Cálculo Matemático. dx + 6y = 0, dx. dt + dy

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1 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 11: Ecuaciones diferenciales Curso Introducción Los términos ecuaciones diferenciales invitan a pensar en la busqueda de soluciones de ciertas ecuaciones donde la incógnita debe ser una función, dada la referencia a la diferenciabilidad. En este tema nos plantearemos el estudio de ciertas ecuaciones, tales como y + 2y + y = 0, siendo y = f(x) la incógnita que hemos de hallar. 2 Conceptos básicos Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. + 5y = d 2 y ex, 2 + 6y = 0, dt + dt = 2x + y El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo d 2 ( ) 3 y y = e x es una ecuación diferencial de segundo orden. A veces las ecuaciones diferenciales de primer orden se escriben en la forma M(x, y) + N(x, y) = 0. Por ejemplo, si suponemos que y representa la variable dependiente en (y x) + 4x = 0, entonces y =, por lo que al dividir todo por obtenemos la expresión equivalente 4x y + y = x. En general escribiremos una ecuación diferencial de orden n como sigue F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 o bien dn y n = f(x, y, y,..., y (n 1) ) Se llama solución de una ecuación diferencial a una función que al ser sustituida en la misma, la convierte en una identidad. Ejemplos. a) y = x4 16 es una solución de = x y. b) y = xe x es una solución de y 2y + y = 0. 3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado, si se resuelve respecto a la derivada puede escribirse en la forma = f(x, y) En el caso sencillo de la ecuación = f(x), es fácil obtener la solución mediante integración y = f(x) + C la cual contiene una constante arbitraria, que puede calcularse si se conoce el valor y(x 0 ) = y 0, quedando y = y 0 + x x 0 f(x)

2 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 2 Este ejemplo pone de manifiesto que las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden constituyen una familia de curvas, cada una de las cuales responde a lo que se domina un problema de valores iniciales. y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 Ejemplo. Resolver el problema de valores iniciales y = y y(0) = 3 La ecuación diferencial y = y tiene como solución general, la familia de funciones y = Ce x, la curva que verifica que y(0) = 3, es decir, que pasa por el punto (0, 3) es y = 3e x. Si cambiamos las condiciones iniciales, como por ejemplo y(1) = 2, estaremos buscando la curva de la familia que pasa por el punto (1, 2), que no es otra que la que se obtiene para C = 2e 1, con lo que obtenemos y = 2e x Ecuaciones con variables separadas Las ecuaciones separables o de variables separadas son ecuaciones diferenciales de la forma = g(x)h(y) o bien f 2(y) = f 1 (x) El método de resolución consiste en, una vez separadas las variables a ambos lados de la igualdad, integrar en cada miembro respecto a la variable correspondiente, es decir 1 h(y) = g(x) o bien f 2 (y) = f 1 (x) Ejemplos. 1. Resolver (1 + x) y = 0. (1 + x) = y 1 y = x 1 y = x ln y = ln 1 + x + c 1 de donde obtenemos y = e ln 1+x +c1 y = e ln 1+x e c1 y = C(1 + x) 2. Resolver el problema de valor inicial = x, y(4) = 3. y y = x y = x y2 2 = x2 2 + c 1 x 2 + y 2 = c 2 para obtener la solución que pasa por el punto (4, 3), basta con sustituir estos valores en x e y con lo que nos queda que c 2 = 25. Por lo tanto la solución buscada es x 2 + y 2 = 25

3 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 3 3. En ocasiones el procedimiento para solucionar una ecuación diferencial, nos puede llevar a la perdida de soluciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación = y2 4, actuamos comos sigue y 2 4 = y 2 4 = despejando ahora la y obtenemos la solución general ln y 2 y + 2 = 4x + c 1 y 2 y + 2 = Ce4x y = Ce4x 1 Ce 4x Ahora bien, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial = y2 4, tenemos la expresión = (y 2)(y + 2), lo que pone de manifiesto que y = 2 e y = 2 son dos soluciones constantes (de equilibrio) de nuestra ecuación diferencial. La solución y = 2 se obtiene de nuestra solución general tomando C = 0, pero no se puede obtener y = 2 a partir de la solución general para ningún valor de C. 3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas que pueden escribirse de la forma = f( y x ) las cuales se reducen a una de variables separadas tras efectuar el cambio z = y, o lo que es lo mismo x y = xz, obteniéndose = x dz Ejemplos. 1. x dz + z = f(z) + z, por lo que la ecuación se transforma en dz f(z) z = x = y x + tg y. Haciendo el cambio y = xz, obtenemos x dz f(z) z = ln x + lnk x = Ce x dz cosz dz + z = z + tgz = senz x senz = Cx sen y x = Cx dz f(z) z 2. (x + y) (y x) = 0. Para comprobar que es una ecuación diferencial homogénea, despejemos. efectuando el cambio y = xz, obtenemos (x + y) = (y x) = x + y y x = 1 + y x y x 1 x dz + z = 1 + z z 1 (z 1)dz 1 + 2z z 2 = x 1 2 ln 1 + 2z z2 = ln x + lnc x 2 + 2xy y 2 = C

4 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación del tipo siguiente + p(x)y = f(x) donde p(x) y f(x) se considerarán funciones continuas. Si f(x) 0, la ecuación se dice homogénea y es en realidad una ecuación de variables separadas. En caso contrario la ecuación se dice no homogénea. Para solucionar las ecuaciones lineales no homogéneas, se procede como sigue: multiplicamos la ecuación por la p(x) expresión e, con lo que obtenemos p(x) e + p(x)e p(x) p(x) y = f(x)e o lo que es lo mismo d [ ] p(x) e p(x) y = f(x)e integrando a ambos lados nos queda p(x) e p(x) y = f(x)e y = e p(x) p(x) f(x)e Ejemplos. 1. y x = x2. Multiplicamos la ecuación por e 2. 1 x y x 2 = x d [ y 1 ] = x y 1x x = 1 x = 1, con lo que tenemos x x = x2 2 + C y = x3 2 + Cx y cotg x = 2x sen x. Multiplicamos la ecuación por e cotg x = 1, con lo que tenemos sen x 1 cos x y sen x sen 2 x = 2x d [ y ] 1 = 2x y sen x 1 sen x = 2x = x 2 +C y = x 2 sen x+csen x 3.4 Ecuaciones diferenciales exactas Puede suceder que el primer miembro de la ecuación M(x, y) + N(x, y) = 0 sea la diferencial total de cierta función u(x, y), es decir, du(x, y) = u u (x, y) + (x, y) = M(x, y) + N(x, y) x y y por lo tanto la ecuación diferencial puede ser escrita en la forma du(x, y) = 0 u(x, y) = C (solución de la ecuación, con C constante) A este tipo de ecuaciones diferenciales se les denomina ecuaciones exactas y una condición necesaria y suficiente para que una ecuación M(x, y) + N(x, y) = 0 lo sea es que

5 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 5 M y N (x, y) = (x, y) x La forma de resolver este tipo de ecuaciones es la siguiente. Dado que u u (x, y) = M(x, y) y (x, y) = N(x, y) x y podemos llegar a u(x, y), mediante integración de M(x, y) respecto a x o bien, mediante integración de N(x, y) respecto a y. En el primero de los casos tendríamos u(x, y) = M(x, y) + C(y) donde todo lo que dependa de y se considera constante en el proceso de integración. Para obtener la función C(y), bastará con imponer que u y (x, y) = [ ] M(x, y) + C (y) = N(x, y) y En el segundo u(x, y) = N(x, y) + C(x) donde todo lo que dependa de x se considera constante en el proceso de integración. Para obtener la función C(x), bastará con imponer que [ ] u (x, y) = N(x, y) + C (x) = M(x, y) x x Ejemplos. 1. (x + y + 1) + (x y 2 + 3) = 0. Dado que M(x, y) = x + y + 1 y que N(x, y) = x y 2 + 3, se tiene que (x + y + 1) y (x, y) = 1 = (x y2 + 3) (x, y) x con lo que se trata de una ecuación diferencial exacta, luego u(x, y) = M(x, y) + C(y) = (x + y + 1) + C(y) = x2 + yx + x + C(y) 2 para calcular C(y) u y (x, y) = x + C (y) = N(x, y) = x y C (y) = y C(y) = y y por lo que la solución será u(x, y) = C x2 2 + yx + x y y = C (C constante) 2. y sen x y cos x = 1. Escribiendo la ecuación en la forma equivalente (y sen x 1) cos x = 0, se tiene que M(x, y) = y sen x 1 y N(x, y) = cos x, por lo que (y sen x 1) (x, y) = sen x = y ( cos x) (x, y) x

6 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 6 para calcular C(x) u(x, y) = N(x, y) + C(x) = cos x + C(x) = ycosx + C(x) u x (x, y) = ysenx + C (x) = M(x, y) = y sen x 1 C (x) = 1 C(x) = x por lo que la solución será u(x, y) = C ycosx x = C (C constante) 4 Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes Comenzaremos introduciendo algunos ejemplos en los que comparecen ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y coeficientes constantes, para luego pasar a estudiar su resolución. 4.1 Vibraciones Mecánicas En la vida cotidiana aparacen diversos ejemplos de vibraciones mecánicas: automóviles al circular por suelo irregular, obras arquitectónicas sometidas a fuerzas exteriores, problemas de aeronáutica. etc. Para llegar a entender este tipo de movimientos se suele empezar estudiando un sistema muy sencillo, consistente en un resorte en espiral uno de cuyos extremos está fijo en un punto y en el otro está suspendido un cuerpo con una determinada masa. Para el estudio de este sistema recordemos dos leyes físicas fundamentales. Ley de Hooke: en un sistema resorte-masa la fuerza de restitución, opuesta a la dirección del alargamiento del resorte, es de magnitud proporcional al valor del alargamiento. Ejemplo: si un cuerpo de 2 Kg de masa estira el resorte 6 cm entonces el resorte ejerce una fuerza 6k con k > 0. Además se puede calcular k teniendo en cuenta que en la posición de equilibrio el peso y la fuerza de restitución son iguales en módulo y de sentidos opuestos, por lo que = 6k, por tanto k = Segunda Ley de Newton: si la masa de un cuerpo es constante, F = m a. Consideramos x(t) la posición en el instante t de la masa, partiendo de que x(0) = 0 es el punto de equilibrio, es decir, entendemos x > 0 cuando la posición del objeto está por debajo de la de equilibrio y x < 0 cuando está por encima. Analicemos ahora las distintas fuerzas que actúan sobre la masa m. Gravedad: fuerza dirigida hacia abajo de magnitud F 1 = m g.

7 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 7 Fuerza de restitución: fuerza hacia arriba ejercida por el resorte y que es proporcional al alargamiento. Si tomamos l como el alargamiento inicial, es decir, en la posición de equilibrio, en cada instante t el alargamiento será (l + x), luego F 2 = k(l + x) = kl kx. Pero en la posición de equilibrio esta fuerza es igual, en magnitud, al peso kl = mg. Por lo tanto F 2 = kx mg. Fuerza de amortiguación: fuerza de resistencia del medio. Supondremos que es proporcional a la velocidad de la masa, pero en dirección opuesta a ésta F 3 = b, b > 0; (b cte de amortiguación). dt Fuerzas externas: todas las fuerzas externas que actúan sobre la masa (magnéticas y de otros tipos) F 4 = f(t). Para simplificar supondremos que sólo dependen del tiempo y no de la posición. La trayectoria de la masa verifica entonces: m d2 x dt 2 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = mg kx mg b dt + f(t), de donde se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden m d2 x dt 2 + b + kx = f(t). dt Según los valores de b y f(t) se distinguen los siguientes casos: 1. b = 0, f(t) = 0. Sistema libre no amortiguado. Produce el movimiento armónico simple. El objeto no se para. 2. b > 0, f(t) = 0. Sistema libre amortiguado (a) Si b 2 < 4mk, movimiento oscilatorio o subamortiguado. El objeto oscila cada vez menos. (b) Si b 2 = 4mk, movimiento críticamente amortiguado. El objeto no oscila. (c) Si b 2 > 4mk, movimiento sobre amortiguado. El objeto no oscila. En cualquiera de los casos anteriores f(t) 0 con lo que la ecuación diferencial se reduce a m d2 x dt 2 + b + kx = 0. dt Si nos planteamos cómo deben ser las funciones solución de esta última ecuación, no sería muy descabellado pensar que han de ser exponenciales o trigonométricas, pues la ecuación nos dice que no debe haber mucha diferencia entre la función x(t) y sus derivadas. Ejemplos: d2 x dt x = 0; dt x 1(t) = e 4t cos(3t), x 2 (t) = e 4t sen(3t). d2 x dt dt + 25x = 0; x 1(t) = e 5t, x 2 (t) = te 5t.

8 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja Teoría general La ecuación homogénea Pasemos a continuación a demostrar una serie de propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, que nos ayudarán a entender el método de resolución de éstas. Sea la ecuación diferencial a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = f(x) (4.1) donde a 0, a 1,..., a n son constantes reales, y(x) C n, f(x) C (a x b). En caso de que f 0 (función nula) la ecuación (4.1) se dice homogénea a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = 0. (4.2) Proposición. Si y 1 (x) es solución de la ecuación lineal homogénea (4.2), entonces Cy 1 (x) es también solución de la ecuación (4.2) para toda constante C. Demostración. Dado que para todo k N se verifica que igualdad (4.2) aplicado a Cy 1 (x) quedaría dk k [Cy 1(x)] = Cy (k) 1 (x), el lado derecho de la o lo que es lo mismo a 0 Cy (n) 1 (x) + a 1 Cy (n 1) 1 (x) a n Cy 1 (x) C[a 0 y (n) 1 (x) + a 1 y (n 1) 1 (x) a n y 1 (x)] = 0. Nótese que la suma expresada entre corchetes es cero, ya que y 1 (x) es solución de (4.2). Proposición. Si y 1 (x) e y 2 (x) son dos soluciones de la ecuación homogénea (4.2), entonces y 1 (x) + y 2 (x) también es solución de dicha ecuación. Demostración. Dado que para todo k N se verifica que derecho de la igualdad (4.2) aplicado a y 1 (x) + y 2 (x) quedaría dk k [y 1(x) + y 2 (x)] = y (k) 1 (x) + y(k) 2 (x), el lado o lo que es lo mismo a 0 [y (n) 1 (x) + y (n) 2 (x)] + a 1 [y (n 1) 1 (x) + y (n 1) 2 (x)] a n [y 1 (x) + y 2 (x)] [a 0 y (n) 1 (x) + a 1 y (n 1) 1 (x) a n y 1 (x)] + [a 0 y (n) 2 (x) + a 1 y (n 1) 2 (x) a n y 2 (x)] = 0 nótese que las sumas expresadas entre corchetes son cero, ya que y 1 (x) e y 2 (x) son soluciones de (4.2). Corolario. Si y 1 (x), y 2 (x),..., y p (x) son soluciones de (4.2), entonces y(x) = solución de (4.2), siendo C 1, C 2,..., C p constantes arbitrarias. n C i y i (x) es también i=1 Proposición. Si la ecuación (4.2) admite una solución compleja y(x) = u(x) + iv(x), (y : R C), entonces las funciones reales Re(y(x)) = u(x), Im(y(x)) = v(x) son también soluciones de (4.2). Demostración. Dado que para todo k N se verifica que dk k [u(x)+iv(x)] = u(k) (x)+iv (k) (x), la igualdad (4.2) aplicada a u(x) + iv(x) quedaría 0 = 0 + i0 = a 0 [u (n) (x) + iv (n) (x)] + a 1 [u (n 1) (x) + iv (n 1) (x)] a n [u(x) + iv(x)]

9 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 9 o lo que es lo mismo 0 = 0 + i0 = [a 0 u (n) (x) + a 1 u (n 1) (x) a n u(x)] + i[a 0 v (n) (x) + a 1 v (n 1) (x) a n v(x)] aplicando la igualdad de números complejos, se deduce que a 0 u (n) (x) + a 1 u (n 1) (x) +... a 0 v (n) (x) + a 1 v (n 1) (x) a n v(x) = 0. + a n u(x) = 0 y Definición. Decimos que las funciones y 1 (x), y 2 (x),..., y m (x) son linealmente dependientes en cierto segmento de variación de x, a x b, si existen constantes no todas nulas α 1, α 2,..., α m, tales que α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α m y m (x) = 0 (a x b) En caso de que esta última identidad sólo se verifique para α 1 = α 2 =... = α m = 0, diremos que las funciones son linealmente independientes en a x b. Ejemplos: Las siguientes funciones son linealmente independientes en cualquier segmento a x b. 1. 1, x, x 2,..., x n 2. e k 1x, e k 2x,..., e k mx (k i k j si i j). 3. e k 1x, x e k 1x,..., x n 1 e k 1x,..., e k px, x e k px,..., x n p e k px (k i k j si i j). Proposición. Si las funciones y 1, y 2,..., y n son linealmente dependientes en el segmento a x b, entonces en dicho segmento el determinante y 1 y 2 y 3 y n y 1 y 2 y 3 y n W (x) = W [y 1, y 2,..., y n ] = y 1 y 2 y 3 y n y (n 1) 1 y (n 1) 2 y (n 1) 3 y n (n 1) llamado wroskiano, es idénticamente nulo. Demostración. Como y 1, y 2,..., y n son linealmente dependientes, deben existir α 1, α 2,..., α m constantes, no todas nulas, tales que α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α m y m (x) = 0. (a x b) Derivando esta igualdad n 1 veces obtenemos el sistema α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α m y m (x) = 0 α 1 y 1(x) + α 2 y 2(x) α m y m(x) = 0... α 1 y (n 1) 1 (x) + α 2 y (n 1) 2 (x) α m y (n 1) m (x) = 0. Para cada x 0 [a, b], este sistema representa un sistema lineal homogéneo con incógnitas α i, i = 1, 2,...n. Como existe solución distinta de la trivial, el determinante de la matriz del sistema es cero, es decir, W (x 0 ) = 0, y dado que esto se verifica para todo x 0 [a, b], concluimos que W (x) = 0 en dicho segmento.

10 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 10 Teorema. Dada la ecuación diferencial p 0 (x)y (n) (x) + p 1 (x)y (n 1) (x) p n (x)y(x) = q(x) si p i (x), i = 0, 1,..., n y q(x) son funciones continuas en un intervalo (a, b) que contiene al punto x 0, entonces el problema de valores iniciales { p0 (x)y (n) (x) + p 1 (x)y (n 1) (x) p n (x)y(x) = q(x) admite una solución única en el intervalo (a, b). y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 Nota: En nuestro caso p i (x) = a i cte para todo i = 0, 1,..., n y q(x) = 0, por tanto son funciones continuas en cualquier intervalo (todo R). Por lo que tenemos garantizada la aplicación del teorema. Proposición. Si las funciones linealmente independientes y 1, y 2,..., y n son soluciones de la ecuación lineal homogénea (4.2), en el segmento a x b, entonces W (x) 0 para todo x [a, b]. Demostración. Usemos el método de reducción al absurdo. Supongamos que existe x 0 [a, b] para el que W (x 0 ) = 0. Elegimos constantes α i (i = 1, 2,..., n) tales que se verifica el sistema α 1 y 1 (x 0 ) + α 2 y 2 (x 0 ) α n y n (x 0 ) = 0 α 1 y 1(x 0 ) + α 2 y 2(x 0 ) α n y n(x 0 ) = 0... α 1 y (n 1) 1 (x 0 ) + α 2 y (n 1) 2 (x 0 ) α n y (n 1) n (x 0 ) = 0. Debido a que W (x 0 ) = 0, tenemos garantizada la existencia de soluciones distintas de la trivial (algún α i 0). La función y(x) = α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α n y n (x) es solución de la ecuación homogénea (Corolario 2.1), verificando y(x 0 ) = 0, y (x 0 ) = 0,..., y (n 1) (x 0 ) = 0, pero estas mismas condiciones iniciales las verifica la función y 0. Por el teorema de existencia y unicidad, deducimos que α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α n y n (x) = 0 con algún α i 0, lo que contradice la hipótesis. Por tanto, para todo x [a, b], W (x) 0. Proposición. La combinación lineal y(x) = n C i y i (x), con coeficientes constantes arbitrarios, de n i=1 soluciones particulares linealmente independientes en el segmento a x b, de la ecuación (4.2), constituye la solución general de esta ecuación en dicho intervalo. Demostración. La ecuación (4.2), para a x b, verifica las condiciones del teorema de existencia n y unicidad. Por ello la solución y(x) = C i y i (x) será general, es decir, contendrá a todas las soluciones i=1 particulares sin excepción, si es posible escoger las constantes arbitrarias C i de manera que se satisfagan las condiciones iniciales dadas arbitrariamente y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y0 n 1 donde x 0 es un punto cualquiera del segmento a x b. n Al exigir que y(x) = C i y i (x) satisfaga las condiciones iniciales impuestas, obtenemos un sistema de n i=1 ecuaciones lineales con respecto a C i (i = 1, 2,..., n) C 1 y 1 (x 0 ) + C 2 y 2 (x 0 ) C n y n (x 0 ) = y 0 C 1 y 1(x 0 ) + C 2 y 2(x 0 ) C n y n(x 0 ) = y 0... C 1 y (n 1) 1 (x 0 ) + C 2 y (n 1) 2 (x 0 ) C n y n (n 1) (x 0 ) = y0 n 1

11 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 11 cuyo determinante es diferente de cero, puesto que dicho determinante es el wroskiano, W (x 0 ) de n soluciones linealmente independientes de la ecuación (4.2). Por tanto, este sistema es resoluble con respecto a C i para cualquier x 0 [a, b] y para cualesquiera segundos miembros. Corolario. Esta última proposisción nos asegura que el número máximo de soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea es igual a su orden. Definición. Se llama sistema fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, de orden n, al conjunto de cualesquiera n soluciones particulares linealmente independientes. El siguiente teorema resume los resultados obtenidos hasta el momento Teorema. Supongamos que p i (x), (i = 0, 1, 2,..., n) son funciones continuas sobre el intervalo I, e y i (x), (i = 1, 2,..., n) son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: p 0 (x)y (n) (x) + p 1 (x)y (n 1) (x) p n (x)y(x) = {y 1, y 2,..., y n } es un conjunto fundamental de soluciones. 2. W [y 1, y 2,..., y n ] 0 en todo I. 3. {y 1, y 2,..., y n } es un conjunto linealmente independiente de soluciones. 4. La solución general de la ecuación viene dada por y(x) = n C i y i (x)) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x). i=1 Ya estamos en condiciones de intentar resolver las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y coeficientes constantes. Dada la ecuación a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = 0, hemos de encontrar n soluciones linealmente independientes para construir la solución general. Tal y como habíamos apuntado parece lógico empezar por buscar soluciones del tipo y(x) = e rx. Teniendo en cuenta que y (k) (x) = dk k y(x) = rk e rx, llevado a la ecuación obtenemos: a 0 r n e rx + a 1 r n 1 e rx a n e rx = 0, (a 0 r n + a 1 r n a n )e rx = 0, y como e rx 0 debe ser a 0 r n + a 1 r n a n = 0. Ésta es la llamada ecuación característica. Las raíces de la ecuación característica determinan los valores de r para los que e rx es solución de la ecuación diferencial. Estudiemos las distintas posibilidades para dichas raíces. 1. La ecuación característica posee n raíces reales y distintas, r 1, r 2,..., r n. En este caso, las funciones y 1 (x) = e r1x, y 2 (x) = e r2x,..., y n (x) = e rnx, forman un sistema fundamental de soluciones. Por tanto la solución general será n y(x) = C i y i (x) = C 1 e r1x + C 2 e r2x C n e rnx. i=1

12 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 12 Ejemplos: (a) y 3y + 2y = 0. (b) y y = La ecuación característica posee raíces complejas simples (éstas aparecen por pares, una y su conjugada): r 1 = a + ib r 2 = a ib. Puesto que e r 1x = e (a+ib)x = e ax e ibx = e ax [cos(bx) + isen(bx)], e r 2x = e (a ib)x = e ax e ibx = e ax [cos(bx) isen(bx)], haciendo uso de la Proposición 3, deducimos que e ax cos(bx) y e ax sen(bx) (parte real e imaginaria, respectivamente) son soluciones de la ecuación diferencial homogénea. Así, cada par de raíces complejas a ± bi aportan las soluciones e ax cos(bx), e ax sen(bx) al sistema fundamental de soluciones. Ejemplos: (a) y + 4y + 5y = 0. (b) y + a 2 y = 0. (c) y + 4y + 5y = La ecuación característica posee raíces múltiples r i raíz real con orden de multiplicidad k e rix, xe rix, x 2 e rix,..., x k 1 e rix son las soluciones aportadas por la raíz r i al sistema fundamental de soluciones. a ± ib raíces con orden de multiplicidad p. Ejemplos: e ax cos(bx), e ax sen(bx), xe ax cos(bx), xe ax sen(bx),..., x p 1 e ax cos(bx), x p 1 e ax sen(bx) son las soluciones aportadas por a ± ib. (a) y 3y + 2y = 0. (b) y (iv) + 8y + 10y + 56y + 25y = 0. (c) y (iv) 2y + 2y 2y + y = 0. Retomemos ahora nuestro ejemplo del muelle m d2 x 2 + b + kx = f(t), dt mx + bx + kx = f(t). Analizaremos cómo son las soluciones de esta ecuación en diferentes casos.

13 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja Sistema libre no amortiguado. En este caso no hay rozamiento, ni fuerzas externas. Es decir, b = 0, f(t) 0. La ecuación se reduce a mx + kx = 0. ( ) k mr 2 + k = 0 = r 2 = w 2 haciendo w = = r = ±iw. m La solución es de la forma x(t) = C 1 cos(wt) + C 2 sen(wt). Si hacemos C 1 = A sen φ, C 2 = A cos φ o lo que es lo mismo A = escribir x(t) = A sen(wt + φ) C C2 2, tag φ = C 1 C 2, podemos El movimiento resultante se conoce como movimiento armónico simple. A amplitud del movimiento, φ ángulo de fase y 2π w periodo. 2. Sistema libre amortiguado. Ahora no hay fuerzas externas, pero sí rozamiento. Es decir, b > 0, f(t) 0. La ecuación es mx + bx + kx = 0. (a) b 2 < 4mk, r = b 4mk b ± i 2 Haciendo otra vez A = mr 2 + bm + k = 0 = r = b ± b 2 4mk x(t) = e b t [C 1 cos( C C2 2, tag φ = C 1 C 2 4mk b 2 4mk b 2 t) + C 2 sen( t)]. x(t) = Ae b 4mk b t 2 sen[( )t + φ]. Éste es el movimiento oscilatorio o subamortiguado. La cantidad 4πm 4mk b 2 se llama cuasiperiodo. 2π 4mk b 2 =

14 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 14 (b) b 2 = 4mk, r = b raíz doble: x(t) = C 1 e b t + C 2 t e b t = e b t [C 1 + C 2 t]. La solución tiene un único punto crítico (máximo o mínimo) cuando C 2 b C 1 b C 2t = 0 (por tanto no oscila). Éste se llama movimiento críticamente amortiguado. (c) b 2 > 4mk, r 1 = b + b2 4mk es y r 2 = b b2 4mk. Ocurre que r 2 < r 1 < 0. La solución x(t) = C 1 e r 1t + C 2 e r 2t, y el comportamiento es esencialmente como en el caso anterior. Éste es el movimiento sobreamortiguado La ecuación no homogénea o completa Pasemos a continuación a estudiar la ecuación completa a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = f(x). Proposición. Si y p (x) es una solución particular de la ecuación completa e y 1 (x) es solución de la correspondiente ecuación homogénea, entonces y(x) = y 1 (x) + y p (x) es también solución de la ecuación completa. d n Demostración. Si denotamos por L al operador a 0 n + a d n 1 1 n a n, es obvio que Ly 1 (x) = 0 y que Ly p (x) = f(x), por tanto Ly(x) = L[y 1 (x) + y p (x)] = Ly 1 (x) + Ly p (x) = 0 + f(x) = f(x). Teorema. La solución general de la ecuación no homogénea viene dada por y(x) = y h (x) + y p (x)

15 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 15 donde y h (x) es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea e y p (x) cualquier solución particular de la ecuación completa. Demostración. homogénea. Análoga a la del teorema que daba la expresión de la solución general de la ecuación Nuestro problema consiste ahora en cómo buscar una solución particular de la ecuación completa. Introduciremos, a través de ejemplos, dos métodos. El primero, denominado de los coeficientes indeterminados, consiste en imitar el término no homogéneo de la ecuación, y sólo se puede aplicar cuando dicho término tenga una expresión adecuada. El segundo, llamado de variación de las constantes, es más general que el primero y puede aplicarse en cualquier caso. Coeficientes indeterminados 1. y + 3y + 2y = 3x + 1, probar a determinar a y b para que y p (x) = ax + b sea solución. 2. y + y = e 2x, probar a determinar A para que y p (x) = Ae 2x sea solución. 3. y + 2y + y = cos(2x), probar a determinar A y B para que y p (x) = A cos(2x) + B sen(2x) sea solución. 4. y + 2y + y = (2x 1)cos(2x), probar a determinar A, B, C y D para que y p (x) = (Ax + B)cos(2x) + (Cx + D)sen(2x) sea solución. En los siguientes ejemplos hemos de modificar algo este método debido a que el término no homogéneo de la ecuación está parcial o totalmente recogido en la solución general de la ecuación homogénea. Este hecho se debe a la naturaleza de las raíces de la ecuación característica. En todos ellos resuélvase primero la ecuación homogénea. 5. y (iv) + y = 5x 2 2x + 1. Pruébese primero con y p (x) = Ax 2 + Bx + C, y luego con y p (x) = x 2 (Ax 2 + Bx + C). 6. y + y = cos x. Pruébese primero con y p (x) = A cos x + B sen x, y después con y p (x) = x(a cos x + B sen x). 7. y + y = x cos x. Pruébese primero con y p (x) = (Ax + B)cos x + (Cx + D)sen x, y luego con y p (x) = x[(ax + B)cos x + (Cx + D)sen x]. 8. y (iv) 4y + 14y 20y + 25 = (3x + 1)e x cos(2x). Pruébese primero con y p (x) = (Ax + B)e x cos(2x) + (Cx + D)e x sen(2x), y luego con y p (x) = x 2 [(Ax + B)e x cos(2x) + (Cx + D)e x sen(2x)]. Dada la ecuación a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = f(x), el siguiente resumen es útil para la búsqueda de soluciones particulares por el método de los coeficientes indeterminados. 1. Si f(x) = b s x s + b s 1 x s b 1 x + b 0 : (a) r = 0 no es raíz de la ecuación característica: y p (x) = A s x s A 1 x + A 0. (b) r = 0 es raíz de orden k de la ecuación característica: y p (x) = x k (A s x s A 1 x + A 0 ).

16 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja Si f(x) = p(x)cos(bx) + q(x)sen(bx), donde p(x) y q(x) son polinomios no necesariamente de igual grado: (a) r = ±ib no son raíces de la ecuación característica: y p (x) = P (x)cos(bx) + Q(x)sen(bx) siendo P (x) y Q(x) polinomios, a determinar, de grado l = max[grado p(x), grado q(x)]. (b) r = ±ib son raíces de orden k de la ecuación característica: y p (x) = x k [P (x)cos(bx) + Q(x)sen(bx)] siendo P (x) y Q(x) polinomios, a determinar, de grado l = max[grado p(x), grado q(x)]. 3. Si f(x) = p(x)e ax, donde p(x) es un polinomio: (a) r = a no es raíz de la ecuación característica: y p (x) = P (x)e ax siendo P (x) un polinomio, a determinar, de igual grado que p(x). (b) r = a es raíz de orden k de la ecuación característica: y p (x) = x k P (x)e ax siendo P (x) un polinomio, a determinar, de igual grado que p(x). 4. Si f(x) = e ax [p(x)cos(bx) + q(x)sen(bx)], donde p(x) y q(x) son polinomios no necesariamente de igual grado: (a) r = a ± ib no son raíces de la ecuación característica: y p (x) = e ax [P (x)cos(bx) + Q(x)sen(bx)] siendo P (x) y Q(x) polinomios, a determinar, de grado l = max[grado p(x), grado q(x)]. (b) r = a ± ib son raíces de orden k de la ecuación característica: y p (x) = x k e ax [P (x)cos(bx) + Q(x)sen(bx)] siendo P (x) y Q(x) polinomios, a determinar, de grado l = max[grado p(x), grado q(x)]. Variación de las constantes Este método es más general que el anterior y puede aplicarse en cualquier caso. Dada la ecuación a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) a n y(x) = f(x), hallaremos la solución general de la correspondiente ecuación homogénea y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x), y supondremos que existe una solución particular de la ecuación completa de la forma y p (x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) C n (x)y n (x), donde las funciones incognitas C i (x), i = 1, 2,..., n las calcularemos resolviendo el sistema: C 1(x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) C n(x)y n (x) = 0 C 1(x)y 1(x) + C 2(x)y 2(x) C n(x)y n(x) = 0 C 1(x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) C n(x)y n(x) = 0... C 1(x)y (n 1) 1 (x) + C 2(x)y (n 1) 2 (x) C n(x)y n (n 1) (x) = f(x).

17 Cálculo Matemático. (Tema 11) Hoja 17 Ejemplos: 1. y 6y + 9y = e3x x 2 2. y + y = 1 sen x