1.1 (1 punto) Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la matriz eliminándolas.

Transcripción

1 Montevideo, 7 de julio de 0 Examen Teoría de juegos Nombre C.I.. (4 puntos) La siguiente matriz representa un juego estático entre el Jugador y el Jugador. Los números entre paréntesis representan las utilidades de los jugadores. El número a la izquierda de la coma es la utilidad del jugador y el de la derecha, la utilidad del jugador. Jugador Jugador Y Y Y 3 Y 4 X (,-) (0,0) (-,) (,-) X (0,) (-,) (-,0) (,-) X 3 (,-) (-,) (-,) (,-) X 4 (,-) (0,) (,) (0,-). ( punto) Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la matriz eliminándolas.. ( punto) Determine si la matriz reducida tiene equilibrios de Nash y diga cuáles son..3 ( puntos) Represente el juego original de forma extensiva y determine el resultado por retroinducción para el caso en el que el jugador juega en primer término.. (4 puntos) El siguiente cuadro representa la distribución ideológica de un electorado y las posiciones de tres candidatos en una escala izquierda () derecha (7). Ni los electores ni los candidatos pueden cambiar de posición antes de la elección. Posición ideológica Electores (%) Candidatos A B C. ( punto) Cuál sería el resultado de la elección en esas condiciones si todos los electores votan al candidato más cercano ideológicamente? (Cuando un grupo es equidistante a dos candidatos se divide a la mitad)

2 . ( punto) Previendo el resultado obtenido en. diga si hay dos candidatos a los que les convendría aliarse para enfrentar al otro en la elección. Cuáles son esos candidatos y cuál sería el resultado de la elección en el caso de concretar la alianza?.3 ( puntos) Dados los dos candidatos a los que convendría aliarse de acuerdo a., represente como un juego la interacción estratégica entre ambos, asumiendo que para que la alianza se concrete sólo uno puede ser candidato y el otro debería apoyarlo. En cualquier otro caso la alianza no se concretaría. En cuanto a las preferencias de los candidatos el resultado preferido es ser el ganador de la elección, en segundo lugar haber apoyado al candidato ganador, en tercer lugar competir en la elección aunque no se gane y, por último, no competir. Determine la existencia de estrategias dominantes, dominadas y equilibrios. 3. (5 puntos) Considere el siguiente juego en forma extensiva I D I D I C D J J Cuál es la representación en forma normal de este juego? Fundamente su respuesta. 3.. Identifique las mejores respuestas de cada jugador a las estrategias del otro jugador Determine los equilibrios de Nash. Fundamente su respuesta Determine el resultado por retroinducción. Fundamente su respuesta Compare los resultados anteriores. Satisfacen todos los equilibrios de Nash de este juego el criterio de retroinducción? Explique.

3 4. (3 puntos) Dos empresas compiten en un mercado produciendo el mismo bien. Cada empresa puede producir, 4 o 6 unidades del bien. Las utilidades de las empresas según las cantidades producidas son las siguientes: q q Ut Ut Represente la matriz de pagos. 4.. Determine los equilibrios de Nash. Explique Obtendrían las empresas un resultado mejor si pudieran acordar cuánto producir, es decir, si pudieran coludir? Cuánto produciría cada empresa? Qué utilidad obtendría cada empresa? Explique. 3

4 Pauta de respuesta. Primero observo las estrategias del Jugador y determino que X es una estrategia dominada. Una vez eliminada X observo las estrategias del Jugador y determino que tanto Y como Y 4 son estrategias dominadas. Elimino ambas opciones y vuelvo a observar las estrategias del Jugador. Ahora determino que X 3 pasó también a ser una estrategia dominada. Luego de eliminar X 3 me queda la siguiente matriz reducida: Jugador Jugador Y Y 3 X (0,0) (-,) X 4 (0,) (,). En esta matriz X es una estrategia débilmente dominada ya que jugando X nunca se obtienen mayores utilidades que jugando X 4 por lo que también se podría eliminar. Por lo tanto, jugar X 4 es una estrategia débilmente dominante para el Jugador. Por su parte, para el Jugador, la mejor respuesta cuando el Jugador juega X sería jugar Y 3 (Obtiene una utilidad de en lugar de 0). Pero el perfil (X, Y 3 ) no es un equilibrio de Nash porque X no es la mejor respuesta del Jugador cuando el Jugador juega Y 3 ya que obtiene una utilidad de - en lugar de. Para el caso en el que el Jugador juegue X 4, la mejor respuesta del Jugador es jugar Y (obtiene una utilidad de en lugar de ). Y para el Jugador jugar X 4 también es una mejor respuesta cuando el Jugador juega Y, aunque en este caso es indiferente respecto a jugar X porque obtiene la misma utilidad (0 en ambos casos). Por lo tanto el perfil de estrategia (X 4, Y ) es el único equilibrio de Nash de este juego..3 El siguiente árbol representa el juego en forma extensiva: J y y y 3 y 4 J J J J x (-,) x x 3 x 4 x 4 x x x 3 (,0) (-,) (-,) I (-,) (-,) (-,) (-,0) (0,0) (,-) (,-) (,0) x x 3 x 4 x x (,-) (0,-) (,-) (,) x x 3 x 4 En este caso, utilizando retroinducción los equilibrios pueden cambiar. Si el Jugador juega Y las mejores respuestas del Jugador son X3 y X4 (obtiene una utilidad de en lugar de o 0). Si el Jugador juega Y las las mejores respuestas del Jugador son X y X4 (obtiene 0 en lugar de -). Si el jugador juega Y3 las mejores respuestas del Jugador es X4 (obtiene en lugar de - o -). Finalmente, si el Jugador juega Y4 las mejores respuestas del Jugador son X y X3 (obtiene en lugar de o 0). Por lo tanto, para el Jugador las estrategias Y e Y4 están dominadas por Y e Y3 ya que 4

5 puede obtener 0, o en lugar de - o -. El problema es que jugando Y3 se asegura una utilidad de pero jugando Y podría obtener una utilidad de, aunque también 0. Si el jugador es neutral frente al riesgo y atribuye igual probabilidad a que el Jugador elija X o X4 cuando él juega Y podría asignar una utilidad esperada para esa situación de (0,5*0+0,5*=). En ese caso sería indiferente frente a jugar Y o Y3 y cualquiera de los tres resultados podría ocurrir. En cambio, si asumimos que el Jugador es averso al riesgo, no optará por Y ya que podría obtener 0 y preferirá jugar Y3 y asegurarse una utilidad de. En este caso el perfil de estrategia (Y3,X4) es el resultado del juego por retroinducción y difiere del equilibrio de Nash.. El siguiente cuadro representa la distribución ideológica de un electorado y las posiciones de tres candidatos en una escala izquierda () derecha (7). Ni los electores ni los candidatos pueden cambiar de posición antes de la elección. Posición ideológica Electores (%) Candidatos A B C. El resultado de la elección sería A=7%; B=35%; y C=48%. A recibe los votos del 4% de electores en la posición y el 3% de los electores de la posición. B recibe los votos del 0% de electores de la posición 3 y la mitad de los electores de la posición 4. Finalmente C recibe la mitad de los electores de la posición 4 más la totalidad de las posiciones 5, 6 y 7.. Dado que en esas condiciones C ganaría la elección pero no alcanza una mayoría absoluta, los candidatos A y B tienen incentivos para aliarse. Si pudieran sumar sus votos ganaría la elección con un 5%..3 El juego entre A y B puede representarse en la siguiente matriz: Candidato A Candidato B Postularse Apoyar a A Postularse (0,0) (0,-) Apoyar a B (,) (-,-) Las utilidades, de acuerdo con la letra son para el caso en el que gana la elección, lo que sólo puede ocurrir cuando A apoya a B. En ese caso B obtiene su mejor resultado (=ganar la elección) y A el segundo mejor (=haber apoyado al ganador). Cuando B apoya a A y A se postula no ganan la elección ya que la mitad de los electores de la posición 4 que habrían votado por B pasan a votar por C que se encuentra más próximo que A. En ese caso A obtiene su tercera preferencia (0=competir) y B el peor resultado (-=no participar). Cuando ambos se postulan pierden la elección y ambos obtienen su tercera preferencia. Si se apoyan recíprocamente, es decir, ninguno se postula, ambos obtienen el peor resultado. Para el candidato B, apoyar a A, es una estrategia dominada, ya que siempre le ofrece menores utilidades que postularse (-<0 y -<), por lo que 5

6 postularse es su estrategia dominante. Para el caso en el que B decide postularse la mejor respuesta del candidato A es apoyarlo, ya que obtendría su segunda preferencia (>0). Por lo tanto el prefil de estrategia (Apoyar a B, Postularse) es un equilibrio de Nash. 3.. Lo primero a determinar son las estrategias de cada jugador. El jugador sólo tiene dos estrategias, que coinciden con acciones: I y D. El jugador tiene seis estrategias: (i) jugar I si el jugador eligió I y jugar I si el jugador eligió D, es decir, jugar I pase lo que pase; (ii) jugar I si el jugador eligió I y jugar C si el jugador eligió D; (iii) jugar I si el jugador eligió I y jugar D si el jugador eligió D; (iv) jugar D si el jugador jugó I y jugar I si jugó D; (v) jugar D si el jugador jugó I y jugar C si el jugador jugó D; (vi) jugar D haga lo que haga el jugador. Dadas estas estrategias, la matriz de pagos de la representación normal es: Jugador Jugador I I I C I D D I D C D D I 3, 3, 3, 0, 0, 0, D,, 0,0,, 0,0 3.. Mejores respuestas. Si el jugador juega I, las estrategias D I, D C y D D integran el conjunto de mejores respuestas del jugador. Si el jugador juega D, las mejores respuestas de son I C y D C. A su vez, si el jugador elige I I, I C o I D, la mejor respuesta para el jugador es I. Si el jugador elige D I o D C, la mejor respuesta del jugador es D. Finalmente, si el jugador elige D D, tanto I como D son mejores respuestas de. En la matriz, representamos las mejores respuestas con una línea debajo de la ganancia del jugador cuya respuesta estamos evaluando Equilibrios de Nash. Los equilibrios de Nash son pares de mejores respuestas. En este juego, hay dos: (i) Jugador elige D y jugador elige D C y (ii) jugador elige I y jugador elige D D El jugador es el último en jugar. Elige D, si el jugador eligió I y elige C, si el jugador eligió D. En la etapa previa, el jugador elige D, ya que con esta elección obtiene (dado que sabe que el jugador va a elegir C llegado a ese punto del juego) y, en cambio, si eligiera I obtendría 0, porque en ese caso el jugador elegiría D. Por lo tanto, hay un único resultado por retroinducción: jugador juega D y luego jugador juega C Hay dos equilibrios de Nash pero sólo un resultado por retroinducción. El equilibrio de Nash (I, D D ) no resiste el criterio de retroinducción. La estrategia D D no es creible, en el sentido que el jugador nunca jugaría D después de que el jugador hubiera jugado D. 6

7 4.. La matriz de pagos es: Empresa Empresa (4,4) (0,0) (6,8) (0,0) (,) (4,6) (8,6) (6,4) (-6,-6) 4.. El equilibrio de Nash está indicado en rojo y trazo grueso en la matriz anterior. La empresa elige 4, si la empresa eligió 4 y viceversa, la empresa elige 4 si la empresa elige 4. No hay otro equilibrio de Nash. Si una empresa eligiera jugar, la producción óptima para la otra sería 4. Por lo tanto, las dos jugando no puede ser un equilibrio de Nash. Si una empresa eligiera 6, la producción óptima para la otra sería. Por lo tanto, no hay un equilibrio de Nash en que las dos empresas jueguen Si las empresas pudieran ponerse de acuerdo para fijar conjuntamente la producción, dividiéndose las utilidades por partes iguales, elegirían restringir la producción a unidades cada empresa. Con eso, obtendrían utilidades de 4 cada una, en lugar de las que obtienen en el equilibrio de Nash. 7