RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, BÚSQUEDA. Ing. Ronald A. Rentería Ayquipa

Transcripción

1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, BÚSQUEDA

2 Introducción Resolución de Problemas La resolución de problemas es una capacidad que consideramos inteligente Somos capaces de resolver problemas muy diferentes Encontrar el camino en un laberinto Resolver un crucigrama Jugar a un juego Diagnosticar una enfermedad Decidir si invertir en bolsa... El objetivo es que un programa también sea capaz de resolverlos

3 Introducción Resolución de Problemas Deseamos definir cualquier tipo de problema de manera que se pueda resolver automáticamente Necesitamos: 1. Una representación común para todos los problemas 2. Algoritmos que usen alguna estrategia para resolver problemas definidos en esa representación común.

4 Introducción Definición de un Problema Si abstraemos los elementos de un problema podemos identificar: Un punto de partida Un objetivo a alcanzar Acciones a nuestra disposición para resolver el problema Restricciones sobre el objetivo Elementos que son relevantes en el problema definidos por el tipo de dominio

5 Introducción Representación de problemas Existen diferentes formas de representar problemas para resolverlos de manera automática Representaciones generales Espacio de estados: un problema se divide en un conjunto de pasos de resolución desde el inicio hasta el objetivo Reducción a subproblemas: un problema se puede descomponer en una jerarquía de subproblemas Representaciones para problemas específicos Resolución de juegos Satisfacción de restricciones

6 Introducción Representación de problemas: Estados Podemos definir un problema por los elementos que intervienen y sus relaciones En cada instante de la resolución de un problema esos elementos tendrán unas características y relaciones específicas Denominaremos Estado a la representación de los elementos que describen el problema en un momento Distinguiremos dos estados especiales el Estado Inicial (punto de partida) y el Estado Final (objetivo del problema) Que incluir en el estado?

7 Introducción Modificación del estado: Operadores Para poder movernos entre los diferentes estados necesitamos operadores de transformación Operador: Función de transformación sobre la representación de un estado que lo convierte en otro estado Los operadores definen una relación de accesibilidad entre estados Representación de un operador: Condiciones de aplicabilidad Función de transformación Qué operadores? Cuántos? Qué granularidad?

8 Espacio de Estados Espacio de estados Los estados y su relación de accesibilidad conforman lo que se denomina espacio de estados Representa todos los caminos que hay entre todos los estados posibles de un problema Podría asimilarse con un mapa de carreteras de un problema La solución de nuestro problema está dentro de ese mapa inicial solución final

9 Espacio de Estados Solución de un problema en Espacio de Estados Solución: Secuencia de pasos que llevan del estado inicial al final (secuencia de operadores) o también el estado final Tipos de solución: una cualquiera, la mejor, todas Coste de una solución: Gasto en recursos de la aplicación de los operadores a los estados. Puede ser importante o no según el problema y que tipo de solución busquemos

10 Espacio de Estados Solución de un problema en Espacio de Estados Operadores o Transformaciones Estado Inicial Estados Finales

11 Descripción de Problema en Espacio de Estados Definir el conjunto de estados del problema (explícita o implícitamente) Especificar el estado inicial Especificar el estado final o las condiciones que cumple Especificar los operadores de cambio de estado (condiciones de aplicabilidad y función de transformación) Especificar el tipo de solución: Espacio de Estados La secuencia de operadores o el estado final Una solución cualquiera, la mejor (definición de coste),...

12 Espacio de Estados Ejemplo: 8 puzzle

13 Espacio de Estados Ejemplo: 8 puzzle Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Configuraciones de 8 fichas en el tablero Estado inicial: Cualquier configuración Estado final: Fichas en orden específico Operadores: Mover hueco Condiciones: El movimiento está dentro del tablero Transformación: Intercambio entre el hueco y la ficha en la posición del movimiento Solución: Que pasos + El menor número

14 Espacio de Estados Ejemplo: 8 puzzle Representación parcial del espacio de estados

15 Espacio de Estados Ejemplo: N reinas

16 Espacio de Estados Ejemplo: N reinas Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Configuraciones de 0 a n reinas en el tablero con sólo una por fila y columna Estado inicial: Configuración sin reinas en el tablero Estado final: Configuración en la que ninguna reina se mata entre si Operadores: Colocar una reina en una fila y columna Condiciones: La reina no es matada por ninguna ya colocada Transformación: Colocar una reina más en el tablero en una fila y columna determinada Solución: Una solución, pero no nos importan los pasos

17 Espacio de Estados Ejemplo: Las Torres de Hanoi (3,2)

18 Espacio de Estados Ejemplo: Las Torres de Hanoi (3,2) Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Configuraciones de 2 discos colocados en las 3 barras Estado inicial: Configuración con los discos ordenados en la primera barra Estado final: Discos en una sola barra en orden específico Operadores: Mover un disco Condiciones: El disco no puede colocarse sobre otro más pequeño. Transformación: Colocar un disco ubicado en la parte superior de una barra en otra barra diferente. Solución: Que pasos + El menor número

19 Espacio de Estados Ejemplo: El lobo, la oveja y la alfalfa Problema: Un granjero tiene un lobo, una oveja y un fajo de alfalfa, además de esto posee un bote para poder cruzar el río que separa su granja de su casa. Todos los días debe transportar el lobo, la oveja y el fajo de alfalfa de la granja (izquierda) a su casa (derecha) pero en su barca solo puede viajar él y uno de los otros elementos (lobo, oveja o alfalfa) además de esto debe considerar que el lobo no se quede solo con la oveja, puesto que se la comería, y no dejar la oveja con la alfalfa, por el mismo motivo.

20 Espacio de Estados Ejemplo: El lobo, la oveja y la alfalfa Supongamos que cada estado se representa de la siguiente manera: estado(g,l,o,a), en que G, L, O y A son variables que representan respectivamente la posición del granjero, el lobo, la oveja y la alfalfa. Las variables pueden tomar dos valores: i y d, que simbolizan el borde izquierdo y el borde derecho del río respectivamente. Elegimos partir del borde izquierdo. El estado inicial es entonces estado(i,i,i,i). El estado objetivo es estado(d,d,d,d). El granjero tiene cuatro acciones posibles: cruzar solo, cruzar con el lobo, cruzar con la oveja o cruzar con la alfalfa. Estas acciones están condicionadas a que ambos pasajeros del bote estén en la misma orilla y a que no queden solos el lobo con la oveja o la oveja con la alfalfa. El estado resultante de una acción se determina intercambiando los valores i y d para los pasajeros del bote.

21 Espacio de Estados Ejemplo: El lobo, la oveja y la alfalfa Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Configuraciones de los 4 elementos (G,L,O,A) en las diferentes orillas del rio derecha(d) o izquierda(i). Estado inicial: Todos los elementos (G,L,O,A) en el lado izquierdo del rio, entonces sería el estado (i,i,i,i) Estado final: Todos los elementos (G,L,O,A) en el lado derecho del rio, entonces sería el estado (d,d,d,d) Operadores: Cruzar el rio (solo, con el lobo, con la oveja o con la alfalfa) Condiciones: Ambos pasajeros a cruzar deben estar en la misma orilla del rio. No deben quedar solos el lobo y la oveja; tampoco la oveja con la alfalfa. Transformación: El estado resultante de una acción se determina intercambiando los valores i y d para los pasajeros del bote. Solución: Que pasos + El menor número

22 Espacio de Estados Ejemplo: El lobo, la oveja y la alfalfa Problema: casos que llevan a un estado no válido. Imposible: casos en los que un operador no puede ser aplicado a un cierto estado. Estado (G,L,C,V) Acciones Cruza solo Con Lobo Con Oveja Con Alfalfa Estado (i,i,i,i) Problema Problema Estado (d,i,d,i) Problema Estado (i,i,i,d) Problema Estado (d,d,i,d) Estado (d,i,d,d) Imposible Estado (i,i,d,i) Estado(d,i,d,i) Problema Imposible Estado(d,i,d,d) Estado (i,i,d,d) Problema Problema Imposible Imposible Estado (i,d,i,i) Problema Imposible Estado(d,d,d,i) Estado(d,d,i,d) Estado (i,d,i,d) Estado(d,d,i,d) Imposible Estado(d,d,d,d) Imposible Estado (i,d,d,i) Problema Imposible Imposible Problema Estado (i,d,d,d) Problema Imposible Imposible Imposible Estado (d,i,i,i) Problema Imposible Imposible Imposible Estado (d,i,i,d) Problema Imposible Imposible Problema Estado (d,i,d,i) Estado(i,i,d,i) Imposible Estado (i,i,i,i) Imposible Estado (d,i,d,d) Problema Imposible Estado (i,i,i,d) Estado (i,i,d,i) Estado (d,d,i,i) Problema Problema Imposible Imposible Estado (d,d,i,d) Estado(i,d,i,d) Estado(i,i,i,d) Imposible Estado(i,d,i,i) Estado (d,d,d,i) Problema Estado(i,i,d,i) Estado(i,d,i,i) Imposible Estado (d,d,d,d)

23 Espacio de Estados Ejemplo: Ir de una ciudad a otra Meta

24 Espacio de Estados Ejemplo: Ir de una ciudad a otra Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Diferentes ciudades donde se puede encontrar el viajero Estado inicial: En este caso la ciudad de Arad Estado final: La ciudad de Bucharest Operadores: Conducir en el tramo de ruta que lleva de una ciudad a otra según indica el mapa. Solución: Que pasos + El menor número

25 Espacio de Estados Ejemplo: Ajedrez Estado inicial y representación de una jugada

26 Espacio de Estados Ejemplo: Ajedrez Descripción del problema en el espacio de estados: Conjunto de estados: Distintas posiciones legales de las piezas en el tablero. Estado inicial: Posición inicial de las piezas en el tablero. Estado final: Ganar al oponente. Jaque Mate. Operadores: Posibles movimientos de las piezas En el ejemplo de la jugada anterior, se representa: peón-b en (e,2) y vacío (e,3) y vacío (e,4) mueve peón-b desde (e,2) hasta (e,4)

27 Búsqueda en el Espacio de Estados Búsqueda en el espacio de estados La resolución de un problema con esta representación pasa por explorar el espacio de estados Partimos del estado inicial evaluando cada paso posible y avanzar hasta encontrar un estado final En el caso peor exploraremos todos los posibles caminos entre el estado inicial hasta llegar a un estado que cumpla las condiciones del estado final. Es el proceso de evaluar las distintas secuencias de acciones para encontrar las que me lleven DEL ESTADO INICIAL AL ESTADO META O FINAL. Es muy importante en la solución de problemas de IA, si no existen técnicas más directas.

28 Búsqueda en el Espacio de Estados Árbol de Búsqueda Normalmente, la búsqueda genera un árbol Su raíz corresponde al estado inicial. Sus hojas son nodos sin sucesores. El algoritmo de búsqueda elige el nodo a expandir. Ejemplo: Suponga que se quiere descubrir el camino de la ciudad (S) a (G) usando el sgte. mapa (espacio de estados)

29 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo Árbol de búsqueda El árbol de búsqueda generado del espacio de estados anterior es:

30 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo Árbol de búsqueda 4 S 3 4 A D 4 E B 5 5 A S F C 3 G D G Árbol asociado de caminos parciales B D A E C E E B B F D F B F C E A C G G C G F Espacio de estados

31 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo Problema del cajero viajero Un cajero viajante debe visitar N ciudades en su área de ventas El cajero comienza de una ciudad base visita cada ciudad una sola vez y retorna a su ciudad base al final D

32 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo Problema del cajero viajero El problema del cajero viajero representado como un árbol de búsqueda

33 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo: 8 puzzle Problema de 8 puzzle representado como árbol de búsqueda inicial final

34 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo: El lobo, la oveja y la alfalfa (d,i,i,i) solo (d,d,i,i) lobo (i,i,i,i) oveja (d,i,d,i) alfalfa (d,i,i,d) solo solo (d,d,d,i) lobo (i,i,d,i) alfalfa (d,i,d,d) solo solo oveja solo oveja (i,d,d,i) (i,d,i,i) (i,i,d,d) (i,i,i,d) alfalfa lobo Problema de lobo, oveja y alfalfa representado como árbol de búsqueda. Los estados marcados con x representan los estados problema. (d,d,i,d) solo (i,d,i,d) oveja (d,d,d,d)

35 Búsqueda en el Espacio de Estados Ejemplo: Ir de una ciudad a otra Árbol de búsqueda parcial del ejemplo de ir de una ciudad a otra.

36 Búsqueda en el Espacio de Estados Estructura del espacio de estados Primero definiremos una representación del espacio de estados para poder implementar algoritmos que busquen soluciones Estructuras de datos: Árboles y Grafos Estados = Nodos Operadores = Arcos entre nodos (dirigidos) Árboles: Solo un camino lleva a un nodo Grafos: Varios caminos pueden llevar a un nodo

37 Búsqueda en el Espacio de Estados Algoritmo Básico El espacio de estados puede ser infinito Es necesaria una aproximación diferente para buscar y recorrer árboles y grafos (no podemos tener la estructura en memoria) La estructura la construimos a medida que hacemos la búsqueda

38 Búsqueda en el Espacio de Estados Algoritmo Básico La selección del siguiente nodo determinará el tipo de búsqueda (orden de selección o expansión) Es necesario definir un orden entre los sucesores de un nodo (orden de generación)

39 Búsqueda en el Espacio de Estados Algoritmo Básico Nodos abiertos: Estados generados pero aún no visitados Nodos cerrados: Estados visitados y que ya se han expandido Tendremos una estructura para almacenar los nodos abiertos Las diferentes políticas de inserción en la estructura determinarán el tipo de búsqueda Si exploramos un grafo puede ser necesario tener en cuenta los estados repetidos (esto significa tener una estructura para los nodos cerrados). Merece la pena si el número de nodos diferentes es pequeño respecto al número de caminos

40 Búsqueda en el Espacio de Estados Características de los algoritmos Características: Completitud: Encontrará una solución? Complejidad temporal: Cuánto tardará? Complejidad espacial: Cuánta memoria gastará? Optimalidad: Encontrará la solución óptima?

41 Búsqueda en el Espacio de Estados Algoritmo General de Búsqueda Variando la estructura de abiertos variamos el comportamiento del algoritmo (orden de visita de los nodos) La función generar_sucesores seguirá el orden de generación de sucesores definido en el problema El tratamiento de repetidos dependerá de cómo se visiten los nodos

42 Búsqueda en el Espacio de Estados Tipos de algoritmos Algoritmos de búsqueda ciega No tienen en cuenta el coste de la solución en la búsqueda Su funcionamiento es sistemático, siguen un orden de visitas y generación de nodos establecido por la estructura del espacio de búsqueda Anchura prioritaria, Profundidad prioritaria, Profundidad iterativa Algoritmos de búsqueda heurística Utilizan una estimación del coste de la solución para guiar la búsqueda No siempre garantizan el óptimo, ni una solución Hill-climbing, Branch and Bound, A, IDA