XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Transcripción

1 XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto la magnitud como la dirección. De modo que será conveniente trabajar, a partir de ahora, con vectores. Consideremos un automóvil transitando por una carretera curva, aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la carretera, para situarlo deberemos conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide esa distancia. Representaremos el caso mediante una curva arbitraria y un punto sobre ella. Al punto O lo llamaremos origen, y desde éste al punto trazaremos un vector, el vector de posición. Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la diferencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el desplazamiento también es una cantidad vectorial, tal que r + r = r r = r r Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-

2 miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud recorrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas. r s Si el lapso considerado es infinitamente pequeño, la razón del desplazamiento al tiempo será la velocidad de la partícula en ese instante. Ahora bien, si la segunda posición se acerca todo lo posible a la primera, la línea que las una, que será la dirección tanto del desplazamiento como de la velo-cidad, será tangente a la trayectoria. Esta propiedad es de especial impor-tancia en el estudio de la Cinemática de la partícula. Y tiene la velocidad otra propiedad igualmente importante: la magnitud del desplazamiento es ahora del mismo tamaño que la lon-gitud recorrida por la partícula. Es decir r = s v = dr ds ; v = v = ds dt Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad. La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de dirección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad empleando distintos sistemas de referencia. 138

3 Ejemplo. La figura representa la vía de un tren de juguete. El tren parte del punto A y avanza conforme a la expresión s = 0.1 t 2, si t se da en s, s es la distancia en m del tren al punto A, medida sobre la vía. Tomando dicho punto A como origen, determine: a) la posición y la velocidad del trenecito cuando t = 2 s; b) Su velocidad media durante los dos primeros segundos. c) Su posición y su velocidad cuando t = 5s. d) El tiempo que requiere para volver al punto de partida. a) Dado que s = 0.1t 2, y que v = ds dt, entonces v=0.2t.para t = 2s, s = 0.4 yv = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la vía: b) Puesto que v m = r t r = 0.4 m ; v = 0.4 m s v m = 0.4/2 v m = 0.2 m s c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtiene s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1 m de la circunferencia BC. El radio que une su posición con el centro de la curva forma un ángulo θ = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 rad con la vertical, es decir, de Para determinar tanto la magnitud como la dirección del vector de posición r calculemos las distancias x y y: 139

4 x = sen 71.6 = 2.26 y = cos 71.6 = Por tato, r = Y tan β = 0.548/2.26 r = 2.33 m 13.6 v = 1 m s 71.6 d) Puesto que s = 0.1t 2, y se desea conocer el tiempo en que vuelve a pasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la vía: s = 2π(0.8) + 2(1.5) = 8.03 Por lo que 8.03 = 0.1t 2, de donde t = 8.03/0.1 t = 8.96 s Componentes cartesianas. Cinemática Consideremos una partícula moviéndose en una curva arbitraria y elijamos un sistemas de referencia cartesiano, como se muestra en la figura. La posición de la partícula en un instante arbitrario queda perfectamente determinada mediante un vector que una el origen con la partícula; si las coordenadas de ésta son x y y. entonces el vector de posición será r = xi + yj 140

5 Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y j tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como sigue. v = dx dy i + dt dt j v = v x i + v y j a = dv x dt i + dv y dt j a = a x i + a y j Ejemplo. Las coordenadas de un buque que se mueve en las proximi-dades de un puerto son x = t 3 30t t yy=t 2 10t+600, donde tanto x como y resultan en m si t se da en s. Determine la posición, velocidad y aceleración del buque cuando t=10 s. Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo hicimos en el caso del movimiento rectilíneo. Las componentes de la velocidad y la aceleración los obtendremos derivando las de la posición. 141

6 x = t 3 30t t v x = 3t 2 60t a x = 6t 60 y = t 2 10t v y = 2t 10 a y = 2 Para t=10 x = = 800 v x = = 20 a x = = 0 y = = 600 v y = = 10 a y = 2 Comparando los resultados r = 800i + 600j r = tan α = r = 1000m 36.9 v = 20i + 10j v = tan β = a = 2j v = 22.4 m s 26.5 a = 2 m s 2 Ejemplo. El movimiento curvilíneo de una partícula se puede definir mediante las expresiones y = 25 t 2 con una vx=22 8t, donde y está en in, vx en in/s y t en s. 142 Se sabe que cuando t=0, x=0. Diga cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y=0 y dibuje su trayectoria.

7 Para obtener la ecuación de x tendremos que integrar vx x = (22 8t)dt = 22t 4t 2 + c Como en t=0, x=0, entonces c=0 x = 22t 4t 2 Igualando y con 0 Para t = 5 v x = 22 8t a x = 8 y = 25 t 2 v y = 2t a y = 2 0 = 25 t 2 ; t = 5 v x = 18 ; v y = 10 v = 20.6 in s 29.1 a x = 8 ; a y = 2 a = 8.25 in s 14 y Para dibujar la grafica tabularemos x y y x t x y

8 Componentes cartesianas. Cinética De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al producto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene la dirección de esa aceleración por tanto, podemos escribir las siguientes ecuaciones: -9- Ejemplo. Un jugador de golf golpea una pelota en la dirección mostrada en la figura con una rapi-dez de 50 m/s, desde una sobreele-vación de 12 m. Despreciando toda resistencia del viento, determine: a) el tiempo en que la bola alcanza la altura máxima; b) la altura máxima que al-canza; c) el tiempo en que llega al suelo; d) la velocidad con que llega, e) el alcance horizontal D de la bola. Y escriba la ecua-ción cartesiana de la trayectoria. En un instante cualquiera del movimiento, el diagrama de cuerpo libre de la pelota es el siguiente: F y = ma P = P g a a = g 144

9 O sea, que en cualquier posición la aceleración de la pelota es igual a la gravedad. Elegimos ahora un sistema de referencia cartesiano y escribimos las ecuaciones del movimiento: En x x a x = 0 v x = 50 ( 4 5 ) = 40 x = 40 t En y y a y = 9.81 a) La pelota alcanza la altura máxima cuando vy=0 0 = t t = v y = 50 ( 3 ) 9.81 t = t 5 y = t t2 t = 3.06 s En ese tiempo;y será la altura máxima y = (3.06) (3.062 ) y = 57.9 m 145

10 b) Que llegue al suelo significa que y=0 0 = t t t 2 60 t 12 = 0 Las raíces de ésta ecuación son t 1 = 6.31 ; t 2 = La negativa no significa nada en este problema. t = 6.31 s c) Al llegar al suelo v x = 40 v y = (6.31) = 31.9 v = tan θ = v = 51.2 m s 38.6 La ecuación cartesiana de la trayectoria, que es de la forma y = f(x), la obtendremos despejando t de la ecuación de x y sustituyendo en la de y. t = x 40 y = ( x 40 ) ( x 40 ) 2 y = x 3.07(10 3 )x 2 Que es la de una parábola cuyo eje es paralelo al de las yes. 146

11 Ejemplo. Se desea que un proyectil que se disparará en dirección normal a la ladera mostrada llegue exactamente al punto B. Diga con qué rapidez debe disparase para lograrlo. Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrirá la aceleración de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en dirección de la ladera y emplearemoslas ecuaciones del movimiento. En x x En y y a x = 32.2 sen 30 = 16.1 v x = 16.1 t x = 8.05 t 2 a y = 32.2 ( 3 2 ) = v y = v t 3 y = v 0 t 8.05 t 2 3 En B, x = 750 ; y = = 8.05 t 2 t = = v 0 (9.65) 8.05(9.65) 3 v 0 = 8.05(9.65) 3 v 0 = ft s 147

12 Componentes intrínsecas. Cinemática Este apartado es, sin lugar a dudas, el más importante de la cinemática. Las componentes de la aceleración que ahora estudiaremos están relacionadas íntimamente con las características esenciales del movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio de dirección. La figura representa una partícula moviéndose en una curva cualquiera. En dirección de su velocidad, es decir, tangente a la trayectoria en ese punto, elegimos un eje de referencia, que llamaremos tangencial. Perpen-dicular (es decir, normal) a él toma-mos el otro eje de referencia, que será el eje normal, y se dirige hacia el cen-tro de la curva. Los vectores unitarios en esas direcciones serán el vector unitario tangencial, ety el vector uni-tario normal en. Expresada en forma polinómica, la velocidad será v = ve t Derivaremos esta expresión con el fin de obtener la aceleración de la partícula. Puesto que tanto v como et son variables a = dv dt e t + de t dt v El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero 148

13 para comprender el término det/dt derivaremos primero el vector unitario tangencial respecto a su dirección. Como se puede apreciar en la figura, si dicho vector unitario se desvía un ángulo d, su punta describe un arco ds, cuya longitud es igual al producto del radio por en ángulo: dado que el radio es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d = ds; ade-más la magnitud de det = ds, es decir, d = det por lo que podemos afir-mas que la magnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d = en. Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente: a = dv dt e t + de t dθ dθ dt v a = dv dt e t + v dθ dt e n a = dv dt e t + v dθ ds ds dt e n en donde ds/dt = v, y d /ds = 1/, en donde es el radio de curvatura, ya que el ángulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra a continuación: dθ = ds ρ Podemos escribir finalmente que a = dv dt e t + v2 ρ e n que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes perpendiculares entre sí. La primea la componente tangencial es la razón de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual 149

14 al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y la dirección de la aceleración se puede obtener mediante las expresiones a t = dv dt ; a n = v2 ρ a = a t 2 + a n 2 tan θ t = a n a t Ejemplo.Un automóvil comienza a moverse desde el punto A de una trayectoria circular de 400 ft de radio conforme a la expresión s = 4t 2, donde s es la longitud que recorre sobre la pista en ft, y t el tiempo en s. Calcule el tiempo que el automóvil tarda en recorrer un cuarto de la pista y diga cuáles serán su velocidad y su aceleración en ese instante. 400 A B v De la expresión de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la componente tangencial de la aceleración en cualquier instante. s = 4t 2 v = 8t a t = 8 El cuarto de pista, es decir, el arco AB, mide Entonces s = θr = π (400) = 200π 2 200π = 4t 2 t = 50π t = 12.53s Y en el instante v = 8(12.53) 150

15 v = ft s a n = = 25.1 a t = 8 a = tan θ = a = 26.4 ft s Ejemplo.Un motociclista que reduce uniformemente su rapidez, pasa por A a 90 km/h y llega al fondo B de la curva vertical B, 50 m adelante de A, a 54 km/h. Sabiendo que en B el radio de curvatura de la carretera es de 100 m, diga cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de la motocicleta en ese punto. Como la variación de la rapidez es constante, de a t = v dv ds obtenía a t = v 2 2 v 1 2 2s Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s 151

16 a t = (50) = 4 a n = v2 ρ = = 2.25 a = tan θ = a = 4.59 m s 29.4 Componentes intrínsecas.cinética Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de fuer-zas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de Newton, podemos escribir F t = ma t F n = ma n Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales problemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al plano del movi-miento, que cumple con la condición F z = 0 Algunos textos llaman binormal al eje que nosotros hemos denominado de las zetas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como al normal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo. 152

17 - Ejemplo. Péndulo cónico. Un péndulo de 5 lb de peso atado a una cuerda de 2 ft de largo, que forma un ángulo de 25 con respecto a la vertical, describe un cono. Determine la tensión de la cuerda y la rapidez del péndulo. 2 5# 25 Tomando el plano que contiene la cuerda y el péndulo, dibujaremos el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano del dibujo. F z = 0 Tcos 25 5 = 0 T = 5 cos 25 T = 5.52 lb F n = ma n T sen 25 = r El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el seno de 25: Osea 5 5 sen 25 = cos ( v 2 2sen 25 ) v 2 tan 25 = 64.4sen 25 v 2 = 64.4(sen 25)(tan 25) v = 3.56 ft/s v 2 153

18 Ejemplo.Diga cuántos centímetros debe sobreelevarse el riel exterior de una vía curva de 500 m de radio, si la velocidad de diseño es de 180 km/h. La reacción de la vía debe ser perpendicular al asiento de los durmientes. φ m h Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que circula a la velocidad de diseño. Elegimos un sistema de referencia tal que el eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendicular al plano del dibujo. F y = 0 N cos φ P = 0 N = P cos φ F n = ma n Nsen φ = P v 2 g r Como 180 km / h = 50 m / s P tan φ = P tan φ = Y mediante trigonometría calculamos la sobreelevación h h = 1.435sen 27 ; φ = 27 h = 0.65 m 154

19 Ejemplo.Un péndulo simple de 2 lb de pesoy 4 ftde largo, oscila en el plano vertical. El ángulo máximo que forma la cuerda con la vertical es de 35. De-termine: a) la tensión de la cuerda cuando la velocidad del péndulo es nula; b) la velocidad máxima del péndulo y la tensión correspondiente de la cuerda. 4 2 # La velocidad es nula cuando el ángulo es de 35; también es nula en ese instante, la componente normal de la aceleración. F n = 0 T 2 cos 35 = 0 T = 1.64 lb Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del péndulo en una posición arbitraria, para determinar su rapidez. F t = ma t 2 cos θ = 2 dv v g ds g cos θ ds = v dv Para relacionar el ángulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco diferencial de la trayectoria. 155

20 dθ = ds 4 ds = 4dθ Sustituyendo 4g cos θ dθ = v dv 4g cos θ dθ = v dv 4g sen θ = v2 2 + C si θ = = 55 ; entonces v = 0 4g sen 55 = C 4g sen 55 = v g sen 55 v = 8(32.2)(sen θ sen 55) La rapidez máxima se alcanza cuando senθ es máximo, es decir θ= 90 v = En esa precisión F n = ma n T 2 = 2 g ( ) T = 2.72 lb 156

21 Ejemplo.Una camioneta de 2000 lb que reduce su rapidez a razón de 3 ft/s 2 pasa por la cima de una curva vertical de 200 ft de radio con una rapidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud y la dirección de la reacción del pavimento sobre la camioneta. Cuál es la máxima rapidez con que puede circular un vehículo por ese punto, sin despegarse del camino? 2000 Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la cima. F n = ma n v N = 2000 g 200 Como 30 mi / h = 44 ft / s 2000 N = 10 g (442 ) N = = 1399 F t = ma t F r = 2000 g ( 3) F r = = La reacción es R = tan θ = R = 1411 lb

22 Conforme aumenta la rapidez del vehículo la magnitud de la reacción normal disminuye. A la máxima rapidez con la que puede recorrer la curva, corresponde que la normal sea nula. F n = ma n 2000 = 2000 g 2 v máx 200 v máx = 200(32.2) v máx = 80.2 ft/s v máx = 54.7 mi/h Si el conductor intentara circular con una velocidad mayor, se separaría del pavimento. Ejemplo.A 0.8 m del centro de un disco se coloca un pequeño cuer-po. Al girar el disco alrededor de su centro, el cuerpo aumenta su rapidez uniformemente a razón de 0.3 m/s 2. Sabiendo que los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cuerpo y el disco son 0.5 y 0.4, respectivamente, diga cuánto tiempo después de que el disco haya comenzado a moverse, el cuerpo se deslizará. 0.8 m Comenzaremos calculando la aceleración del cuerpo en función de tiempo. a t = 0.3 v = 0.3t a n = 0.3t

23 a = ( 0.3t ) Sabiendo que la componente normal de la reacción del disco es igual al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en planta en donde la en donde la fuerza máxima de fricción estática es F = μ s N = 0.5N Sabiendo que la fuerza de fricción y la aceleración tienen la misma dirección, escribimos: F = ma 0.5P = P ( 0.3t ) [(9.81)(0.5)] 2 = ( 0.3t ) 0.09t = [(9.81)(0.5)] t 4 = 64 9 {[(9.81)(0.5)]2 0.09} t = 3.61 s 159

24 Ejemplo.Desde la parte más alta de un iglú semiesférico de 12 ft de radio, comienza a deslizarse un osezno. Considerando que tanto la velocidad inicial como la fricción son nulas, a qué altura h se separará el osezno del iglú? 12 ft h Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante cualquiera de su movimiento sobre el iglú. Por otro lado: F t = ma t P sen θ = P dv v g ds g sen θ ds = v dv En donde dθ = ds 12 ds = 12dθ 12 g sen θ dθ = v dv 12g cos θ = v2 2 + c Si θ = 0 ; cos θ = 1, v = 0 12g = c 12g cos θ = v2 2 12g v 2 = 12g(1 cos θ) 2 v 2 = 24g(1 cos θ) F n = ma n N + P cos θ = P g 160 v 2 12

25 Pero N = 0 en el instante en que el osezno está a punto de abandonar el iglú. Observación P cos θ = P 24g(1 cos θ) g 12 cos θ = 2(1 cos θ) cos θ = 2 2 cos θ 3 cos θ = 2 cos θ = 2 3 De la geometría: h = 12 cos θ = 12 ( 2 3 ) h = 8 m En el problema anterior, del osezno, y en el péndulo simple, obtuvimos las siguientes expresiones para la rapidez de los cuerpos. v 2 = 24g(1 cos θ) v 2 = 4g(1 cos 35 ) en donde el 24 y 4 son los dobles de los radios de las trayectorias. O sea, que, generalizando v 2 = 2gr(1 cos θ) Además, r(1 cos θ) es h, según se muestra en la figura de modo que se puede escribir 161

26 v 2 = 2g h v = 2g h Tal expresión vale siempre que la partícula baje de nivel por la acción de su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya fricción. Serie de ejercicios de Cinemática y Dinámica MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x 3, de acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tanto x como y están en in y t en s. Cuál es su rapidez cuando t = 4 s? (Sol. 396 in/s) 2. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x 3 3x conforme con la relación x = t 2 t, donde si t está en s, tanto x como y resultan en cm. Calcule su velocidad y su aceleración cuando t = 1 s. (Sol. v = 3.16 cm/s 71.6º; a = 6.32 cm/s2 71.6º) 3. Un muchacho situado al borde de un precipicio lanza una piedra con una velocidad de 25 m/s formando un ángulo de 30º abajo de la horizontal. Si la profundidad del lugar en que cae la piedra, respecto al nivel del que fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qué tiempo tarda la piedra en caer; b) el alcance hori-zontal de la piedra; c) con qué ve-locidad llega la piedra al suelo. (Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m; c) 50.9 m/s 64.8º) m/s 100 m

27 4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ángulo de 25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la ecuación cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire. (Sol. a) s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x 8.51(10) -5 x 2 ) 5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una velocidad inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, con qué ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento? (Sol. 22.8º ó 67.2º) 6. Un aficionado patea un balón de futbol, y le imprime una velocidad inicial de 20 m/s, formando un ángulo de 45º con el campo; pero el campo tiene una inclinación de 15º respecto a la horizontal. Cuál es el alcance R del balón? (Sol m) 20 m/s 45 R La distancia que recorre una partícula, medida a lo largo de una trayectoria curvilínea, en ft, es s = t 3 16t, donde t está en s. Cuando t = 4 s, la partícula se encuentra en un tramo cuyo radio de curvatura es de 32 ft. Calcule la magnitud de la aceleración lineal de la partícula en dicho instante. (Sol. 40 ft/s 2 ) O C 32 S 8. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h a m de altura, describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. Cuál es la magnitud de su aceleración lineal? (Sol. 50 m/s2) 163

28 9. Un ciclista da una vuelta completa a una pista circular en un lapso de 40 s. Su rapidez se muestra en la gráfica de la figura. Determine: a) la longitud y el radio de la pista; b) la magnitud de la aceleración lineal del ciclista cuando t = 2 y cuando t = 30 s. (Sol. a) 360 m y 57.3 m; b) a2 = m/s 2 ; a30 = m/s 2 ) v (km/h) t (s) 10. Mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto de milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en 16 s, cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al principio y al fin de dicho lapso? Qué distancia recorre en esos 16 s? (Sol. ao = 6.48 ft/s 2 ; a16 = 3.12 ft/s 2 ; s = 1056 ft) 11. Un automovilista ingresa en una curva vertical con una velocidad de 72 km/h y aplica los frenos de modo que, reduciendo su rapidez uniformemente, se detiene 50 m adelante. Sabiendo que el radio de curvatura es constante en ese tramo y que la aceleración del automóvil al aplicar los frenos es de 6 m/s 2, de-termine: a) el radio de la curva; b) la magnitud de la aceleración del automóvil al detenerse. ρ (Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s) 164

29 12. Un ciclista recorre una pista circular horizontal con una rapidez constante de 12 m/s. Si en una longitud de 80 m el ciclista se desvía un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el radio de la pista; b) cuáles son las magnitudes de las componentes normal y tangencial de su aceleración; c) cuál es la magnitud de su aceleración lineal. (Sol. a) m; b) an = m/s 2 ; at = 0; c) a = m/s) 80 m La figura representa unas canastillas de feria. El juego gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Cuáles son las magnitudes de la velocidad y de la aceleración lineales de cualquiera de las canastillas? (Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s 2 ) Suponiendo que la Tierra estuviera dotada exclusivamente de movimiento de rotación, cuál sería la aceleración de un cuerpo situado en la ciudad de México? Considere que la latitud de México es 19º norte, que la Tierra da una vuelta en 24 h y que su radio medio mide 6370 km. (Sol cm/s 2 ) ϴ DF

30 15. El pequeño jet de la figura viaja horizontalmente con rapidez constante de 540 km/h y tarda 4 s en desviar su curso 45º. a) Determine la velocidad angular del vector velocidad lineal del jet. b) Calcule la magnitud de la aceleración lineal del jet durante dicho lapso. c) Diga cuál es el radio del arco de circunferencia que describe al virar. (Sol. a) rad/s; b) 29.5 m/s 2 ; c) 764 m) 16. Una piedra de 3 kg de peso, atada a una cuerda de 1 m de longitud, describe una circunferencia en el plano vertical. Determine la velocidad angular mínima de la cuerda a la cual ésta se rompe, si su resistencia máxima es de 9 kg. Diga también cuál es la tensión en la cuerda cuando forma un ángulo de 20º arriba de la horizontal, si la velocidad lineal de la piedra en ese instante es de 5 m/s. (Sol rad/s; 6.62 kg) 17. Un automóvil de una tonelada se desplaza sobre el puente de la figura con una rapidez constante de 10 m/s. El radio de curvatura en la cima del puente es de 50 m. Cal-cule la fuerza que el automóvil ejer-ce sobre el puente al pasar por dicho punto. Diga también cuál es la máxima rapidez con que puede transitar el 1 m v

31 automóvil sin perder el con-tacto con la cima del puente. (Sol. 796 kg ; 79.7 km/h) 18. La flecha AB gira a 300 rpm. El cuerpo C, que puede consi-derarse un punto material, pesa 25 kg. Cuando C se encuentra en la posición más baja de su trayectoria, como se muestra en la figura, cuá-les son las reacciones en los apoyos? Los pesos de las barras son despre-ciables. (Sol. RA = 93 kg ; RB = 233 kg ) A 50 cm 20 cm 12 cm C B 19. El sistema mostrado en la figura gira alrededor del eje vertical O O. Entre qué velocidades angúlares puede girar el sistema sin que A se deslice? Los coeficientes de fricción estática y cinética entre A y el disco son 0.4 y 0.3, respectiva-mente. (Sol rad/s < θ < rad/s) O A O 1 ft 20. Determine la rapidez angúlar constante con que debe girar el gobernador de bolas que se representa para mantener la configuración mostrada. Considere los siguientes datos: φ = 45º, P = 2 kg, Q = 10 kg, b = 0.3 m y c = 0.1 m. (Sol rpm) P b Q φ ω b c P 21. La esfera de la figura está sostenida por dos cuerdas y T0 es la tensión en una de ellas. Diga cuál 167

32 será la tensión T1 en cualquiera de ellas en el instante en que se corte la otra, y cuál, la magnitud de la aceleración de la esfera en ese mismo instante. (Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g) El cuerpo de la figura tiene una masa de 5 kg y sube por el plano inclinado. Al pasar por B su rapidez es de 3 m/s y decrece a razón de 8 m/s 2. Determine el coeficiente de fricción cinética µ entre el cuerpo y la superficie, si el radio de curvatura de la trayectoria en el punto B es de 3 m. (Sol ) 5 kg v 45 µ B 3 m 23. Un vehículo de 1400 kg de masa recorre una curva circular horizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108 a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reacción del pavimento sobre el vehículo cuando éste alcanza los 72 km/h. (Sol N) 24. Un carrito de baleros corre por el plano horizontal con una velocidad v0 y comienza a subir por una trayectoria curvilínea contenida en un plano vertical. Halle una expresión que defina su rapidez v en función de la altura y que va ascendiendo. Cuál será la altura máxima que alcanzará el carrito? (Sol. v = (v0 2 2gy) 1/2 ; v0 2 /2g) v0 v y 168

33 25. Un carrito de baleros de 9.81 kg de peso llega al punto A con una rapidez de 5 m/s y comienza a descender por la trayectoria circular de 4 m de radio. Determine el ángulo β que define la posición en que el carrito abandona la superficie y se convierte en un proyectil. (Sol. 28.5º) B β A 4 m 5 m/s 9.81 kg 26. Una partícula de masa m se suelta sin velocidad inicial desde el punto A de la trayectoria lisa contenida en un plano vertical. a) Si h = 3 r, cuál es la magnitud de la fuerza normal que el bucle ejerce sobre la partícula al pasar por B? b) Si la partícula ha de recorrer el bucle completo, cuál es la altura mínima h a la que debe soltarse? (Sol. a) mg; b) 2.5 r) h A m B C 27. Un carro eléctrico experimental de 200 kg de peso parte del reposo del punto A de la curva circular vertical de 50 m de radio, y desciende por la acción de su peso y de la tracción de sus ruedas, que es constante y de 60 kg. Diga con qué rapidez llegará al punto B y cuál será la magnitud de la reacción normal de la curva sobre el carro al llegar a ese punto. (Sol. 38 m/s; 788 kg) A 60 kg 200 kg 50 m B 169

34 XII. MÁS MOVIMIENTO CURVILÍNEO Aunque lo que hemos estudiado en el capítulo anterior corresponde a lo más fundamental del movimiento curvilíneo, completaremos nuestro estudio con tres temas más: las componentes polares, el movimiento circular y el movimiento relativo. Componentes polares Cinemática Volveremos a estudiar el movimiento curvilíneo, pero hora utilizando un nuevo sistema de referencia. Cuando la posición de la partícula puede definirse fácilmente mediante la magnitud de un vector de posición y la dirección de éste, entonces conviene emplear un sistema de referencia polar: el polo u origen es un punto fijo respecto al cual se mide la distancia r a la partícula, que sería una de las coordenadas, mientras que la otra sería el ángulo que el radio vector forme con cierta dirección conocida. Tomemos un automóvil P que se mueve en una carretera curvilínea, como se muestra en la figura. Desde O se observa su movimiento con un radar. La posición del radar, O será el polo. El segmento de recta que une el radar con el automóvil, OP = r, será el vector de posición, que estará contenido en el eje radial, cuyo sentido es hacia afuera de O. 170

35 El ángulo que forma el vector r con la línea Oeste Este (podríamos elegir otra dirección conocida), será la dirección. Además del eje radial, recurriremos a otro eje, perpendicular al primero, que llamaremos transversal. Y llamaremos er y e a los vectores unitarios en las direcciones radial y transversal, respectivamente. La posición del automóvil en cualquier instante se puede expresar como r = re r y la velocidad del automóvil se puede deducir derivando esta expresión con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que tanto la distancia r como el vector unitario son variables: v = dr dt e r + r de r dt que podemos escribir, aplicando la regla de la cadena al segundo término, de la siguiente manera: v = r e r + r de r dθ dθ dt Cuando estudiamos las componentes intrínsecas, dedujimos que la derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario girado un ángulo recto en sentido positivo; o sea que de r dθ = e θ ; de θ dt = e r La razón d /dt, que el del cambio de dirección del vector al tiempo, se puede llama velocidad angular con toda propiedad; de modosemejante, la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo se puede llamar aceleración angular. Simbólicamente θ = dθ dt ; θ = dθ dt 171

36 Llevando estos valores a la expresión de la velocidad, obtenemos v = r e r + θ re θ Volveremos a derivar con respecto al tiempo para hallar la acelera-ción del automóvil: de r a = r dt + r e r + θ re θ + θ r e θ + θ r de θ dt y empleando nuevamente la regla de la cadena y sustituyendo con los valores que hemos obtenido arriba, llegamos a lo siguiente: a = r de r dθ dθ dt + r e r + θ re θ + θ r e θ + θ r de θ dθ dθ dt a = θ r e θ + r e r + θ re θ + θ r e θ θ 2 re r a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ Las dos expresiones enmarcadas nos ofrecen los valores de la velocidad y la aceleración en términos de sus componentes radial y transversal. Ejemplo. Mediante un mecanismo que no se muestra en la figura, el collarín A se mueve sobre la barra, alejándose de la articulación O, conforme a la expresión r = 5 + 2t 2, en donde r resulta en cm, si t se da en s. A su vez, la barra OB gira alrededor de O, según la ley = 0.4t 3, en la que si t está en s, resulta en rad. Deter-mine la posición, velocidad y acele-ración del collarín cuando t = 1 s. 172

37 Obtendremos las primeras y segundas derivadas de r y θ respecto al tiempo y sus valores para t = 1s. Por tanto r = 5 + 2t 2 ; r 1 = 7 r = 4t ; r 1 = 4 r = 4 ; r 1 = 4 θ = 0.4t 3 ; θ 1 = 0.4 θ = 1.2t 2 ; θ 1 = 1.2 θ = 2.4t ; θ 1 = 2.4 v = r e r + θ re θ v = 4e r + 1.2(5)e θ = 4e r + 6e θ a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ a = (4 [1.2] 2 [5])e r +(2.4[5] + 2[1.2]4)e θ a = 3.2e r e θ Para t = 1s, la posición, velocidad y aceleración del collarín serán: r = 5 cm 22.9 v = tan β = 6 ; β = v = 7.21 cm s 79.2 a = tan γ = 21.6 ; γ = a = 21.8 cm s

38 Ejemplo. Mediante un radar colocado en Tierra se sigue el vuelo de un avión que viaja en línea recta con velocidad constante de 1200 ft/s. Sa-biendo que el avión vuela a ft de altura y que el rayo del radar y la trayectoria del avión están en el mis-mo plano, calcule, para el instante en que = 45 : a) la distancia entre el radar y el avión: b) la rapidez y la aceleración con que el avión se acerca al radar; c) la velocidad y la aceleración angulares del rayo del radar. De la geometría podemos obtener la distancia r y los componentes polares de la velocidad. sen 45 = r r = ( 2 2 ) = r = ft v r = v θ = 1200 ( 2 2 ) = La rapidez con que el avión se acerca al radar es r, o sea r = v r r = 849 ft s

39 Como v θ = θ r 1200 ( 2 2 ) = θ (20000) 2 2 θ = ( 2 2 ) 2 2 = = 0.03 Que es a velocidad angular del rayo: θ = 0.3 rad s Como el movimiento del avión es rectilíneo uniforme, a = 0 0 = r θ 2 r r = θ 2 r = (0.3 2 ) Que es aceleración con que el avión se acerca al radar: r = 2550 ft s 2 45 Además 0 = θ r + 2θ r θ = 2θ r r La aceleración del rayo es = 2(0.3) θ = θ = rad s 2 175

40 Componentes polares. Cinética Por supuesto, las expresiones que nos servirán para resolver problemas cinéticos, conforme a la segunda ley de Newton, serán las siguientes: F r = ma r F θ = ma θ O bien: F r = m(r θ 2 r) F θ = m(θ r + 2θ r ) Un ejemplo será suficiente para ilustrar el caso. Ejemplo. Un pequeño cilindro de medio kilogramo de peso, se puede mover dentro de un tubo liso de 0.5 m de largo, que gira alrededor de un eje vertical con rapidez angular constante de 20 rad/s. En cierto instante el cilindro tiene una rapidez, relativa al tubo, de 8 m/s, hacia afuera del tubo y se halla a 0.25 m del eje de rotación. Determine la magnitud de la fuerza horizontal que el tubo ejerce sobre el cilindro en el instante en que este esté a punto de abandonar aquel. En el sistema de referencia, el eje radial iría de O a B, y el transversal seríatambién horizontal y perpendicular al anterior. 176

41 En un instante cualquiera, el diagrama de cuerpo libre del cilindro, en planta, sería el siguiente (el peso y la reacción vertical no pueden aparecer en el diagrama). Podemos decir que O sea que F r = m(r θ 2 r) 0 = (r [202 ]r) r = 400r r = dr dt = dr dr dr dt = r dr dr dr r dr = 400r Separando variables e integrando 8 2 r dr = 400 rdr r 2 2 = 200r2 + C Si r = 0.25, r = 8 2 = 200(0.252 ) + C ; C = 19.5 r 2 2 = 200r r = 400r Para r = 0.5 r = 9.43 m s Que es la rapidez con que abandona el tubo F θ = m(θ r + 2θ r ) 177

42 Como θ es constante, θ = 0 F H = (2[20]9.43) F H = kg Movimiento circular El movimiento circular de la partícula es un caso particular del movimiento curvilíneo, que reviste especial importancia. Se puede estudiar con facilidad tanto utilizando coordenadas intrínsecas como polares. En el primer caso, el eje normal va de la partícula al centro de la trayectoria, mientras que en el segundo, tiene sentido contrario, si se toma el centro como polo. Los ejes tangencial y transversal coinciden. Empleando las componentes radial y transversal, y sabiendo que r es constante e igual al radio de la trayectoria, tenemos v = r e r + θ re θ r = 0 v = θ re θ La velocidad tiene una magnitud igual a θ r y es perpendicular al radio de la trayectoria. a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ Como tanto r como r son nulas a = θ 2 re r + θ re θ La componente radial tiene la misma magnitud de la componente normal, a n = θ 2 r, pero en sentido contrario. La componentes transversal y tangencial son iguales en la magnitud,θ r, y en dirección. a = θ 2 re n + θ re t 178