Jugador 2 A (2,0) (1,1) (4,2) M (3,4) (1,2) (2,3) B (1,3) (0,2) (3,0) Jugador 2 A (0,4) (4,0) (5,3) M (4,0) (0,4) (5,3) B (3,5) (3,5) (6,6) Izquier da

Transcripción

1 COLECCIÓN DE PROBLEMAS VOLUMEN I TEORÍA DE LA DECISIÓN Y DE LOS JUEGOS LICENCIATURA EN ECONOMÍA 1. En el siguiente juego en forma normal, qué estrategias sobreviven a una eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas?. Cuáles son los equilibrios de Nash con estrategias puras?. Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias mixtas?. I C D A (2,0) (1,1) (4,2) Jugador 1 M (3,4) (1,2) (2,3) B (1,3) (0,2) (3,0) 2. Demuéstrese que no existen equilibrios de Nash con estrategias mixtas en el dilema del prisionero y en los juegos siguientes: I C D A (0,4) (4,0) (5,3) Jugador 1 M (4,0) (0,4) (5,3) B (3,5) (3,5) (6,6) Izquier da Centro Derech a Jugador 1 Alta (1,0) (1,2) (0,1) Baja (0,3) (0,1) (2,0)

2 3. Hállese el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego siguiente: I D Jugador 1 A (2,1) (0,2) B (1,2) (3,0) 4. Los jugadores 1 y 2 están negociando cómo repartirse mil pesetas. Ambos jugadores indican simultáneamente la parte de las mil pesetas que querrían conseguir, S 1 Y S 2, donde 0 < S 1,S 2 < l. Si S 1 +S 2 < 1, los jugadores ven cumplidos sus deseos; si S 1 +S 2 >1, ambos jugadores reciben cero pesetas. Cuáles son los equilibrios de Nash con estrategias puras de este juego? 5. Supongamos que existen n empresas en el modelo de oligopolio de Cournot. Sea q i la cantidad producida por una empresa i, y sea Q = q l q n la cantidad agregada en el mercado. Sea P el precio de equilibrio de mercado y supongamos que la demanda inversa viene dada por P(Q) = a - Q (suponiendo que Q < a; en el caso contrario P = 0). Supongamos que para la empresa i el coste total de producir la cantidad q i es C i (q i ) = cq i. Es decir, no hay costes fijos y el coste marginal es constante e igual a c, donde suponemos que c < a. Supongamos que las empresas eligen sus volúmenes de producción simultáneamente. Cuál es el equilibrio de Nash? Qué ocurre cuando n tiende a infinito? 6. Consideremos las dos versiones finitas siguientes del modelo de duopolio de Cournot. En primer lugar, supongamos que cada empresa debe elegir o la mitad de la cantidad de monopolio, q m /2 = (a - c)/4, o la cantidad de equilibrio de Cournot, q c = (a - c)/3. No pueden darse otras cantidades. Demuéstrese que este juego con dos alternativas es equivalente al dilema de los presos: cada empresa tiene una estrategia estrictamente dominada, y ambas están peor en equilibrio que si cooperasen. En segundo lugar, supongamos que cada empresa puede elegir o q m /2 o q c o una tercera cantidad q'. Hállese un valor de q' tal que el juego sea equivalente al modelo de Cournot en el sentido de que (q c,q c ) sea un equilibrio de Nash único. 7. Considérese el modelo de duopolio de Cournot en el que la demanda inversa es P(Q) = a - Q pero las empresas tienen costes marginales asimétricos, c 1 para la empresa 1 y c 2 para la empresa 2. Cuál es el equilibrio de Nash si 0<c i <a/2?. Que ocurre si c 1 <c 2 <a pero 2c 2 >a+c 1?. 8. En un duopolio de Bertrand con productos homogéneos, supongamos que la cantidad que demandan los consumidores a la empresa i es a-p i, cuando p i < p j, 0 cuando p i > p j, y (a-p i )/2 cuando p i = p j. Supongamos también que no hay costes fijos y que los costes marginales son constantes e iguales a c, donde c < a. Demuéstrese que si las empresas eligen precios simultáneamente, el único equilibrio de Nash consiste en que ambas empresas fijen un precio igual a c.

3 9. Dos empresas ofrecen un puesto de trabajo cada una. Supongamos que las empresas ofrecen salarios diferentes: la empresa i ofrece el salario w i, donde (½)w l < w 2 < 2w 1. Imaginemos que hay dos trabajadores, cada uno de los cuales sólo puede solicitar trabajo en una de las empresas. Los trabajadores deciden simultáneamente si solicitar el trabajo de la empresa 1 o de la empresa 2. Si sólo un trabajador solicita trabajo en una de las empresas, dicho trabajador obtiene el trabajo. Si ambos trabajadores solicitan trabajo en la misma empresa, la empresa contrata a uno de ellos aleatoriamente, y el otro queda desempleado (lo que significa una ganancia cero). Hállense los equilibrios de Nash del juego en forma normal. 10. El árbol de la figura corresponde a un juego finito en forma extensiva. Determinar cuáles son las estrategias de los jugadores. Determinar las estrategias del jugador 2 si el juego fuese de información perfecta.prescindir de las estrategias equivalentes.

4 11. Considérese el juego de información perfecta en forma extensiva de la figura siguiente. a) De cuántas estrategias dispone cada jugador?. Prescindir de las estrategias equivalentes. b) Identificar los equilibrios que se obtienen utilizando la inducción hacia atrás. c) Hallar un equilibrio de Nash que no se obtenga a partir de la inducción hacia atrás.

5 12. Un comité de un club con tres miembros {1,2,3}, tiene que escoger a un nuevo miembro entre un conjunto de cuatro candidatos, {a,b,c,d}. Cada miembro del comité tiene poder de veto y este se efectúa de forma sucesiva empezando por el 1 y terminando por el 3. Cada uno de los miembros del comité debe vetar a uno y sólo uno de los candidatos que aún no han sido vetados. a) Representar gráficamente el juego en forma extensiva, poniendo en los nodos finales el candidato elegido en cada caso. b) Cuantas estrategias tiene cada jugador? (No escribirlas todas) c) Si los miembros prefieren a los candidatos por el siguiente orden: miembro 1: b c d a miembro 2: b a d c miembro 3: d a b c obtener los equilibrios derivados de aplicar la inducción hacia atrás. Serían estos distintos si los miembros del comité no vetasen estratégicamente (es decir, vetar el peor de los no vetados)?. Sería distinto el resultado del juego?. 13. Considérese el juego en forma extensiva de la figura: a) Hallar los equilibrios de Nash que se obtienen a partir de la inducción hacia atrás. b) Representar el juego en forma normal c) Hallar todos los equilibrios de Nash en estrategias puras y en estrategias mixtas y comprobar que los equilibrios del apartado a) están incluídos en este conjunto.

6 14. Considerese el caso discreto de duopolio de Stackelberg donde la demanda inversa viene dada por P(Q)=12-Q, donde Q=q 1 +q 2 y sólo hay tres niveles de output factibles: 3, 4, y Supongamos que la producción se realiza sin coste alguno. a) Representar la forma extensiva del juego y hallar el equilibrio que se obtiene a partir de la inducción hacia atrás. b) Representar el juego en forma normal. Hallar todos los equilibrios de Nash en estrategias puras. c) Si las empresas eligen el output simultáneamente, tenemos el modelo de Cournot. Representar en este caso el juego en forma normal y en forma extensiva. Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras. 15. Tres oligopolistas operan en un mercado con demanda inversa dada por P(Q)=a-Q, donde Q=q 1 +q 2 +q 3 y q j es la cantidad producida por la empresa j. Cada empresa tiene un coste marginal igual a c, y no hay costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades de la manera siguiente: (1) la empresa 1 escoge q 1 $0; (2) las empresas 2 y 3 observan q 1 y escogen simultáneamente q 2 y q 3. Cuál es el resultado perfecto en los subjuegos? 16. Considérese una empresa monopolista y una empresa competidora que decide si entrar o no en el mercado. Si lo hace, el monopolista decide si desencadena una guerra de precios o acepta la entrada compartiendo el mercado. Las ganancias de las empresas aparecen reflejadas en el diagrama de árbol de la figura siguiente donde π m >π a >0>π g. a) Cuáles son los equilibrios de Nash en este juego? b) Cuáles son los equilibrios perfectos en los subjuegos de este juego? c) Supongamos que el monopolista, antes de la decisión del entrante potencial, puede decidir efectuar o no un gasto que disminuirá sus propios beneficios en una cantidad positiva igual a K, excepto en el caso de que el responda con una lucha a la entrada del rival. Supongamos que el entrante potencial puede observar, antes de tomar su decisión si el monopolista efectuó o no dicho gasto. Cuáles son los equilibrios perfectos en los subjuegos de este nuevo juego en tres etapas?

7 17. Hallar los equilibrios perfectos en los subjuegos en el juego en forma extensiva representado en la figura siguiente:

8 18. Hallar los equilibrios bayesianos de Nash en estrategias puras en el siguiente juego bayesiano estático: 1- El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como en el juego 2 de manera equiprobable 2- El jugador 1 se entera si el azar ha elegido el juego 1 o el juego 2, pero el jugador 2 no. I D Jugador 1 A (1,1) (0,0) B (0,0) (0,0) Juego 1 I D Jugador 1 A (0,0) (0,0) B (0,0) (2,2) Juego Considerese un duopolio de Cournot que opera en un mercado con demanda inversa P(Q)=a-Q, donde Q=q 1 +q 2 es la cantidad agregada del mercado. Ambas empresas tienen coste marginal constante igual a c, pero la demanda es incierta: es alta (a=a A ) con probabilidad θ y baja (a=a B ) con probabilidad 1-θ. Además la empresa 1 sabe si la demanda es alta o baja, pero la empresa 2 no. Si las empresas eligen su output simultáneamente, determinar el equilibrio bayesiano de Nash en este juego.

9 20. Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras, los equilibrios perfectos en los subjuegos y los bayesianos perfectos en los siguientes juegos.

10 21. Demostrar que no existe ningún equilibrio bayesiano perfecto con estrategias puras en el siguiente juego. Hallar un equilibrio bayesiano perfecto en estrategias mixtas. 22. Dado el juego de señalización de la figura, hallar un equilibrio bayesiano perfecto de agrupación en el que los dos tipos del emisor eligen la acción D.

11

12 23. Dado el juego de señalización de la figura, hallar un equilibrio bayesiano perfecto de agrupación en el que los tres tipos del emisor eligen la acción I. 24. En el siguiente juego hallar los equilibrios bayesianos de Nash con estrategias puras y los equilibrios bayesianos perfectos.

13 25. Un tratante de arte esta considerando la posibilidad de poner a la venta un cotizado cuadro de Rembrant. La opinión de los expertos en arte esta dividida al 50% entre si el cuadro es auténtico (en cuyo caso tendría un valor de 20 millones de dólares) o si es la obra de uno de sus discípulos ( en cuyo caso tendía un valor de 1 millón de dólares). Hay un crítico de arte que está dispuesto a emitir un certificado de autenticidad del cuadro por un coste de dólares. Si el tratante decide poner a la venta el cuadro, el precio será de 5 millones de dólares. Suponiendo que los compradores son neutrales ante el riesgo, demostrar que existe un equilibrio bayesiano perfecto de éxito parcial del mercado. Cuál debería ser el precio del certificado de autenticidad para que el equilibrio bayesiano perfecto supusiese un éxito total del mercado?. 26. Dos empresas deciden simultáneamente si entran o no en un mercado. Si una empresa entra y la otra se queda fuera, los beneficios son 100 y 0 respectivamente, si las dos entran ambas pierden 50 y si ninguna entra, no obtienen beneficios. a)- Plantear la forma normal del juego y hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas. b)- Determinar los beneficios de las empresas en cada uno de los equilibrios obtenidos en la sección anterior. Se puede seleccionar o eliminar alguno empleando el criterio de eficiencia de Pareto?. c)- Si rompemos el supuesto de que el juego es estático y permitimos que una empresa elija entre entrar o no entrar en primer ligar y la otra en segundo lugar, después de observar lo que ha elegido la primera Cual seria la solución del juego en este caso?. (Ind: plantear la forma extensiva). Existe algún equilibrio de Nash que constituya una amenaza no creíble de la empresa que elige en segundo lugar?. Describir esta situación. 27. Considerese el juego entre una empresa que puede decidir secuencialmente entrar o no en dos mercados que tienen la misma empresa establecida o monopolista, cuya forma extensiva se representa en la figura siguiente. a) Determinar las estrategias de la empresa entrante (emplear una notación clara) b) Hallar el equilibrio perfecto en los subjuegos que se obtiene tras aplicar la inducción hacia atrás y describir cual es el comportamiento estratégico de las empresas en equilibrio.

14 28. Supongamos que x 1 y x 2 representan los presupuestos en publicidad para las empresas 1 y 2 respectivamente, donde cada x i ha de ser inferior a dólares. Los beneficios de las empresas vienen representados por las funciones: U 1 (x 1, x 2 )'1000 x 1 & x 2 1 & x 2 2 U 2 (x 1, x 2 )'1000 x 2 & x 1 x 2 & x 2 2 Si las empresas eligen simultáneamente el presupuesto dedicado a publicidad: a) Determinar el equilibrio de Nash en estrategias puras del juego. Es único?. Justificar la respuesta. b) Cuál es el beneficio obtenido por las empresas en equilibrio? c) Representar gráficamente la función que representa la mejor respuesta de ambas empresas. Si las empresas dedicasen un presupuesto de x 1 =400 y x 2 =200 que puede decirse del beneficio de ambas?. Es estable esta situación? justifique la respuesta.

15 29. Una agencia inmobiliaria está considerando poner o no a la venta un piso de segunda mano a un precio de 10 millones de pesetas. Diversos estudios de mercado realizados en el sector revelan que el 50% de los pisos de segunda mano son de mala calidad y suelen presentar problemas a posteriori (rotura de cañerías, fallos en el sistema eléctrico, etcétera). Si el piso puesto a la venta es de buena calidad, tendría un valor subjetivo de 15 millones para el comprador, mientras que si es malo, este tendría un valor de sólo 6 millones. El vendedor conoce perfectamente la calidad del piso que está vendiendo, y en caso de que este sea de mala calidad, si decide ponerlo a la venta, tendría que asumir un coste C en realizar una reforma, para que el comprador no pudiera diferenciarlo a simple vista de un piso de buena calidad. a) Analizar la situación descrita a través de un juego con información incompleta representando su forma extensiva. b) Determinar que valores de C hacen que exista un equilibrio bayesiano perfecto donde la estrategia del vendedor sea poner a la venta el piso, tanto si este es malo como si es bueno y la del comprador comprar el piso. c) Si C es igual a 11 millones de pesetas Cuántos equilibrios bayesiano perfectos tendría el juego?. Cuál de ellos seleccionaría usted? tendría el juego?. Cuál de ellos seleccionaría usted? 30. Un padre y su hijo universitario se ven involucrados en el siguiente conflicto. El hijo puede decidir entre tomarse en serio los estudios y como consecuencia aprobar el curso o, por el contrario, ser irresponsable y obtener unos cuantos suspensos al final del curso. Si el hijo opta por la segunda opción, el padre puede decidir entre castigarle sin vacaciones o no. Supongamos que la escala de preferencias del padre es la siguiente (entre paréntesis figuran las ganancias que representan esa escala de preferencias): 1º: Tener un hijo buen estudiante (2) 2º: No castigar a un hijo mal estudiante (1) 3º: Castigar a un hijo mal estudiante (0) La escala de preferencias del hijo es la siguiente: 1º: Ser mal estudiante y no ser castigado (2) 2º: Ser buen estudiante (1) 3º: Ser mal estudiante y ser castigado (0) Al comienzo del curso el padre lanza la siguiente amenaza: Si no apruebas no te vas de vacaciones. a) Representar esta situación a través de in juego indicando su forma normal y su forma extensiva. Cuantos equilibrios en estrategias puras tiene este juego y de que tipo son?. b) Es creíble la amenaza del padre? Justificar la respuesta indicando cual es el equilibrio que sustenta esta amenaza. Como se resolvería el juego? c) Si el padre cambia su escala de preferencias a la siguiente: 1º: Tener un hijo buen estudiante (2) 2º: Castigar a un hijo mal estudiante (1) 3º: No castigar a un hijo mal estudiante (0) Es creíble la amenaza del padre? Cuantos equilibrios hay ahora en el juego y de que tipo son?. Justificar la respuesta.

16 31. Considerese un duopolio de Bertrand (las empresas compiten en precios) con información asimétrica y productos diferenciados. La demanda de la empresa i es igual a q i (p i,p j )=1- p i +bp j. La constante b representa la sensibilidad de la demanda de la empresa i al precio de la empresa j. b puede tomar dos valores b=b A =1 y b=b B =1/2. La empresa 1 conoce el valor de b pero la empresa 2 cree que b=b A =1 con probabilidad 1/2 y que b=b B =1/2 con probabilidad 1/2. Si los costes para ambas empresas son iguales a 0, determinar los precios que elegirán las empresas en el equilibrio Bayesiano de Nash. 32. Una universidad ofrece estudios de doctorado en economía a todos los licenciados de una determinada zona que es considerada como el área de influencia de la universidad. Un estudio previo revela que sólo al 10% de estos licenciados les gusta la economía, con lo que el programa de doctorado sería llevado a cabo con éxito para este grupo. Un estudiante (con el título de licenciado), que por supuesto sabe si le gusta o no la economía, ha de decidir si entrega o no una solicitud a dicho programa de doctorado. La universidad que no conoce el tipo de estudiante que entrega la solicitud, ha de decidir si lo acepta o por el contrario rechaza su entrada al programa. La forma extensiva del juego viene representada en la figura siguiente: a) Hallar un equilibro bayesiano perfecto de separación indicando las estrategias de equilibrio de los jugadores y el sistema de creencias. Comentar el resultado de este equilibrio. Existen más equilibrios de separación aparte del que se ha hallado?. Justificar la respuesta. b) Que creencias en I soportan el equilibrio bayesiano perfecto de agrupación en el que el estudiante decide no entregar la solicitud, sea cual sea su tipo?.

17 33. Que conceptos de solución de los que Ud. conoce aplicaría en los casos siguientes?: a) Juego Estático con información completa b) Juego dinámico con información completa pero imperfecta c) Juego dinámico con información incompleta. 34. Dado el juego en forma extensiva de la figura. Representa la combinación de estrategias de equilibrio (B, D A F B ) una amenaza no creíble del jugador 2 hacia el jugador 1?. Justifique la respuesta. 35. Supongamos que en el juego en forma extensiva de la figura hay un equilibrio perfecto en los subjuegos en el que el jugador 1 juega la estrategia de comportamiento siguiente: Jugar A con probabilidad 1/2, jugar B con probabilidad 1/4 y jugar C con probabilidad 1/4". Según esto, si Ud. quisiera comprobar si este equilibrio es Bayesiano Perfecto qué creencias se forma el jugador 2 cuando el juego entra en su conjunto de información?

18 36. Dado el juego estático en forma normal de la figura. Determinar cuales son las ganancias de los jugadores si ambos juegan la estrategia mixta siguiente: Jugar A con probabilidad 1/3 y jugar B con probabilidad 2/3". A B Jugador 1 A (9,15) (12,6) B (-6,0) (3,3) 37. Dos compañías aéreas A y B compiten en la misma ruta decidiendo cada día el número de asientos que ofrecen. Estos se representan por S A y S B. El mercado determina el precio del asiento que dependerá del número total de asientos ofrecidos por las dos compañías de acuerdo a la expresión P=200-0,1(S A +S B ). El coste marginal de la empresa A es 100 u.m. y el de la empresa B 50 u.m. y se supone que no hay costes fijos. Determinar: a) La función de beneficio de ambas compañías. b) La función que representa la mejor respuesta de cada compañía. c) El equilibrio de Nash. 38. En una industria existen n+1 empresas idénticas numeradas 0,1,...,n. Cada una de ellas tiene un coste marginal constante igual a 1 y no hay costes fijos. La función inversa de demanda es igual a P(Q)=2-Q, donde Q=q 0 +q q n, representa la cantidad total vendida en el mercado, siendo q i la cantidad producida por la empresa i. Las empresas deciden la cantidad a producir de la siguiente forma: en primer lugar elige la empresa 0. Las demás empresas observan q 0, y a continuación eligen simultáneamente su output. a) Indicar cuantos subjuegos hay en este juego. Hallar el equilibrio de Nash en cada uno de los subjuegos, indicando la cantidad que producirían las empresas que intervienen en el subjuego..

19 b) Demostrar que en el equilibrio perfecto en los subjuegos la cantidad producida por la empresa 0 no depende del número de empresas que hay en la industria. Cuanto produce cada empresa en ese equilibrio?. Cuales son sus beneficios? (5 puntos). Si lo desea, emplee la notación Q -i para representar q 0 +q q i-1 +q i q n

20 39. Supongamos que hay dos lugares donde dos pescadores pueden pescar, uno bueno y otro malo. El lugar bueno tiene 20 peces y el lugar malo 12 peces. Los pescadores eligen simultáneamente el lugar donde van a pescar. Si los dos pescadores coinciden pescando en el mismo sitio se reparten la pesca equitativamente. En caso contrario, cada pescador puede beneficiarse de toda la pesca correspondiente al sitio donde elige para pescar. a) Plantear un juego que permita modelizar esta situación. b) Hallar todos los equilibrios de Nash del juego planteado, determinando las ganancias de los pescadores en cada equilibrio. c) Si la situación fuese dinámica, es decir, primero elige un pescador el lugar para pescar y el otro observa la elección y a continuación elige su lugar para pescar, indicar cuales son ahora las estrategias de los jugadores y en virtud del equilibrio de este nuevo juego comentar que pescador sale beneficiado. 40. Dado el juego de la figura: a) Indicar cuales son las estrategias de los jugadores b) Cuales son los subjuegos propios del juego? c) Hallar la combinación de estrategias que representa el equilibrio perfecto en los subjuegos. 41. D a d o e l juego de señalización de la figura, determinar si hay equilibrio Bayesiano perfecto, y (en caso afirmativo indique cual es), en los siguientes casos: a) Los dos tipos del emisor juegan I.. b) El emisor tipo t 1 juega I y el tipo t 2 juega D.

21 42. Indique cuáles son los elementos que se requieren para representar un juego estático con información completa en forma normal. Explique brevemente y de forma concisa lo que significa cada uno de ellos. 43. Dos compañías productoras de cigarrillos rubios se enfrentan a una competencia en precios en un mercado determinado. La demanda de la empresa i es: q = p 2.000( p p) i i i donde: p es el precio que fija la empresa i y p el precio medio. i El coste medio es igual a 1$ por paquete patra ambas empresas. a) Determinar las funciones de reacción de ambas empresas. b) Obtener los precios que deben fijar las empresas en el equilibrio de Bertrand.. c) Obtener los beneficios de las empresas en equilibrio. (2 puntos). 44. Considere el juego que consiste en repetir dos veces el juego de etapa G representado en la figura, obteniendo como ganancias la suma de las ganancias en cada una de las etapas. A B C Jugador 1 A 1,1 9,0 4,0 B 0,9 8,7 3,0 C 0,2 0,5 6,6 Determine si son equilibrios perfectos en los subjuegos las siguientes situaciones: a) Jugar AA en la primera etapa y jugar AA en todos los subjuegos de la segunda etapa

22 . b) Jugar CA en la primera etapa y jugar CC en todos los subjuegos de la segunda etapa. c) Jugar BB en la primera etapa y jugar CC en la segunda etapa si el resultado de la primera fue BB y jugar AA en la segunda etapa si el resultado de la primera fue distinto de BB. d) Representa la combinación de estrategias dada por: Jugar en la primera etapa (B,E) y en la segunda etapa, jugar (C,F) si el resultado de la primera etapa fue (B,E), y jugar (A,D) si el resultado de la primera etapa fue cualquier otro distinto de (B,E) un equilibrio perfecto en los subjuegos para el juego repetido? Justifique la respuesta?. 45. Dado el juego de señalización del la figura, hallar un euilibrio bayesiano perfecto donde los tres tipos del emisor jueguen A. 46. En una industria existen 3 empresas idénticas. Cada una de ellas tiene un coste marginal constante igual a 1 y no hay costes fijos. La función inversa de demanda es igual a P(Q)=2-Q, donde Q=q 0 +q 1 +q 2, representa la cantidad total vendida en el mercado, siendo q i la cantidad producida por la empresa i. Las empresas deciden la cantidad a producir de la siguiente forma: en primer lugar elige la empresa 0. Las demás empresas observan q 0, y a continuación eligen simultáneamente su output.

23 a)- Indicar cuantos subjuegos hay en este juego. Hallar el equilibrio de Nash en cada uno de los subjuegos, indicando la cantidad que producirían las empresas que intervienen en el subjuego. b)- Encontrar el equilibrio perfecto en los subjuegos.. Cuanto produce cada empresa en ese equilibrio?. Cuales son sus beneficios?. 47. En el juego de la figura encontrar una estrategia mixta para el jugador 1 que domine a cualquier estrategia mixta que asigne a a 3 probabilidad mayor que cero sea cual sea la estrategia mixta jugada por el jugador 2. b 1 b 2 b 3 Jugador 1 a 1 (2,0) (2,2) (5,2) a 2 (4,1) (1,3) (1,3) a 3 (1,3) (1,3) (2,0) 48. En el juego de la figura hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y los equilibrios Bayesiano perfectos.(10 puntos). 49. Indique cuáles son los elementos que se requieren para representar un juego dinámico con información completa en forma extensiva. Explique brevemente y de forma concisa lo que significa cada uno de ellos. 50. Dado el juego cuyo diagrama de árbol aparece representado en la figura:

24 Cuáles son las creencias del jugador 2 si el jugador 1 en equilibrio juega A con probabilidad 1/3, B con probabilidad 1/2 y C con probabilidad 1/6?. 51. Hallar todos los equilibrios de Nash en el juego siguiente: D D Jugador 1 A 2,3 1,4 B 2,3 2,1 52. Indique y explique brevemente cuáles son los 4 requisitos que se deben cumplir en el equilibrio bayesiano perfecto. 53. Obtener todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras y mixtas) del juego siguiente. Jugador 1 C D A 4,3 2,4 B 4,3 3,1 54. Considere un juego de negociación secuencial donde dos jugadores tratan de repartirse un presupuesto de El juego consta de tres períodos. En el primer período, el jugador 1 indica que parte del presupuesto desea obtener, siendo el resto para el jugador 2. Si el jugador 2 acepta la oferta, el juego termina con el reparto indicado. Si rechaza, el juego pasa al período siguiente. En el período dos, el jugador 2 propone un reparto indicando la parte que obtendría el jugador 1, siendo el resto para él. Si el jugador 1 acepta el juego termina con el reparto indicado. Si

25 rechaza, un árbitro repartirá el presupuesto al 50% en un tercer período. Si el factor de descuento aplicado al obtener el valor actual de una ganancia en el período siguiente es igual a 0,9, obtener el resultado por inducción hacia atrás del juego indicando cuáles son las ganancias de los jugadores en ese resultado. 55. Dado el juego de señalización del la figura: a) Indicar cuáles son las estrategias del emisor y del receptor. b) Hallar, si existe, el equilibrio bayesiano perfecto donde el t 1 y el t 2 juegan A y el t 3 juega B. c) Hallar, si existe, el equilibrio bayesiano perfecto donde los tres tipos del receptor juegan B. 56. El juego de etapa de la figura se repite 2 veces. Hallar todos los equilibrios perfectos en los subjuegos en estrategias puras que cumplan la siguiente condición: En tres de los cuatro subjuegos de la segunda etapa se juega (A,A) y en el otro se juega (B,B) A B Jugador 1 A (2,1) (0,0) B (0,0) (1,2)

26 57. El director de una empresa y el representante sindical deben elegir un árbitro para mediar en un conflicto laboral de un conjunto de tres candidatos (A,B,C). El mecanismo de selección es el siguiente: En primer lugar la empresa decide eliminar a uno de los tres. A continuación, el representante sindical, tras observar el resultado de la empresa, decide eliminar a uno de los dos restantes. El arbitro elegido será aquel que no haya sido eliminado por ninguno de los dos. Las preferencias de la empresa son: A B C Las preferencias del sindicato son: C B A a) Representar el juego en forma extensiva y en forma normal (En lugar de ganancias indicar el candidato elegido tras cada combinación de estrategias). b) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y el equilibrio perfecto en los subjuegos. 58. Hallar los equilibrios bayesianos de Nash en el juego siguiente: El azar determina con probabilidad ½ si ganacias son como en el juego 1 o como en el juego 2. El jugador 2 sabe que juego ha elegido el azar pero el jugador 1 no. Juego 1 A B Jugador 1 A (2,2) (0,0) B (0,0) (1,1) Juego 2 A B Jugador 1 A (0,0) (0,0) B (1,1) (2,2) 59. Hallar el equilibrio perfecto en los subjuegos del juego de la figura. Indicar cuáles son las estrategias de las empresas en equilibrio.

27 60. Considere el juego del dilema del prisionero cuya forma normal viene representada en la figura siguiente: b 1 b 2 Jugador 1 a 1 (2,2) (0,3) a 2 (3,0) (1,1) Considere ahora una nueva versión de este juego donde se supone que los jugadores no son egoístas y se alegran de las ganacias del otro (es dedir, obtienen un beneficio adicional que es proporcional a las ganancias del otro). De esta manera, las ganancias de un jugador i para la combinación de estrategias s=(a i,b j ) vienen dadas por: m i (s)=π i (s) + α Π j (s) donde Π i y Π j son las ganancias representadas en la figura y α es un número positivo. a) Representar la forma normal de este nuevo juego. b) Indicar para que valores de α, este juego es análogo al dilema del prisionero, es

28 decir, el único equilibrio de Nash es (a 2,b 2 ), y si un jugador elige su primera estrategia, el otro tiene incentivos a jugar la segunda y además Π i (a 1,b 1 )>Π i (a 2,b 2 ) para todo i. c) Comentar que ocurre cuando α=1/2 y cuando α >½.