FERRORRESONANCIA SERIE EN TRANSFORMADORES DE TENSIÓN

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1 FERRORRESONANIA SERIE EN TRANSFORMADORES DE TENSIÓN UADERNOS DE FORMAIÓN: 6

2 Este documento está sometido a posibles cambios. Póngase en contacto con ARTEHE para la confirmación de las características y disponibilidades aquí descritas. Adolfo Ibero ARTEHE Moving together

3 ÍNDIE. Descripción del Fenómeno de la Ferrorresonancia Serie 4. Ferrorresonancia Fundamental y Subarmónica 6.. Fundamental 6.. Subarmónica 6 3. álculos y Ecuaciones 8 4. Resultados experimentales obtenidos con ensayos sobre ircuitos en Ferrorresonancia Fundamental 5. Referencias Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

4 RESUMEN Se describe en este artículo el fenómeno de la ferrorresonancia serie en los casos de ferrorresonancia fundamental y subarmónica. Partiendo del circuito completo R-L- en ferrorresonancia se determina el valor mínimo de tensión de red que sostiene el fenómeno. Se compara, para el caso de ferrorresonancia fundamental, el resultado de diversas experiencias de laboratorio con los cálculos efectuados. La aplicación de lo aquí desarrollado es inmediata al caso de los transformadores de tensión inductivos y capacitivos.. DESRIPIÓN DEL FENÓMENO DE LA FERRORRESONANIA SERIE En un circuito serie R-L-, para una tensión aplicada, siempre circula la misma corriente, puesto que sus componentes están caracterizados por ser constantes y por tanto invariables con la corriente, la tensión o el tiempo. comprensión real del fenómeno y a su cuantificación matemática al no tener en cuenta que la autoinducción es una curva de transferencia compleja y no el cociente directo entre valores de tensión e intensidad en régimen permanente. Sin embargo, si en el mismo circuito introducimos como parámetro del circuito una autoinducción () variable con la corriente o la tensión en sus bornes, nos encontramos con la posibilidad de que se produzca un régimen sostenido de corrientes y tensiones dentro del circuito totalmente distinto al esperado para una determinada tensión de alimentación. La forma clásica de explicar el fenómeno [], aunque da una primera aproximación suficiente, sin embargo no conduce a la En la fig. tenemos el circuito serie R-L- y la característica magnética de autoinducción. La aparición del régimen de ferrorresonancia en el circuito, partiendo de un régimen senoidal en permanencia, se produce siempre por una variación en la tensión de alimentación del circuito, la cual puede volver de nuevo a las condiciones originales pero manteniendo la ferrorresonancia. ø R L L a' i Fig. 4 Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

5 . DESRIPIÓN DEL FENÓMENO DE LA FERRORRESONANIA SERIE En la fig. aparecen las formas de onda de tensión y corriente en los distintos elementos de un circuito serie R-L-. De esta figura podemos deducir lo siguiente: en el circuito en ferrorresonancia sostenida se producen regímenes transitorios cada medio ciclo de red y que son sincronizados por la corriente senoidal que circula por el circuito. V La inducción pasa bruscamente del valor L a y viceversa con dos regímenes de carga y descarga en sentido contrario de a través suyo. network uando la corriente de descarga y carga en sentido contrario de a través de llega a valer a' se tiene que L = pasa a ser L = L. En este momento, el condensador se descarga a través de L con una corriente transitoria en forma de semisinusoide y frecuencia: i. trans. VI _ ƒ = L uando la intensidad transitoria de esta descarga se va acercando hacia cero (t= / )) entonces para valores de corriente menores que a', la autoinducción pasa a valer L =. El condensador cargado en sentido opuesto se encuentra con una muy grande y se producirá una oscilación de frecuencia: / iw m o i. total = iw L = + i. fundamental i L = a' i. fundamental ƒ m = _ Fig. mucho más baja que la anterior. La corriente de este transitorio crece muy lentamente y apenas se aprecia variación de tensión en el condensador. uando la corriente de este lento transitorio sumada con la senoidal de la red llega a valor a' entonces L = L y se repite el fenómeno indefinidamente. Se debe tener en cuenta lo siguiente: uando L = a la frecuencia de red se tiene >> y, por tanto, el circuito es fuertemente inductivo. Esto implica que por el circuito circulará una débil corriente senoidal de carácter inductivo en los intervalos en que la autoinducción no esté saturada y hará que casi toda la tensión de red aparezca como rizado sobre la tensión de la autoinducción. Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión 5

6 . FERRORRESONANIA FUNDAMENTAL Y SUBARMÓNIA.. FUNDAMENTAL.. SUBARMÓNIA De lo descrito en el apartado anterior se deducen las condiciones que un circuito R--L debe cumplir para que se mantenga en ferrorresonancia fundamental: a. La frecuencia de oscilación propia del circuito L - debe ser mayor que la de la red (generalmente mucho mayor), es decir: L > Esto equivale a decir que a la frecuencia de red el circuito L - sea capacitivo, es decir: > L b. La frecuencia de oscilación propia del circuito - debe ser menor que la de la red, ya que de esta forma se sincroniza el fenómeno cada medio ciclo. Si m > entonces es imposible sincronizarlo, es decir: = m < En la fig. 3 se observan las formas de onda de tensiones y corrientes en el circuito en el caso de ferrorresonancia subarmónica. La ferrorresonancia subarmónica se produce cuando la autoinducción no saturada junto con la capacidad del circuito tienen una frecuencia propia de oscilación f m menor que la del subarmónico que se pueda producir. De esta forma, sumadas la corriente oscilatoria de frecuencia f m y la componente fundamental, pueden ser capaces de saturar la autoinducción de forma síncrona cada 5 ciclos de red, 5 ciclos, 3 5 ciclos, etc, es decir con un período de oscilación de 3 ciclos, 5 ciclos, 7 ciclos, etc, (3 er subarmónico, 5º subarmónico, 7º subarmónico, etc). El caso anterior de la ferrorresonancia fundamental es, en realidad, este mismo pero sincronizado cada / ciclo. Esto equivale a decir que a la frecuencia de la red el circuito - debe ser inductivo y por tanto: V V < c. La descarga de a través de L debe ser oscilante, para lo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir: V L network V R5Hz. V L5Hz. V V Lm. sub. L R < R c = De esta forma garantizamos que la corriente pasa por cero, con una o >, y se conmuta L pasando a valer y viceversa. a' i. trans. V L = V Lm. sub. + V L5Hz. d. La tensión de red debe ser suficiente para aportar la energía perdida en la resistencia R en los momentos de conmutación. Además suponemos que las pérdidas en R por la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsación m son despreciables debido a sus bajos valores. a i. fundamental 5 Hz a' b i. total = i. trans. + i. fundamental Fig. 3 6 Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

7 . FERRORRESONANIA FUNDAMENTAL Y SUBARMÓNIA En la figura 3 se observa que si la frecuencia de oscilación libre es p. ej. menor que el noveno subarmónico, podrían aparecer ferrorresonancias de er subarmónico (fundamental), después del 3 er subarmónico, después del 5º subarmónico, después del 7º e incluso del 9º, pero nunca del º, es decir, de una frecuencia inferior a la de oscilación libre: Los subarmónicos van aumentando su período (rango) a medida que la tensión de red va decreciendo. c. La descarga de a través de L debe ser oscilante, para lo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir: R < R c = L De esta forma garantizamos que la corriente pasa por cero, con una > subarmónico, y se conmuta L pasando a valor y viceversa. d. La tensión de red debe ser suficiente para aportar la energía pedida en la resistencia R en los momentos de conmutación. Además suponemos que las pérdidas en R por la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsación son despreciables debido n a sus bajos valores. De la figura 3 podemos deducir las condiciones del circuito para que exista la ferrorresonancia subarmónica: a. La frecuencia de oscilación propia del circuito L - debe ser mayor que la del subarmónico considerado, es decir: = L > subarmónico o bien a la frecuencia del subarmónico considerando el circuito L - debe ser capacitivo: n > L n siendo n = rango del subarmónico considerado. b. La frecuencia de oscilación propia del circuito - debe ser menor que la del subarmónico considerado de forma que el fenómeno pueda sincronizarse, es decir: < subarmónico considerado esto equivale a decir que a la frecuencia del subarmónico considerado el circuito - debe ser inductivo: n > n siendo n = rango del subarmónico considerado. Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión 7

8 3. ÁLULOS Y EUAIONES Se exponen a continuación las ecuaciones de equilibrio para el mantenimiento de la ferrorresonancia fundamental y de la subarmónica. Primeramente suponemos que el núcleo no tiene pérdidas y comprobamos la influencia de la resistencia serie r. (Fig. 4). llamando m = y = se tiene = V (b - a) r L 4L Las hipótesis de partida son las siguientes: a. La corriente de excitación senoidal es despreciable frente a los impulsos en los transitorios. b. La autoinducción tiene valores: cuando está sin saturar y L cuando está saturada. Además, cuando la autoinducción vale, ésta es tan grande que impide que se descargue el condensador. Las ecuaciones a aplicar son: U alimentación = V L + V c Ec. () Energía aportada por la red = Energía consumida en el circuito Ec. () Desarrollando ambas para el caso de la ferrorresonancia fundamental e integrando la ecuación () entre a y b se tiene: b b b U alim d( t) = V L d( t) + V d( t) a a a y donde b a V L d( t) = b E sat _ = V ( ) = V ( - ) = V ( - m ) Ec. (3) De la ecuación () se deduce: Energía aportada por la red: a b' u alim i dt Ec. (4) Energía perdida en la conmutación: a r i dt b' Ec. (5) Durante la conmutación podemos suponer: ya que >> Asimismo, con b' = y a = u alim = V ^ = U eff i = Î sen t V d( t) = V (b - a) a Î V b - a = _ área+ b' a b r L network área- -V -V L Fig. 4 8 Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

9 3. ÁLULOS Y EUAIONES La corriente de carga y descarga de pone en juego una carga que vale: idt = V Supuesto que i = Î sen t Î sen tdt = Î Es decir: Î = V omo: = m Luego: Î = V m V V Î = = m m X c Por otra parte: i dt = Q = V Suponiendo que V ^ permanece constante durante ese semiperíodo se tiene: V ^ i dt = V ^ Q = V ^ V Igualando ambos términos: omo se tiene r Î V ^ V = Î V = V ^ Î = r Î La relación entre la tensión mínima que mantiene el fenómeno (V ^ ), la tensión en el condensador (V ) y la corriente en los períodos de conmutación (Î) se obtiene: es decir: r V ^ = Î 4 V ^ i dt = r i dt como i = Î sen t, se tiene r r Î - cos Î sen dt tdt = t t = r Î - sen t 4 r Î _ - = r Î E omo Î = V m y V = sat (-m) se tiene: es decir: r V ^ = m 4 (-m) r _ r _ V ^ = = m (-m) X c m (-m) omo V ^ = U eff., entonces: U eff = donde m =, X c = r X c m (-m) Ec. (7) = tensión de saturación de la autoinducción a 5 Hz. Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión 9

10 3. ÁLULOS Y EUAIONES La influencia de las pérdidas en el núcleo de la autoinducción se puede representar por medio de una resistencia R en paralelo con la autoinducción no saturada (fig. 5). La ecuación que debe cumplirse en cualquier régimen de ferrorresonancia es la siguiente: Energía aportada por la red = Energía perdida en r + Energía perdida en R Ec.(8) La ecuación 8 se desarrolla igual que los casos anteriores, con la diferencia de que el término "Energía perdida en R" se obtiene como la descarga de a través de R cuando la autoinducción vale L =. omo ahora la tensión en el condensador cae de V hasta V se tiene una energía perdida de valor: ( V - V ) Además en el proceso de carga-descarga de desde V a V se tiene: i dt = Q = ( V + V ) Por tanto, el incremento de tensión de alimentación Û necesaria para mantener la ferrorresonancia será: Î Û = Û (V + V ) = Es decir: O bien siendo por lo cual Û = ( V - V ) Û eff = V - V V - V = R Û eff = = R Ec. (9) (V - V ) X c R Por lo tanto, si se desean tener en cuenta las pérdidas en la autoinducción, es preciso añadir al segundo término de la ecuación (7) el segundo término de la ecuación (9). y esto vale: Î = ( V + V ) r L R Fig. 5 Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

11 4. RESULTADOS EXPERIMENTALES OBTENIDOS ON ENSAYOS SOBRE IRUITOS EN FERRORRESONANIA FUNDAMENTAL Se han realizado los siguientes experimentos sobre el circuito de la figura haciéndolo entrar en ferrorresonancia subiendo la tensión de alimentación. Después se disminuye lentamente la tensión de alimentación y se mide a qué tensión eficaz desaparece el fenómeno. Los resultados obtenidos aparecen en la Tabla. Tabla Parámetros de ircuito V. Alimentación r hm L x -3 H R hm x -6 F ALULADO MEDIDA,85 6,54 3 8,68,6,85 6, ,56 4,5,85 6, ,96 6,5,85 6, ,8 9,8,85 6, ,8 3,7,85 6, ,6 3,85 6, ,6 4,,85 6, ,75 4,5,85 6, ,4 5,6,85 6, ,6 7,4 5. REFERENIAS [] ahen, F.: Electrotechnique, Gauthier- Villars, 963. [] Mahy, P.: ontribution theorique et experimentale à l etude des phènomènes de ferrorresonance monophasée, SRBE, 97. Ferrorresonancia serie en transformadores de tensión

12 Moving together ARTEHE_F_Ferro_ES Versión: A ARTEHE