FÍSICA. 2º DE BACHILLERATO. I.E.L. CURSO PROF: LUIS NÚÑEZ ONDAS.

Transcripción

1 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO ONDS. Se llama movimiento periódico a aquel en el que se repiten sus características (posición, velocidad y aceleración) a intervalos regulares de tiempo. Podemos poner como ejemplo los movimientos de rotación de la Tierra alrededor de si misma y alrededor del Sol. Incluso podríamos poner como ejemplo nuestra propia vida, ya que solemos repetir los mismos movimientos a intervalos regulares: nos levantamos a la misma hora los días de diario, vamos por el mismo camino al trabajo (o al Instituto), volvemos a la misma hora, incluso los fines de semana solemos repetir los lugares y horas a los que acudimos a distraernos (no dejamos de ser animales de costumbres). Un tipo de movimiento periódico es el vibratorio que consiste en aquel en el que una partícula se desplaza a ambos lados de una posición de equilibrio. Los ejemplos más claros son el de un péndulo y el de un muelle. En ambos casos el movimiento se produce por la acción de una fuerza de sentido contrario al desplazamiento y proporcional al mismo: F k. x cuyo sentido apunta siempre hacia el punto de equilibrio (x 0) y que, por tanto, obliga a la partícula a regresar siempre al mismo. ntes de pasar a estudiar el movimiento ondulatorio, vamos a repasar el movimiento vibratorio lo que nos permitirá entender con mayor claridad el primero. MOVIMIENTO RMÓNICO SIMPLE. Como ejemplo característico del movimiento vibratorio estudiaremos el Movimiento rmónico Simple (M..S.) que consiste en un movimiento vibratorio cuya amplitud y velocidad angular es constante. Por tanto tenemos un partícula que se mueve sobre una recta, a ambos lados de una posición de equilibrio y siempre entre los mismos límites. Características del movimiento: - Elongación (x): distancia que separa a la partícula de la posición de equilibrio. - mplitud (): máxima separación de la posición de equilibrio. - Frecuencia (n): número de vibraciones en la unidad de tiempo. Se mide en Hercios (Hz) que es una vibración por segundo. - Periodo (T): tiempo que tarda la partícula en dar una vibración. Si emplea T segundos en dar una vibración, en un segundo dará /T vibraciones, luego: n T. Para deducir las ecuaciones del M..S. vamos a considerar la proyección del movimiento circular uniforme de x = x x = - x = 0 t R

2 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO una partícula de masa m, sobre una recta, que en este caso será el eje Y, tal y como se indica en la figura. De esta forma queda: x R.sen y como R siendo la velocidad angular de giro de la partícula, y puesto que es constante: t luego =.t por lo que la ecuación de la posición de la partícula será: x.sen. t Como puede comprobarse, en el instante inicial (t=0), la partícula se encuentra en el punto de equilibrio (x=0). Pero no siempre sucede de esta forma, por lo que se debe añadir a la ecuación el ángulo que ya lleve recorrido la partícula en el instante inicial que se conoce con el nombre de ángulo de desfase (). La ecuación de la posición (elongación) de un M..S. queda definitivamente: x.sen(. t ) partir de esta ecuación podemos deducir fácilmente las de la velocidad y aceleración: dx dv v cos(. t ) y a sen(. t ) x dt dt Por otra parte, como ya hemos dicho que la fuerza debe ser del tipo F k. x, y si la partícula tiene una masa m, según el segundo principio de la Dinámica: F ma. Igualando las dos ecuaciones anteriores: k k. x m. a m. x de donde k m. ó m Lo que nos relaciona, por ejemplo en el caso de un muelle, la constante de recuperación elástica de la fuerza con la velocidad angular y por tanto con la frecuencia del movimiento vibratorio. Dicho de otra forma, la frecuencia del movimiento vibratorio es directamente proporcional a la fuerza de recuperación (mayor frecuencia cuanto mayor sea la fuerza) e inversamente proporcional a la masa de la partícula (menor frecuencia cuanto mayor sea la masa de la partícula). Por otra parte, la relación entre la velocidad angular y la frecuencia debe ser la siguiente: vib vuelt rd n ó. luego para obtener a partir de n debemos multiplicar s s s por, por lo que la relación será:.n Para comprender mejor el movimiento, vamos a calcular los valores de x, v y a a través de un ciclo (vibración) completo. Suponemos, para simplificar, que no hay ángulo de desfase, es decir, que en el instante inicial (t=0) la partícula se encuentra en el punto de equilibrio (x=0). t = 0 x = 0 Luego, para t=0 t=0:

3 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO x sen. t sen 0 0 v cos. t cos0 v MX a sen. t x 0 Por tanto, en el instante inicial, la partícula que se encuentra en el punto de equilibrio, presenta la velocidad máxima y la aceleración mínima. x = t Para t T 4. t x sen. t sen v cos. t cos 0 a sen. t x a MX Luego una vez recorrida una cuarta parte de la vuelta (vibración), se encuentra con la máxima separación de la posición de equilibrio. Su velocidad es nula, puesto pasa de velocidades positivas (en un sentido) a negativas (sentido contrario), y su aceleración máxima, pues ha estado frenando a la partícula y ahora tiene que acelerarla en el sentido contrario al que traía. El signo negativo de la aceleración se debe, al igual que en el caso de la fuerza, a que es contraria a la elongación. Para t T y. t t = x = 0 x sen. t sen 0 v cos. t cos v MX a sen. t x 0 Recorrida la mitad de la vuelta (vibración), vuelve a encontrarse en la posición de equilibrio, con la máxima velocidad pero moviéndose en sentido contrario. La aceleración es nula, pues antes de éste punto su velocidad ha ido aumentando hasta la máxima y a partir de aquí comienza a disminuir, luego debe pasar de aceleraciones positivas a negativas, luego es lógico que en este punto la aceleración sea nula. Para t 3T 4 y. t 3 x sen. t sen 3 v cos. t cos 3 0 a sen. t x a MX x = - t Luego cuando la partícula ha recorrido las tres cuartas partes de la vuelta (vibración), se encuentra en su máxima separación de la posición de equilibrio, pero a la otra parte. Su velocidad vuelve a ser 0 pues es el punto en el cambia de sentido su movimiento, pasa de velocidades negativas a positivas, y su aceleración vuelve a ser máxima y positiva, pues venía reduciendo su velocidad negativa debido a una aceleración contraria a la misma y que a partir de este punto convierte las velocidades en positivas. Con un cuarto de vuelta o un cuarto de periodo más volveríamos a la situación de partida y se repetiría íntegramente el ciclo o vibración.

4 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO Una vez comprendido el movimiento vibratorio podemos estudiar el movimiento ondulatorio, ya que, como veremos se basa en gran medida en el anterior. ENERGÍ DEL MOVIMIENTO VIBRTORIO. Veamos cual es la energía que tiene una partícula de masa m animada de un M..S. La energía mecánica que posee una partícula en vibración, solo puede ser de dos tipos: cinética o potencial: Ec mv y E p Kx ésta última es la que corresponde a una fuerza conservativa del tipo F Kx que es la responsable, como ya hemos visto, de un M..S. Según se puede ver en el esquema de lafigura, la energía será potencial en los extremos, ya que no hay cinética por ser v=0, y cinética en el punto de equilibrio, por ser x=0 y no haber potencial. v = 0 x = E c = 0 E = E x Si aplicamos el principio de conservación de la v = v x = 0 m a x energía mecánica, se concluye que se produce constantemente una transformación de energía cinética en potencial y viceversa. Podemos, por tanto, calcular la E x = 0 E = E c energía en un punto cualquiera, ya que la energía total v = 0 x = - E c = 0 E = E será siempre la misma se encuentre como potencial, x como cinética o repartida entre ambas. En el punto de equilibrio la energía estará toda como cinética. Luego: En x = 0 v cos. t v MX E Ec mv m Esta es la energía que posee una partícula en vibración. Pero además en el extremo x= y por tanto E E p Kx K m luego K m y E K,es decir, la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud. Como se ha dicho anteriormente, la calculada es la energía de una partícula con M..S., pero si el medio es elástico y el movimiento se transmite en una única dirección, ésta partícula transmitirá esa energía a la siguiente, ésta a otra y así sucesivamente. Luego la energía que se transmite es la calculada anteriormente que será también la energía del movimiento ondulatorio. MOVIMIENTO ONDULTORIO.

5 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO Se conoce como movimiento ondulatorio a la propagación de un movimiento vibratorio a través de un medio elástico. El ejemplo más clásico es de las olas que se producen en la superficie de un estanque cuando tiramos en él una piedra. Pero son también movimientos ondulatorios el sonido y la luz, aunque la naturaleza de ésta última sea, en realidad, un poco más compleja. Dada la definición, debemos hacer algunas consideraciones sobre la misma a fin de poder entender mejor la naturaleza de éste movimiento: - Lo que se transmite a través del medio es la perturbación o vibración, nunca la materia. Si se observan las olas en la superficie del estanque, se puede ver que las hojas u otros objetos que flotan sobre el agua suben y bajan debido a las olas, pero no se mueven en la dirección de las mismas. Lo que se transmite es la vibración producida por la piedra sobre la gota de agua en la que impacta. Este movimiento vibratorio lo transmite la primera gota de agua a las que tiene alrededor, éstas a las siguientes y así sucesivamente, produciéndose las olas que observamos en el estanque. Pero la primera gota no llega nunca a la orilla. - Todo movimiento vibratorio lleva asociada una energía. Por ejemplo conocemos las transformaciones de energía cinética en potencial que se dan en el movimiento vibratorio de un péndulo. El mismo tipo de transformaciones se dan en cualquier otro movimiento vibratorio, como veremos más adelante. Se puede decir, por tanto, que un movimiento ondulatorio es la transmisión de la energía de un movimiento vibratorio. - Si las partículas del medio absorbieran la energía en procesos internos (deformaciones, aumento de temperatura,...) la energía del movimiento no se transmitiría y el movimiento ondulatorio cesaría. Por tanto el medio que transmite el movimiento debe ser elástico, es decir, no debe absorber la energía transmitida. Esta sería la situación ideal, aunque en realidad los medios transmisores del movimiento no son perfectamente elásticos por lo que la energía se va absorbiendo a medida que va recorriendo el medio y como consecuencia la onda se va amortiguando hasta perderse. TIPOS DE ONDS: Según lo dicho anteriormente, debemos diferenciar el movimiento de cada partícula (vibratorio) de la transmisión del mismo a través del medio (ondulatorio). Teniendo en cuenta la dirección de ambos se distinguen dos tipos de movimientos ondulatorios: - TRNSVERSLES: La dirección de vibración de cada partícula es perpendicular a la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. Un ejemplo claro es el de las olas en el estanque: la dirección de vibración es perpendicular a la superficie del agua, mientras que la de propagación es paralela a la misma. - LONGITUDINLES: La dirección de vibración de cada partícula coincide con la de propagación del movimiento ondulatorio. El ejemplo clásico es el del sonido que consiste en la transmisión de ondas de presión a través del aire. Una membrana (las cuerdas vocales, la tripa de un tambor o la membrana de un altavoz) al vibrar empuja a la primeras partículas del aire que están en contacto con él, es decir, se produce un aumento de presión en esa primera capa de partículas. Éstas empujan a las siguientes, éstas a las otras y así sucesivamente se transmite la perturbación. l final acaba llegando al tímpano (otra membrana) al que le transmiten la vibración que nosotros interpretamos como sonido en el cerebro.

6 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO D I R E C C I Ó N D E P R O P G C I Ó N D I R E C C I Ó N D E V I B R C I Ó N O N D T R N S V E R S L O N D L O N G I T U D I N L Como se puede deducir de la figura, en el caso de las ondas transversales, es necesario que las partículas tengan algún tipo de unión entre ellas, pues de lo contrario no podrían transmitirse el movimiento. Puesto que los gases no presentan ningún tipo enlace entre las moléculas y en los líquidos no son lo suficientemente fuertes, las ondas transversales solamente se pueden propagar en los sólidos. Un ejemplo claro de ello son las ondas sísmicas. En el epicentro de un terremoto se producen los dos tipos de ondas, pero las transversales no atraviesan el manto terrestre debido al estado semilíquido que presenta el mismo. Sin embargo, hemos presentando como ejemplo de movimiento ondulatorio transversal el de las olas en la superficie del agua, que como todos sabemos es líquida, luego no se deberían poder transmitir ondas transversales. La explicación se debe a la existencia en la superficie de los líquidos de una fuerza llamada tensión superficial que consiste en la tendencia que muestran los líquidos a tener la menor superficie posible (esta fuerza es la causante de que las gotas de los líquidos sean esféricas pues la esfera contiene el mayor volumen en la mínima superficie). El efecto es que la superficie de los líquidos se comporta como la tripa de un tambor y, por tanto, aparecen fuerzas de unión entre las moléculas de la superficie permitiendo la transmisión de los movimientos transversales. En cambio, en el interior de los líquidos no hay tensión superficial por lo que las olas solo se producen en la superficie de los líquidos y no en el interior. CRCTERÍSTICS DEL MOVIMIENTO ONDULTORIO. demás de las ya descritas para el movimiento vibratorio, debemos añadir las siguientes: - Fase: es el estado de vibración de una partícula caracterizado por su posición, velocidad y aceleración. Se dice que dos partículas se encuentran en fase cuando coinciden las tres características anteriores, en caso contrario se encuentran desfasadas. El grado de desfase se mide por el ángulo que necesita recorrer una de ellas, dentro de su propia vibración, para llegar al estado de la otra y que se conoce como ángulo de desfase. - Longitud de onda (): es la distancia que separa dos partículas consecutivas que se encuentran en fase. - Velocidad de propagación (v): es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo, es decir, es la velocidad con la que se propaga la perturbación a través del medio. Como se puede deducir de la figura, el tiempo que tarda la partícula en dar un vibración completa debe ser el mismo que tarda el movimiento en llegar a B para que en ese mismo instante las partículas y B se encuentren en fase. Ese tiempo es el periodo B T T y la distancia recorrida la longitud de onda T

7 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO Como además la velocidad de propagación es constante, pues se puede demostrar que depende solamente de las características del medio, para un determinado tipo de movimiento ondulatorio: v s. n t T relación sumamente importante en el movimiento ondulatorio. - Foco: es la partícula o el punto donde comienza a producirse la vibración. En el caso del estanque, la gota de agua donde cae la piedra. El movimiento comienza en el foco y a partir de ahí se puede propagar en todas direcciones, aunque no siempre sucede así: - Movimientos u ondas unidimensionales: son aquellos que solamente se transmiten en una dirección. Por ejemplo, la vibración en la cuerda de una guitarra. - Movimientos u ondas bidimensionales: son los que se transmiten en dos dimensiones, es decir, a través de una superficie. Por ejemplo, las olas en el agua. - Movimientos u ondas tridimensionales: son los que se propagan en las tres direcciones del espacio. Por ejemplo, el sonido. Evidentemente, los más sencillos de estudiar son los unidimensionales y por ellos vamos a empezar. ECUCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULTORIO: Suponemos un punto F que vibra según la ecuación: v x.sen. t El movimiento se transmite en una F P d = v. t ' sola dirección con una velocidad v, llegando al punto P que se encuentra a una distancia d del foco F. Por tanto el punto P se moverá con un movimiento vibratorio igual al de F, es decir, de igual frecuencia y amplitud, ya que es el movimiento que se transmite, pero llevará un cierto retraso respecto a F, es decir, un cierto desfase, que se deberá al tiempo t' que ha tardado el movimiento en llegar de F a P: v s d t t t d ' luego ' v por tanto d x sen t t sen t P ( ') v y como.n queda sen t sen x P T T además v t d luego x P sen que es la forma en la que vamos a T T utilizar normalmente la ecuación del movimiento ondulatorio. Por tanto, como se puede deducir de la anterior ecuación, la posición de una partícula sometida a un movimiento ondulatorio, depende tanto de t, tiempo que lleva vibrando el foco F, como de la distancia d a la que se encuentre del mismo. Se dice entonces que la ecuación es doblemente periódica. Por otra parte se debe tener en cuenta que el término t d T d es un ángulo y se expresa en radianes, por lo que t T nos indica el número de vibraciones que ha dado la partícula. La d v t T d Tv

8 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO parte entera de este número nos indica las vibraciones completas efectuadas, mientras que la parte decimal nos indica la fracción de la última vibración recorrida, por lo que tiene tanta importancia o más que la parte entera, no pudiendo, por tanto, ser despreciada. De hacerlo tendríamos siempre vibraciones completas y sería siempre x=0. POTENCI EMISIV E INTENSIDD. Hasta ahora hemos considerado ondas unidimensionales, es decir, movimientos ondulatorios que se propagan en una sola dirección. Pero vamos a ver que ocurre cuando consideramos movimientos que se propagan en todas las direcciones del espacio, es decir, tridimensionales. El estudio se va a iniciar desde el punto de vista de la energía. Se llama potencia emisiva de un foco a la energía emitida por el mismo en la unidad de tiempo. Se llama intensidad de un movimiento ondulatorio a la energía que atraviesa la unidad de superficie normal a la dirección de propagación en la unidad de tiempo. De las definiciones anteriores se pueden deducir las siguientes ecuaciones: E P E P y I t S S. t Si consideramos un medio isótropo, es decir, homogéneo, la velocidad de propagación del movimiento será la misma en todas las direcciones, por lo se debe suponer que los frentes de ondas serán esféricos (se llama frente de ondas al conjunto de puntos que se encuentran en un mismo estado P = E / t F de vibración). Parece lógico suponer que la potencia de emisión del foco sea R R constante (podemos imaginarnos una bombilla), por lo que, a I una distancia R del foco, la intensidad del movimiento será: B I P P I S 4 R mientras que cuando se encuentre a una distancia R del foco: P P I S 4 R Si dividimos miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores: P I 4R 4R I R I P de donde 4R I R 4R Dicho de otra forma, cuando el frente de ondas haya llegado al punto, la energía emitida por el foco se encuentra repartida en una esfera de radio R, y superficie 4R. Cuando llegue al punto B, la misma energía se encuentra distribuida en una esfera de radio R y superficie 4R. Luego, a medida que va avanzando el frente de ondas, la energía emitida por el foco va ocupando una superficie mayor, luego la energía por unidad de superficie (intensidad) disminuye claramente con la distancia. Siguiendo el ejemplo de la bombilla, estaría más iluminada una habitación más pequeña (de menor superficie) que una más grande (de mayor superficie). Resumiendo, la intensidad (iluminación) disminuye con el cuadrado de la distancia.

9 FÍSIC. º DE BCHILLERTO. I.E.L. CURSO F R R Si ahora consideramos la energía concentrada en superficies iguales a la unidad ( m ) en dos frentes de ondas consecutivos que se encuentran a distancias R y R del foco F, teniendo para ello en cuenta solamente la energía emitida por el foco en la unidad de tiempo ( s): E I luego E ISt y E ISt S. t Si dividimos las dos últimas ecuaciones: E ISt pero como S S m E ISt E I queda si en este momento tenemos en E I cuenta la relación, ya obtenida, entre energía y amplitud E K y la sustituimos en la I E K ecuación anterior I R y teniendo en cuenta I E queda K I R R R ecuación que podemos expresar como o tambien R R cte. R R Es decir, que si el movimiento ondulatorio no es unidireccional, es decir, se propaga en más de una dirección, la amplitud del movimiento disminuirá con la distancia, cosa fácil de entender ya que la energía del movimiento estará distribuida en una superficie cada vez mayor a medida que el movimiento se propaga en el espacio, lo que hará que a cada partícula del medio le toque cada vez menos energía, lo que hará que la amplitud de su movimiento sea cada vez menor. R 3 S = F R R m S S S = m R 3 R R 3 3 R R M O V I M I E N T O O N D U L T O R I O N O U N I D I R E C C I O N L M O V I M I E N T O O N D U L T O R I O U N I D I R E C C I O N L Mientras que en un movimiento unidireccional, como el de vibración de una cuerda de guitarra, si se considera un medio ideal, inerte y elástico, es decir, que no absorba la energía del movimiento, la amplitud permanecerá constante ya que la energía que se transmitirá de partícula en partícula será siempre la misma.