S5HVHJJL.yVCION DET.J1NT PROCESO DE ENRIQUECIMIENTO T3E SOLUCIONES MEDIANT E UNA CÁMARA DE COM VECC1ON-DIFUSION

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1 INIS-mf S5HVHJJL.yVCION DET.J1NT PROCESO DE ENRIQUECIMIENTO T3E SOLUCIONES MEDIANT E UNA CÁMARA DE COM VECC1ON-DIFUSION SEGUNDA PARTE: Simulación a partir de la solución numérica de las ecuaciones de campo. Gabriel Artueio (a) y Roberto Suárez Antola (a),(b). (a) División Investigación y Desarrollo. Dirección Nacional de Tecnología Nuclear. (b) Grupo do Matemática Aplicada Universidad Católica del Uruguay Re clisen Ion las cuestiones de convergencia de los algoritmos desarrollados con el propósito de simular la evolución espaciotemporal de las concentraciones en una cámara de convección difusión, a partir de la solución analítica de las ecuaciones de campo. Tara eludir las dificultades al comienzo del proceso y confirmar los resultados obtenidos on la primera parte, se realiza una simulación ab-initio, desarrollando los correspondientes algoritmos a partir de un modelo matemático discreto (\<A proceso. A través de la simulación digital se investiga la dinámica durante la fase inicial, se confirman los resultados obtenidos y se extiende el análisis para casos en los que las condiciones iniciales son (espacialmente) no uniformes. Se hace uso de un graficador en tres dimensiones, para simular la evolución espacio-temporal de las concentraciones a partir de los resultados numéricos obtenidos de los algoritmos desarrollados en un lenguaje C.

2 SIMULACIÓN DE UN PROCESO DE ENRIQUECIMIENTO DE SOLUCIONES MEDIANTE UNA CÁMARA DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN Segunda l >! ;rlo: Simulación a partir do la solución numérica de las ecuaciones do campo (A) _ Introducción: El modelo del procoso de enriquecimiento do soluciones planteado en la primera parte de esta memoria conduce a resolver el siguiente problema de valores iniciales y condiciones en la frontera para el campo C(T,Í;) : dx y x o, con c(0, ) = c o para 0 <,, <, 1 [2] y C ( T, Ü ) - P. Í ^ ( t, 0 ) I3aj c ( t, l ) - P. - ( x, l ) I3bj pa El operador diferencial L p [] = -A [ J f A. ^L [ J permite reescribir la ecuación [1] así: -^ " L\C\ 14] Si c^( ) es la solución estacionaria que verifica L [c m ]=0 para todo t y las condiciones de borde [3], se puede poner

3 f (T, Aguí /"(t,5) ver J Cica: - r._ [ fj, f(ü,5) - c(o, ) - dx -alisface las condjciones de borde [3] y además se tiene lim f{x,i) = O Sean <p M ( ) las funciones propias normalizadas y los correspondientes valores propios del problema de STURM- LIOUVILLE : L [ <p ] = A,.<p, (p verifica las condiciones en la frontera [3]. En ese caso f{x,i) - C n (x). $ n ( ) [5J donde i con Cuando r > 0, los coeficientes c son proporcionales a e"" r. Como consecuencia la serie [5] converge puntual yuñiformemente a la función f para i en [0,1] y es derivable término a término respecto de r y de i todas las veces que se requiera.

4 Los coeficientes expresiones: c n (0) se calculan a partir de las cjo) - I e- p -«. f(o, ) -<t> n (í) -cí5 L6J Puesto c/ue ^(0,0 - c o - c_(5) = C '^' & - e - 1 resulta que las integrales [6] se pueden hallar en forma explícita, teniendo en cuenta que las funciones propias verifican: = y/2. e 2.senin.n.Z + & ) 2 AT n Con tg o n = (Para la expresión de c m ( ) y de las p funciones <p n ( )/ ver la primera parte de esta memoria,teniendo en cuenta que los coeficientes B n que allí aparecen están vinculados con los C (0) por las expresiones Considérese una integral de la forma i I - J<p( ).sen(mr$ \ aj d í donde (p(c) es una combinación lineal de e y e, como es el caso de las expresiones c.

5 Integrando por partes se obtiene: d 2 a> r>fr +<p ) d Por otra parte P 1 1 eos <p - ^O( ) y sen 0 = 1 + O( ), " 2 se tiene: I = 0( ; ). Los coeficientes C n, para n-> +, son 1 0( ) n Pero hasta que n no es de orden superior a P 2 la aproximación asintótica no es válida y los coeficientes decrecen bastante lentamente (algo más rápido que 1/n, pero menos que l/n z ). En $ = 1 y { = 0 la extensión periódica de <p(n) presenta un punto de discontiiiuidad, por lo que allí la serie converge a la semisuma de los límites por la izquierda y por la derecha, mientras que en los demás puntos converge hacia el correspondiente valor de la función (Tolstov, 1976). Las aproximaciones de Fourier sucesivas son funciones analíticas que en las proximidades de los puntos de discontinuidad de <p presentan porciones de variación cada vez más rápida cuanto mayor número de términos involucra.

6 Puesto que el cálculo del campo de concentraciones se efectúa en ^ = 0,97, (muy próximo al extremo distal de la cámara), en los instantes iniciales del proceso,cuando pesan mucho los coeficientes C y decrecen lentamente con el subíndice n, los errores acumulados por la inestabilidad mencionada, producen variaciones significativas en ios resultados del cálculo del campo. (B) Discretizacion ab-initio del problema. El campo C(r,O definido en el dominio D (t > 0, 0 < < 1) se sustituye po? una función reticular definida en la retícula bidimenstonal E hk, embebida en D de la forma usual. (El intervalo 0 < í < 1 se divide en n subintervalos a través de los puntos = n.h con n = 0,l,2,...,N. El paso de cálculo h verifica N.h = 1. En forma análoga, el intervalo z > 0 se divide en subintervalos delimitados por los puntos z = m.k, con m = 0,1,... En este caso E h t está definida por los puntos nodales ( r, ). d Ak En la ecuación de evolución [4] se sustituye por, dz k con error O(k), y el operador L se sustituye por el operador 2.h < vh) + Ah vh [7] con error O( h"). (En estas expresiones A y V representan las diferencias de primer orden hacia adelante y hacia atrás, respectivamente, con paso h en el espacio o k en el tiempo, según corresponda). Como consecuencia, si u(mk,nh) = u n representa la función reticular, se sustituye la ecuación de transporte por el siguiente correlato discreto: donde, por definición AJu] = 0 [8]

7 A, - _.A L, [91 l J h, k p,h Después de algunos reordenamientos, de [8] se obtiene la siguiente ecuación para el cálculo de la función reticular: u = p. u 4p.u +p.u F101 n>u,n r r r L J l «,nh 2 m,n 3 m,n~l para n = 1,2,...,N-1, donde los pesos p x, p 2 y p 3 verifican: 1 h 2o p = o.(_ - _) [10a], p = 1 - _ [10b], 1 2 P 2 P 1 h k p = a. ( _ i _) [10c] y o = _ [10d] P 2 h2 La condición inicial es: para n =0,1,2,...,N»0.n = C 0 Las condiciones de borde, del tipo de Robin (flujo neto nulo en este caso) se pueden formular así, con error O(h): i"] p - u i,o = U Í,I - u i,o r U i,n U i,n-l r. _,, P.u in = _ [12b]

8 (Añadiendo dos columnas auxiliares a la retícula, a un lado y otro de las columnas (m,0) y (m,n) respectivamente, se pueden escribir las condiciones de borde como diferencias centradas, con error 0(h 2 ). No obstante, las condiciones [12] bastan para el propósito de este trabajo: estudiar las primeras etapas del proceso de enriquecimiento en la cámara de convección-difusión). Para que la ecuación [10] asigne valores no negativos a la fila m+1-ésima de la función reticular, siempre que sus valores en la fila m-ésima sean no negativos, los pesos deben ser positivos. Esto equivale a imponer las restricciones k P 2 o - -._<_ [13a] y h < _ [13b] h' 2 P De la definición de los pesos se desprende que su suma vale siempre 1. Esto no es más que el correlato discreto de la ley de conservación de la masa, que se encuentran implícita en la ecuación a delívadas parciales para el campo de concentraciones. d Si A = - L, el error local de aproximación al P dz sustituir el operador A por el A h, para la solución c de la ecuación A[c] = O viene dado por R h [c] = A h [c] - A[c] = A h [c]. Desarrollando c(r+k, ) y c(r, ±h) en serie de Taylor en torno al punto (t t l) se obtiene, después de algunas transformaciones: -, o d? c l(3c H h [c] = h 2 ( (tigjk^) + 2 dz 2 3 at 3 12 dz' h)) = O(h z ) [14], donde 0 1# 0 2, 0 3 son números comprendidos entre 0 y 1 8

9 Si u verifica A h [u] = O, definiendo la función w(mk,nh) = c(mk,nh) - u(mk,nh), se obtiene A h [w] = RJc] [15] De esta última ecuación se desprende que: w, = P,' w, + P,»w + p,.w + k.r [161 iml.n r ] m.nu r 2 m.n r ] m.nl mn donde R es el valor de R h [c] en el punto nodal (mk,nh), y n = 1,'S,..., N-l. En los puntos frontera w verifica, con un error 0(h), las mismas condiciones de borde [12] que la función reticular u. Si u y c verifican las mismas condiciones iniciales en los nodos (O,nh), teniendo en cuenta que las derivadas parciales que aparecen en la expresión de R h [c] están acotadas en 0 < t < T, 0 < í < 1 (Copson, 1975), a' partir de la ecuación [15] se puede estudiar la convergencia de la función reticular u al campo c cuando h i 0 y o se encuentra adecuadamente restringida. El estudio de la estabilidad del método se puede hacer, como es usual, empleando la ecuación básica del esquema (ecuación [10]. Las condiciones en la frontera del tipo de Robin complican el estudio de la estabilidad y la convergencia del esquema de cálculo (Smith, 1978) y conducen a imponer a o una condición más restrictiva que la asociada con la no negatividad de los pesos. (Ver partera (C) y (D)). L J

10 (C) Simulación Digital del Campo Aplicando el método descripto, se desarrolló un algoritmo en lenguaje C para encontrar la variación de la concentración de una sustancia dentro de la cámara. Los cálculos se efectuaron para los siguientes valores de k, h y P k k/p.h TT 8n valo 0 < 0 < x < t < 1 1/2 Los datos generados por la rutina C, fueron utilizados por el utilitario "SURFER" para obtener los resultados que se muestran a continuación. En la fig. 1 se muestra la variación de la concentración de una sustancia con número de Péclet igual a 2n. Inicialmente, la sustancia se distribuye en forma homogénea dentro de la misma, por lo cual se tomó arbitrariamente el valor constante 0,5. Una vez que se hace pasar el solvente a través de ella, se observa que a medida que transcurre el tiempo, la sustancia se concentra en el extremo distal de la cámara, y se depleta en el extremo proximal. Vale la pena hacer notar la forma exponencial del estado estacionario. Si bien el método no se comporta en forma adecuada cuantitativamente para valores del tiempo no próximos a cero, debido al error acumulado considerablemente significativo; sí lo hace cualitativamente. En la parte superior de la figura, se ve una extensión en el tiempo hasta el valor 1, para observar claramente este hecho. En las figuras 2 y 3, se ven los resultados análogos para sustancias con números de Péclet iguales a 4ÍT y 8n respectivamente. Puede observarse como la concentración en el extremo distal crece con mayor rapidez para valores crecientes de P, al tiempo que se depleta también con mayor velocidad en el extremo proximal. 10

11 Finalmente, en la figura 4, se ve el cociente de concentraciones de dos sustancias con números de Péclet iguales a 2IT y 8nr. Puede observarse que para un valor de \ - 0,98, la existencia de un pico pronunciado en relación a otros puntos de la cámara. Todos los procesos de cálculo, generación de grillas y representaciones gráficas que se muestran en este trabajo, fueron realizados en un PC compatible 386 a 20 MHz. (D) Discusión y Conclusiones (1) En lo que se refiere a la simulación a partir de la solución analítica de la ecuación a derivadas parciales r puede decirse que es un principio asintóticnmente exacta., puesto que se conoce la solución en estado estacionario y se conoce el término transitorio en forma exacta. (Naturalmente al efectuar los cálculos correspondientes en el computador se introducen errores, pero éstos no son problemáticos). No obstante, al principio del proceso, el cálculo utilizando una combinación lineal finita de funciones propias para aproximar el término transitorio de la solución analítica, exibe una gran inestabilidad numérica para valores de próximos a 0 o a 1. Esto parece originarse, en última instancia, en la discontinuidad que presenta la condición inicial en los puntos { = 0 y { = 1. En el instante inicial, la sucesión de aproximaciones finitas mediante funciones propias del problema de Sturm-Liouville presenta dos características destacables: una, relacionada con la variación rápida de cada aproximación en un pequeño intervalo entorno a esos puntos extremos, para pasar de las proximidades del límite por la derecha a las proximidades del límite por la izquierda en los puntos de discontinuidad. Estas características se arrastran para valores del tiempo positivos pero pequeños respecto de los tiempos de relajación de las exponenciales involucradas en la aproximación utilizada para el cálculo. Su efecto se desvanece con el paso del tiempo. 11

12 (2) La simulación a partir de la discretización ab-initio del problema no presenta estas dificultades de inestabilidad numérica en el inicio del proceso, pero con el esquema de cálculo adoptado no cabe esperar una estimación adecuada del comportamiento asintótico. Esto no es necesario, puesto que se lo puede calcular a partir de la solución analítica. Una elección de los pasos de cálculo h y k, teniendo en cuenta que las condiciones de borde imponen condiciones más restrictivas sobre ellos, permite simular las etapas iniciales en toda la extensión de la cámara y obtener así la fase transitoria por exceso en el coeficiente de enriquecimiento relativo que es el principal motivo del estudio efectuado. Dicha fase transitoria se obtuvo entonces, tanto a través de la simulación empleando la solución analítica como a través de la simulación empleando un modelo matemático discreto desde el inicio. (3) Las condiciones en la frontera del tipo de Robin introducen dificultades relacionadas con la estabilidad y la convergencia. Estas serán consideradas especiales en otro trabajo. No obstante es importante señalar que el campo de flujos verifica una ecuación a derivadas parciales del mismo tipo que la que rige el campo de concentraciones, pero con condiciones en la frontera de Dirichlet. A partir del campo de flujos se puede hallar el campo de concentraciones, simplemente resolviendo una ecuación diferencial de primer orden ordinaria y lineal. Esta observación es la base de un método de solución numérica de ecuaciones parabólicas que presenta varias ventajas significativas respecto del enfoque generalmente utilizado para abordar problemas del tipo que aquí se han estudiado. (4) Los resultados obtenidos en esta memoria y en la memoria precedente sugieren que aún cuando los números de Péclet difieran bastante, el aumento en el coeficiente de enriquecimiento no es muy significativo e involucra una porción pequeña de la cámara, adyacente a la barrera distal. Cualquier modelo matemático más realista, que tenga en cuenta efectos cruzados en la difusión, variaciones radiales en el flujo hidrodinámico con sus efectos sobre el transporte, etc., probablemente conduzca a que los resultados de la simulación disminuyan la amplitud de la fase transitoria por exceso. 12

13 El método empleado en este caso para evaluar la factibilidad de modifica el proceso clásico de enriquecimiento convectivo-difusivo en estado estacionario, introduciendo una extracción en un instante apropiado durante la fase transitoria, es un buen ejemplo de una forma práctica de proceder al descarte de ideas mediante el empleo de procedimientos poco costosos. Un método general para evaluar proyectos industriales basados en innovaciones de procesos físicos o físicoquímicos fue presentado por Suárez, Bertolotti y Artucio (1992). Ese método involucra, en sus primeras etapas, el recurrir a técnicas de modelización y simulación digitales del tipo de las utilizadas en este trabajo, enfatizando precisamente el descarte de ideas inviables o de viabilidad dudosa. Bibliografía Copson,E. Smith, G. (1975) "Partial Differential Equations" capítulo 12. (Cambridge University Press, London, U.K). (1978) "Numercal Solution of Partial Differential Equations" (Oxford University Press, Oxford, U.K.). Suárez Antola, R., Bernasconi, G. y Bertolotti, A. (1992) "Simulación de un proceso de enriquecimiento de soluciones mediante una cámara de conveccióndifusión. Primera Parte" (presentada a las 3 eras Jornadas de Informática, IEEE, Montevideo, Uruguay). Tolstov, G. (1976) "Fourier Series" capítulo 9 (Dover, N.Y., U.S.A.). 13