TRIGONOMETRIA Los conceptos trigonométricos en las diferentes culturas.

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1 TRIGONOMETRIA Los conceptos trigonométricos en las diferentes culturas. Una breve historia impresionista de la Trigonometría: de Babilonia a la India Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la trigonometría es: Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos. Etimológicamente, la palabra procede del griego clásico y significa medición de triángulos. La importancia de esta rama, radica, fundamentalmente, en la medición de campos, la ubicación de barcos en el mar o, más recientemente, posicionamiento por satélite, e, incluso, la medición de distancias entre estrellas próximas en la astronomía. En este artículo vamos a hacer un breve repaso histórico sobre los orígenes y usos de esta, que se remontan a las matemáticas de la antigüedad. El calificativo de impresionista viene porque vamos a ir viendo su evolución, en forma de pequeñas pinceladas, por los distintos pueblos y culturas donde se ha ido desarrollando. En esta primera parte, vamos a recorrer la historia de la medición de ángulos desde los antiguos babilonios hasta los matemáticos hindúes. Babilonia. Tablilla Plimpton 322

2 Hace la friolera de 3500 años, los babilonios ya empleaban los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas en sus quehaceres (no tan) diarios. Los babilonios utilizaban estas razones para realizar medidas en agricultura. De hecho, podemos ver en la tablilla Plimpton 322 (cf. Ternas Pitagóricas II: Plimpton 322 del blog Ciencia en el XXI) que ya los babilonios manejaban las ternas pitagóricas, es decir, ternas de números que son catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. Incluso eran conscientes de las relaciones que existían entre los lados de triángulos semejantes. La trigonometría (o mejor dicho, los primeros retazos de la misma) también fue aplicada por los babilonios en los primeros estudios de astronomía para el cálculo de la posición de cuerpos celestes y la predicción de sus órbitas, en los calendarios y el cálculo del tiempo, y por supuesto en navegación para mejorar la exactitud de la posición y de las rutas. Egipto. Papiro de Rhind En fechas similares a las babilonias, y de forma más o menos independiente, los egipcios también toman conciencia del problema de la medición de ángulos. Fueron ellos quienes establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha mantenido hasta nuestros días, y utilizaron la medición de triángulos en la construcción de las pirámides. De hecho, en el Papiro de Ahmes (también conocido como Papiro de Rhind), se puede leer el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

3 Si es una pirámide de 250 codos de alto y el lado de su base de 360 codos de largo, cuál es su seked (inclinación)? Grecia antigua. Hiparlo de Nicea Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a la Grecia clásica, donde destacó el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea en el S.II a.c., siendo uno de los principales desarrolladores de la trigonometría, no en vano se dice que es el padre de la trigonometría. Hiparco construyó las tablas de cuerdas (cord(θ)=2sen(θ/2) con nuestro moderno lenguaje trigonométrico) para la resolución de triángulos planos, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. En ellas iba relacionando las medidas angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas fue recorriendo una circunferencia de radio r desde los 0º hasta los 180º e iba apuntando en la tabla la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central y la circunferencia a la que corta. No se sabe con certeza el valor que usó Hiparco para el radio r de esa circunferencia, pero sí se conoce que 300 años más tarde el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. Ptolomeo incorporó también en su gran libro de astronomía Almagesto una tabla de cuerdas con un error menor que 1/3.600 de unidad. Junto a ella explicaba su método para compilarla, y a lo largo del libro daba bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.

4 Además de eso Ptolomeo enunció el llamado Teorema de Menelao, utilizado para resolver triángulos esféricos, y aplicó sus teorías trigonométricas en la construcción de astrolabios y relojes de sol. La trigonometría de Ptolomeo se empleó durante muchos siglos como introducción básica para los astrónomos. India. Aryabhata Al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India, con Aryabhata a la cabeza, desarrollaron también un sistema trigonométrico, pero basado en la función seno en vez de en cuerdas. Aunque, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada. Además, estudiaron otras razones trigonométricas como el coseno y el verseno (1-coseno), y tabularon estos datos en intervalos de 3,75º desde 0º hasta 90º. Por último, otro matemático hindú, Varahamihira, gracias a los trabajos previos de Aryabhata, comenzó a utilizar una de las fórmulas más famosas de la trigonometría moderna, sen2(x)+cos2(x)=1.

5 Los Árabes. La matemática árabe y, en particular, la trigonometría, se alimentó fundamentalmente de la Grecia clásica por un lado y de la India por el otro. De hecho, la mayor parte de los trabajos hindúes fueron no sólo traducidos por matemáticos árabes y persas, sino que también extendieron muchos resultados, alejando la trigonometría de las meras aplicaciones, que era lo que fundamentalmente se hacía hasta esos momentos. Una de sus aportaciones más singulares fue la de tomar r=1 en la circunferencia goniométrica, a diferencia de los antiguos griegos que usaban r=60. De hecho, algunos historiadores apuntan a que en este momento aparece por primera vez la trigonometría real, en el sentido que el objeto de estudio pasan a ser los triángulos esféricos o planos y los ángulos y lados que los componen. A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno y, por primera vez, tabula los valores de la tangente. Poco después otro matemático árabe, Al- Marwazi, produce la primera tabla de cotangentes. Pero quizás el matemático árabe que más aportaciones ofreció a la trigonometría fue Al-Battani, quien, además de definir las razones trigonométricas recíprocas (secante y cosecante) y sus tablas, indagó en varias relaciones trigonométricas (ahora clásicas), estableciendo, por ejemplo, que tan(a)=sen(a)/cos(a) o sec 2 (a)=1+tan 2 (a). Ya en el siglo X, los matemáticos árabes y, en particular, Abu al-wafa, ya utilizaban las 6 razones trigonométricas clásicas (que como bien cantaban Les Luthieres eran: seno, coseno, tangente y secante y la cosecante y la cotangente). Éste matemático árabe consiguió compilar tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado. Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica, fueron otras de las aportaciones de al-wafa.

6 Y no podemos terminar el apartado sobre trigonometría árabe dejar sin hablar del matemático andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien con su Libro de los arcos esféricos desconocidos, escribe el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica. Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre lugares todos estos logros también fueron sucesivamente alcanzados por los matemáticos árabes en su afán por ahondar en las entrañas de la trigonometría. China. En un primer momento, la trigonometría en China no pasaba de ser meros cálculos tabulados traducidos de los matemáticos hindúes. Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría china comenzó a cambiar cuando se dieron cuenta de la necesidad de desarrollar la trigonometría esférica para un correcto manejo de los calendarios y las posiciones astronómicas. Así, por ejemplo, el matemático chino Shen Kuo ( ) utiliza las funciones trigonométricas para resolver problemas relacionados con cuerdas y arcos y encuentra una fórmula que permite aproximar la longitud s de un arco de circunferencia en función del diámetro de la circunferencia d, la longitud c de la cuerda del arco y la sagita v (distancia entre el punto medio del arco y su cuerda) s=c+2v 2 /d. Esta última fórmula parece ser que fue la base sobre la que trabajó otro matemático chino Guo Shoujing para desarrollar sus trabajos sobre trigonometría esférica, mediante los cuales fue capaz de calcular la duración del Año Solar, con un error menor que 26 segundos. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos de Guo en esta materia, el interés por la misma desapareció de China hasta que en el siglo XVI se publicaran los Elementos de Euclides.

7 Europa Occidental: Trigonometría clásica La trigonometría llega a Europa a partir del siglo XII a través de la cultura árabe. Pero no es hasta el siglo XV cuando se realizan los primeros trabajos de importancia sobre este tema. Quizás el primer matemático europeo que se adentró en el campo de la trigonometría fue Johann Müller, conocido como Regiomontano debido a la traducción al latín de su ciudad de origen: Königsberg. Su obra fundamental es De Triangulis Omnimodis, en la que, con una estructura similar a los Elementos de Euclides, trata sobre las definiciones básicas relacionadas con la trigonometría, establece el Teorema de los Senos y otros 55 teoremas más y los aplica a la resolución de triángulo, ofrece una fórmula para calcular el área de un triángulo en función de 2 de sus lados y el ángulo que forman, y, finalmente, se ocupa de diversos aspectos de la trigonometría esférica. Quizás fue en el Opus palatinum de triangulis de Rheticus (siglo XVI), alumno de Copérnico, en donde se definen, por primera vez, las razones trigonométricas en función de triángulos rectángulos y no a través de circunferencias como venía siendo habitual hasta esos momentos. Asimismo, proporcionó tablas, con una exactitud de 10 segundos, de las seis funciones trigonométricas. El último gran aporte a la trigonometría clásica fue la invención de los logaritmos por el matemático escocés John Napier en Sus tablas de logaritmos facilitaron en gran medida el arte de la computación numérica, incluyendo la compilación de tablas trigonométricas.

8 Europa Occidental: Trigonometría analítica En el siglo XVII comienza a cambiar el carácter geométrico de la trigonometría, inclinándose hacia aspectos más algebraicos y analíticos, y principalmente dos descubrimientos ayudaron en este proceso: el álgebra simbólica, con François Viète a la cabeza; y la geometría analítica, con Fermat y Descartes como principales paladines. De hecho, Viette comprueba que algunas ecuaciones algebraicas pueden resolverse en términos de razones trigonométricas. Pero la herramienta que definitivamente dotó a la trigonometría de su moderno aspecto actual es la invención del Cálculo Infinitesimal a cargo de Newton y/o Leibniz (según quiera el lector, claro). En particular, Newton establece el desarrollo en series de potencias del seno y del coseno, aunque parece que parte de estos desarrollos eran ya conocidos por el matemático hindú Madhava, y previamente, James Gregory en 1671, obtiene el desarrollo en series de potencias de la función arco tangente, consiguiendo, de paso, una bonita relación entre p y los número naturales: π = 1 1 / / 5 1 / / 9 1 / 11 + La aparición de los números complejos supuso en definitivo impulso a la nueva trigonometría. En particular, Abraham de Moivre en 1722 establece la conocida fórmula (cos(a)+i sen(a)) n =cos(na)+i sen(na) en la que algebra y geometría se dan la mano a través del binomio de Newton. Pero fue el gran matemático Leonhard Euler quien estableciera la inseparable relación entre trigonometría y variable compleja con su conocida fórmula e ia =cos(a) + i sen(a), de la que se puede derivar La Fórmula Preferida del Profesor o Identidad de Euler e iπ + 1= 0

9 en la que se relacionan de una forma maravillosamente simple los 5 números más importantes de toda la historia. Con la introducción de la función exponencial los límites dee la trigonometría son insospechados. A partir de aquí, no se puede decir que haya habido h aportaciones muy importantes a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una u herramienta analítica más que los matemáticos y científicos de todo el mundo utilizamos para innumerables situaciones: desde series de Fourier hasta mecánica cuántica. TRIGONOMETRIA La trigonometría (del griego <trigōno> "triángulo" + <metron> > medida, "medición de triángulos"), es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonométricas seno, coseno y tangente. ANGULOS Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan.

10 Las unidades de medida de ángulos Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son: Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)..- representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Grado centesimal.- es el ángulo central subtendido por un arcoo cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. Grado sexagesimal.- es el ángulo central subtendido por un arcoo cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto. Circunferencia goniométrica La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta h muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen dee coordenadas. En ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma: El vértice en el origen de coordenadas. Uno de sus lados en el ejee de las x. El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj.

11 La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido anti- x y el semieje positivo horario: primero, segundo, tercero y cuarto: La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las de las y es el primer cuadrante. La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de lass y, y el semieje negativo de las x es el segundo cuadrante Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta tenemos: Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0 Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0 Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0 Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0 Una nueva unidad para medir ángulos: el radian Los costumbre de medir los ángulos en grados, proviene de los babilonios que dividieron el ciclo anual en 360 partes, así, el arco recorrido en un día era casi un u grado. Y esta forma de medición ha perdurado hasta nuestros días. Visualización de un radian

12 Conversión radian-grado grado-radian Una circunferencia tiene una longitud de y un radian mide r es decir en una circunferencia caben radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que: Paso de grados a radianes: Paso de radianes a grados: El valor de un radian es: Clasificación de ángulos Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones: Tipo Ángulo nulo Ángulo agudo Descripción Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, c por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0. Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad. Es decir, mayor de 0 y menor de 90 (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales). Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad Es equivalente a 90 sexagesimales (o 100 g centesimales).

13 Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares p entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice. Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es e mayor a a rad rad y menor Mayor a 90 y menor a 180 sexagesimaless (o más de 100 g y menos de 200 g centesimales). Ángulo llano, extendido o colineal El ángulo llano tiene una amplitud de radd Equivalente a 180 sexagesimales (o 200 g centesimales). Ángulo oblicuo Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos. o Ángulo o perigonal completo Un ángulo completo o perigonal, tiene unaa amplitud de rad Equivalente a 360 sexagesimales (o 400 g centesimales). Ángulos convexo y cóncavo En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

14 Tipo Ángulo convexo o saliente Descripción Es el que mide menos de rad. Equivale a más de 0 y menos de 180 sexagesimaless (o más de 0 g y menos de 200 g centesimales). Ángulo cóncavo, reflejo entrante o Es el que mide más de rad y menos de rad. Esto es, más de 180 y menos de 360 sexagesimales (o más de 200 g y menos de 400 g centesimales). Ángulos respecto de una circunferencia Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitudd de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi- inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

15 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90. *Como 60 y 30 suman 90, se les llama ángulos complementarios. *Luego, se deduce que el complemento de 60 es 30 (90 30 ) y viceversa. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180. * Como 120 y 60 suman 180, se les llaman ángulos suplementarios.. * Se deduce que el suplemento de 120 es 60 y viceversa.

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17 Triángulos Qué es un triángulo? Es un polígono de tres lados y tres ángulos. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º Triángulo ABC: Tiene tres lados: AB, BC, CA Tiene tres vértices: A, B, C Tiene tres ángulos: ABC, BCA, CAB Ver: PSU: Matemática; Pregunta 14_2005 Cómo se clasifican los triángulos? Los triángulos se pueden clasificar según: Las medidas de sus lados Las medidas de sus ángulos Según las medidas de sus lados pueden ser, triángulo: Equilátero Isósceles Escaleno

18 Triángulo equilátero: Es el que tiene sus tres lados de igual medida y sus tres ángulos de igual medida, cada uno de los cuales mide 60º. Los lados a, b y c tienen igual medida. Esto se puede escribir también de la siguiente manera: AB = Los ángulos tienen igual medida, es decir: ABC = BCA = CAB = 60º BC = CA Recuerda que siempre la letra que está en el medio indica el vértice donde se ubica el ángulo. Triángulo isósceles: Es el que tiene dos lados de igual medida, por lo tanto, tiene dos ángulos de igual medida. trazo AB = trazo AC ABC = BCA Triángulo escaleno: Es el que tiene todos sus lados de distinta medida y, por lo tanto, sus ángulos también son de distinta medida. Ver: PSU: Geometría; Pregunta 01_2006 Según la medida de sus ángulos, un triángulo puede ser:

19 Triángulo acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos; es decir, sus ángulos miden más de 0º y menos de 90º. AB AC BC ABC BCA CAB Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto; es decir, un ángulo mide 90º CAB = 90º Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso; o sea, un ángulo que mide más de 90º y menos de 180º. CAB obtuso (mayor que 90º y menor que 180º) Teorema de Pitágoras Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

20 Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos. AC = cateto = a BC = cateto = b AB = hipotenusa = c La expresión matemática que representa este Teorema es: hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2 c 2 = a 2 + b 2 Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente: Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. PRACTICA. HOJAS DE COLOR Blanca. Azul, Verde, Roja

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37 DEMOSTRACIONES RIGUROSAS Resolución dados dos lados cualesquiera Cuando conocemos dos lados de un triángulo rectángulo sólo caben dos posibilidades conceptualmente distintas: 1. Dos catetos 2. La hipotenusa y un cateto

38 Dados dos catetos 1. Por Pitágoras obtenemos la Hipotenusa. 2. El Coseno de un ángulo será igual al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 3. Conocido el Coseno el ángulo queda determinado. 4. El tercer ángulo ha quedado fijado por el ángulo recto y el que acabamos de obtener.

39 Dada la hipotenusa y un cateto 1. Por Pitágoras obtenemos el otro cateto. 2. Ya nos encontramos en la misma situación que el caso anterior. Resolución dados un ángulo agudo y un lado En esta circunstancia se nos pueden presentar dos situaciones conceptualmente diferentes: 1. Un ángulo agudo y la Hipotenusa 2. Un ángulo agudo y un cateto (el adyacente o el opuesto)

40 Dado un ángulo agudo y la hipotenusa 1. El tercer ángulo queda definido inmediatamente. 2. Calculando el Seno del ángulo, llegamos al cateto opuesto. 3. Calculando el Coseno del ángulo llegamos al cateto adyacente. Dado un ángulo agudo y un cateto (el adyacente o el opuesto)

41 1. El tercer ángulo queda definido inmediatamente. 2. Calculando la Tangente de uno cualquiera de los ángulos, obtenemos el otro cateto. (La tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el catero adyacente) 3. Por Pitágoras, obtenemos la Hipotenusa. COMPROBACIONES ndez.es/proyectos/angulo/temas/tema am/index.html Circunferencia La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más m usual es: Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. Elementos de la circunferencia Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la l circunferencia;

42 Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros); Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Dos circunferencias Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan: Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1) Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

43 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3) Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4) Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre e sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)

44 Ángulos en una circunferencia Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. a Longitud de la circunferencia La longitud de una circunferencia es: donde es la longitud del radio. Pues (número pi), por definición, es el cocientee entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

45 Área de la circunferencia El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

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