7,294,382 4,553,52 September 23 7,652,86 5,14,262 2,512,544 October 23 6,791,24 4,478,839 2,312,364 November 23 4,97,71 2,8,163 2,17,547 December 23 5,358,37 2,917,189 2,441,181 Total year 24 15,259,535 8,937,273 6,322,261 January 24 4,673,98 2,66,122 2,67,785 February 24 5,86,671 2,982,161 2,14,51 March 24 5,498,956 3,348,99 2,149,966 etc