UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE BARCELONA TESIS DOCTORAL

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE BARCELONA TESIS DOCTORAL ESTUDIO DE LA FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL FLUJO ARMÓNICO DE CARGAS Luis Sainz Sapera Ingeniero Industrial por la E.T.S. de I.I. de Barcelona 1995

2 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE BARCELONA UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CATALUÑA TESIS DOCTORAL ESTUDIO DE LA FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL FLUJO ARMÓNICO DE CARGAS Doctorando: Luis Sainz Sapera Director de la Tesis: Dr. Joaquin Pedra Duran Barcelona, Enero de 1995

3 A mis padres

4 Deseo expresar mi agradecimiento al Dr. Joaquin Pedra porque sin su ayuda y sus ideas no habría podido realizar este trabajo. También quiero agradecer a mis compañeros del Departamento de Ingeniería Eléctrica toda la ayuda que me han prestado tanto para el desarrollo de la tesis como para mi trabajo docente en el Departamento.

5 INDICE Pag. 1. INTRODUCCION Presentación del problema Situación bibliográfica Objetivo y descripción de la tesis MODELIZACION ARMONICA DE LOS COMPONENTES DE LA RED Introducción Modelización de las líneas Modelización de los transformadores Modelización de los generadores Modelización de los condensadores Modelización de las cargas Modelización de los convertidores AC/DC FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS Introducción Método Método Método i

6 3.5. Método Método Simplificación sobre la aportación armónica a la potencia METODOS NUMERICOS UTILIZADOS EN LA RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEAL Introducción Método de Newton Métodos de Newton modificados Métodos de continuación. Método de Davidenko Elección de las condiciones iniciales Comentario a los métodos presentados NUEVO PLANTEAMIENTO PARA EL ESTUDIO DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS Introducción Formulación completa del flujo armónico de cargas Método de h-newton Estructura del programa de resolución del flujo de cargas con armónicos Módulo 1. Léctura de datos Módulo 2. Inicialización de variables Módulo 3. Determinación de la matriz Y bus (k) Módulo 4. Resolución del flujo de cargas Módulo 5. Salida de resultados Formulación matricial del problema Formulación del flujo de cargas considerando ii

7 las potencias armónico-fundamentales Formulación del flujo de cargas considerando las potencias fundamentales ESTUDIO DE LAS FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS Introducción Ejemplo Conclusiones ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS Introducción Ejemplo Ejemplo Ejemplo Conclusiones OBTENCION DE SOLUCIONES FALSAS Introducción Nudos de carga P-Q Estudio analítico de las soluciones falsas Ejemplo Nudos de carga P-V Estudio analítico de las soluciones falsas Ejemplo iii

8 8.4. Nudos no lineales (Convertidor AC/DC de seis pulsos) Estudio analítico de las soluciones falsas Ejemplo Caso 1. Flujo de cargas AC/DC Caso 2. Flujo de cargas armónico Consideraciones sobre los ejemplos Conclusiones CONCLUSIONES Desarrollo del trabajo Aportaciones Futuras líneas de investigación BIBLIOGRAFIA iv

9 1. INTRODUCCION Presentación del problema. La resolución del problema del flujo de cargas convencional consiste en hallar las tensiones de los nudos de una red a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo. Así dada una red de n nudos se conocerán, - La potencia consumida o generada en los nudos 2an,S i. - La tensión del nudo slack o de referencia, V 1. - Y las características de la red a través de su matriz de admitancias, Y bus. y se plantea un balance de potencias para todos los nudos excepto el slack, La presencia de cargas no lineales en la red provoca la aparición de armónicos como se puede ver esquemáticamente en la figura 1.1, Figura 1.1. Interacción del dispositivo no lineal con la red. Así, tal como se puede ver en la figura, el generador suministra potencia a la red y a la carga no lineal y parte de la potencia absorbida por dicha carga no lineal es devuelta a la red en forma de inyección armónica de intensidad lo que provoca la aparición de armónicos en el sistema

10 Así el análisis del flujo de cargas con armónicos pretende obtener la tensión fundamental y armónica de todos los nudos de una red y los parámetros que caracterizan los dispositivos no lineales a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo y de los datos que determinen el funcionamiento de los dispositivos no lineales. Para ello, en general, al balance de potencias planteado en el flujo de cargas convencional se deben añadir las ecuaciones que enlazan los dispositivos no lineales con el sistema, es decir, - Balance de corrientes en los nudos de la red. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales. Así dado el progresivo aumento de los dispositivos no lineales en las redes eléctricas de potencia existe un creciente interés por el estudio del flujo de cargas con armónicos. Existen dos formas de realizar el estudio del problema armónico, en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Analizando el problema en el dominio de la frecuencia, cabe distinguir tres puntos que diferencian los estudios realizados por los distintos autores. - Modelización de los elementos del sistema a estudio. - Formulación del flujo de cargas con armónicos. - Resolución numérica del sistema de ecuaciones no lineales del flujo de cargas con armónicos. El primero es la modelización de los elementos del sistema a estudio (dispositivos no lineales, cargas, líneas,..). Una correcta caracterización de estos elementos permitirá obtener unos resultados finales que se ajusten a la realidad del problema. Una de las principales dificultades que presenta dicha caracterización es la falta de información sobre los elementos del sistema a modelizar

11 El segundo es la formulación del flujo armónico de cargas. Independientemente del tipo de formulación del problema que se estudie, en general, siempre se debe plantear un sistema de ecuaciones no lineales que deberá ser resuelto de forma numérica. Las distintas formas de enfocar la formulación del problema buscan dos objetivos, - Plantear una formulación simplificada del problema (reducir el número de incógnitas y por tanto, de ecuaciones a tratar). - Plantear una formulación que proporcione resultados reales del problema estudiado. Yelúltimo es la resolución numérica del sistema de ecuaciones no lineales planteado en la formulación del problema. Existen en la bibliografía distintos métodos numéricos con sus respectivas variantes para abordar la resolución del sistema de ecuaciones y todas ellas persiguen, también, dos objetivos, - Asegurar la convergencia global del método. - Buscar la rapidez en la convergencia Situación bibliográfica. Como se ha presentado en el punto anterior el estudio del flujo armónico de cargas pretende, partiendo de una correcta modelización de los elementos de la red, formular un sistema de ecuaciones, donde se incluyan los datos y las restricciones del problema, cuya resolución numérica proporcione las incógnitas buscadas (tensiones armónicas y fundamental y los parámetros de los dispositivos no lineales). Así, por una parte, existen en la bibliografía distintos estudios sobre la modelización de los elemento de la red, [1], [2], [3], [4], [5] y [6]. Y por otra, hay referencias bibliográficas que analizan la formulación del problema armónico y su resolución numérica, [6], [7], [8], y [9]. Debido a que la resolución del sistema planteado en el flujo armónico de cargas puede - 3 -

12 dar problemas por el gran número de incógnitas a tratar existen en la bibliografía diferentes estudios al respecto y diversas formas de enfocar el problema que buscan la simplificación del mismo, [10]. En general se pueden agrupar las distintas formulaciones en tres metodologías. La primera que se conoce como penetración armónica, [2], no considera la interacción entre la red lineal y los elementos no lineales por lo cual aunque la formulación esmuy sencilla los resultados suelen ser muy inexactos. En ella, suponiendo conocidas las intensidades armónicas inyectadas por los dispositivos no lineales y las admitancias de las cargas se limitan a calcular las tensiones en los nudos de la red resolviendo el sistema lineal, para cada armónico y la onda fundamental. La segunda, es la más numerosa de la bibliografía, [11], [12], [13], [14] y [15], y consiste en desdoblar el problema en un reparto de cargas fundamental y en un análisis de la interacción armónica (IHA) de forma que cada uno de ellos se resuelve separada y sucesivamente hasta alcanzar la solución. En el análisis armónico iterativo, IHA, se debe determinar la inyección armónica de los dispositivos no lineales a través de las expresiones que caracterizan su funcionamiento, y una vez obtenida dicha inyección armónica se recalculan las tensiones en los nudos no lineales con el sistema lineal, Esto permite estudiar el dispositivo no lineal de forma independiente a la red y poder combinar, por ejemplo, los métodos en el dominio de tiempo (modelización de las no linealidades) y en el dominio de la frecuencia (parte lineal de la red) combinando las ventajas de ambos métodos, [16]

13 Esta metodología implica que las admitancias armónicas de las cargas puedan ser actualizadas según la evolución de las tensiones durante el proceso iterativo y, por tanto, la potencia debe ser considerada únicamente fundamental. La tercera, que es la menos numerosa, [6], [17] y [18], es una generalización del flujo de cargas sin la presencia de armónicos. En ella junto a las ecuaciones correspondientes del flujo de cargas convencional, - Balance de potencias en los nudos de la red. se plantean las ecuaciones que enlazan los dispositivos no lineales con la red y los elementos lineales, - Balance de corrientes (consumidas por las cargas lineales e inyectadas por las no lineales) en los nudos de la red. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales. Dentro de esta metodología se debe definir la caracterización de la potencia, existiendo dos posibilidades, - Consideración de la potencia producida sólo por la onda fundamental. - Consideración de la potencia producida por la onda fundamental y los armónicos. La primera definición eslamás usual por eliminar como incógnitas las admitancias fundamental y armónicas de las cargas ya que permite calcular la fundamental a partir de la tensión fundamental y la potencia en el nudo correspondiente y la armónica con su función correspondiente, La segunda implica el tener que incorporar las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas como unas incógnitas más del problema por lo que a la formulación ya presentada se deben añadir las ecuaciones de las cargas, - 5 -

14 - Balance de potencias consumidas por las cargas. - Expresión de las admitancias armónicas. Esta última formulación supone aumentar el número de incógnitas del problema pero permite abordar dicho problema de forma más realista, sobretodo si la aportación armónica a la potencia es considerable. La consideración de potencia producida por la onda fundamental y por los armónicos obliga a precisar la definición adoptada para la potencia reactiva. En general las formulaciones del problema llevan al planteamiento de un sistema no lineal de ecuaciones caracterizado de la forma, que debe ser resuelto de forma iterativa. Existen en la bibliografía diferentes métodos para la resolución numérica del sistema no lineal anterior. El método de Newton es el más usado en la bibliografía para la resolución del flujo armónico de cargas, [7] y [19]. Este método ofrece como ventajas una relativa simplicidad y una rápida convergencia si las condiciones iniciales están próximas a la solución buscada, pero puede presentar problemas de convergencia en el estudio del flujo de cargas convencional, [20] y [21], y del flujo armónico de cargas, [22], [23], [24] y [25], de redes mal condicionadas. Con el fin de intentar mejorar la convergencia del método de Newton existen en la bibliografía diferentes variantes de dicho método, métodos de Newton modificados, [20], [26], [27], [28] y [29]. Estos métodos aún suponiendo una mejora respecto al método de Newton no aseguran la convergencia global a la solución correcta del problema al poder converger hacia mínimos locales de la función tratada, [30]. Por último, frente a la resolución del flujo armónico de cargas mediante el método de Newton y sus modificaciones existen como alternativa para los casos de no convergencia los - 6 -

15 métodos de continuación, [22], [24], [30] y [31], y en concreto el método de Davidenko en los que no existen problemas debido a la elección de las condiciones iniciales aunque, por contra, el proceso de cálculo es más lento Objetivo y descripción de la tesis. El objetivo de la presente tesis es, por una parte, abordar el estudio del flujo armónico de cargas con una formulación completa del mismo que incorpore los nudos PV de generador y carga, y por otra, desarrollar un nuevo método numérico para la resolución del sistema no lineal planteado en la formulación del problema armónico que ofrezca seguridad y rapidez en la convergencia. Para todo ello el trabajo se ha estructurado de la siguiente forma: En el capítulo 2 se presentan las modelizaciones utilizadas para los distintos elementos de la red, tanto lineales como no lineales. En el capítulo 3 se analizan las distintas formulaciones del flujo armónico de cargas existentes en la bibliografía. En el análisis se hace un detallado balance de los datos, las incógnitas y las ecuaciones que intervienen en cada formulación prestando especial atención a la simplificación de considerar la potencia producida únicamente por la onda fundamental y como, aunque dicha simplificación reduce el número de incógnitas del problema (las admitancias fundamentales y armónicas) puede llevar a soluciones no correctas si la aportación armónica a la potencia es considerable. En el capítulo 4 se analizan los métodos numéricos más significativos de la bibliografía. Se estudia como el método de Newton ofrece una rápida convergencia a la solución si las condiciones iniciales están en su zona de atracción y como, por este motivo, al resolver el problema del flujo armónico de cargas con un alto contenido en armónicos la inicialización de la fase de las tensiones armónicas puede llevar al método a tener problemas de convergencia

16 Frente a las dificultades del método de Newton se analizan, en el mismo capítulo, los métodos de Newton modificados que, aun mejorando la convergencia del proceso, pueden presentar problemas de mínimos locales. Y, finalmente, se estudian los métodos de continuación en los que se construye una homotopía o camino que lleva desde un valor inicial físicamente real hasta la solución del problema lo que asegura su convergencia pero el proceso numérico se alarga en exceso. En el capítulo 5, en base al análisis realizado sobre las formulaciones del flujo armónico de cargas existentes en la bibliografía, capítulo 3, y sobre los métodos de resolución numérica, capítulo 4, se presenta la formulación del problema adoptada en la tesis y el método numérico propuesto. La formulación desarrollada añade los nudos PV de generador y de carga a las formulaciones ya existentes y considera la potencia producida por la onda fundamental y por los armónicos por lo que las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas son incorporadas como incógnitas del problema. El método numérico propuesto, denominado método de h-newton, ofrece las ventajas de los métodos de continuación, seguridad en la convergencia, junto a las del método de Newton, rapidez en dicha convergencia. Para ello inicia la resolución numérica del problema por el método de Newton y, en caso de detectar problemas en su convergencia hace tender dicho método al de continuación. El capítulo 5, una vez explicada la forma de abordar y resolver el problema del flujo armónico de cargas, finaliza con la presentación de la estructura del programa informático desarrollado en base a dichas ideas. Los siguientes tres capítulos corresponden a ejemplos que analizan todo lo presentado hasta este momento. En el capítulo 6 se presenta un ejemplo donde se estudia las diferencias de considerar - 8 -

17 la potencia producida por la onda fundamental y los armónicos o sólo por la onda fundamental. Se observa que al considerar la potencia únicamente fundamental se reduce el número de incógnitas a tratar por lo que el proceso numérico converge con más facilidad pero si el contenido en armónicos es elevado el resultado final no es correcto. En el capítulo 7 se analiza la convergencia del flujo armónico de cargas. Así, primero se estudian 2 ejemplos donde se observan los distintos problemas de convergencia que puede presentar el método de Newton, - Divergencia del método. - Convergencia a la solución en un número excesivo de iteraciones. - El método no alcanza la solución pero tampoco diverge. En dichos ejemplos el método de continuación converge pero utiliza un tiempo excesivo y el método propuesto, método de h-newton, converge en un tiempo de ejecución aceptable. Y, también dentro del capítulo 7, se analiza un ejemplo donde se ve como los métodos de Newton modificados aun mejorando la convergencia del método de Newton pueden presentar problemas de mínimos locales y como el método de h-newton soluciona dichos problemas asegurando la convergencia. de nudos, En el capítulo 8 se realiza un estudio analítico sobre las soluciones falsas en tres tipos - Nudos PQ. - Nudos PV. - Nudos no lineales (convertidor AC/DC de seis pulsos ideal). acompañando dicho estudio de ejemplos donde se observa como el método de Newton puede converger a dichas soluciones y como el método de h-newton alcanza la solución correcta. Por último, en el capítulo 9, se presentan las conclusiones

18 2. MODELIZACION ARMONICA DE LOS COMPONENTES DE LA RED Introducción. Para realizar el estudio del flujo armónico de cargas es necesario modelizar todos los elementos presentes en las redes eléctricas de potencia. Cuanto más próximo a la realidad sea ese modelo más correctos serán los resultados de la resolución del flujo de cargas. En el sistema eléctrico a estudio se distinguen los elementos lineales, - Líneas. - Transformadores. - Condensadores. - Cargas. - Filtros y los no lineales, - Transformadores y reactancias trabajando en saturación. - Convertidores estáticos (rectificadores o conversores AC/DC, reguladores de velocidad, cargadores de baterías, reguladores de velocidad, etc). - Elementos de arco. - Instalaciones de iluminación con lámparas de descarga Los primeros son aquellos que presentan una relación entre tensión en bornes y corriente que los atraviesa lineal por lo que soportando una tensión senoidal absorben una corriente senoidal. Los segundos son aquellos que presentan una relación entre tensión en bornes y corriente que los atraviesa no lineal por lo que soportando una tensión senoidal absorben una

19 corriente no senoidal aunque por lo general si es periódica presentando, por tanto, armónicos que introducirán en la red. Así serán los elementos contaminantes y su modelización debe ser particularmente estudiada. En este punto se presentan los elementos utilizados en el estudio desarrollado en la tesis y su modelización Modelización de las líneas. Las líneas vendrán caracterizadas con su esquema en de parámetros concentrados, [1] y [2], según figura 2.1., Figura 2.1. Esquema equivalente de una línea eléctrica. donde, siendo, y l es la longitud de la línea

20 Así en la matriz Y bus se dispondrán los elementos, Para líneas suficientemente cortas el modelo se reducirá al despreciar la admitancia transversal. Algunos autores, [3] y [8], consideran la corrección de los parámetros longitudinales (principalmente la resistencia) debido a la distribución de la corriente por el conductor producida por el efecto pelicular o "skin" Modelización de los transformadores. Los transformadores, según [1], han sido modelizados con su impedancia equivalente de cortocircuito modificada por el correspondiente armónico según figura 2.2., Figura 2.2. Modelo del transformador. Así en la matriz Y bus se dispondrán los elementos, Otros modelos más completos, [9], incorporan la relación de transformación y el desfase

21 debido al tipo de conexión del transformador. Algunos autores, [3] y [4], consideran la rama magnetizante para aumentar la exactitud del modelo, fundamentalmente en transformadores próximos a buses con dispositivos no lineales Modelización de los generadores. Para la modelización de los generadores se los considerará como elementos no contaminantes y serán modelizados por una reactancia de diferente valor para los armónicos de secuencia directa e inversa, [1] y [3]. Así para la onda fundamental el generador tendrá el esquema equivalente de la figura 2.3a y para los armónicos se comportará de forma pasiva, sin producirlos, por lo que su esquema estará formado por la reactancia correspondiente, figura 2.3b, Figura 2.3. Modelo del generador. donde Z cc (k) = jlwk, será la reactancia del generador, de diferente valor para las distintas secuencias

22 2.5. Modelización de los condensadores. Los condensadores se representan como elementos ideales modelizados con su admitancia correspondiente según figura 2.4, Figura 2.4. Modelo del condensador Modelización de las cargas. En el estudio del flujo de cargas con armónicos realizado en la tesis es muy importante la modelización de las cargas ya que se consideran los elementos pasivos del sistema y de ellos dependerá fundamentalmente la distribución de los armónicos por la red. Pero, por otra parte, existe el inconveniente de desconocer su constitución (en principio, únicamente se dispone de su consumo de potencia activa, P y reactiva, Q) y que su impedancia variará para cada armónico. Por ello existen muchos estudios sobre el mejor modelo a adoptar para las cargas, [1], [2], [3], [5] y [9]. Se utilizará la modelización de la referencia [6] donde cada carga se representa por un modelo en el cual se conoce una función que dará el valor de las admitancias para cada orden de armónico tal como se presenta en la figura 2.5.,

23 Figura 2.5. Modelo de la carga. Para la determinación de estas funciones se parte de un modelo constituido por dos ramas R-L serie en paralelo, según figura 2.6., una de ellas representando los consumos fuertemente inductivos y la otra los fuertemente resistivos, menos y más amortiguantes respectivamente. Figura 2.6. Modelo R-L serie. donde R1>X1=L1w (consumos fuertemente resistivos) y R2<X2=L2w (consumos fuertemente inductivos). Y dado el alto factor de potencia de las cargas fuertemente resistivas se podrá simplificar el esquema eliminando la inductancia de la rama 1 (R1>>>X1). Así partiendo del modelo propuesto se modeliza un conjunto de cargas en paralelo junto a los condensadores asociados, esquema de la figura 2.7.,

24 Figura 2.7. Modelo de conjunto de cargas en paralelo con condensador asociado. donde los parámetros corresponden, R R =R1 R I =R2, X I =X2 X C Consumos fuertemente resistivos. Consumos fuertemente inductivos. Capacidades asociadas a la carga. donde, (2.1) Se observa que una de las dificultades del modelo es que se deben determinar cuatro parámetros y sólo se disponen de dos datos, potencia activa y reactiva consumidas por la carga (P y Q). El problema se soluciona suponiendo que se conocen más datos sobre las características de los consumos, dichos datos serán los que fijen el modelo a adoptar para la carga que se está estudiando pues definirán su función. En este punto, considerando que la carga no varía sus parámetros con los armónicos, existen dos modelizaciones posibles

25 Modelización PM/PR. Se conocen, además de P y Q, los siguientes datos, cos ϕ m Factor de potencia medio a 50 Hz de la rama X I -R I. PM/PR Proporción de consumos de potencia activa debido a consumos fuertemente inductivos respecto a la debida a consumos fuertemente resistivos. con ello se define, con lo que el modelo final de la carga, Y t =F t (k, Y t (1)) = g t (k) + j b t (k) según la expresión (2.1), Modelización E. Se conocen, además de P y Q, los siguientes datos, cos ϕ m Factor de potencia medio a 50 Hz de la rama X I -R I. E Tanto por uno de energía reactiva compensada por los condensadores. con ello se define, con lo que el modelo final de la carga, Y t =F t (k, Y t (1)) = g t (k) + j b t (k) según la expresión (2.1),

26 En la referencia [6] se han desarrollado los modelos (PM/PR y E) en el caso de consumos que varían sus parámetros con los armónicos (máquinas asíncronas). Dichos consumos no han sido utilizados en este trabajo aunque están contemplados en el programa desarrollado Modelización de los convertidores AC/DC. Se trabaja con el convertidor AC/DC (convertidor trifásico de 6 pulsos controlado), figura 2.8., por ser el de uso más generalizado en las redes industriales. Figura 2.8. Convertidor AC/DC de 6 pulsos. El convertidor actúa como una fuente de armónicos distorsionando la tensión en el punto de conexión con otros consumidores, así como la de otros nudos de la red más alejados. Es

27 por ello que para realizar un estudio exacto de la influencia de dichos dispositivos en la distorsión armónica del flujo de cargas es necesario adoptar una representación adecuada del mismo. Existen diferentes estudios sobre los convertidores AC/DC en la bibliografía, [2], [7], [12] y [17]. En la presente tesis se trabajará con un convertidor AC/DC ideal modelizado según [6] ya que su simplicidad permitirá abordar los estudios desarrollados en la misma. Las hipótesis para el convertidor son, - La inductancia del lado de continua es infinita. La corriente I dd no tiene rizado. - La inductancia del lado de alterna es despreciable. La conmutación de los tiristores es instantánea. - Las tensiones de alimentación del convertidor son simétricas y equilibradas. El estado del convertidor es definido por los parámetros α d (ángulo de disparo de los tiristores) y I dd (corriente en el lado de continua). Y el comportamiento del convertidor es definido por las expresiones que relacionan los datos con lo parámetros mencionados anteriormente. Así, eligiendo los valores base para el lado de alterna, S BASE y U BASE, y los correspondientes valores base para el lado de continua, P D,BASE yu D,BASE, de forma que cumplen, S BASE =P D,BASE yu BASE =U D,BASE, referencia [6], dichas expresiones en p.u. son, El valor medio de la tensión U dd es, (2.2) El desarrollo de Fourier para la corriente consumida es, (2.3)

28 La potencia en el lado de alterna es, (2.4) y de (2.2) y (2.3) se obtiene, (2.5) El parámetro δ k es 1 si k=6n+1 (secuencia directa) ó -1 si k=6n-1 (secuencia inversa) ó 0 si k=6n (secuencia homopolar), con n=0, 1, 2,

29 3. FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS Introducción. El análisis del flujo armónico de cargas pretende obtener la tensión fundamental y armónica de todos los nudos de una red y los parámetros que caracterizan los dispositivos no lineales a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo y de los datos que determinen el funcionamiento de los dispositivos no lineales. Considerando los distintos tipos de nudos existentes en la red, 1 : Slack o referencia (S) 2 a g : Generador (G) g+1 a l : Carga (C) l+1 a n : Dispositivo no lineal (D) Tabla 3.1 Tipos de nudos de la red. se define, Matriz de admitancias de la red para un armónico k dado, siendo Y im (k) = G im (k)+jb im (k) el elemento de la matriz de admitancias entre los nudos i y m para un armónico k dado. Tensiones armónicas de cada nudo i de la red para un armónico k dado, las cuales pueden ser relacionadas con las intensidades inyectadas en la red por el método de los nudos, (3.1) Potencia activa y reactiva inyectadas en un nudo i de la red,

30 (3.2) Parámetros que definen el estado de los dispositivos no lineales, α d y β d. Se trabajará con convertidores AC/DC por ser uno de los ejemplos más típicos de carga productora de armónicos en la red. Dependiendo del modelo utilizado para el convertidor los parámetros α d y β d representarán conceptos distintos. Considerando que a representa el número de armónicos más la fundamental la resolución del flujo armónico de cargas consistirá en plantear un sistema no lineal de tantas ecuaciones como incógnitas presente el problema. Estas se presentan en 6 grupos, - Balance de potencias. - Balance de corrientes consumidas. - Balance de corrientes inyectadas. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales (convertidores). - Balance de potencias consumidas en las cargas. - Expresión de las admitancias armónicas. Así, debido a que la resolución numérica del sistema de ecuaciones planteado en el flujo de cargas puede dar problemas de capacidad de memoria requerida, de tiempo de ejecución y de convergencia (depende de la correcta inicialización del método de Newton) dado el gran número de incógnitas a tratar, existen en la bibliografía diversas formas de enfocar el problema que, en general, buscan la simplificación del mismo sin perder fiabilidad en el resultado final. Se presentan 5 métodos distintos, [10], haciéndose un detallado balance de los datos, las incógnitas y las ecuaciones que intervienen en cada formulación y prestando atención a las diversas simplificaciones realizadas Método 1. Se presenta en la referencia [18] y [22] donde se tiene,

31 NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) V 1 (1) V 1 (k) (k=5, 7,..) 2(a-1) (G) S s V s (k) (k=1, 5,..) 2a(g-1) (C) S t V t (k)yy t (k) (k=1, 5,..) 4a(l-g) (D) P d yu dd V d (k) (k=1, 5,..) y α d, β d 2(n-l)(a+1) TOTAL: 2(a(n+l-g)+n-l-1) Tabla 3.2 Planteamiento por el Método 1. siendo P d la potencia activa en el lado de alterna y U dd la tensión en el lado de continua del convertidor. Para obtener las incógnitas del problema se plantea el mismo número de ecuaciones. Balance de potencia: 2 (n-1) expresiones de las potencias activa y reactiva en todos los nudos de la red excepto el slack (i=2,.., n). Utilizando las expresiones (3.1) y (3.2) resultan las ecuaciones no lineales, (3.3) donde k representa el orden del armónico perteneciendo dicho valor, siempre que las cargas sean simétricas, al conjunto K = (k N, k=6n+1 ó k=6n-1 con n=0, 1,..) secuencias directa e inversa respectivamente. La potencia reactiva consumida por el dispositivo no lineal no es un dato por lo que es calculada a partir de funciones o de rutinas numéricas según el modelo del dispositivo, Balance de corrientes: Teniendo en cuenta que los generadores, incluyendo el del nudo

32 slack, (i=1,..,g) y las cargas (i=g+1,.., l) no inyectan armónicos en la red o sea se comportan como una carga con admitancia Y s =g s +jb s conocida, correspondiente a la admitancia del generador en secuencia directa o inversa, o Y t (k) = g t (k) + jb t (k), correspondiente a la admitancia de carga. Para un orden de armónico dado (k = 5, 7,..) al aplicar el método de los nudos (3.1) resulta, (3.4) y al separar las partes real e imaginaria resultan 2 l (a-1) expresiones, Corrientes inyectadas: Los dispositivos no lineales (i=l+1,.., n) son cargas que inyectan armónicos en la red. En este sentido, se pueden calcular mediante expresiones, en modelizaciones sencillas, o mediante rutinas numéricas las 2 (n-l) (a-1) intensidades i d (k), que inyectan para cada armónico (k = 5, 7,..) igualándolas a las calculadas desde la red, (3.5) Ecuaciones de los convertidores: Para todos los convertidores de la red (i=l+1,.., n) se plantean 2 (n-l) expresiones,

33 (3.6) donde p d yu dd se determinan con funciones o rutinas numéricas que modelizan el convertidor y que permiten hallar la potencia en el lado de alterna y la tensión en el lado de continua del convertidor. Además, para los nudos de carga (i=g+1,.., l) se tendrán las 2 (l-g) restricciones correspondientes a sus potencias consumidas, (3.7) y las 2 (l-g) (a-1) expresiones que definen el valor de las admitancias para cada orden de armónicok=5,7,.., (3.8) Así el número de ecuaciones es, ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.3)... 2(n-1) (3.4)... 2l(a-1) (3.5)... 2(n-l)(a-1) (3.6)... 2(n-l) (3.7)... 2(l-g) (3.8)... 2(l-g)(a-1) TOTAL: 2(a(n+l-g)+n-l-1) Tabla 3.3 Balance de ecuaciones para el Método 1. que corresponden, según lo presentado, a las siguientes expresiones,

34 3.3. Método 2. Es una simplificación del método anterior donde se consideran las potencias debidas únicamente a la onda fundamental. Esto hace que desaparezcan las admitancias de las cargas como incógnitas pues las fundamentales podrán ser calculadas a través de la potencia y la tensión fundamental de cada nudo, y las armónicas con sus expresiones correspondientes. Así se tiene,

35 NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) V 1 (1) V 1 (k) (k=5, 7,..) 2(a-1) (G) S s V s (k) (k=1, 5,..) 2a(g-1) (C) S t V t (k) (k=1, 5,..) a(l-g) (D) P d yu dd V d (k) (k=1, 5,..) y α d, β d 2(n-l)(a+1) TOTAL: 2(n(a+1)-l-1) Tabla 3.4 Planteamiento por el Método 2. siendo P d la potencia activa en el lado de alterna y U dd la tensión en el lado de continua del convertidor. Para obtener las incógnitas del problema se deben plantear el mismo número de ecuaciones. Balance de potencia: 2 (n-1) ecuaciones de las potencias activa y reactiva, expresión (3.3), en todos los nudos i de la red excepto el slack (i=2,.., n) para k=1 (potencia producida sólo por la onda fundamental). Balance de corrientes: Para el nudo slack y los nudos de generador y carga (i=1,.., l), las 2 l (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.4). (3.5). Corrientes inyectadas: Las 2 (n-l) (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión Ecuaciones de los convertidores: Para todos los convertidores de la red (i=l+1,.., n) se plantean las 2 (n-l) expresiones correspondientes a (3.6). Así el número de ecuaciones es,

36 ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.3)... 2(n-1) (3.4)... 2l(a-1) (3.5)... 2(n-l)(a-1) (3.6)... 2(n-l) TOTAL: 2(n(a+1)-l-1) Tabla 3.5 Balance de ecuaciones para el Método 2. que corresponden según lo presentado a las siguientes ecuaciones, Para cada iteración se deberán actualizar las admitancias fundamentales de las cargas considerando que la potencia que consumen es la fundamental,

37 y a partir de su valor y de la expresión (3.8) se actualizarán las admitancias armónicas. (3.9) 3.4. Método 3. Se presenta en la referencia [17]. Es similar al método 2 considerando las potencias fundamentales pero presenta un enfoque distinto para los datos del convertidor. Así, se tiene, NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) V 1 (1) V 1 (k) (k=5, 7,..) 2(a-1) (G) S s V s (k) (k=1, 5,..) 2a(g-1) (C) S t V t (k) (k=1, 5,..) a(l-g) (D) P d ys d V d (k) (k=1, 5,..) y α d, β d 2(n-l)(a+1) TOTAL: 2(n(a+1)-l-1) Tabla 3.6 Planteamiento por el Método 3. siendo P d ys d la potencia activa y aparente en el lado de alterna del convertidor. Para obtener las incógnitas del problema se deben plantear el mismo número de ecuaciones. Balance de potencia: Para los nudos lineales, excepto el slack (i=2,.., l), las 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.3) para k=1 (potencia fundamental). Balance de corrientes: Para el nudo slack y los nudos de generador y carga (i=1,.., l), las 2 l (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.4) para cada armónico. Corrientes inyectadas: Para los convertidores se conocen las 2 (n-l) a expresiones de la intensidad eficaz i d (k) que inyectan para cada armónico y la onda fundamental, (3.5)

38 Modelizando el convertidor como una fuente de intensidad armónica cuya inyección corresponde a i d (k,.., V d (k),.., α d, β d ) se obtienen las 2 (n-l) expresiones de la potencia en los nudos no lineales, (3.10) Así el número de ecuaciones es, ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.3)... 2(l-1) (3.4)... 2l(a-1) (3.5)... 2a(n-l) (3.10)... 2(n-l) TOTAL: 2(n(a+1)-l-1) Tabla 3.7 Balance de ecuaciones para el Método 3. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema,

39 Para la primera iteración se actualizan las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas según las expresiones (3.8) y (3.9) Método 4. Se presenta en la referencia [9]. SUBPROBLEMA 1 NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) V 1 (1) (G) S s V s (1) 2(g-1) (C) S t V t (1) 2(l-g) (D) V d (1) 2(n-l) SUBTOTAL 1: 2(n-1) SUBPROBLEMA 2 NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) (G) (C) (D) P d ys d V d (k) (k=5, 7,..) y α d, β d 2a(n-l) SUBTOTAL 2: TOTAL: 2 a(n-l) 2((n-1)+a(n-l)) Tabla 3.8 Planteamiento por el Método 4. siendo P d ys d la potencia activa y aparente en el lado de alterna del convertidor

40 Este método es una simplificación del método 3 considerándose las potencias fundamentales y actualizándose las admitancias de las cargas en cada iteración. Se descompone el problema del flujo armónico de cargas en dos subproblemas que se resuelven separadamente, tabla 3.8. El primero es un flujo de cargas fundamental con 2 (n-1) incógnitas correspondientes a las tensiones fundamentales de todos los nudos excepto el slack. Y el segundo es un balance de corrientes armónicas con 2 a (n-l) incógnitas correspondientes a las tensiones armónicas de los nudos no lineales y los parámetros de los dispositivos no lineales. Para resolver el problema fundamental se plantean 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a las potencias consumidas en los nudos lineales considerándolas producidas sólo por la onda fundamental y 2 (n-l) ecuaciones correspondientes a la inyección fundamental de intensidad en los nudos no lineales, expresión (3.3) y (3.5) respectivamente para k=1. Después de resolver el problema anterior se actualizarán las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas considerando la potencia consumida por ellas fundamental según (3.8) y (3.9) y se calcula el equivalente thevenin visto desde los nudos no lineales (Z thd (k), k=1, 5, 7,.. y E thd (1)). Posteriormente se pasa a resolver el problema armónico trabajándose con la modelización del convertidor, i d (k) y planteándose las 2 (n-l) ecuaciones de la potencia en los nudos no lineales, expresión (3.10) y las 2 (n-l) (a-1) ecuaciones de la inyección armónica en dichos nudos, (3.11) siendo Y thd (k), la admitancia thevenin armónica en el nudo no lineal. Así el número de ecuaciones es,

41 SUBPROBLEMA 1 ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.3, nudos lineales)... 2(l-1) (3.5, k=1)... 2(n-l) SUBTOTAL 1: 2(n-1) SUBPROBLEMA 2 ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.10)... 2(n-l) (3.11)... 2(n-l)(a-1) SUBTOTAL 2: 2 a(n-l) TOTAL: 2((n-1)+a(n-l)) Tabla 3.9 Balance de ecuaciones para el Método 4. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema,

42 Para cada subproblema se controlará su convergencia particular y después de finalizar el planteamiento armónico se recalculará la intensidad fundamental inyectada en los nudos no lineales, i d (1), y con ella la tensión fundamental en dichos nudos, La convergencia de todo el proceso se considera cuando la diferencia entre el valor de las tensiones fundamentales de los nudos no lineales obtenidas por el primer subproblema y el segundo sea menor que un error dado. Resuelto el flujo de cargas se pueden calcular las tensiones armónicas de los nudos lineales a partir del sistema lineal, (3.12) 3.6. Método 5. Se presenta en las referencias [12], [13], [14] y [15]. Presenta una forma de enfocar el problema similar a la del método 4 considerando las potencias fundamentales y actualizándose las admitancias de las cargas en cada iteración. Se descompone el problema del flujo armónico de cargas en dos subproblemas que se resuelven separadamente, tabla El primero es un flujo de cargas fundamental, reparto de cargas al fundamental, con 2 (n-1) incógnitas correspondientes a las tensiones fundamentales de todos los nudos excepto el slack. Y el segundo, denominado análisis armónico iterativo (IHA), analiza los armónicos para los nudos no lineales con 2 (a-1) (n-l) incógnitas correspondientes a las tensiones armónicas de los nudos no lineales

43 SUBPROBLEMA 1 (Onda fundamental) NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) V 1 (1) (G) S s V s (1) 2(g-1) (C) S t V t (1) 2(l-g) (D) V d (1) 2(n-l) SUBTOTAL 1: 2(n-1) SUBPROBLEMA 2 (IHA) NUDO DATOS INCOGNITAS NUM. DE INCOGNITAS (S) (G) (C) (D) P d yq d V d (k) (k=5, 7,..) 2(a-1)(n-l) SUBTOTAL 2: TOTAL: 2(a-1)(n-l) 2((n-1)+(a-1)(n-l)) Tabla 3.10 Planteamiento por el Método 5. siendo P d yq d la potencia activa y reactiva en el lado de alterna del convertidor Para resolver el problema fundamental se plantean 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a las potencias consumidas en los nudos lineales considerándolas producidas sólo por la onda fundamental y 2 (n-l) ecuaciones correspondientes a la inyección fundamental de intensidad en los nudos no lineales, expresión (3.3) y (3.5) respectivamente para k=1. Después de resolver el problema anterior se actualizan las admitancias fundamental y

44 armónicas de las cargas considerando la potencia consumida por ellas fundamental según expresiones (3.8) y (3.9) y se inicia el análisis armónico iterativo (IHA). A partir de las tensiones en los terminales de los convertidores se determinará su inyección armónica de corriente, i d (k), y con ella se recalcularán las tensiones armónicas en los nudos no lineales resolviendo el sistema lineal I bus (k)=y bus (k) V bus (k) en dichos nudos, [11]. Con las nuevas tensiones armónicas se actualizará la inyección de corriente armónica en la red iniciándose nuevamente el proceso anterior. Matemáticamente el algoritmo IHA puede ser resumido para la iteración i por los siguientes pasos, [13] y [14], i) Determinación de la inyección armónica de corriente. (3.13) donde f(v) representa la función no lineal del convertidor que proporciona la inyección de corrientes armónicas a partir de las tensiones de dicho convertidor. ii) Cálculo de las nuevas tensiones armónicas. (3.14) lineal, Eliminando las corrientes de las expresiones (3.13) y (3.14) se obtiene el sistema no (3.15) que caracterizará el problema del análisis armónico (IHA). De esta forma el estudio del convertidor puede ser realizado de forma independiente, [16], lo que supone una ventaja. Este proceso iterativo se repite hasta la convergencia de las tensiones armónicas, si ésta se produce en la primera iteración la resolución del flujo de cargas total habrá finalizado, en caso contrario se vuelve a repetir el flujo de cargas fundamental modificado por las nuevas condiciones de los elementos no lineales

45 Así el número de ecuaciones es, SUBPROBLEMA 1 ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.3, nudos lineales)... 2(l-1) (3.5, k=1)... 2(n-l) SUBTOTAL 1: 2(n-1) SUBPROBLEMA 2 ECUACIONES NUMERO DE ECUACIONES (3.15)... 2(a-1)(n-l) SUBTOTAL 2: TOTAL: 2(a-1)(n-l) 2((n-1)+(a-1)(n-l)) Tabla 3.11 Balance de ecuaciones para el Método 5. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema, Resuelto el flujo de cargas se pueden calcular las tensiones armónicas de los nudos lineales a partir del sistema lineal (3.12)

46 3.7. Simplificación sobre la aportación armónica a la potencia. Se ha visto que la consideración de la potencia consumida como fundamental es una simplificación frecuente y que reduce en gran medida el número de incógnitas del problema, y por tanto su complejidad. Al suponer esto desaparecen como variables no conocidas las admitancias fundamental y armónica de las cargas, es decir 2 a (l-g) incógnitas, ya que podrán ser calculadas con la potencia y la tensión en los nudos y con las ecuaciones correspondientes a las admitancias armónicas, expresiones (3.8) y (3.9). En general esta simplificación es correcta dada la baja aportación armónica frente a la fundamental respecto al consumo de potencia aunque pueden existir casos, como el presentado de la figura 3.1, analizado en el punto 6, Figura 3.1. Sistema a estudio. donde se alcanzan resultados distintos (figuras 3.2, ángulo de disparo del convertidor, y 3.3, parte imaginaria de la admitancia fundamental en el nudo de carga) al resolverlo con el algoritmo de Newton por el planteamiento propuesto en el método 1 y en el método 2 por no verificarse lo anterior

47 Figura 3.2. Angulo de disparo del convertidor, α 3. Figura 3.3. Parte imaginaria de la admitancia fundamental

48 4. METODOS NUMERICOS UTILIZADOS EN LA RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEAL Introducción. El estudio del flujo de cargas lleva a plantear un sistema de ecuaciones no lineales que se expresará como un sistema no lineal igualado a cero de la forma, (4.1) Este sistema puede presentar múltiples soluciones matemáticamente posibles y su resolución numérica debe proporcionar la solución físicamente correcta, x (s). Existen distintos métodos para la resolución del sistema de ecuaciones (4.1). El método de Newton es el más utilizado en la bibliografía, [7], [19] y [22], para la resolución del flujo armónico de cargas. Este método tiene como ventaja una relativa simplicidad y una rápida convergencia pero tiene el inconveniente que su convergencia únicamente se puede asegurar si los valores iniciales de las incógnitas están lo suficientemente cerca de la solución (dominio de atracción de la solución). Así en el estudio del flujo de cargas convencional, [20] y [21], y del flujo armónico de cargas, [22], para sistemas mal condicionados el método de Newton puede presentar problemas de convergencia. Estos problemas son más frecuentes en el flujo armónico de cargas dada la dificultad en la inicialización de la fase de las tensiones armónicas. Con el fin de intentar mejorar la convergencia del método de Newton existen en la bibliografía los métodos de Newton modificados [20], [26], [27], [28] y [29], basados algunos de ellos en criterios de optimización. Estos métodos aún suponiendo una mejora respecto al método de Newton no aseguran la convergencia global a la solución correcta del problema porque pueden converger hacía mínimos locales del sistema tratado. Por otra parte, frente a la resolución del flujo armónico de cargas mediante el método de Newton, limitado por la elección de las condiciones iniciales, existe como alternativa para

49 los casos de no convergencia los métodos de continuación, [22], [30], [31], y en concreto el método de Davidenko en los que no existen problemas debido a la elección de las condiciones iniciales aunque, por contra, el proceso de cálculo es más lento. En este método la elección del valor inicial no es crítica, siempre que corresponda a una situación físicamente real, ya que la homotopía conduce de dicho valor hacia la solución Método de Newton. El método de Newton partiendo de unas condiciones iniciales x (0) genera una secuencia de valores x (1),.., x (i),.., x (m) que convergen a la solución x (s) si las condiciones iniciales, x (0), están suficientemente próximas a ella. En particular, tal como se puede ver en la referencia [22], consiste en la aplicación iterativa del algoritmo, (4.2) desde el valor inicial, x (0). Donde DF(x) es el jacobiano de la función F(x). El proceso iterativo finaliza cuando F(x) 2 < (un valor usual de es 10-4 ). Figura 4.1. Convergencia del método de Newton. La convergencia hacia una solución del algoritmo está asegurada por el teorema de Newton-Kantorovich, [6], si se cumplen ciertos requisitos. De estos, los más importantes son que el punto inicial debe estar suficientemente cerca de la solución y dentro de un

50 determinado recinto, donde F(x) sea continuamente diferenciable. Esto queda ilustrado en la figura 4.1. donde el proceso numérico diverge o tiende a otra solución si la inicialización es x2 (0) por estar fuera del dominio de atracción de la solución, x (s), mientras que el proceso converge si la inicialización esx1 (0). Así, este algoritmo tiene la ventaja de una rápida convergencia si las condiciones iniciales, x (0), están próximas a la solución buscada. Es por ello que una mala elección de las tensiones armónicas iniciales puede dar problemas de convergencia, los cuales son, - El método es divergente, [7]. - El método converge hacia una solución falsa, [6] y [23]. - El método converge después de muchas iteraciones, [19]. tal como se estudiará en ejemplos posteriores. Los problemas de convergencia son más habituales en el estudio del flujo armónico de cargas porque los valores iniciales de los ángulos de las tensiones armónicas pueden ser muy diferentes de los ángulos solución. Así, los sistemas mal condicionados son más frecuentes en el flujo armónico de cargas que en el flujo de cargas convencional Métodos de Newton modificados Los métodos de Newton modificados incorporan al algoritmo de Newton, (4.2), un factor amortiguante, λ, reescribiéndose el algoritmo de la forma, (4.3) El objetivo de este factor es amortiguar el efecto del término, para evitar la divergencia del método de Newton debido a "saltos" excesivamente grandes en alguna iteración

51 Existen distintos criterios en la bibliografía para su determinación, En la referencia [29] y [32] el factor amortiguante tiene la expresión así, para cada iteración i se buscará el valor del parámetro n i (partiendo de n i =0) que lleve a cumplir la condición F(x (i+1) ) < F(x (i) ). En la referencia [26] se presentan 3 variantes de los métodos de Newton modificados atendiendo al criterio del cálculo de λ (i). La primera consiste en utilizar dos factores amortiguantes fijos. Un primer factor, S1, inferior a la unidad, p.ej. λ (i) = S1 = 0.5, para las primeras iteraciones hasta que la función error fuese inferior a un determinado valor, F(x (i) ) <. Y un segundo factor, S2, mayor que el primero, p. ej. λ (i) = S1 = 1.0, para finalizar el proceso iterativo. Con ello se controla la convergencia del método en las primeras iteraciones, que suelen ser las más críticas, para luego acelerar el proceso aumentando el valor de λ (i). La segunda consiste en que en cada iteración el factor de la variante anterior, λ (i) =S1 ó S2, es reducido siempre que el término x (i) = DF(x (i) ) -1 F(x (i) ) supere un cierto límite L1, p. ej. x (i) > L1 =.25 p.u. Y su determinación se realiza imponiendo que las tensiones armónicas no superen un límite L2, p. ej. x (i+1) < L2 =.4 p.u. Es decir, La tercera variante es similar a la presentada en la referencia [29] y [32] pero utiliza un factor amortiguante distinto para cada armónico, por lo que el algoritmo (4.3) se reescribe de la forma, donde [λ (i) ] es un vector cuyos términos son,