Lamberto Cortázar Vinuesa 2015

Transcripción

1 PROBABILIDAD TEMAS WIKI Ideas y conceptos Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado: ESPACIO MUESTRAL (Todos los resultados posibles) 1,,,,, 6 SUCESO (Cada una de las partes de E): Suceso elemental (Un único resultado del experimento) 6 6 Suceso compuesto (Más de un resultado del experimento),,,, 6 Suceso seguro (Ocurre siempre que se realiza el experimento) 7 1,,,,, 6 Suceso imposible (No ocurre nunca) 7 SUCESO CONTRARIO O COMPLEMENTARIO,, UNIÓN DE SUCESOS,,,,,, 6,, 6 A 6 B INTERSECCIÓN DE SUCESOS,,,, 6 ó, ú,,, Una relación que se utiliza mucho: A B LEYES DE MORGAN Página 1 de

2 Regla de Laplace La probabilidad de que ocurra un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al suceso A entre el número de casos posibles del experimento. º º Recuerda que los sucesos elementales deben ser equiprobables. Ejemplo: Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al, de la que se saca una bola al azar. Calcula la probabilidad de que la bola sacada tenga un número par. º "" º 0,6 Probabilidad compuesta Ahora hay varios experimentos simples que forman un experimento compuesto. Si el experimento compuesto está formado por dos simples, en ocasiones puede ser útil emplear una tabla de doble entrada. Observa y aprende: Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma obtenida sea par , Sin duda, la herramienta más útil a la hora de calcular probabilidades en experimentos compuestos es el diagrama de árbol. Observa este ejemplo: Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda se obtenga: a) Menor que en el dado y cara en la moneda. b) Cara y una puntuación mayor o igual que. 1 C X C X , , Página de

3 Practica: 1. Extraemos una carta de una baraja española. Halla la probabilidad de que la carta: a) Sea de bastos. b) No sea de espadas. c) Sea una figura. d) Sea caballo o rey. e) No sea un as. f) No sea ni un dos ni un tres.. De una caja en la que hay 10 bolas rojas, bolas blancas y bolas negras, sacamos una bola al azar. Halla la probabilidad de que dicha bola: a) Sea roja. b) Sea blanca o negra. c) No sea negra.. En la clase de º B hay 8 alumnos de los que 0 son chicas. Si elegimos un alumno al azar, qué probabilidad tenemos de que sea chico?. Ordena los siguientes sucesos aleatorios del más probable al menos probable: a) Obtener una sota al sacar una carta de una baraja española. b) Obtener puntuación menor que al lanzar un dado. c) Sacar un chicle de fresa de una bolsa en la que hay de menta, de fresa y de limón. d) Sacar una papeleta con un número acabado en 0 de una urna con papeletas numeradas del 1 al 100. e) No obtener copas al sacar una carta de una baraja española. f) No obtener cara al lanzar una moneda.. Lanzamos dos monedas. Escribe el espacio muestral y calcula las siguientes probabilidades: a) Obtener al menos una cara. c) Obtener menos de dos caras. b) Obtener una cara y una cruz. d) Obtener dos cruces. 6. Mi primo tiene dos hijos. Calcula la probabilidad de que ambos sean del mismo sexo. (Se supone que la probabilidad de nacer niño es la misma que la de nacer niña) 7. Mi prima tiene tres hijos. Calcula la probabilidad de que los tres no sean del mismo sexo. 8. En un vagón de metro viajan 1 hormigas, 6 lagartos y 1 ratas de rabo largo. Al parar el metro en la estación, cuál es la probabilidad de que el primero que baje no tenga pelo? Una vez bajado el primero, cuál es la probabilidad de que el siguiente en bajar tenga bigotes?. Hay bolas numeradas del 1 al 0. Sacamos una bola al azar. Calcula la probabilidad de obtener: a) Número primo. b) Múltiplo de tres. c) Número de dos cifras. 10. Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones. Qué jugada es mejor: suma o suma? Halla la probabilidad de que la suma sea 6, de que sea 7 y de que sea 8. Comenta los resultados. 11. Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos monedas? 1. Lanzamos una moneda y un dado. Utiliza una tabla de doble entrada y un diagrama de árbol para obtener los casos posibles. Cuál es la probabilidad de obtener cara y par? 1. Qué es más probable, obtener tres caras al lanzar tres monedas o que al tirar dos dados la diferencia sea cuatro? 1. Lanzamos dos dados y restamos las puntuaciones. Laura apuesta por que la diferencia obtenida sea 1 y Jorge por que dicha diferencia sea. Quién tiene mayor probabilidad de ganar? Página de

4 Propiedades de la probabilidad ; A y B compatibles (existe la intersección): A y B incompatibles ( ): La probabilidad de un suceso A y la de su contrario suman 1: Observa estos ejemplos: Al 0% de los alumnos del Gaudí les gusta el fútbol, al 0% el baloncesto y al 0% les apasionan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes? Del enunciado obtenemos que: 0,; 0,; 0, Nos piden: Según las leyes de Morgan: 1 1 0, 0, Con los datos del problema: 0 0, 0, 0, En el Gaudí tenemos dos alarmas A y B. En caso de que alguien intente entrar cuando el insti está cerrado, la probabilidad de que se activen A, B o ambas es: 0,8; 0,7; 0,6 Calcula la probabilidad de que: a) Se active alguna de las dos. b) No se active ninguna a) Alguna de las dos: A o B, es decir, 0,8 0,7 06 0, b) No se active ninguna = Contrario de que se active alguna , 0,0 Página de

5 Probabilidad condicionada La probabilidad de un suceso B sabiendo que ha ocurrido otro suceso A, se escribe Las probabilidades condicionadas son de enorme importancia y para calcularlas se suele emplear el diagrama de árbol (Segundas y sucesivas ramas). La fórmula de la probabilidad condicionada es de la que se deduce la expresión para calcular la probabilidad de la intersección: (Probabilidad de que ocurran A y B es la probabilidad de que ocurra A y también B habiendo ocurrido A) Sucesos independientes La expresión anterior o regla del producto supone que los sucesos A y B son dependientes es decir, que el hecho de que se realice uno influye en la realización del otro. Ejemplos típicos de sucesos dependientes surgen en extracciones sin devolución o sin reemplazamiento. Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de que se haya realizado el otro. En este caso, y por lo tanto: Ejemplos típicos de sucesos independientes surgen en extracciones con devolución o con reemplazamiento. Observa y aprende: En una tienda hay 6 mujeres y hombres. de las mujeres y de los hombres llevan zapatos. Si se elige una persona al azar, Cuál es la probabilidad de que sea mujer y lleve zapatos? ; ; ; Se trata de sucesos dependientes. Nos piden calcular 0, ya que Si utilizamos un diagrama de árbol el resultado sería el mismo: 6 6 Z , M 10 H Z Página de

6 Una urna contiene 6 bolas rojas y verdes. Si extraen dos bolas, calcula la probabilidad de que sean las dos verdes en los siguientes supuestos: a) La extracción es con devolución (la primera bola sacada se vuelve a meter) b) La extracción es sin devolución (la primera bola no vuelve a la urna) a) Al ser con devolución las extracciones son independientes, sacar la segunda bola no depende de lo ocurrido en la primera extracción , b) Al ser sin devolución la composición de la urna cambia al sacar la primera bola y esto influye en la segunda extracción. Los sucesos son dependientes ,1 0 Con diagrama de árbol: 6 10 R R 6 10 R V R 6 10 R 6 V R 10 V Con devolución 10 V 10 V Sin devolución V La ventaja del diagrama de árbol es que si nos hacen varias preguntas, las podemos contestar sin más que seguir las ramas adecuadas. Por ejemplo, si consideramos que no hay devolución, calcula la probabilidad de que: La primera bola sea roja y la segunda verde. Las dos sean rojas., ,7 0, , 0 La primera sea verde y la segunda roja., ,7 0 Página 6 de

7 Practica 1. El 70% de los alumnos del Gaudí ven cine en la televisión, el % prefieren las series y el 0% ven las dos cosas. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: a) Si le gustan las series, vea cine. b) Si ve cine, le gusten las series. c) Le guste cualquiera de las dos cosas. 16. (Madrid 016) Las probabilidades de que cinco jugadores de baloncesto encesten un lanzamiento de tiro libre son, respectivamente, de 0,8; 0,; 0,7; 0,; 0,. Si cada jugador lanza un tiro libre siguiendo el orden anterior y considerando los lanzamientos como sucesos independientes, calcúlese la probabilidad de que: a) Todos los jugadores encesten su tiro libre. b) Al menos uno de los tres primeros jugadores enceste. 17. (Madrid 01) Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio tales que 0,; 0,; 0,7. Calcúlense: a) b) Ayuda: Hacer un diagrama puede aclarar la situación. Además recuerda que. 18. De una baraja española de 0 cartas se extraen, sin reemplazamiento, dos de ellas. Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de bastos. b) La segunda de bastos, condicionada a que la primera no haya sido de bastos. c) La segunda no sea de bastos si la primera sí lo fue. (Utiliza un diagrama de árbol) 1. (Andalucía 01) De los sucesos independientes A y B se sabe que 0,; 0,8 a) Halle la probabilidad de B. b) Halle la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A. c) Son incompatibles los sucesos A y B? 0. (Zaragoza 01) Disponemos de los siguientes datos sobre el uso de las nuevas tecnologías por parte de los estudiantes de una universidad: un 70% de los estudiantes tiene teléfono inteligente, un 0% tiene ordenador portátil y un 0% tiene ambos dispositivos. a) Si elegimos al azar un estudiante, cuál es la probabilidad de que tenga al menos uno de los dos dispositivos? b) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que tienen teléfono inteligente, cuál es la probabilidad de que también tenga ordenador portátil? c) Sea A el suceso el estudiante tiene teléfono inteligente y B el suceso el estudiante tiene ordenador portátil, son los sucesos A y B independientes? 1. (Madrid 01) Se consideran los sucesos A, B y C tales que: 0,0; 0,07 0,7. Los sucesos A y C son incompatibles. a) Estúdiese si los sucesos A y B son independientes. b) Calcúlese A B Página 7 de

8 Tablas de contingencia La tabla de contingencia es una manera de organizar los datos de un problema cuando se requiere calcular probabilidades condicionadas o de sucesos compuestos. Veamos un ejemplo: En una encuesta realizada a 0 hombres y 60 mujeres sobre su preferencia entre playa o turismo rural, 0 hombres y mujeres se mostraron a favor de la playa y el resto eligieron el campo. Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar: a) Prefiera el turismo rural. b) Sea mujer, sabiendo que muestra más interés por el turismo rural. c) Prefiera la playa, sabiendo que es hombre. Vamos a organizar los datos en una tabla de doble entrada: Hombres Mujeres Total Playa 0 8 Rural 10 1 Total Definimos los sucesos: H = ser hombre ; M = ser mujer ; P = preferencia playa ; R = turismo rural a) 0,1 b) 0, c) 0,7 Practica. (Zaragoza 01) Un 0% de los clientes de un hotel son de España, un % son del resto de Europa y un 1% son de fuera de Europa. Se sabe que de los clientes de España, un 0% tiene más de 6 años; de los clientes del resto de Europa, un 0% tiene más de 6 años y de los clientes de fuera de Europa, un 70% tiene más de 6 años. Si elegimos un cliente al azar, calcula la probabilidad: a) Que sea de España y tenga más de 6 años. b) Que tenga más de 6 años. c) Que sea de fuera de Europa sabiendo que tiene más de 6 años. (Organiza una tabla de doble entrada para un total de 100 clientes). En una facultad universitaria han preguntado a 0 varones y 00 mujeres si eran o no fumadores. 16 mujeres y 18 hombres dijeron ser fumadores. Calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar sea: a) No fumador. c) umadora sabiendo que es mujer. b) Mujer y no fumadora. d) Varón sabiendo que no fuma.. El bachillerato del Gaudí está formado por 0 alumnos de Coslada y de otras procedencias. Han aprobado el curso completo 70 alumnos de Coslada y 18 foráneos. Si se elige un alumno al azar: a) Calcula la probabilidad de que haya suspendido. b) Sabiendo que ha aprobado, halla la probabilidad de que no sea de Coslada. c) Halla la probabilidad de que sea de Coslada y haya aprobado. Página 8 de

9 Regla del producto o de la probabilidad compuesta Se trata de una generalización de la regla que vimos anteriormente a un conjunto de sucesos dependientes:,,,,, / En un diagrama de árbol es muy sencillo: LA PROBABILIDAD DE UN CAMINO ES IGUAL AL PRODUCTO DE SUS RAMAS Observa este ejemplo: Sacamos, sin reemplazamiento, tres cartas de una baraja española de 0 cartas. Halla la probabilidad de que: a) Sean figuras las tres. b) Sea figura solo la segunda. Confeccionamos el árbol: Página de

10 Regla de la suma o de la probabilidad total Si,,, es un sistema completo de sucesos y S es un suceso del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces: En un diagrama de árbol es muy sencillo: LA PROBABILIDAD DE VARIOS CAMINOS ES IGUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA UNO DE LOS CAMINOS Observa este ejemplo: Sacamos, sin reemplazamiento, tres cartas de una baraja española de 0 cartas. Halla la probabilidad de que: c) Salgan dos figuras. d) Al menos una sea figura. Confeccionamos el árbol: a) , 80 b) a) 0,187 b) 1 1 0, 0,67 Página 10 de

11 Practica. En una urna hay bolas blancas, negras y rojas. Sacamos dos bolas al azar sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos sean del mismo color. b) La segunda sea roja. c) Ninguna sea negra. 6. Ahora tenemos dos urnas A y B. La primera con bolas blancas y 6 bolas negras y la segunda con bolas blancas y negras. El experimento consiste en sacar una bola de A, pasarla a B y a continuación sacar una bola de B. Calcula la probabilidad de que: a) La bola sacada de B sea negra. b) La bola pasada de A a B fuera blanca. c) La bola sacada de B sea blanca después de haber pasado una negra de A. d) La bola sacada de B sea negra sabiendo que la bola pasada de A fue negra. 7. En un hotel rural han estimado que la probabilidad de ocupar todas sus habitaciones en días soleados es de 0,1, en días lluviosos de 0,0 y en días de viento de 0,07. En las pasadas vacaciones de Navidad hubo días soleados, días de lluvia y 1 día de viento. Elegido un día al azar, calcula la probabilidad de que: a) El hotel tenga ocupación total. b) El hotel no esté lleno siendo un día soleado. 8. (Madrid 01) Una urna contiene bolas blancas y negras y otra urna contiene blancas y negras. Se toma al azar una bola de la primera urna y sin mirarla, se introduce en la segunda urna. A continuación extraemos consecutivamente, con reemplazamiento, dos bolas de la segunda urna. Hállese la probabilidad de que las dos últimas bolas extraídas sean: a) Del mismo color. b) De distinto color.. (Extremadura 00) Cierto meteorólogo ha comprobado que en una determinada ciudad: 1. Que si un día llueve, con probabilidad 0,6, también llueve al día siguiente.. Que si un día no llueve, hay un 0% de posibilidades de que llueva al día siguiente. Sabiendo que en esa ciudad ha llovido el lunes, determina la probabilidad de que llueva el miércoles de esa misma semana. Justificar la respuesta. 0. (Murcia 01) Un archivador contiene 1 exámenes desordenados entre los cuales se encuentran dos que tienen la puntuación máxima. Con el fin de encontrarlos vamos sacando, uno tras otro, cuál es la probabilidad de que la tarea finalice exactamente en el tercer intento? 1. (Madrid 01) En la representación de navidad de los alumnos de º de primaria de un colegio hay tres tipos de papeles: 7 son de animales, de personas y 1 de árboles. Los papeles se asignan al azar, los alumnos escogen por orden alfabético sobres cerrados en los que está escrito el papel que les ha correspondido. a) Calcúlese la probabilidad de que a los dos primeros alumnos les toque el mismo papel. b) Calcúlese la probabilidad de que el primer papel de persona le toque al tercer alumno de la lista. Página 11 de

12 Teorema de Bayes Si,,, es un sistema completo de sucesos 1 y S es un suceso del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces: : Probabilidades a priori porque se conocen. : Verosimilitudes porque se comprenden fácilmente. : Probabilidades a posteriori porque son las que hay que calcular. En un diagrama de árbol es sencillo SE APLICA BAYES CUANDO NOS PIDEN LA PROBABILIDAD DE HABER RECORRIDO UN CAMINO CONCRETO DE ENTRE TODOS LOS CAMINOS QUE NOS LLEVAN AL SUCESO S La pregunta suele ser: Sabiendo que ocurrió tal cosa (EECTO), cuál es la probabilidad de que previamente ocurriera tal otra (CAUSA)? Determinar la probabilidad de la causa a través de los efectos observados EN EL DENOMINADOR CONSIGNAMOS LA PROBABILIDAD TOTAL DE S (la suma de todos los caminos que llevan a S) EN EL NUMERADOR SOLO EL CAMINO CONCRETO (que es uno del conjunto de caminos consignados en el denominador) Ejemplos: La probabilidad de que un coche sufra un accidente en suelo mojado es 0,08 y en suelo seco 0,00. En los últimos 10 días en una nueva carretera hubo 6 días de asfalto seco y días de asfalto mojado. Sabiendo que se ha producido un accidente (EECTO) se pide la probabilidad de que fuera con suelo mojado (CAUSA). 0,08 A 0, 0, , M 0, ,6 S Piden la probabilidad de mojado (M) sabiendo que se ha producido un accidente (A). Es como ir hacia atrás, del accidente actual buscamos la probabilidad de la causa anterior, si el suelo estaba mojado. 0,86 0,00 0,1 A 0,6 0,00 0, 0,08 0, 0,08 0,6 0,00 En el denominador la P(A) que es la probabilidad total practicada en el punto anterior, la suma de todos los caminos que terminan en A. De los dos caminos que terminan en A, en el numerador solo el camino por el que nos preguntan: Mojado Accidente. 1 Sistema completo de sucesos: son incompatibles dos a dos y la unión de todos es el espacio muestral. Página 1 de

13 Tenemos tres urnas: A, con bolas verdes y negras; B, con verdes y negras y C con 1 verde y negras. Sin mirar se elige una urna al azar y se saca una bola que resulta ser negra, cuál es la probabilidad de que la bola proceda de la urna B? Nos piden Lo primero es elegir una urna al azar (1/ de probabilidad para cada una) V A B C 1 Aplicando el Teorema de Bayes: N V N V N Calculamos la probabilidad de negra (N): y la probabilidad de negra (N) supuesta la urna B: , (Castilla y León 01) Según el informe La Sociedad de la Información 01, el 6% de los usuarios de móvil en España tiene un Smartphone. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a internet. Si un usuario emplea habitualmente el teléfono móvil para conectarse a internet, halla la probabilidad de que sea propietario de un Smartphone. Sean los sucesos: S = usuarios de Smartphone; O = usuarios de otro tipo de móvil; I = usuarios que se conectan a internet con el móvil. 0,77 I 0,6 0,77 0,6 S 0, 0,7 O 0,08 0, Aplicando el Teorema de Bayes: I 0,7 0,08 0,6 0,77 0, 0,6 0,77 0,7 0,08 Página 1 de

14 Practica con ejercicios de selectividad de diversas comunidades:. (Andalucía 01) En una urna A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y en otra urna B hay 1 verdes y rojas. Se lanza un dado, de manera que si sale múltiplo de se extrae una bola de la urna A y en el resto de casos se extrae una bola de B. a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. (Sol: 1/ = 0,) b) Si la bola extraída resulta ser verde, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? (Sol: 0,7). (Castilla y León 01) Una fábrica de piezas para aviones está organizada en tres secciones. La sección A fabrica el 0% de las piezas, la sección B el %, mientras que el resto se fabrican en la sección C. La probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es de 0,01; 0,01 y 0,00 según se considere la sección A, B o C, respectivamente. a) Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar salga defectuosa. (Sol: 0,011) b) Si elegida una pieza al azar es defectuosa, Qué probabilidad hay de que sea de la sección B? (Sol: 0,60). (Baleares 000) Un determinado club tiene un 7% de miembros que son hombres y el % son mujeres. En este club tienen teléfono móvil el % de los hombres y el 0% de las mujeres. a) Calcula el porcentaje de miembros del club que no tienen móvil. (68,7%) b) Calcula la probabilidad de que un miembro del club, elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil, sea mujer. (0,). (Zaragoza 01) Juan tiene dos urnas A y B. En la urna A hay bolas blancas y negras y en la urna B hay 6 blancas y 8 negras. Juan cierra los ojos y mete la mano en la urna A, saca una bola y, sin mirarla, la pasa a la urna B. Después Juan mete la mano en la urna B y saca una bola. a) Cuál es la probabilidad de que la bola que saca de B sea exactamente la misma que pasó desde A? (1/1) b) Cuál es la probabilidad de que la bola que saca de B sea blanca? (0,) c) Si la bola que saca de B es blanca, qué probabilidad hay de que la bola que pasó desde la urna A fuera blanca? (0,7) 6. (Murcia 01) Un archivador contiene 70 exámenes del grupo 1, 0 del grupo, 100 del grupo y del grupo. El % de los exámenes del grupo 1, el % de los del grupo y el 8% del grupo está suspenso. En el grupo no hay ningún suspenso. a) Cuál es la probabilidad de que, al elegir un examen al azar, esté suspenso? b) Se ha elegido un examen y está suspenso, cuál es la probabilidad de que sea del grupo? (0,1) 7. (Extremadura 00) En un instituto hay 0 alumnos de bachillerato, 110 de ellos son alumnos del segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar determinada actividad cultural. Un 0% de los alumnos del primer curso le contestan que están de acuerdo y un 0% de los alumnos del segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno determinar: a) La probabilidad de que sea un alumno de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural. (0,) b) La probabilidad de que sea un alumno de primero sabiendo que no está de acuerdo con la actividad cultural. (0,6) Página 1 de

15 Practica con ejercicios de selectividad de Madrid:. (01) En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen de forma consecutiva y sin reemplazamiento dos bolas. Calcúlese la probabilidad de que: a) Las dos bolas sean del mismo color. (Sol: /) b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraía es roja. (Sol: 1/). (01) Al 80% de los trabajadores de educación (E) que se jubilan, sus compañeros les hacen una fiesta de despedida (D), también al 60% de los trabajadores de justicia (J) y al 0% de los de sanidad (S). En el último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad, y el doble en educación que en justicia. a) Calcúlese la probabilidad de que a un trabajador de esos sectores, que se jubiló, le hicieran una fiesta. (Sol: 0,6) b) Sabemos que a un trabajador jubilado elegido al azar no le hicieron fiesta. Calcúlese la probabilidad de que fuera de sanidad. (Sol: 0,6) 0. (01) Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene bolas rojas y negras; la urna B contiene rojas y negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es 1 o extraemos una bola de la urna A; en caso contrario extraemos una bola de la urna B. a) Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja? (Sol: 7/1) b) Si la bola extraída es roja, cuál es la probabilidad de que sea de la urna A? (Sol: /7) 1. (01) En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. La clase turista ocupa las dos terceras partes del pasaje y la clase preferente el resto. Se sabe que todos los pasajeros que viajan en la clase preferente saben hablar inglés y que el 0% de los pasajeros que viajan en clase turista no saben hablar inglés. Se elige un pasajero del avión al azar. a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido sepa hablar inglés. (Sol: 0,7) b) Si se observa que el pasajero elegido sabe hablar inglés, cuál es la probabilidad de que viaje en clase turista? (Sol: 0,). (01) Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un % de los clientes atendidos por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8% de los atendidos por el sastre B ni el 10% de los atendidos por el sastre C. El % de los arreglos se encargan al sastre A, el 0% al B y el 1% restante al C. Calcúlese la probabilidad de que: a) Un cliente no quede satisfecho con el arreglo. (Sol: 0,066) b) Si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre A. (Sol: 0,1). (01) Una ferretería tiene en su almacén bombillas de bajo consumo: 00 bombillas de 0 W, 00 de 1 W y 00 de 1 W. Los controles de calidad han permitido determinar las probabilidades de fallo de cada tipo de producto durante la primera hora de encendido, siendo de 0,0 para las bombillas de 0 W, de 0,0 para las de 1 W y de 0,01 para las bombillas de 1 W. a) Se elige una bombilla, cuál es la probabilidad de que falle? (Sol: 0,0) b) Se somete al control de calidad una bombilla y falla, cuál es la probabilidad de que sea una bombilla de 0W? (Sol: 0,6) Página 1 de

16 EJERCICIOS RESUELTOS En los siguientes ejercicios vamos a utilizar las relaciones más importantes de la probabilidad: 1 ; 1 P. condicionada P. Total T. Bayes 1. En una población, el 0% de los habitantes ven habitualmente la televisión, el 10% lee habitualmente y el 1% ven la televisión y leen habitualmente. a) Se elige un habitante al azar, cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea habitualmente o ambas cosas? b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisión habitualmente, cuál es la probabilidad de que lea habitualmente? (Sol: 0,0) Solución: Sean los sucesos: T = ver habitualmente la televisión L = leer habitualmente 0,; 0,1; 0,01 a) 0, 0,1 0,01 0, b), 0,0,. Según un estudio, el % de una población utiliza el autobús, mientras que el 6% restante no lo hace. En cuanto al tranvía, es utilizado por la mitad y no por la otra mitad. Un 0% no utiliza ninguno de los dos transportes. Si se elige un individuo de la población al azar, calcula la probabilidad de que: a) Utilice alguno de los dos transportes. b) Utilice los dos. c) Utilice el tranvía, sabiendo que utiliza el autobús. Solución: A = utilizar autobús T = utilizar tranvía 0,; 0,; 0, a) Utilizar alguno: 1 0, 1 1 0, 0,7 b) Utilizar los dos: 0,7 0, 0, 0, 0, 0,7 0,1 c), 0,, Página 16 de

17 . De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 0 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso. a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? b) Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? Solución: M = ser mujer P = ser pediatra H = ser hombre ; ; ; a) Mujer y pediatra: b) No hombre y no pediatra: En ocasiones como esta, es más sencillo realizar una tabla de doble entrada: a) b) Otras probabilidades que podrían pedirnos: Página 17 de

18 . Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del programa y desarrollar uno. a) Qué probabilidad tiene un alumno, que sabe seis temas, de aprobar el examen? b) Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los dos temas elegidos y el otro no? Solución: Confeccionemos un diagrama de árbol: S = saber el tema S S 6 S a) P(aprobar) = P(saber algún tema) = 1 P(no saber ninguno) 1 0,87 b) 0,. Sean A y B dos sucesos, tales que ;. Calcular: a) b) Solución: a) Calculemos Luego, b) Calculemos Luego, Página 18 de

19 6. Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B: 0,6; 0,; 0,1 a) Calcular b) Calcular c) Son incompatibles? Son independientes? Solución: a) 0,6 0, 0,1 0,68 b), 0,88, c) 0 0,6 0, 0,1 0,1 los sucesos son independientes 7. Una persona cuida de su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es /. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0,. Si el jardín se ha estropeado, cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo? Solución: Sucesos: R = regar el jardín ; E = estropearse el jardín Ejemplo típico de aplicación del Teorema de Bayes ya que conocido el efecto, el jardín se ha estropeado, nos piden la probabilidad de que la causa fuera no regarlo., E R 1 1 E Página 1 de

20 8. En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 0 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado es 0,01 para la marca A; 0,0 para la marca B y 0,0 para la marca C. Un comprador elige un yogur al azar. a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado. b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, cuál es la probabilidad de que sea de la marca B? Solución: Clásica estructura de problema en el que hay que utilizar la regla de la probabilidad total al calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado (suma de todas las ramas que terminen en caducado ) y el teorema de Bayes al conocer el efecto, yogur caducado, y tener que calcular la causa o marca de la que procede el yogur. 0,01 Cd , A B 0,0 0,0 0,08 Cd ,0 a) 0,01 0,0 0,0 0,017 b), 0,, 0 00 C 0,0 0,07 Cd ,0 Sucesos: A, B y C las respectivas marcas, Cd = estar caducado. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes: a) Obtener dos caras y una cruz en el lanzamiento de tres monedas equilibradas e indistinguibles. b) Obtener una suma de puntos igual a seis o siete en el lanzamiento de dos dados de seis caras equilibrados e indistinguibles. Solución: a) b) Página 0 de

21 10. Se dispone de dos urnas, U y V. La urna U contiene 1 bola blanca y bolas negras, la urna V contiene blancas y negras. Sacamos una bola de U y la metemos en V y a continuación sacamos una bola de V. a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de V sea blanca? b) Si se sabe que la bola extraída de V ha sido blanca, cuál es la probabilidad de que la bola que pasó de U a V fuera negra? Solución: Confeccionamos un diagrama de árbol para aplicar en él la regla de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Primero sacamos bola de U para pasarla a V: ; A continuación sacamos bola de V, teniendo en cuenta la nueva composición de la urna dependiendo del color de la bola que se añade procedente de U. Urna U Urna V 8 B V B U 8 N V N U 8 B V N V a) 0,7 b),, 0,77, Página 1 de

22 PROBLEMAS MIX. En un estudio realizado en cierta universidad se ha determinado que un 0% de sus estudiantes no utiliza los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 6% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos, también hace uso del comedor universitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado un alumno al azar resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor. (Sol: 0,). En un polígono industrial se almacenan 0000 latas de refresco procedentes de las fábricas A, B y C a partes iguales. Se sabe que en 016 caducan 1800 latas de la fábrica A, 00 procedentes de la B y 000 que proceden de la fábrica C. a) Calcúlese la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 016 (Sol: 0,) b) Se ha elegido una lata de refresco aleatoriamente y caduca en 016, cuál es la probabilidad de que proceda de la fábrica A? (Sol: 0,) 6. Se consideran los sucesos incompatibles A y B de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0, y P(B) = 0,. Calcúlese: a) (Sol: 0,) b) (Sol: 0,) 7. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que la probabilidad de que no ocurra B es 0,6. Si el suceso B ocurre, entonces la probabilidad de que el suceso A ocurra es de 0, y si el suceso A ocurre, la probabilidad de que el suceso B ocurra es 0,. Calcúlense: a) (Sol: 0,) c) (Sol: 0,6) b) (Sol: 0,16) d) (Sol: 0,88) 8. Una caja de caramelos contiene 7 caramelos de menta y 10 de fresa. Se extrae al azar un caramelo y se sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo. Hállese la probabilidad de que: a) El segundo caramelo sea de fresa. (Sol: 0,6) b) El segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero. (Sol: 0,). Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como deportistas o no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el % de los trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores, el 0% como deportistas y el 0% lectores. Se elige un trabajador al azar: a) Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no lector. (Sol: 0,) b) Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista. (Sol: 0,) 0. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que 1 ; ; a) Determínese si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B. (Sol: A y B son compatibles) b) Determínese si son dependientes o independientes los sucesos A y B. (Sol: A y B no son independientes) Página de

23 1. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos del mismo tipo. La probabilidad de que un tornillo fabricado en la máquina A sea defectuoso es 0,01, de que lo sea uno fabricado en B es 0,0 y de que lo sea si ha sido manufacturado en C es 0,0. En una caja se mezclan 10 tornillos: 1 de la máquina A, 0 de la B y 7 de la C. a) Calcúlese la probabilidad de que un tornillo elegido al azar no sea defectuoso. (Sol: 0,7) b) Elegido un tornillo al azar resulta defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina B? (Sol: 0,). Se consideran los sucesos A y B tales que: 1 ; ; 1 Calcúlese razonadamente: a) (Sol: 1/1) c) (Sol: /) b) (Sol: 1/) d) (Sol: /). Los 0 alumnos de una Escuela de Idiomas estudian obligatoriamente inglés y francés. En las pruebas finales de estas materias se han obtenido los siguientes resultados: 18 han aprobado inglés, 1 han aprobado francés y 6 han aprobado los dos idiomas. a) Se elige un estudiante al azar, cuál es la probabilidad de que no haya aprobado ni inglés ni francés? (Sol: 0,1) b) Se elige un estudiante al azar de entre los aprobados de francés, cuál es la probabilidad de que también haya aprobado inglés? (Sol: 0,8). En una ciudad, la probabilidad de que llueva un día de junio es del 10% y de que haga sol un 7%. Si no es posible que en un mismo día de junio llueva y haga sol simultáneamente, cuál es la probabilidad de que en un día de junio no llueva ni haga sol? (Sol: 0,1). El 60% de los clientes de una frutería compran naranjas y el 0% no compra ni naranjas ni manzanas. Qué porcentaje de clientes compra manzanas, pero no naranjas? (Sol: 10%) 6. Sean A y B dos sucesos independientes tales que 0, 0,16. Halla la probabilidad de. (Sol: 0,16) 7. El 0% de los habitantes de una determinada ciudad leen el diario La Nación, el 1% el diario La Comarca y el 6% leen los dos. a) Qué porcentaje de habitantes de esa ciudad no lee ninguno de los diarios? (Sol: 6%) b) Si se elige al azar un habitante de esa ciudad entre los que no leen La Comarca, cuál es la probabilidad de que lea La Nación? (Sol: 0,8) 8. Una compañía de seguros tiene un 7% de sus clientes en la zona norte y el resto en la zona sur. Por estudios anteriores considera que el % de los clientes de la zona norte no pagan su póliza, mientras que en la zona sur este porcentaje se eleva hasta un 8%. Si se eligió un cliente al azar, a) cuál es la probabilidad de que sea de la zona norte y no haya pagado su póliza de seguros? (Sol: 0,0) b) Si se comprueba que no ha pagado su póliza, cuál es la probabilidad de que sea de la zona norte? (Sol: 0,6) Página de