Evaluation of Harmonics in Power Systems using Multivariate Statistical Process Control and Process Capability Analysis Methods

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1 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 Evaluation of Harmonics in Power Systems using Multivariate Statistical Process Control and Process Capability Analysis Methods J. Sancho (), J. Pastor (), J. Martínez (), M.A. García () () jsanchov@unizar.es. Centro Universitario de la Defensa, Academia General Militar, 000 Zaragoza, Spain. RESUMEN La presencia de armónicos en los sistemas eléctricos de potencia, su problemática y repercusión en la calidad del suministro eléctrico es cada vez mayor, debido al aumento en la sociedad del uso de los equipos que los generan, sobre todo los de tipo electrónico. Técnicas tradicionales como el Control Estadístico de Proceso (CEP) y Análisis de Capacidad de Procesos (ACP) que conforman el Control Estadístico de la Calidad clásico, pueden ser utilizadas para determinar los outliers o causas de variabilidad especial, y proceder a la implantación de acciones correctivas que permitan su eliminación, siempre que los armónicos estén normalmente distribuidos. En el caso de que la distribución no sea normal o sea desconocida, otras herramientas novedosas, como el Análisis Funcional de Datos (AFD), se han usado con éxito en esta comunicación para estudiar estos fenómenos en las situaciones en las que el control de la calidad clásico no lo permite. Palabras clave: armónicos; variabilidad; outlier; control estadístico de proceso; análisis funcional de datos ABSTRACT The presence of harmonics in power systems and their problems and impact on quality of electricity supply is increasing due to the increase in society's use of the nonlinear loads that generate them, especially the electronic kind. Classic techniques such as Statistical Process Control (SPC) and Process Capability Analysis (PCA) that form the Statistical Quality Control, can be used to identify outliers or special causes of variability, and proceed with the implementation of actions allowing corrective disposal, provided that the harmonics are normally distributed. In the event that the distribution is unknown novel tools such as Functional Data Analysis (FDA), have been used successfully in this communication to study these phenomena in situations where the classic quality control cannot. Keywords: harmonics; variability; outlier; statistical process control; functional data analysis. Introducción. En las últimas décadas, se ha ido incrementando considerablemente el uso de equipos, tanto domésticos como industriales, que incorporan convertidores electrónicos de potencia []. El principio de funcionamiento de estos equipos consiste en trocear la forma de onda sinusoidal con objeto de controlar el flujo de potencia que consumen, o bien en rectificar, mediante semiconductores, esta onda sinusoidal para convertirla en una tensión continua. Los procesos de conmutación o de rectificación hacen que la forma de onda de la intensidad que consumen estos equipos ya no sea sinusoidal, es decir, son cargas no lineales. La circulación de estas corrientes distorsionadas por las impedancias de los sistemas de distribución provoca que, a su vez, la tensión de la red eléctrica de alimentación también deje de ser puramente sinusoidal, provocando importantes consecuencias negativas en los procesos industriales []. Por ello se impone la necesidad de su estudio a pesar de la dificultad del mismo. Pero la recogida de datos de sistemas eléctricos de potencia es a menudo voluminosa y, en la mayoría de las ocasiones, se almacena en grandes bases de datos sin ser procesada ni estudiada, bien por la cantidad de tiempo a emplear en el análisis, o bien por no disponer de las herramientas adecuadas. En

2 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 esta comunicación se presentan con éxito herramientas tradicionales y novedosas para solucionar estas contingencias, mejorando algunos estudios realizados hasta el momento [].. Descripción y metodología del caso de estudio. Para el estudio realizado en esta comunicación se ha trabajado con dos muestras correspondientes a las mediciones realizadas en la salida de baja tensión, trifásica de 00 V, de los centros de transformación de dos edificios del Centro Universitario de la Defensa, durante el período de tiempo comprendido entre el 0//0 y el //0. Las mediciones eléctricas, cuyas características aparecen en la Tabla, se han realizado con el analizador de la calidad del suministro eléctrico Circutor QNA-PV, y se han registrado en las fechas indicadas en intervalos de 0 minutos. Tabla. Características de la muestras del estudio Denominación Datos/día n Edificio Conde de Aranda Muestra A Edificio Félix de Azara Muestra B. Análisis de variabilidad y outliers en sistemas eléctricos de potencia. En la terminología estadística clásica se define outlier como aquella observación que siendo atípica o errónea, tiene un comportamiento muy diferente respecto al resto de los datos de la distribución a la que pertenece, dando una idea aproximada de la variabilidad de la misma. En el análisis de armónicos, cuando lo que se intenta analizar es su variabilidad y las causas de la misma, las gráficas que ofrecen el software de la mayoría de los equipos de medida, como por ejemplo la de la Figura, no son las más adecuadas. En los siguientes apartados se proponen técnicas para el mencionado propósito. Figura.Gráfica típica para la Tasa de Distorsión Armónica. Outliers globales. Análisis de Box Plots. Los diagramas de cajas, o box plots, son unos gráficos que describen simultáneamente cómo se distribuye el conjunto de datos que se está analizando. Permiten detectar, de forma global, observaciones anormales o outliers. En particular un box plot muestra los tres cuartiles Q, Q, Q (primero, segundo o mediana y tercero), el mínimo y el máximo de los datos en una caja rectangular. Para determinar la presencia de outliers, hay que determinar el rango intercuartil (RIC), que se calcula

3 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 como la diferencia entre el tercer y el primer cuartil de la distribución. En este contexto, un outlier se define como cualquier observación que se encuentra fuera del intervalo delimitado por los límites de control superior (LCS) e inferior (LCI). RIC = Q - Q LCI = Q -. RIC LCS = Q +. RIC Figura.Outliersglobales para la THD V en la Muestra B En la Figura están representados los box plots para la Distorsión Armónica Total de la onda de Tensión (THD V ) [] en las tres fases de la Muestra B, en los que aparecen como outliers los datos alejados de los límites LCI y LCS. Este tipo de gráficos ofrece información sobre el número de outliers en función de los criterios anteriormente descritos, pero no arroja información sobre las causas que los han originado. Los diagramas de control y el concepto de subgrupos racionales, permiten analizar estas causas.. Outliers puntuales. Control Estadístico de Proceso. La variabilidad de una propiedad no es sino la desviación de su valor respecto de los objetivos fijados. Por muy controlado que esté un proceso, la variabilidad siempre estará presente. Las causas de variabilidad se dividen en dos categorías: las comunes y las especiales. Las comunes, también llamadas aleatorias, son inherentes al proceso, mientras que las especiales, también denominadas asignables, son las debidas a causas que no forman parte del proceso. Debido a que éstas últimas no forman parte del proceso, si son debidamente identificadas, pueden ser fácilmente eliminadas. Un proceso en el que únicamente existe variabilidad aleatoria se dice que está bajo control estadístico. El Control Estadístico de Proceso (CEP) es la técnica que permite monitorizar, analizar, predecir, controlar y mejorar la variabilidad de una característica de calidad determinada, mediante el uso de gráficos de control. Los diagramas de control fueron desarrollados por W. Shewhart [], y actualmente son las herramientas más importantes en el análisis de la variabilidad de los procesos en entornos industriales. Un diagrama de control típico se observa en la Figura. Las líneas superior e inferior representan el Límite de Control Superior (LCS) y el Límite de Control Inferior (LCI) respectivamente. La línea central (LC) corresponde a la media del valor de la propiedad estudiada. Si todos los puntos representados se encuentran entre el LCS y el LCI, se considera que el proceso se encuentra bajo control estadístico, es decir en ausencia de outliers y de causas asignables de variabilidad. Una idea clave en el uso de los gráficos de control es la de la recogida de datos de acuerdo con lo que Shewhart definió como el concepto de subgrupo racional. De acuerdo con este concepto, la muestra (subgrupo racional) debe tomarse de tal forma que si la causa asignable está presente, la probabilidad de aparición de diferencias significativas dentro de los subgrupos se minimice. Esto significa que las muestras o subgrupos se deben agrupar siguiendo algún criterio que corresponda a la causa de variación especial a detectar. Por ello si se sospecha que la causa de variación es diaria, semanal, mensual, estacional o anual los datos se deberán agrupar en subgrupos racionales de igual modo. En el caso a estudiar en esta comunicación se propone, a modo de ejemplo, una doble vía para detectar causas especiales de variación en los patrones de armónicos: causas diarias y causas semanales. La agrupación

4 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 en subgrupos racionales queda del siguiente modo: subgrupos diarios ( días) y subgrupos semanales ( semanas). Muchos son los tipos de gráficos de control [] y las reglas para interpretarlos [] con el objeto de analizar la variabilidad del proceso, sea ésta pequeña o grande. Pero si se considera que la característica de calidad estudiada sigue una distribución normal N ( y, y ), los límites de control vienen dados, en su expresión más general, por: LCS = y + k y LC = y LCI = y - k y L L,, LC S=, LC S=,0,0 X=,00,0 X=,00, LC I=,, LC I=, 0, 0, LC S=0, 0,0 0, LC S=0, S=0,0 0,0 0, S=0, 0, LC I=0, 0, 0, Figura.Gráficos Xbar-S para la THD V de la fase L de la Muestra B (subgrupos por semanas y días). En la Figura se encuentra representado el gráfico de control Xbar-S para la THD V de la onda de tensión de la fase L de la Muestra B, con subgrupos racionales agrupados por días y por semanas. En la misma se observa, que en ambos casos, el proceso es estable y que se encuentra bajo control estadístico, ya que no se observan outliers, ni violaciones de reglas adicionales para la detección de pequeñas variaciones de desviación estándar, ni patrones anormales (en el gráfico de control por semanas los límites de control son variables porque los tamaños de la muestra son desiguales). En esta situación se concluye que el proceso analizado está sometido únicamente a variabilidad aleatoria, y por lo tanto bajo control estadístico. Por lo tanto, se puede aseverar que en la fase L de la Muestra B, los armónicos tienen un patrón normal con variabilidad debida únicamente a causas aleatorias. No se deduce lo mismo de los diagramas de control correspondientes a la THD V de las fases L y L, de la Muestra B representados en la Figura. En la fase L del gráfico de control realizado por días, se observa un patrón correspondiente a una violación de una regla que detecta pequeñas variaciones de desviación estándar, en los puntos,,,. Y en la fase L los puntos y se encuentran más allá del LCS y del LCI respectivamente, evidenciando que el proceso sufre grandes variaciones de desviación estándar. En ambos casos la THD v se halla fuera de control estadístico, con causas de variabilidad asignables diarias en los días,, y en la fase L y en los días y en la fase L, que deben de ser identificadas y, mediante la implantación de acciones correctivas, eliminadas para que el proceso vuelva a estar bajo control. Sin embargo el gráfico de control realizado por semanas demuestra que el proceso está bajo control estadístico y que no existen causas de variación especial semanales, de ahí la importancia de los criterios de elección de subgrupos racionales. 0, LC I=0,0

5 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 L L,,0 LC S=, LC S=,,,0 X=,,00 X=, LC I=,0,,,0 LC I=, 0,0 0,00 LC S=0,0 0, LC S=0, S=0, 0, 0,0 S=0, LC I=0, 0, LC I=0, 0,0 0,00 L L,0,0 LC S=,, LC S=,,,00 X=,,00 X=,, LC I=,0,,0,0 LC I=, 0,00 0,00 LC S=0, 0, LC I=0,0 0, 0,0 S=0,0 0,0 S=0,0 0, LC L=0, 0, 0,00 Figura.Gráficos Xbar-S para la THD V de las fases L y L de la Muestra B (subgrupos por semanas y días). Como se ha mostrado, el CEP es una herramienta útil para la detección de outliers y patrones de armónicos en redes eléctricas, pero su uso está sujeto a que los datos de la muestra estudiada estén distribuidos normalmente. Si se realiza un test de normalidad Kolmogorov-Smirnov [], en adelante test K-S, con un nivel de significancia de = 0.0 a los datos de la Muestra B, se obtiene que los datos analizados siguen una distribución normal, pues el p-valor calculado, igual a 0., es mayor que el nivel de significancia. Los mismos resultados se obtienen si se realiza un test similar para las fases L y L. Pero en los sistemas eléctricos de potencia objeto de estudio, en la mayoría de las ocasiones los armónicos no están normalmente distribuidos. En la Tabla aparecen los p-valores obtenidos al aplicar un test de normalidad K-S a los datos correspondientes a la THD V y a otros armónicos, de la Muestra A. Todos estos p-valores resultan ser menores que la significancia, por lo que se concluye que ninguno de los conjuntos de datos de los armónicos estudiados está normalmente distribuido. Tabla. Resultados test de normalidad K-S con = 0.0 para la fase L de la Muestra A THD V º º º º º p-valor Cuando se construyen gráficos de control para distribuciones de datos no normales, como ocurre en el caso estudiado, los resultados son los que se observan en la Figura. En ella, el gráfico de control para la THD V de la fase L de la Muestra A, muestra un elevadísimo número de outliers, sobre un conjunto de elementos, que choca frontalmente con la definición de outlier del apartado del presente estudio. Este comportamiento persiste incluso sometiendo al conjunto de datos a una transformación Box-Cox [] para intentar corregir el sesgo de la distribución, la desigualdad de las varianzas en el eje temporal o la posible no linealidad de los datos. Por lo tanto, cuando un diagrama de control se utiliza para monitorizar un proceso con datos no normalmente distribuidos, los tradicionales análisis de detección de variabilidad específica no sirven y las interpretaciones, por lo tanto, son erróneas. 0,00 LC I=0,0

6 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 L L Usando Transformación Box-Cox con óptimo Lambda = 0,,0,,0,,0 Muestra LC S=, X=, LC I=,0,0,0,0,0 Muestra LCS=,0 X=,0 LCI=,0 0, 0,0 0, 0,0 0, Muestra Figura.Gráficos de control para la THD v de la fase L de la Muestra A (subgrupos diarios). Para solventar la imposibilidad del análisis en casos de no normalidad en las distribuciones de datos, típicas por ejemplo de determinados procesos químicos y eléctricos, diferentes autores [0,] han propuesto el diseño de diferentes gráficos de control basados en diferentes distribuciones que ayudan a superar estas dificultades, siempre y cuando las distribuciones estudiadas sean identificadas (Weibull, Burr XII, Extreme Value, etc.). Sin embargo existe una herramienta que permite el tratamiento de outliers independientemente del tipo de distribución que se maneje.. Outliers funcionales. Análisis Funcional de Datos. LC S=0, S=0, LC I=0, El uso del Análisis Funcional de Datos (AFD) [,] nace ante la necesidad de analizar datos de carácter temporal, y por tanto, datos que pueden ser vistos desde la óptica de funciones. Así, esta metodología de trabajo se ha exportado también para la detección de outliers siendo utilizado con éxito en estudios previos [-]. El estudio de los outliers de una muestra desde un enfoque funcional presenta las siguientes ventajas:. No necesidad de normalidad en los datos. En contra de las técnicas clásicas basadas en el CEP para la detección de outliers, no es necesario normalidad en el conjunto de los datos, ni realizar ningún tipo de transformación, pues el análisis no se realiza sobre los valores puntuales originales.. Análisis de conjuntos temporales como una unidad. Se analiza la muestra teniendo en cuenta unidades temporales completas, es decir, no valores puntuales registrados en instantes concretos.. Análisis de tendencia. Esta técnica no solo permite determinar valores outliers sino que también permite analizar el hecho de que aunque un conjunto de valores no lleguen a ser outliers, presenten pequeñas desviaciones frente a la normalidad de los datos.. Análisis de homogeneidad. No se determinan como outliers simplemente a aquellas observaciones que sobrepasen un determinado cut-off sin poder concluir si es un caso puntual o periódico, es decir, se puede dar la situación que diferente puntos no sobrepasen el cut-off pero sin embargo si presenten desviaciones pequeñas de un modo constante. Para la determinación de los outliers funcionales de una muestra es necesario seguir la siguiente metodología:. Construir la muestra funcional. A partir de los datos discretos, se construyen las curvas registrando cada función en base a una expansión de funciones básicas []. De este modo se dispone de una muestra funcional, donde cada función representa la medición ya en una unidad temporal completa.. Determinar la profundidad funcional. La profundidad es un concepto estándar en estadística y mide la desviación de un elemento frente a la media muestral. Así, este concepto se puede extender a una muestra funcional [,] de tal modo que la profundidad de una función dé idea de la desviación que representa frente a la media en términos absolutos.. Determinar los outliers funcionales. Según la noción de profundidad, los outliers funcionales son aquellos elementos que presentan un valor de la profundidad más baja, es decir, están más alejados de la media de la muestra funcional. De este modo se debe establecer un cut-off para las profundidades funcionales, tal que las observaciones erróneamente clasificadas como 0,0 0,00 0,0 0,00 Muestra LCS=0,0 S=0,0 LCI=0,0

7 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 outliers no sobrepase el % [0]. Para la determinación del cut-off se realiza un proceso de bootstrap [], que calcula este parámetro de corte determinando como outliers funcionales las funciones con profundidades por debajo del valor calculado. A continuación se propone por primera vez como una herramienta válida para el análisis de características de calidad de los sistemas eléctricos de potencia, y en particular para el análisis de armónicos. Figura.Outliers funcionales para la THD v de las fases L, L, L de la Muestra A. En la Figura se muestran gráficamente los resultados de los outliers funcionales obtenidos para la THD v de la Muestra A, que no pudo ser analizada con gráficos de control del CEP tradicional por tratarse de una distribución de datos no normal. En cada una de las gráficas aparecen las funciones registradas a partir de los datos/día. Las curvas en color negro corresponden a los outliers funcionales determinados por presentar las profundidades más bajas. En la Tabla aparecen resumidos los resultados. Tabla. Resultados de outliers funcionales de la THD V de la Muestra A Número de outliers Localización (días) L,,,, L,,,,, L,,, A la hora de identificar los outliers con causas de variabilidad específica en los armónicos se constata que entre los días y una ola de frío provocó un aumento en la utilización de los equipos destinados a calefactar el edificio correspondiente a esa muestra.. Conclusiones Los gráficos de control y el concepto de subgrupos racionales, pueden ser utilizados con éxito en la tarea de búsqueda y eliminación de outliers en los armónicos presentes en sistemas eléctricos, siempre y cuando el conjunto de datos siga una distribución normal. Cuando los datos no siguen una distribución normal, el Análisis Funcional de Datos puede ser usado eficientemente en la detección de outliers,

8 Proceedings of the th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 0 proporcionando además grandes ventajas en la detección de variabilidad específica frente a técnicas tradicionales como el Control Estadístico de Proceso.. Agradecimientos A la Academia General Militar de Zaragoza (AGM), y en particular a su Jefatura de Apoyo y Servicios (JAS) por las facilidades ofrecidas, en el acceso a sus instalaciones e instalación de los equipos de medida, que han permitido la realización de este estudio.. Referencias [] J. Balcells. El coste de los armónicos. Circutor (00). [] V.E. Wargner. Effect of Harmonics on Equipment. IEEE Transactions on Power Delivery, (), pp. -0. [] S. Santoso, D. D. Sabin, M. F. McGranaghan. Evaluation of Harmonic Trends using Statistical Process Methods (0). [] UNE-EN Niveles de compatibilidad para las perturbaciones conducidas de baja frecuencia y la transmisión de señales en las redes de suministro público en baja tensión. AENOR (00). [] W.A. Shewhart. Economic control of quality of manufactured product. Van Nostrand, New York, NY. () [] D.C. Montgomery, G.C. Runger. Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley (00), pp.-. [] C.W. Champ, W.H. Woodall. Exact results for Shewhart control charts with supplementary runs rules, Technometrics, () (), pp.. [] G.C. Canavos. Applied Probability and Statistical Methods. Little, Brown and Company (). [] G. E. P. Box, D. R. Cox. An Analysis of Transformations. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. (), No.., pp. -. [0] P. Erto, G. Pallotta. A New Control Chart for Weibull Technological Processes. Quality Technology & Quantitative Management Vol. (00), No., pp. -. [] Y. Chen. Economic design of X control charts for non-normal data using variable sampling policy International Journal of Production Economics, (), pp.. [] J. Ramsay, B.W. Silverman. Functional Data Analysis (Springer Series in Statistics) (nd ed. p. ) (00). Springer. [] W. González Manteiga, P. Philippe Vieu. Statistics for Functional Data. Computational Statistics & Data Analysis. Volume (00), pp.. [] M. Febrero, P. Galeano, W. González-Manteiga. Outlier detection in functional data by depth measures, with application to identify abnormal NOx levels. Environmetrics, () (00), pp.. [] C. Ordóñez, J. Martínez, A. Saavedra, A. Mourelle. Intercomparison Exercise for Gases Emitted by a Cement Industry in Spain: A Functional Data Approach. Journal of the Air & Waste Management Association, () (0), pp.. [] C. Díaz Muñiz, P.J. García Nieto, J.R. Alonso Fernández, J. Martínez Torres, J.Taboada. Detection of outliers in water quality monitoring samples using functional data analysis in San Esteban estuary (Northern Spain). Science of The Total Environment, (0), pp.. [] J.O Ramsay, B.W. Silverman. Functional Data Analysis, Springer, New York (). [] R. Fraiman, G. Muniz. Trimmed means for functional data, Test 0 (00), pp. -0. [] A. Cuevas, M. Febrero, R. Fraiman. On the use of the bootstrap for estimating functions with functional data, Computational Statistics and Data Analysis (00), pp [0] M. Febrero, P. Galeano, W. González-Manteiga. Outlier detection in functional data by depth measures, with application to identify abnormal NOx levels, Environmetrics (00), pp. -. [] L. Peng, Y. Qi. Bootstrap approximation of tail dependence function, Journal of Multivariate Analysis () (00), pp. 0-.