3. Pulsos representativos

Transcripción

1 3. Pulsos representativos 3.1 Pulsos gaussianos Como su propio nombre indica son pulsos cuya envolvente es una gaussiana. Los pulsos gaussianos tienen solución analítica conocida. Para nuestras simulaciones dichos pulsos irán multiplicados por una portadora por lo que realmente los pulsos que usaremos serán de la forma jω 0t U(0, = e Y la envolvente para el caso particular del pulso gaussiano será: 1 t = Ao exp (1 + ic) ( ) To Si lo representamos gráficamente: Figura 1 Pulsos gaussianos chirpeados Los pulsos gaussianos, como vimos en el apartado anterior, son pulsos cuya envolvente es una función gaussiana, y cuando la frecuencia del pulso varía con el tiempo se dice que tienen chirp. Las razones por la que se suele emplear esta familia de pulsos en el estudio de la dispersión son: - Por conveniencia matemática, puesto que la transformada de Fourier de un pulso gaussiano es también un pulso gaussiano. - Porque los pulsos emitidos por los láseres fabricados con semiconductores, cuando se modulan directamente, adquieren un cierto chirp. - Porque tanto la dispersión como algunos efectos no lineales pueden provocar que pulsos que inicialmente no tienen chirp lo adquieran al propagarse por la fibra.

2 La expresión matemática del pulso gaussiano es: 1 t = Ao exp (1 + ic) ( ) To Donde A 0 es la amplitud de pico del pulso, T 0 determina la anchura, y C es el factor de chirp, que determina el grado de variación de la frecuencia del pulso. Como vemos en la ecuación anterior, variaciones cuadráticas en la fase den lugar a variaciones lineales en frecuencia. Si C es positivo, la frecuencia del pulso aumenta linealmente con el tiempo, y si C es negativo, disminuye linealmente con el tiempo. A continuación se puede ver la representación gráfica de un pulso gaussiano con chirp negativo: Figura 13: Amplitud de un pulso gaussiano con factor de chirp C=-3 Como vemos en la gráfica la frecuencia del pulso va variando linealmente por eso decimos que el pulso esta linealmente chirpeado. El espectro en frecuencia de un pulso chirpeado es siempre mayor que el de uno no chirpeado de la misma longitud. Esto es fácil de demostrar si trasformamos al dominio de la frecuencia la ecuación del apartado anterior: ω) = π To Ao 1+ ic 1 ω T exp 1 o ( + ic) Como se observa, la anchura espectral viene dada por: Δω = 1 + C / o To En ausencia de chirp (pulso gaussiano normal) la anchura espectral satisface la relación Δω oto = 1. Es decir, la anchura espectral de un pulso gaussiano chirpeado es igual a la de uno no chirpeado multiplicado por un factor: 1+ C

3 Si queremos calcular analíticamente como evoluciona el pulso a lo largo de la fibra, multiplicamos en frecuencia por la ecuación de la fibra y calculamos la antitransformada: A( ξ, = A o b f (1 + ic1) i exp + tan To bf 1 ξ 1+ Cξ Donde ξ es la distancia normalizada y vale ξ = z / Ld, siendo Ld la longitud de dispersión (longitud a la que la dispersión comienza a ser significativa) y que tiene un valor: Ld = To / β. El parámetro bf (factor de anchura) y C1 (chirp instantáneo están relacionados con ξ de la forma: [ ξ ξ ] 1 (1 + sc ) + C1( ξ ) = C + s(1 C ξ ( ξ ) = ) bf + Donde s=signo de β que toma un valor + o dependiendo de si el pulso se propagaba en la zona de dispersión normal o anómala de la fibra. El código para representar en matlab dichas ecuaciones seria: %%%% %%% NOMBRE DEL ARCHIVO: Chirp.m NOMBRE DE LA FUNCION: Chirp %%% %%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez FECHA: %%% %%% DESCRIPCION: La funcion calcula el ensanchamiento producido %%% %%% en un pulso gaussiano chirpeado de To=50 ps cuando %%% %%% se propaga en tercera ventana por una fibra optica %%% %%% en funcion de la distacia normalizada (previamente %%% %%% definida). Despreciamos los efectos de atenuación %%% %%% y el retardo de grupo (primera derivada). %%% %%%% function Chirp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % longitud de onda de trabajo (nm) lambda=1550; % c (nm/ps) c=3*10^5; % lambda a la que la dispersion es 0 (nm) lambdao=131; % pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^*km So=0.090;

4 % Anchura del pulso gaussiano To picoseg To=50; %ps % Calculamos B (ps^/km) Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3)); B=-(Dispersion*(lambda^))/(*pi*c) % Vamos a representar los datos que obtuvimos en teoria % Definimos el vector de distancias z=[0:1/100:300]; % Calculamos la distancia Ld Ld=(To^)/abs(B); Dnorm=z/Ld; s=sign(b); % Definimos las tres funciones a representar % Chirp igual a chirp=; anchura1=sqrt((1+s*chirp*dnorm).^+(dnorm.^)); C1=chirp+s*(1+chirp^)*Dnorm; % Chirp igual a - chirp=-; anchura=sqrt((1+s*chirp*dnorm).^+(dnorm.^)); C=chirp+s*(1+chirp^)*Dnorm; % Chirp igual a 0 chirp=0; anchura3=sqrt((1+s*chirp*dnorm).^+(dnorm.^)); C3=chirp+s*(1+chirp^)*Dnorm; % Representamos las gráficas figure(1); plot(dnorm, anchura1) hold on plot(dnorm, anchura,'r') plot(dnorm, anchura3,'g') hold off figure(); plot(dnorm, C1) hold on plot(dnorm, C,'r') plot(dnorm, C3,'g') hold off Si representamos gráficamente los las dos expresiones anteriores obtedremos:

5 Figura 14 Hemos llegado a estos resultados mediante el desarrollo analítico de las ecuaciones correspondientes, pero el objeto de nuestro proyecto es llegar a estas soluciones, mediante la simulación de la propagación de pulsos chirpeados a través de una fibra, dejando un lado este desarrollo matemático que simplemente se muestra aquí como anexo aclaratorio. 3.- Pulsos supergaussianos En los sistemas de telecomunicaciones reales las envolventes de los pulsos de luz generados por los láseres existentes no se corresponden exactamente con los pulsos gaussianos normales o los pulsos gaussianos chirpeados. Para caracterizar la envolvente de los pulsos que emiten estos dispositivos haremos uso de los mencionados pulsos supergaussianos: La ecuación matemática que describe un pulso supergaussiano es: = 1+ jc t Ao exp To m Y la forma genérica del pulso una vez multiplicado por la portadora sería: Figura 15

6 Donde el parámetro m controla la forma del pulso. El pulso se asemejará más a un pulso rectangular cuanto más alto sea el valor de m. Los pulsos gaussianos chirpeados se corresponden con valores de m=1. Para valores altos de m el pulso se asemeja a un pulso rectangular. En el apartado de simulación estudiaremos la propagación de un pulso que tenga por envolvente a un pulso supergaussiano para algunos valores de m.