Representación computacional de tipos de datos numéricos

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1 Errorres Representación computacional de tipos de datos numéricos Nuestras bombas inteligentes cometen errores no mayores a los cm. (Guerra de Irak) Franco Guidi Polanco Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile Escuela de Ingeniería Industrial fguidi@ucv.cl Actualización: 4 de marzo de Errores: definiciones Error absoluto: Error relativo: Porcentaje de error: (valor obtenido) (valor correcto) (error absoluto) (valor correcto) (error relativo) * 00 [%] Errores: Roundoff Es la diferencia entre un valor exacto y el valor mediante el cual se lo puede representar. Ejemplo: si utilizamos el tipo de dato float: /2 / /4 / / /7 0, 0,4 0,2 0,2 0,7 0,4287 4

2 Errores: Cancelación Occurre cuando la mayoría de los dígitos significativos se pierde durante la sustracción de dos números muy similares. Por ejemplo, teóricamente: = Números decimales Los números decimales nos permiten representar fracciones. Algunas fracciones tienen representación exacta como numero decimal (en base 0): en su expresión simplificada, sus denominadores dividen en forma exacta alguna potencia de 0. Ejemplos: Debe ser: 0, Fracción Número decimal Potencia de 0 Pero si las operaciones se realizan con datos float: /2 0, 0 (0/2=) 0, , =,9044E8 =,7772E8 /4 / 0,2 0,2 0 2 (00/4=2) 0 (0/=2) Porcentaje error:,% /8 0,2 0 (000/8=2) Representación inexacta de fracciones reales Las fracciones simplificadas cuyos denominadores no dividen en forma exacta alguna potencia de 0, no tienen representación exacta como número decimal (en base 0). Ejemplos: Fracción / / /7 /9 Número decimal 0,... (0,) 0,... (0,) 0, (0,4287) 0,... (0,) Representación de fracciones en computadores La Java Virtual Machine representa los valores numéricos en base 2. Las variables numéricas para almacenar valores en punto flotante son de capacidad limitada. Por lo tanto pueden ser representadas exactamente aquellas fracciones (simplificadas) cuyo denominador divida exactamente una potencia de 2, y cuya cantidad de decimales no exceda la capacidad del tipo. Ejemplos: /2 /4 / 7 8

3 Precisión y exactitud Para los valores en punto flotante se define: Precisión: representa la cantidad de dígitos significativos que tiene su mantisa ( significand ). En Java los valores double son más precisos que los float. Matemática pura v/s matemática computacional Los números reales: Son infinitos (no hay primero ni último) Los números en punto flotante: Son acotados Exactitud: representa qué tan próximo se encuentra un valor en punto flotante, respecto de su valor correcto. Valor real / / 0,f 0, (double) Más exacto Más preciso Son contínuos (entre dos números reales existe siempre otro número real) Tienen precisión infinita (tienen la cantidad de decimales que sean necesarios) Son discretos Tienen precisión limitada 9 0 Tipos de datos enteros en Java Java ofrece los siguientes tipos de datos enteros: Valores Enteros Tipo byte Tamaño (Bits) 8 Valor mínimo 28 Valor máximo 27 short int long char 0. 2

4 Representación interna (positivos) Para el tipo byte: = 0 * 2 0 = = * 2 0 = = *2 + 0*2 0 = = *2 + *2 0 = = * *2 +0*2 0 = = *2 + * *2 4 + *2 + *2 2 + *2 +*2 0 = 27 0 Operaciones en Java Recordar que: Operaciones de dos variables byte o short generan un resultado int. Operaciones de dos valores int generan como resultado un int. Operaciones que involucran al menos un long generan como resultado un long. 4 Representación de números negativos Supongamos la existencia de un tipo de dato entero llamado by (la mitad de un byte), que almacena números enteros de 4 bits. Utilizaremos bits para representar la parte numérica y uno (el primero de la izquierda) para el signo: Representación de números negativos: signed magnitude Signed magnitude (magnitud con signo) es una forma de codificar los número negativos : Números positivos: bit de signo igual a 0 Números negativos: bit de signo igual Ejemplo: Inconvenientes?

5 Problemas al utilizar signed magnitude Dos características indeseables: Existen dos ceros, uno positivo y otro negativo No se puede utilizar la lógica normal de suma de enteros: + = + 2 = x x Representación de números negativos: two scomplement Two scomplement (complemento de dos) codifica los números negativos de la siguiente forma: Los números positivos se representan normalmente Los números negativos se representan complementando cada bit del número positivo correspondiente, y luego sumando al resultado En cualquier caso, el bit de la izquierda representa el signo (0: positivo, : negativo) Ejemplo: representación del número Número positivo correspondiente () Complementar cada bit Sumar Valor negativo ( ) Representación de números negativos: two scomplement Entonces los by serán los siguientes: Representación de números negativos: two scomplement Operaciones de suma: = + 2 =

6 Java y representación de enteros En Java se representan utilizando two scomplement los siguientes tipos enteros: short byte int long El conjunto de los números enteros En los números enteros: El conjunto de los enteros es cerrado respecto de la adición y sustracción ( y éstas no fallan!) El tipo char no tiene bit de signo, todos sus bits representan 0 ó un número positivo = = Los números enteros en Java Podemos imaginar los by ordenados en círculo: Los números enteros en Java Ejemplo de suma: 2 + =

7 Los números enteros en Java Ejemplo de suma: + 2 = 8? Los números enteros en Java Una resta: 4 =! Overflow! 2 2 Los números enteros en Java La aritmética de enteros no genera tipo de aviso alguno (mensaje de error, excepción, etc.) cuando las operaciones de enteros producen resultados incorrectos (no hay excepciones de overflow). Pensar en los ciclos iterativos que incrementan contadores, en simples operaciones de aritméticas que pasan por valores positivos y negativos sin control alguno etc. Los números enteros en Java Entonces mis programas anteriores funcionaban correctamente? Overflows can be silent killers of integer arithmetic! Ronald Mak 27 28

8 Wrapper classes para tipos enteros en Java Java ofrece wrapper classes para almacenar valores enteros: Byte Ejemplo: Short Integer Long Integer num = new Integer( 40 ); Valores en punto flotante Estas clases ofrecen constantes y métodos útiles. Entre éstos las constantes MIN_VALUE y MAX_VALUE, que representan valor mínimo y máximo de cada tipo. 29 Los números en punto flotante Supongamos la existencia de un formato punto flotante que tiene una mantisa (f) de dígito, y un exponente (e) de dígito, todos en base 0: Los números en punto flotante La distribución de los anteriores en la recta numérica sería: e= f e = e = 0 e = 0 0 * 0 = 0 * 0 = 0, 0 * 0 0 = 0 * 0 0 = 0 * 0 = 0 * 0 = 0 0 0, 0,2 0, 0,4 0, 0, 0,7 0,8 0,9 2 2 * 0 = 0,2 2 * 0 0 = 2 2 * 0 = 20 e=0 * 0 = 0, * 0 0 = * 0 = * 0 = 0,4 4 * 0 0 = 4 4 * 0 = 40 7 * 0 = 0, * 0 = 0, 7 * 0 = 0,7 * 0 0 = * 0 0 = 7 * 0 0 = 7 * 0 = 0 * 0 = 0 7 * 0 = , e= 8 8 * 0 = 0,8 8 * 0 0 = 8 8 * 0 = * 0 = 0,9 9 * 0 0 = 9 9 * 0 =

9 Los números son representados en forma binaria Considerar significante de de 2 bits y exponente de 2 bits Conceptos revisitados Error de redondeo (roundoff): diferencia entre un valor exacto y el valor que lo puede representar. f e = = = = = e = = = = = e = = = = = e = 00 e=0 e=0 e=.00 2 = = = = = = = 0. 2 = = = = 0 2 = = = = = 4 0 Precisión (precision): es la medida del número de dígitos significativos de la mantisa de un valor en punto flotante. Exactitud (accuracy): representa qué tan correcto es un valor en punto flotante, esto es, qué tan cercano a su valor exacto. 4 Las Leyes del Algebra: Propiedad Asociativa El álgebra de los números reales cumple la propiedad asociativa de la suma y la multiplicación: (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) La aritmética de punto flotante en Java no cumple con tales propiedades (ver ejemplo en siguiente transparencia). Las Leyes del Algebra: Propiedad Asociativa (cont.) Ejemplo: Sea a =.0f ( ) b =.0E8f ( ) c = 4.0E8f ( )? (a + b) + c = a + (b + c) (.0 +.0E8) + 4.0E8 =?.0 + (.0E E8) (roundoff)? E8 = E8 (roundoff) (roundoff).0 =

10 Las Leyes del Algebra: Propiedad Asociativa (cont.) Ejemplo: Sea a = 0.f b =.0E4f c =.0E8f? (a * b) * c = a * (b * c)? (0.f *.0E4) *.0E8 = 0. * (.0E4 *.0E8) 0. *.4E4.4E4 *.0E8 (underflow)? 0.0 *.0E8 = 0. * E7 Propiedad Asociativa: Porcentaje de fallas? Ronald Mak muestra un simple experimento en el cual se prueba la propiedad asociativa de la suma y multiplicación de tres números float 2 : 7% de fallas en la suma 4% de fallas en la multiplicación Java Number Cruncher. The Java Programmer s Guide To Numerical Computing 2 Números float generados al azar, de pruebas 0.0 = E7 7 8 Las Leyes del Algebra: Propiedad Distributiva e Inverso Multiplicativo Propiedad distributiva: Falla! Inverso multiplicativo: a*(b + c ) = a*b + a*c Las Leyes del Algebra: Propiedad Conmutativa Sobre la suma: a + b = b + a Sobre la multiplicación: a * b = b * a Si a!=0 a*(/a ) = (/a)*a = Falla! Ejercicio: generar ejemplos Funciona! 9 40

11 El estándar Floating Point IEEE 74 Inicialmente había diferentes formatos de valores punto flotante implementados en hardware y software Resultados de operaciones variaban al cambiar de plataforma En 98 se estableció el estándar IEEE 74, al cual hoy adhieren muchos sistemas. El estándar Floating Point IEEE 74 Especifica: formatos numéricos operaciones conversiones excepciones Java adhiere al estándar: tipo float: formato 2 bit de precisión simple tipo double: formato 4 bit de doble precisión IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers 4 42 IEEE 74: Formato Numérico Cada número se divide en tres partes: Bit de signo (s) Exponente (e) Fracción (f) s e f bit s e f 2 4 bit 4 IEEE 74: Formato Numérico (cont.) Bit de signo: 0 (positivo) y (negativo) Exponente: No tiene signo (siempre positivo) En float toma valores entre 0 y 2 (pero ambos son reservados) En double toma valores entre 0 y 2047 (pero ambos son reservados) El valor almacenado es sesgado El valor auténtico, insesgado, (E) se obtiene restando el sesgo al valor sesgado: Sesgo formato float: 27 Sesgo formato double: 02 Ejemplo (float): e = E = 27 = 88 e = 2 E = 2 27 = 02 44

12 IEEE 74 Formato Numérico: exponente Tabla de valores posibles del exponente: IEEE 74 Números Normalizados s e f 8 2 (float) float double Valor sesgado Valores reservados sesgados 0 y +2 0 y Valores admisibles sesgados Sesgo Valores (admisibles) insesgados bit Si el exponente no es valor reservado (0 ó 2 para float, 0 ó 2047 para double), el número se interpreta de la siguiente forma: El bit de signo determina el signo del número (: negativo, 0: positivo) Se asumen un y un punto decimal implícitos delante del primer bit de la fracción:.f Se mueve el punto decimal tantas posiciones (a la derecha o izquierda) como lo indique el valor del exponente insesgado (positivo o negativo). 4 4 IEEE 74 Números Normalizados Ejemplo: s = 0 e = 00 2 = 2 0 f = Entonces: E = = 2 0 Significante = Número = Número = 0 * * 2 + * * 2 = /4 + /8 = = 0.7 IEEE 74 Números Normalizados Ejemplo: el menor float positivo s = 0 e = = 0 f = Entonces: E = = 2 0 Significante = Número = 0 * * * * 2 2 = (aprox).7e

13 IEEE 74 Números Normalizados Ejemplo: el máximo float s = 0 e = 0 2 = 24 0 f = 2 Entonces: E = = 27 0 Mantisa =. 2 Número = aprox..4e8 Java y los Números Desnormalizados El número normalizado positivo más pequeño tipo float es aprox..7e8 Luego, el número inmediatamente anterior es 0 Los números desnormalizados explotan los valores reservados del exponente para generar nuevos rangos de valores Java y los Números Desnormalizados Número desnormalizado (o subnormal): e = 0 (valor reservado), y f!= 0 Se interpreta: Se asumen un 0 y un punto decimal implícitos delante del primer bit de la fracción: 0.f En el caso de un float, se mueve el punto decimal implícito 2 posiciones a la izquierda En el caso de un double, se mueve el punto decimal implícito 022 posiciones a la izquierda El valor del bit de signo determina el signo del numero (0: positivo, : negativo) Java y los Números Desnormalizados El número desnormalizado positivo más pequeño tipo float es: s = e = 0 f = mantisa = Número = 2 49 = aprox =.4E4 El número desnormalizado positivo más grande tipo float es: s = e = 0 f = 2 mantisa = 0. 2 Número = aprox.2e8 2

14 Java y los Números Desnormalizados Mediante los números desnormalizados se logra una aproximación más suave a 0. float Números desnormalizados Números normalizados Operaciones en punto flotante Expresiones binarias o unarias en las que participa un double, generan como resultado un double. Expresiones binarias o unarias en las que participa un float, pero no un double, generan como resultado un float. Al sumar al máximo float (Float.MAX_VALUE) se obtiene como resultado +Infinity (Float.POSITIVE_INFINITY), no un double. 0.2E8.4E8 4 Operaciones en punto flotante Al operar dos valores punto flotante el resultado será del tipo correspondiente, y que contendrá: Un valor normalizado, o Un valor desnormalizado, o El valor +0 o 0 El valor +Infinity o Infinity, o El valor NaN (NotaNumber) Características de los valores especiales +0 =0 NaN operado con cualquier otro valor genera NaN Cualquier división de ±0 por ±0 genera NaN La suma o resta de ±Infininity con otros números genera ±Infininity La suma de +Infinity con Infinity genera NaN El producto de ± Infininity con ±0 genera NaN...y otras

15 IEEE 74 y sus Excepciones IEEE 74 define tipos de excepciones: Invalid Operation División por cero Overflow Underflow Valor inexacto Genera como resultado NotaNumber Genera como resultado ±oo Asigna como resultado el mayor número normalizado posible o ±oo Asigna como resultado ± 0, el número normalizado más próximo a 0, o un número desnormalizado Asigna como resultado el valor redondeado más próximo posible Cuando ocurre una excepción, el computador debe advertir este hecho, setendo el status de una variable indicadora. El status no se modificará hasta que el programa haga el reset de esta variable. Excepciones de IEEE 74 v/s Java Java no adhiere al estándar en materia de notificación de excepciones (es decir... no las notifica). Los programas deben chequear las excepciones, preguntando si se han generado resultados NotaNumber (NaN), +Infinity o Infinity (ej. usar Float.isNaN() o Double.isNaN() ) 7 8 Conversión por ampliación de float a double Supongamos la variable a de tipo float: a = /f El valor impreso de a es 0.4 Qué ocurre si el valor de la variable a se asigna la variable b de tipo double?...? El valor impreso de b es Por qué no es ? Basura aleatoria??? Notar además que.0/ = 0. (double) Conversión por ampliación de float a double Notar que /f: s = 0 E = 2 mantisa = Y además que al hacer la asignación del valor float a la variable double: s = 0 E = 2 mantisa = Pero si hubiésemos hecho.0/: s = 0 E = 2 mantisa = Valor en base 0=

16 Aproximación Considerar por ejemplo que /f no es representable exactamente como punto flotante: /f Java utiliza la aproximación al más cercano (round to nearest): Cuando un valor exacto se encuentra entre dos valores representables, se toma el valor punto flotante más próximo al valor exacto. Si el valor exacto se encuentra exactamente a la misma distancia de dos valores representables, se toma el valor punto flotante cuyo bit menos significativo (de la derecha) sea 0. El Épsilon (ε) de la Máquina El épsilon de la máquina es el mayor valor positivo que al sumarlo a, produce un resultado igual a. En otras palabras, buscamos ε tal que por redondeo: + ε = Todo ε mayor producirá: + ε > En el caso de datos float: Tarea Estudiar las clases BigInteger y BigDecimal de Java, pertenecientes al package java.math. Caso de estudio: el sistema de misiles Patriot Patriot: Sistema defensivo antimisiles de EE.UU. En la batalla del Golfo Pérsico, el 2 de febrero de 99, uno de estos sistemas falló en la interceptación de un misil Iraquí Scud. El misil Scud dio muerte a 28 soldados que permanecían en una barraca e hirió a otras 00 personas, en la ciudad de Dharhan, Arabia Saudita. 4

17 Caso de estudio: el sistema de misiles Patriot La investigación de los hechos estableció que: El radar del sistema Patriot identificó correctamente al misil enemigo, sin embargo, luego de su detección lo consideró una falsa señal y lo descartó como objetivo. El sistema consideró al misil como falsa señal porque, tras predecir correctamente su trayectoria, en la siguiente observación inspeccionó un área del cielo equivocada. El error en de zona de inspección se debió a inexactitudes en el control del tiempo en el sistema Patriot: el sistema maneja intervalos de /0 de segundo, los cuales son contados y almacenados en una variable entera. Por su parte, el valor correspondiente a /0 de segundo es almacenado en una variable de punto fijo de 24 bits. El tiempo actual es calculado como el producto de ambos valores. Al momento de la falla, el sistema se encontraba en torno a las 00 horas de operación continua. Caso de estudio: el sistema de misiles Patriot El valor /0 no tiene representación exacta en base 2, y el sistema lo trunca a 24 bits. Valor /0 = /2 4 + /2 + /2 8 + /2 9 + /2 2 + /0 en base 2 = Registro del Patriot = Error en el registro = Error en el registro = (aprox.) El pequeño error de exactitud se vuelve significativo cuando se lo multiplica por cantidades grandes (por ej. a las 00 horas de operación del sistema): Error en 00 horas de operación= =0.4 seg Un misil Scud viaja a.7 m/seg, en 4 s recorre aprox. 70 m. Por lo anterior, el sistema no encontró al objetivo en lugar esperado. Caso de estudio: el sistema de misiles Patriot El problema había sido identificado por investigadores israelitas y comunicado al ejército de EE.UU. La solución provisoria consistía en resetear los sistemas cada cierto tiempo, sin embargo esto no fue correctamente aplicado por los operadores del ejército. Para saber más sobre tramiento computacional de números Mack Ronald. Java Number Cruncher. The Java Programmer s Guide To Numerical Computing Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, New Jersey, 200. El patch para el software estuvo disponible al día siguiente de la tragedia. 7 8