PANDEO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE ACERO CON CONEXIONES SEMI-RIGIDAS. Resumen

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1 PANDEO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE ACERO CON CONEXIONES SEMI-RIGIDAS Valencia, F. Lautaro. Universidad de Carabobo. Facultad de Ingeniería. Escuela de Civil. Valencia, Estado Carabobo. Telf.: (0241) Resumen El comportamiento de las juntas en una estructura aporticada de acero puede significativamente afectar la estabilidad de la misma. Por ejemplo para una edificación de un piso o nivel con una rigidez tanto para la columna y viga similares, la carga crítica puede cambiar bruscamente cuando la rigidez de las conexiones son menores a diez veces la rigidez de la viga. EL análisis tiene por objetivos determinar la carga elástica crítica de pandeo del pórtico, incorporando la flexibilidad de la conexión, la respuesta en el rango inelástico del comportamiento de la conexión, y así también se incorpora el uso de una ecuación simplificada (de Zoetemeijer) para utilizarla en el cálculo de la carga crítica de diseño. A fin de poder realizar este análisis y determinar qué parámetros influyen en la estabilidad de este tipo de estructuras, en primer lugar fue necesario incorporar el software Mathcad 5.0 y luego aplicar el método teórico de la pendiente-deformación, tanto para examinar los casos de comportamiento lineal como no-lineal en la rigidez de las conexiones. Para efectos de incorporar variación en la rigidez de la conexión se consideraron resortes helicoidales en los extremos de la viga y un análisis de primer orden en su comportamiento. Este trabajo intenta presentar algunos resultados relacionados con la estabilidad de estructuras de acero con este tipo de juntas (semi-rígidas), poniendo énfasis en el caso particular del comportamiento de un pórtico simple con bases empotradas y con bases articuladas. De los resultados el más importante está enmarcado en la determinación del límite a partir del cual las juntas pueden ser consideradas como juntas rígidas, este límite es evaluado a través de un parámetro adimensional que mide la rigidez de la junta y el cual es función de la rigidez de la junta y de la rigidez de la viga del pórtico. RIGIDEZ DE LA CONEXIÓN El análisis usado para determinar el efecto de la rigidez de la conexión sobre la estabilidad de la estructura, considera el comportamiento del Momento-rotación de la conexión como un resorte rotacional de constante de rigidez K, donde la constante del resorte puede ser considerado igual al de la rigidez de la conexión ( Fig. 1). El uso de un resorte rotacional lineal para un pórtico simple como el estudiado es bastante apropiado porque estos están sometidos a un pandeo del tipo bifurcacional, con un estado de comportamiento estable postpandeo.

2 Figura 1. Conexiones modeladas con resortes. Ahora bien, si los momentos en las juntas son substanciales, la pendiente de la curva podría ser menor dado que el comportamiento de la conexión se hace no-lineal a medida que se acerca el esfuerzo último. Entonces, la rigidez efectiva del resorte será menor que aquel tomado como lineal, de tal forma que el asumir un resorte lineal ya no es válido. En esta etapa, un resorte con un comportamiento de la rigidez de la secante es lo recomendable como lo sugiere Zoetemejer 1. El elemento viga, la cual se asume prismática, es conectada en cada extremo a una junta semi-rígida asumiéndose esta una corta extensión de la viga (Fig. 2). Con el fin de obtener los momentos en cada extremo de la viga en términos de las correspondientes rotaciones de los extremos, la estructura se muestra desglosada para visualizar el efecto de superposición, donde las conexiones semi-rígidas se caracterizan por resortes de constantes K i y K j. De la figura 2: Donde los subíndices j e i representan los extremos de la viga, así también para esta se definen: I g como la inercia, L es la longitud, y E es el módulo elástico. Para una rotación de la viga " δ" positiva en el sentido de las agujas del reloj, la rotación total para las juntas mencionadas son:

3 Ordenado las ecuaciones (1) y (2) Considerando a "a" una constante no dimensional definida por: Reordenando estas ecuaciones: Para a i = a j = a (resortes idénticos), y definiendo:

4 Despejando M ij y M ji.: Para el caso donde la rotación de la viga es igual a cero: ANALISIS DE PRIMER ORDEN DE LA ESTRUCTURA Debido a que los desplazamientos de las columnas (rotación del pórtico "δ"), introducen momentos adicionales en la estructura como se muestra en la figura. 3, y dado una mayor flexibilidad que posee este tipo de estructura. Estructuras con juntas restringidas solo parcialmente alcanzan el valor de la carga de EULER a un valor menor que estructuras similares del mismo tipo. Figura 3. Efecto Q-D

5 SUPOSICIONES Se han hecho las siguientes consideraciones para el desarrollo de las ecuaciones: a) Los elementos de la estructura son inicialmente rectos, prismáticos y unidos ortogonalmente. b) El material es homogéneo e isotrópico. El comportamiento del material es linealmente elástico con una constante elástica (E), sin importar que se encuentre a compresión o tracción. c) El plano transversal de los elementos permanecen planos después de cualquier deformación. d) Deformaciones y fuerzas están confinadas al plano de la estructura. e) Las cargas concentradas están aplicadas en las juntas. f) Un análisis de primer orden es desarrollado. Efectos de segundo orden son despreciados. FORMULACION DEL PROBLEMA Para un pórtico simple como el indicado, cuando las cargas verticales son aplicadas en las juntas sin ninguna excentricidad y además en forma simétrica, un estado inicial o primario (el patrón de deformación que existe antes de que el punto de bifurcación del equilibrio se alcance) existe y la teoría para viga-columna se puede aplicar para encontrar la carga crítica en este tipo de pandeo. El método usado para obtener estos valores de la carga crítica para cada caso analizado en este trabajo es el método de la PENDIENTE- DEFORMACIÓN. PORTICO SIMPLE CON BASES ARTICULADAS SIN RESTRICCION LATERAL Figura 4. Pórtico simple con bases articuladas Aplicando el método de la Pendiente-deformación a la estructura mostrada en la fig. 4:

6 Sustituyendo (5) en (6): Donde t es el llamado factor de rigidez y S y C son los llamados factores de carga para la viga-columna. Estos términos son definidos a continuación: Donde δ es la rotación de la estructura y Ø = KL = longitud efectiva. Considerando las condiciones de borde y de simetría para el pórtico:

7 Las ecuaciones de equilibrio son: Equilibrio del pórtico: M BA + M CD + 2PδL C = 0 (10) Definiendo: Sustituyendo dentro de las ecuaciones (7) y (8) : Sustituyendo las ecuaciones. (11) y (12) en forma matricial son:

8 La condición de pandeo se consigue cuando el determinante de la matriz en la ecuación. (13) es nulo. Por lo tanto: C S +S S = Ø 2 (G f + t S s + t C s ) Donde S S, C S, B y a son los mismos mencionados anteriormente. El próximo paso es determinar para cada valor de a su correspondiente valor del multiplicador Ø 2. El multiplicador Ø 2 se deduce de la definición de P crítico, el cual se define por: Donde Ø = π/k ef y K ef es el factor de longitud efectiva. Luego utilizando las especificaciones de la AISC para columnas de la CRC: La carga critica viene dada por: RELACION ENTRE RIGIDEZ DE LA CONEXION Y LA ESTABILIDAD DE LA ESTRUCTURA La fig. 6 muestra cómo es el comportamiento de la estabilidad del pórtico en el rango elástico como una función de la rigidez de la junta en términos de a que representa una variable adimensional de esta rigidez. Esta variable toma valores desde "0" cuando tenemos una articulación hasta el infinito que es cuando tenemos una junta rígida. El multiplicador de la carga de pandeo de Euler se deduce de la ecuación (13). Esta figura también nos enseña el comportamiento de un factor de reducción aproximado llamado "R". Este fue propuesto por Zoetemeijer,quien encontró una relación entre a y P crítico, para casos mas comunes de estructuras ya sea arriostradas o no. Este factor de reducción es estimado al comparar los valores reales con aquello que se determinan para una estructura considerando juntas rígidas. Para el caso especial de un pórtico como el indicado en la fig. 4 estos valores son:

9 Este factor de reducción se incrementa desde cero hasta la unidad con el incremento del valor de a. Esta ecuación también está reseñada en la fig. 6, donde se puede observar que la misma representa un enfoque más conservador que la curva obtenida para el mismo caso utilizando la condición de pandeo de Euler en el rango elástico. La fig. 7 muestra el valor de P crítico para el mismo caso al mostrado en la fig. 6, pero considerando los rangos elástico e inelástico(τ 1 ). Los valores de P crítico fueron obtenidos utilizando las especificaciones de la AISC correspondientes al tratamiento de columnas de la CRC tanto en el rango elástico como inelástico. La fig. 8 muestra los efectos de las conexiones semirígidas en el pandeo sin restricción lateral del pórtico para varios relaciones del factor adimensional G f bajo el esquema de dos cargas concentradas aplicadas en las juntas del pórtico. Las bases del pórtico están articuladas y el material seleccionado tanto para vigas y columnas corresponden a perfiles de acero estructural W 14x90. Figura 6. Estabilidad vs Rigidez de la conexión Tres tipos de juntas pueden detectarse de las figuras 6 hasta la 8. Para los casos donde a > 25 el multiplicador Ø 2 toma un valor que representa más del 90% del correspondiente a la carga de pandeo de Euler( a = ). Por lo tanto se puede concluir que una conexión puede ser considerada rígida cuando el valor de a es mayor a 25. De las Figuras 6, 7 y 8, también se puede inferir que una conexión puede ser considerada del tipo articulación cuando el valor de Ø 2 es menor de 0,5. Cuando el valor de a cae en el rango comprendido entre 0,5 y 25, la conexión puede ser considerada como semi-rígida.

10 Figura 7. Carga crítica vs Rigidez de la conexión Con el fin de entender mejor el comportamiento de como la estabilidad del p6rtico esta relacionada con las rigideces de los siguientes elementos: viga, columna y juntas, se estudiaron algunos casos. Estos estan resumidos en la Tabla 1. Manteniendo fija las dimensiones de la estructura ( L c = L g ) y cambiando unicamente la rigidez de la viga y de las juntas, los valores de Ø 2 se determinaron de la figura 8. Por ejemplo, si se selecciona G 1 = 0.1 (esto significa que la rigidez de la junta es igual al de la viga, Pero la rigidez de la columna es diez veces menor al de la viga) y si asumimos los siguientes valores para:

11 Figura 8. Estabilidad vs Rigidez de las conexiones De la figura. 8 se obtiene Ø 2 = 2.311, Por lo tanto Ø 2 / Ø 2 max = los casos numerados 3 y 6 mostrados en la tabla. 1 indican que la estabilidad es altamente dependiente de la rigidez de la viga. Esto es debido probablemente a la restriccion al giro que impone la rigidez de la viga en la union con la columna. Esto por supuesto esta vinculado tambien a la rigidez de la junta. A mayor rigidez en la junta, mayor es la estabilidad de la estructura ( ver casos 1 y 4 en la Tabla.1). Tabla 1. Cargas de Pandeo de Euler para el portico en Fig. 4

12 CONCLUSIONES De los resultados obtenidos Para las estructur estudiadas tanto en el campo elastico como no-elastico, pueden escribir las siguientes conclusiones: 1.- La rigidez rotacional de las conexiones es de importancia para los casos cuando la rigidez adimensional a < 2 Conexiones con a > 25 pueden ser consideradas como conexiones rigidas. 2.- A medida que la rigidez de la conexi6n disminuye, longitud efectiva de las columnas se incrementa y estabilidad de las estructuras disminuye en consecuenci 3.- Mientras mayor es la rigidez de las conexiones de estructura, menor es la influencia de la rigidez relativa de la columna en relaci6n con el de la viga para efectos de la estabilidad. 4.- El efecto de la relacion de esbeltez Para el estudio reali2 es despreciable. 5.- Los resultados obtenidos en el campo elastico del pbl son mas conservadores de los obtenidos en el rango elastico Para el mismo portico. 6.- El use de una formula aproximada la cual ha sido de& Ilada por P. Zoetemeijer para estructuras aporticadas es una herramienta muy util para el calculo de estabilidad dado su grado de exactitud y facilidad de aplicacion. GLOSARIO DE TERMINOS

13 CONSTANTES BIBLIOGRAFÍA 1.- P. Zoetemeijer. Structural connections stability. Elsvier Sciencie Publishers Co 1989 New York, NY USA. 2.- Theodore V Galambos. Guide to stability design criteria for metal structures. Jhon Wiley & Sons, INC W. F Chen & E.M. Lui. Structural stability. Prentice Hall, INC 1987 New Jersey R. Narayanan. Steel frames structures stability and strength Elsvier Applied Science Publishers Co 1989 London & New York. 5.- W.F. Chen. Analysis of steel frames with flexible connections. Elsvier Applied science publishers Co 1989 London & New York.