a) Circuito resonante paralelo con resistencia serie en el inductor (circuito tanque)

Transcripción

1 Circuitos adaptadores de impedancia. Circuitos resonantes usados en radiofrecuencia. Los circuitos que veremos y que ya fueron analizados en otro momento, en RF, van a tener la fundamental aplicación de adaptar impedancias entre distintas etapas de un sistema y también la de comportarse como filtros. a) Circuito resonante paralelo con resistencia serie en el inductor (circuito tanque) L 7.3uH C 347pF Fig..3 R 5 Podría tratarse del circuito de adaptación de impedancias entre el colector de un TBJ amplificador y una antena de 5 Ω. Para obtener la frecuencia de resonancia, debemos primeramente expresar la admitancia del circuito: Recordando que para dividir un número complejo, multiplicamos y dividimos por el conjugado, resulta: y, sacando común denominador y operando, llegamos a / Y, para que esté en resonancia, deberá anularse la componente imaginaria de la admitancia, es decir, donde aparece el subíndice, pues se trata de la frecuencia de resonancia del circuito. Operando y despejando el valor de la frecuencia, resulta: Ec.. en la que se observa que el circuito podrá resonar, sólo si Para determinar la impedancia que se observará en la entrada, que será resistiva pura, en virtud de la resonancia, consideramos y recordando las conocidas expresiones del factor de mérito de un circuito resonante serie, podemos reemplazar en la anterior, quedando: Que, sacando factor común en el denominador e invirtiendo para obtener la impedancia queda, la muy importante expresión que usaremos frecuentemente: Ec..

2 Observando la fórmula anterior vemos que este circuito, también llamado circuito tanque, se comporta como un transformador de impedancias, de manera que la impedancia de entrada, resulta Qo cuadrado veces, la de carga, quedando claro una de sus fundamentales aplicaciones. En el siguiente gráfico, se observa la simulación realizada con el programa ORCAD-PSPICE del circuito de la fig..4, donde vemos que tiene una impedancia de entrada de kω, a una frecuencia de MHz, aproximadamente, de donde, también podemos concluir que el factor de mérito, es 4.35, lo cual amerita la utilización de la fórmula exacta, de la ecuación.. En el caso que aceptamos como válida la expresión simplificada, pues cometeríamos un error menor a %..K Impedancia de entrada versus frecuencia (.9953M,99.389).5K KHz 3KHz KHz 3KHz.MHz 3.MHz MHz 3MHz MHz V(I:+)/ I(I:+) Frequency Fig..4 b) Circuito resonante paralelo con resistencia serie en el capacitor. I C L Fig..5 R Este circuito se usa también muy frecuentemente, en redes de adaptación. La diferencia radica en si se desea un circuito que además de adaptar las impedancias, se comporte como pasa bajos (anterior) o pasa altos (fig..5). Operando del mismo modo que en el caso anterior, se llega a las siguientes expresiones: / y la impedancia de entrada:, que coincide con la obtenida anteriormente. c) Conversión de un circuito paralelo en otro serie equivalente. En muchas ocasiones es necesario, pasar de un circuito paralelo a otro serie o viceversa, de modo que como lo usaremos en circuitos fundamentales, como la red Colpitts, para los osciladores, lo veremos en detalle. Y Y fig..6 Z Z Sólo tendremos que tener en cuenta que debemos pasar de la admitancia a la impedancia, realizando la inversión, es decir:, por lo tanto la impedancia la obtenemos haciendo

3 Hagamos un ejemplo, que utilizaremos en la siguiente sección: C.nF Fig..7 R.k Ω de manera que la impedancia del circuito será: y, recordando que para realizar el cociente complejo, es necesario multiplicar por el conjugado, resulta: Fig..8 Ceq Req Ec..3 Donde el primer término, representa la resistencia equivalente serie y el segundo la reactancia equivalente serie, de manera que si reemplazamos el circuito original, en paralelo, por otro serie con los valores anteriores, serán totalmente equivalentes y el generador, no se enterará del cambio producido. d) Circuito resonante paralelo con derivación En este circuito, es muy utilizado en los osciladores y por ello enfatizaremos su estudio. C I C R L Fig..9 Los circuitos de las figs..3 y.5, carecen de la flexibilidad suficiente, pues no pueden manejarse independientemente la transformación de impedancias y el ancho de banda, ya que una vez, fijas la impedancia de entrada y la resistencia de carga, queda fijo en valor de Qo y como sabemos que entonces queda unívocamente definido el ancho de banda y esto es un inconveniente, si se trata que el circuito se comporte además como un filtro con un ancho de banda deseado. Para realizar el análisis del circuito resonante con derivación, debemos convertir el paralelo R-C, en su equivalente serie y para ello recurrimos a las expresiones deducidas en el parágrafo anterior. Usando la Ec..3, pero con los nombres actuales de los componentes, se obtiene: Donde se observa que la Res y la Ces, son respectivamente 3 De modo que

4 / Además, como en el circuito paralelo, el factor de mérito es De modo que reemplazando en la ec. De la Res, queda: Ec..3 Si ahora reemplazamos el circuito de la fig..9, por el equivalente, resulta la figura siguiente. I L Fig.. C Ces Res Pero usando la transformación de impedancias dada en la Ec.., aplicada en nuestro caso actual, queda, donde R t, representa la resistencia total vista de la entrada del circuito y Q t, es el factor de mérito total del circuito. Igualando la Ec..3, con la anterior: de donde luego de operar, se llega a la expresión final: Ec..4. Muy importante ecuación, ya que nos permite observar que podemos determinar en forma independiente el factor de mérito del circuito paralelo y el total, del cual dependerá el ancho de banda, de modo que observamos que podemos definir en forma independiente la relación de impedancias y el ancho de banda. Se ve además, que el comportamiento es análogo al de un transformador con relación de transformación^ por lo que en términos de esta nueva variable, podemos escribir Si además admitimos que Q t, entonces, la expresión se simplifica, deviniendo en esta otra: Si además, lo que equivale a decir que el factor de mérito de todo el circuito es muy alto, entonces obtenemos la expresión muy simplificada. e) Ejemplo de diseño con Q p < Obtenemos el valor de del factor de mérito total del circuito, a partir de la consideración del ancho de banda y de la frecuencia de trabajo. Si, el ancho de banda es pequeño, cumpliremos la condición de Q elevado. 4

5 Conociendo el factor de mérito del circuito y recordando que y, reemplazando por la ecuación antede banda, queda rior del ancho y, considerando que nos interesa el ancho de banda, expresado en Hz, aparece un factor π, dando finalmente expresión que nos permite determinar el valor de la capacitancia total de la rama capacitiva. Cálculo de la inductancias: Conociendo la frecuencia a la que queremos que opere el circuito y la capacitancia total, que fue obtenida anteriormente, obtenemos Conociendo la relación de transformación Obtenemos el valor del factor de mérito del circuito paralelo R C. Conociendo el Q p, fácilmente obtenemos la capacitancia Recordando la expresión de la capacitancia equivalente serie, obtenida anteriormente y que repetimos ahora Concluimos que Finalmente de la expresión de la capacitancia paralelo, podemos obtener el valor de C Con lo que tenemos resuelto el diseño. Nota: La capacitancia C, es la capacitancia total de sintonía del circuito. Disponemos ahora del circuito completo. También puede usarse un circuito con la derivación en la inductancia. El análisis es semejante y las expresiones las encontraremos en el apéndice f) Transformador simplemente sintonizado. En virtud de la propiedad que tienen los transformadores de transformar impedancias, es por ello que se los utiliza en este campo, añadiendo la utilidad de aislar galvánicamente una parte de un circuito de otra. Un esquema es el indicado a continuación: 5

6 Rt C RL El primario presenta una inductancias L, el secundario una L, mientras que M, es la inductancia mutua entre ambos bobinados, sabemos además que se define el coeficiente de acoplamiento como M fig.. Para poder analizar el circuito, debemos reducir el modelo equivalente al primario, de manera de convertirlo en un circuito serie, como los que analizamos anteriormente. Este modelo deberá estar configurado de manera que L, influya sólo en el primario, que L lo haga sólo en el secundario y que M, ponga de manifiesto la influencia entre una malla y la otra, por lo tanto, una primera aproximación puede ser: L-M V M L-M Fig.. R Si realizamos un análisis de mallas sobre el circuito de la derecha, podemos determinar la impedancia de entrada: /, la cual, realizando el cociente complejo, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador y operando, obtenemos: Luego, sacando factores comunes, separando en parte real e imaginaria y tomando obtenemos lo siguiente: De manera que ya tenemos separado en resistencia serie e inductancia serie que corresponderá a la L t de los circuitos tanque analizados con anterioridad. Recordando además la importante relación entre las inductancias y el coeficiente de acoplamiento k, podemos reformular la anterior expresión de la manera siguiente:. Operando y separando en parte real e imaginaria, obtenemos finalmente, De manera que ya tenemos los equivalentes para formar el circuito tanque, que quedará del siguiente modo: 6

7 V Ct Lt Res Como criterios de diseño, comenzaremos con los mismos de los circuitos anteriores, es decir, determinando el factor de mérito, en función del ancho de banda y de la frecuencia de resonancia y la inductancia y capacitancia, a partir del factor de mérito. Es decir: Fig..3 Por otra parte, las expresiones recuadradas abajo, no pueden resolverse, si no se asume previamente, en forma arbitraria, pero con criterio, valores de k, o Q p Además. Si se trabaja un poco con esas expresiones. Se puede llegar a fórmulas relativamente complejas, que permiten afirmar que habrá valores mínimos de k, que permitirán que el circuito sea realizable, según el valor de Q t. Para evitar trabajar con expresiones complejas, ellas se las llevan a gráficos, uno de los cuales es el indicado a continuación: 7

8 Fig. 4 En el proceso de diseño, se tendrá en consideración que k mín <k< y <Q p <Q t y para poder usar un método simplificado, admitiremos también que Ejemplo de diseño Se desea diseñar un transformadora para adaptar la impedancia con los siguientes datos: R t = Ω, R = 5 Ω, B w =59 khz y f = 3.8 MHz Comenzamos determinando la relación de transformación: /

9 Determinamos el valor del factor de mérito 38/59 Determinamos el valor de la capacitancia total del tanque 59 5 Determinamos la inductancia 3.8 5μ 5 Usando la fig..4, obtenemos los valores mínimos de k y de Q p Elegimos la curva de Q t = Subimos con Q p =3 y obtenemos k=.4 Obtenemos el Q pmin =.95 y k min =.3 Por supuesto, son valores aproximados. Asumiendo que podemos tener un valor mayor del factor de mérito, podemos pensar por ejemplo Q p = 3 9

10 Obtenemos el valor de k =.4. La inductancia L es.83μ La inductancia L es 5μ Finalmente obtenemos el valor de la inductancia mutua.8μ Ya tenemos todos los parámetros necesarios para el diseño del transformador. Realizando al simulación con el ORCAD-PSPICE, resultan los gráficos siguientes, donde se observa que la resonancia aparece para la frecuencia de 3.35 MHz, con una impedancia de entrada de.877 kω, mientras que el ángulo de fase es -99, por lo que el circuito no es totalmente resistivo. Da como resultado una resistencia de 778 Ω, mientras que la reactancia es capacitiva de valor 6 Ω. Sin embargo podríamos poner en paralelo con C t un trimmer, de unos pf de capacitancia máxima, de manera de ajustar la capacitancia, hasta que, veamos una señal que tenga el máximo para la frecuencia deseada. d -d (3.339M, ) SEL>> -4d.KV P(V(I:+)/I(I)) (3.359M,.8779K).KV V.MHz 3.MHz 5.MHz 7.MHz 9.MHz V(I:+) Frequency Fig..5 Poniendo el trimmer en paralelo, de forma de tener una capacitancia de 5 pf, resulta la fig..6, con lo que da 956 Ω de resistencia y una reactancia 3 Ω, a 3.6 MHz. Aac Adc I L-M L 4.8uH V C 5pF L3.uH L.8uH M L-M R 5

11 d (3.63M,-7.949) -d SEL>> -4d.KV P(V(I:+)/I(I:+)) (3.63M,.983K).KV V.MHz 3.MHz 5.MHz 7.MHz 9.MHz V(C:) Frequency Fig..6