GUION TÉCNICO AUDIO. Operaciones con expresiones algebraicas. En la Geometría clásica se encontraron diferentes

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1 Operaciones con expresiones algebraicas. Leyes de los exponentes En la Geometría clásica se encontraron diferentes características de las cifras que guardaban relaciones específicas entre ellas. En los primeros cálculos se descubrió que existían números enteros que se multiplicaban entre sí varias veces, como cuando se buscaba el área de un cuadrado o el volumen de un cubo. Para cuestiones de esta explicación, otorgaremos a la letra a el valor de 5. A partir de dicho razonamiento surgió la necesidad de expresar esa repetición de factores iguales como una potencia, es decir, el número de veces que dicho natural se multiplicaba por sí mismo. En esta nomenclatura, al número que se multiplica por sí mismo se le denominó base, y al número de veces que indicaba esa repetición se le conoció como exponente. Sin embargo, las operaciones complejas introdujeron la necesidad de trabajar con leyes para los exponentes, las cuales analizaremos en esta pieza de contenido, y que te 1

2 permitirán realizar operaciones algebraicas con exponentes, a partir de la identificación de estas leyes Dentro de la nomenclatura de los exponentes, es importante tener en cuenta algunos aspectos que es conveniente recordar. El primero de ellos es que una notación exponencial a a la ene potencia (a n), donde n es entero, significa que el número a se multiplica n número de veces. Por ejemplo, si n es igual a 9, la base a se multiplicará por sí misma 9 veces. Considerando lo anterior, si n es igual a 1, significa que la base a elevado a la potencia uno (a 1 ) se escribe simplemente a, ya que la potencia implica multiplicar el número base por la cantidad de veces que señala el exponente. Como este caso es uno, el número base no se multiplica por sí mismo, solamente se escribe como tal. Ahora bien, qué ocurre si un exponente n es igual a 0? Por regla, equis elevado a la 0 potencia será igual a uno (x 0 =1), siempre y cuando x que es la base, sea diferente de 0. Una de las operaciones básicas con exponentes es la multiplicación. Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, tendremos que el resultado de la multiplicación se puede obtener sumando los exponentes. 2

3 La generalización simbólica en este caso dice que: para cualquier número real a distinto de cero y cualesquiera enteros eme y ene ; a a la eme por a a la ene es igual a a a la eme más ene. En el ejemplo podemos observar que tenemos be al cuadrado por be a la quinta potencia. Si desglosamos esta operación, veremos que tenemos, primero, un paréntesis donde tenemos a be por be, y luego otro paréntesis que contiene a be multiplicado cinco veces. Recuerda que, si no hay signos que antecedan a los paréntesis, cuando estos se encuentran juntos, indican multiplicación, por eso, en el desarrollo, sustituimos ese paréntesis por un signo de multiplicación. Ahora, contamos cuántos números be se están multiplicando entre sí, y tenemos que son siete. Esta operación se simplifica como se muestra en el ejemplo, únicamente sumando los exponentes. Otra operación que encontrarás con los exponentes, es la división. Veamos sus características: La generalización simbólica dice que: para cualquier número real a distinto de cero, y cualesquiera enteros eme y ene ; a a la eme entre a a la ene es igual a a a la eme 3

4 81. menos ene Observa que en esta operación, eme es el exponente de la base del numerador y ene es el exponente de la base del denominador. Es importante que recuerdes esta regla porque en la resta no existe la propiedad conmutativa, y esto evitará que cometas errores al momento de utilizar esta propiedad. Veamos el ejemplo: en la operación podemos observar que en el numerador tenemos be elevado a la quinta potencia, y en el denominador tenemos be cuadrada. Cuando hacemos el desglose de la división, nos percatamos de que dos be de los denominadores dividen a dos numeradores be. Aquí, es importante tener en cuenta que: Al tener incógnitas divididas entre si, el resultado será 1 y todo número dividido entre 1 da como resultado el mismo número. Por lo tanto, las incógnitas be restantes no tienen divisor visible, sin embargo, éstos se dividen entre uno, por lo que tenemos la expresión b/b por b/b por b/1 por b/1 por b/1, lo cual se traduce en uno por uno por be por be por be. Hacemos la operación recordando que en las expresiones algebraicas, los coeficientes uno, asociados a una literal, no se escriben. Así, la operación nos da como resultado be al cubo, por lo que demostramos que la regla de la división de los exponentes se cumple si restamos los exponentes de las potencias. 4

5 Aplicando la misma regla de la división, se pueden presentar situaciones en donde el resultado de la división sea un exponente negativo. En este caso, invertiremos la operación anterior, quedando de la siguiente manera: be cuadrada entre be a la quinta. Esto implica que be a la dos menos cinco es igual a be a la menos tres. Sin embargo, por convención, preferentemente las expresiones algebraicas deben expresarse con exponentes positivos. Entonces, cómo convertimos un exponente negativo a positivo? Para conocer el fundamento, realicemos el desglose de la operación be cuadrada entre be a la quinta. En el desarrollo tenemos que be por be, entre be por be por be por be por be; es igual a be entre be, por be entre be, por uno entre be, por uno entre be, por uno entre be; lo que nos da uno por uno por uno entre be, por uno entre be, por uno entre be. Simplificando esta expresión tenemos como resultado: uno por uno, por uno entre be por be por be, lo que resulta en 1 entre be cúbica. Por lo tanto, be cuadrada entre be quinta es igual a be a la menos tres, que es equivalente a uno entre be cúbica, lo cual nos deja finalmente un exponente positivo. 5

6 GUION TÉCNICO AUDIO En este caso, la generalización simbólica nos dice que: para cualquier número real a, distinto de cero (a 0) y cualquier entero n; cuando a está elevado a la menos ene; esta expresión será igual a uno entre a a la ene. Cuando tenemos una expresión con exponentes negativos y queremos obtener una expresión con exponentes positivos, como la que se muestra en el ejemplo, debemos aplicar la regla a a la menos ene, que es es igual a 1 entre a a la n. Así, si tenemos la expresión a a la menos dos entre be a la menos tres, procedemos a encontrar su recíproco, que en este caso es be cúbica entre a cuadrada. Observa que a y b no son términos semejantes, por lo que no podemos utilizar la regla de restar los exponentes. Únicamente estamos siguiendo el procedimiento para la conversión de exponentes positivos a negativos. En álgebra, es común encontrarse con operaciones en las que un exponente se encuentra elevado a una potencia. Para resolver estas operaciones, veamos la regla que las sustenta: Para cualquier número real a distinto de cero y cualesquiera enteros eme y ene, a a la eme, elevado a la ene es igual a a a la eme por ene. 6

7 GUION TÉCNICO AUDIO Entonces, si tenemos la operación be cuadrada elevada a la cuarta potencia, veremos que su desglose implica multiplicar cuatro veces be cuadrada. Sin embargo, be cuadrada se puede factorizar en be por be, y esta operación se repite cuatro veces. Al hacer esta factorización, se observa que la base be se multiplica ocho veces por sí misma, por lo que el resultado de la operación será be elevada a la octava potencia. Así, para simplificar esta operación, tomamos la base, pero a sus exponentes los multiplicamos entre sí, y obtenemos el resultado de esta operación. Finalmente, vemos que be cuadrada, elevada a la cuarta potencia es igual a be elevada a la octava potencia, que resulta de la multiplicación de dos por cuatro. Recapitulando: Cuando existe una multiplicación entre exponentes con la misma base, el resultado se obtiene sumando los exponentes. Cuando existe una división entre exponentes con la misma base, el resultado se obtiene restando los exponentes, considerando que el exponente del numerador será el minuendo y el exponente del denominador será el sustraendo. Cuando existe un exponente elevado a una potencia, el 7

8 189. resultado se obtendrá multiplicando los exponentes No olvides que estas leyes te permitirán realizar operaciones algebraicas; y también, comprender cuáles son sus fundamentos, ya que esto te permitirá, posteriormente, tener claro cómo construir las expresiones algebraicas. Esto fue una producción del Espacio de Formación Multimodal, e-uaem 8