III: Geometría para maestros. Capitulo 2: Transformaciones geométricas

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Esperanza Contreras Juárez
hace 7 años
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1 III: Geometría para maestros. apitulo : Transformaciones geométricas SELEIÓN E EJERIIOS RESUELTOS SITUIÓN INTROUTORI 1. Hallar las figuras transformadas del rectángulo representado en el sistema de coordenadas cartesianas de la figura por la aplicación sucesiva de los siguientes movimientos: a) Una traslación de vector cuyo origen es el punto de coordenadas (0,0) y extremo el punto de coordenadas (4,4). b) Un simetría axial de eje OX c) Un giro cuyo centro de giro es el punto de coordenadas (6, 5) y amplitud de -90º Y La figura adjunta muestra la solución. La figura es la transformada de la por la traslación. La figura es la figura transformada de la por la simetría La figura es la transformada de la por el giro. O X 1

2 EJERIIOS: Ejercicio: 5. eterminar los ángulos de las simetrías rotacionales de estas figuras: a) Suponemos que se trata de un hexágono regular, la figura coincidirá globalmente consigo misma al girar 0º, 60º, 10º, 180º, 40º, 300º y 360º. ualquier otro giro obtenido multiplicando estas amplitudes por cualquier número entero se considera la misma simetría rotacional. b) 0º, 180º, 360º c) Suponemos que se trata de un eneágono regular, por tanto el ángulo central mide 40º. Luego las simetrías rotacionales serán: 0º, 40º, 80º, 10º, 160º, 00º, 40º, 80º, 30º, 360º. d) Se trata de una figura circular. ualquiera que sea la amplitud de giro aplicada la figura coincidirá consigo misma. Luego tiene un número ilimitado de simetrías rotacionales. 7. Supongamos que dos segmentos cualesquiera se miden con una unidad u 1 y se calcula la razón entre ambos. Qué le ocurre a dicha razón si ambos segmentos se miden con otra unidad u tal que u =.u 1? Sean los segmentos y. l medir con u 1 se tiene = x u 1 ; = y u 1. La xu1 x razón entre ambos segmentos será:. omo se dice que u =.u 1, yu1 y sustituyendo el valor de u 1 por su valor en función de u y simplificando se comprueba que la razón de las medida de dichos segmentos no varía: u x. x u y. y

3 10. ividir un segmento en 3 partes de igual medida Trazamos una semirrecta a partir de en cualquier dirección. Sobre dicha semirrecta marcamos tres puntos equidistantes. Unimos y trazamos paralelas a este segmento por los puntos marcados sobre. Los puntos de corte de dichas paralelas con son equidistantes por el teorema de Thales. 11. ividir un segmento en la razón :3 Interpretamos que se desea marcar sobre un punto de modo que la razón / sea /3. ividimos el segmento en cinco partes iguales, con el método anterior y marcamos a la distancia de. 13. Si la razón entre la diagonal de un rectángulo y su lado mayor es 5:4, entonces, en qué razón están el lado mayor con el lado menor del rectángulo? Explica el procedimiento realizado. Solución 1: l trazar la diagonal del rectángulo se forma un triángulo rectángulo. La razón 5:4 entre la hipotenusa y el cateto mayor se cumple en el caso de que el otro cateto mida 3 (terna Pitagórica). Luego la razón entre la hipotenusa y el lado menor será 5:3 Solución : Se puede razonar de manera algebraica: 5 5 ; c. se puede expresar en función de 4 4 aplicando el teorema de Pitágoras : Luego, La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 19 m. Si en el mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 5 m de altura, mide 1 5 m, uál es la altura del rascacielos? 3

4 El paralelismo de los rayos solares permite aplicar a esta situación el teorema de Thales: E.5 19x.5 ; ; 30 F E.5m 19m 1.5m F 15. un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 3 m de longitud que consta de 80 peldaños distribuidos uniformemente. l apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo. a) Qué altura del edificio alcanzará la escalera? b) Si el fuego se halla en la quinta planta, y cada planta tiene 4 5 m de altura, podrán ser rescatados los enfermos que allí se encuentren? c) Puesto que las llamas ascienden hacia arriba, es posible con dicha escalera evacuar las siete plantas de que consta el hospital? a) El primer peldaño de la escalera está a 30 cm; como los peldaños están igualmente espaciados también lo estarán sus respectivas proyecciones sobre la pared del edificio; luego la altura total que alcanzará será: 30cm x 80 = 400cm; o sea, 4 m. b) La quinta planta estará a 5 x 4.5m = m. omo la altura a la que llega es de 4 m, se pueden rescatar a los enfermos. c) La séptima planta está a 7 x 4.5m = 31.5m, luego no se pueden evacuar todas las plantas cm 4

5 TLLER MTEMÁTIO: 7. En la figura adjunta, el cuadrado '''' se ha obtenido girando el cuadrado 45º alrededor del punto O. (el segmento = '') F G a) ómo son los triángulos FG, G'H, HI, I'J, JK,...? b) esmostrar que los puntos, ',, ',, ',, ' están sobre una misma circunferencia. c) Es regular el octógono EFGHIJKL?. Justificar la respuesta. d) uántos ejes de simetría tiene esta figura? E L K O J H I a) Son triángulos rectángulos isósceles iguales. Si tomamos la longitud del lado del cuadrado como unidad, la diagonal vale ; según esto - = -1. Por tanto la altura del triángulo FG es (1/)( -1) b) La distancia de dichos puntos al centro es siempre la mitad de la diagonal del cuadrado; luego equidistan del centro. c) La diferencia entre la diagonal y la lado ( 1) es igual a la distancia entre FG. Es la misma en todos los lados del octógono; luego es un octógono regular. d) Ocho ejes de simetría axial. 5

6 8. Una empresa ha diseñado un juego para niños que permite armar figuras como la del dibujo a). Las piezas y sus medidas son las indicadas en b) Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio: lo que mide 5 cm pasará a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese criterio para mantener la proporción. iseñar en cartulina las piezas del juego ya ampliado. nalizar y comentar los procedimientos utilizados. uál fue la pieza que ofreció mayor (o menor) dificultad para rehacerla? astará multiplicar cada medida por el factor de escala 8/5. e este modo, por ejemplo, los rectángulos de medidas 10cm x 3cm pasarán a medir, 16cm x 4.8cm 6

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